Angles orientés, trigonométrie

CHAPITRE 4
Angles orientés, trigonométrie
Utiliser le cercle trigonométrique, notamment pour :
déterminer les cosinus et sinus d’angles associés ;
résoudre dans ℝles équations d’inconnue : et .
Capacités au programme :
Dans toute la suite du cours, le plan sera rapporté et orienté par le repère orthonormé #» #» .
I) Angle orienté formé par deux vecteurs du plan
A) Mesure d’angle en radians
Soit un point du cercle trigonométrique. L’angle orienté  # » # »  est l’angle formé par les deux
demi-droites  et  parcouru en sens direct.
Dénition 1 : (Angle orienté dans le cercle trigonométrique)
Fig. 4.1 : L’angle orienté est marqué en rouge.
Soit un point du cercle trigonométrique. Tout nombre réel associé à par l’enroulement de la
droite réelle est appelé mesure de l’angle orienté  # » # » . L’unité de mesure est le radian.
Dénition 2 : (Radian)
Exemple : Si est un point du cercle trigonométrique, notons la longueur du petit arc . Alors
une mesure de l’angle  # » # »  est si on va de vers en sens direct (donc lorsque a une
ordonnée positive), et  si on va en sens indirect (donc lorsque a une ordonnée négative).
Exercice 1 : Justier pourquoi pour tout angle donné, la mesure en degré (entre et ) est pro-
portionnelle à la mesure en radian (entre et ) et déterminer les coecients.
Solution : Le cercle trigonométrique est partagé régulièrement à partir du point que ce soit pour les
degrés ou pour les radians et donc les mesures en degrés et en radians sont proportionnelles.
 degrés correspondent à radians. On a donc le schéma suivant :

34 Chapitre 4 : Angles orientés, trigonométrie
π
2
3π
2−π 2
7π
6−5π 6
π
6
5π
3−π 3
2π
3
4π
3−2π 3
π
3
11π
6−π 6
5π
6
5π
4−3π 4
π
4
7π
4−π 4
3π
4
Fig. 4.2 : Angles remarquables et position sur le cercle trigonométrique.
Rad Deg
Remarque : (Correspondance avec les degrés)
Grâce au résultat de l’exercice précédent on peut établir le tableau suivant.
Degrés         
Radians 
Tab. 4.1 : Correspondance de à.
Degrés        
Radians 
Tab. 4.2 : Correspondance de  à.
B) Congruences et mesure principale
Soit un point du cercle trigonométrique et une mesure de l’angle  # » # » . Alors pour tout
entier relatif , le réel  est encore une mesure de  # » # » .
Propriété 1 :
Preuve : Soit   ℤ.
Si   ℕ:   et donc  correspond à tours (complets) du cercle trigonométrique
en sens direct. Donc en partant du point associé à , on retombe sur , ce qui implique que la
mesure de  # » # »  est aussi .
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I) Angle orienté formé par deux vecteurs du plan 35
Si   ℤ ⧵ ℕ : correspond à  tours du cercle trigonométrique en sens indirect. On retombe
encore sur et  # » # »  mesure donc  radians.
Remarque : On comprend grâce à cette propriété que l’on ne peut pas parler d’une mesure d’angle
orienté mais bien des mesures. Pourtant, géométriquement, cela correspond à la même chose. On a
envie donc d’écrire que si et sont deux mesures d’un même angle orienté dans le cercle trigono-
métrique, alors   , mais la propriété nous dit que c’est faux. Il faut donc inventer une notion qui
permet de regrouper les mesures d’un angle orienté dans une même famille.
Deux réels et sont congrus (ou égaux)modulo  si leur diérence est un multiple de , c’est
à dire si   ℤ1tel que  . Dans ce cas, on note     ou encore    .
Dénition 3 : (Congruence modulo )
Remarque : D’après la dénition, « modulo » signie « à un multiple de  près ».
Comme prévu, grâce à cette notion d’égalité modulo , on regroupe toutes les mesures d’un angle
dans une même catégorie.
(Peut être omis en première lecture) Contrairement à ce que l’on peut penser en lisant la dénition,
l’égalité modulo  est semblable en beaucoup de points à l’égalité classique que l’on connaît.
Réexivité : On peut écrire pour tout réel que   . Et bien il en est de même modulo 
car  et donc    .
Symétrie : De même on sait que si , alors   . C’est la même chose avec la congruence
modulo : si     , il existe un entier tel que . Mais alors   ,
ce qui implique que    .
Transitivité : Enn, avec l’égalité classique, si et   , alors . Et avec l’égalité
modulo , si     , il existe un entier tel que   . Et si     , il
existe un entier tel que  . Mais alors    et donc   
 .
Compatibilité avec et :On peut aussi ajouter et multiplier par un réel non nul les deux
membres d’une congruence modulo  avec une petite nuance pour la multiplication :
* Si      et ′ ′  alors ′  ′ . En eet : il existe et ′
deux entiers tels que   et ′′′et donc ′′′ et on
a bien ′′ .
* Si      et   ℝ, alors     . En eet, s’il existe entier tel que
  , alors en multipliant les deux membres par , on a     et donc
  .
Soit un point du cercle trigonométrique. On considère le petit arc , c’est à dire le plus court des
deux. Puisqu’il vaut au maximum un demi-périmètre de cercle, la longueur de cet arc est un réel de
. Une mesure de l’angle orienté  # » # »  est alors si, en suivant l’arc, on va de vers en sens
direct, et est  si on va de vers en sens indirect. Mais quelle mesure donner à l’angle  # » # »
lorsque les trois points sont alignés ? En eet, suivant le point de vue on peut lui attribuer soit 
1. Le symbole ∃veut dire « il existe ».
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36 Chapitre 4 : Angles orientés, trigonométrie
radians soit  radians. On décide donc de dire que c’est la même chose et quitte à choisir on prendra
le positif, soit . Donc on peut mesurer un angle orienté uniquement avec un réel de l’intervalle .
Lorsqu’on choisit une mesure d’angle dans cet intervalle, on dit que l’on donne la2mesure principale
de l’angle.
Notation : Dorénavant, pour dire qu’un angle  # » # »  mesure radians, on écrira, en tenant
compte de ce qui a été dit,  # » # »     , autrement dit, on confond volontairement un
angle et sa mesure modulo .
Soient et deux points du cercle trigonométrique avec et les mesures respectives des angles
# » # »  et  # » # »  modulo . Alors la mesure de l’angle orienté  # » # »  est   .
Propriété 2 :
Preuve : On va montrer ce point en utilisant pour mesures de  # » # »  et  # » # »  la longueur
des arcs  et  parcourus en sens direct. Ce sont des éléments de l’intervalle . Notons les
respectivement et comme dans l’énoncé. Une mesure de l’angle  # » # »  est donc la longueur
de l’arc  aectée d’un signe ou suivant la position des points. On distingue donc deux cas
suivant que est entre et ou pas.
Si   ,une mesure de l’angle  # » # »  est la longueur de l’arc  parce que ce dernier
est parcouru de àen sens direct. L’angle  # » # »  a donc pour mesure la diérence des
longueurs des arcs   et  , c’est donc bien   .
Si   ,l’arc  est parcouru de vers en sens indirect et donc la mesure de  # » # »
est l’opposé de cette longueur d’arc, c’est donc l’opposé de la diérence des longueur des arcs
et  et c’est     .
Fig. 4.3 : Diérentes positions possibles des points et .
2. …et pas une mesure principale parce qu’il n’y a qu’une façon de procéder et donc qu’un réel possible.
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I) Angle orienté formé par deux vecteurs du plan 37
C) Angle orienté de deux vecteurs du plan
Soient #» et #» deux vecteurs non nuls dans le plan muni d’un repère orthonormé direct  #» #» .
L’angle orienté  #» #»  est par dénition l’angle orienté  # » # »  où et sont deux points du
cercles trigonométrique tels que # »  et # »  sont colinéaires et de même sens que #» et #» .
Sa mesure principale est l’unique réel de  tel que  #» #»    .
Dénition 4 :
#»
#»
Fig. 4.4 : Angle de deux vecteurs quelconques et cercle trigonométrique
Remarque : (Diérences entre un angle orienté et un angle géométrique)
On distingue deux notions. Pour trois points ,et du plan, l’angle géométrique   et l’angle
orienté  # » # » . Supposons que   ait pour mesure en radians. Alors est nécessairement
un réel de l’intervalle  (en degrés entre et ). Le réel n’est pas forcément une mesure de
l’angle  # » # » . Si n’est ni nul ni égal à (pour éviter les cas faciles), alors une mesure (et même
la mesure principale) de  # » # »  sera . Dans le cas contraire, elle sera . Réciproquement, si
la mesure principale de l’angle  # » # »  est radians, alors la mesure de l’angle géométrique
sera  radians. Pour nir, on peut distinguer les deux sur un dessin à l’aide de la èche qui donne
l’ordre de lecture.
Angle géométrique Angle orienté
Fig. 4.5 : Angle orienté et angle géométrique associé.
Exercice 2 : Déterminer les mesures principales des angles suivants.
1)  #»  #»      3) 
#» #»
   5) 
#»  #»
2)  #»  #»
   4) 
#» #»
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