e−αx2 (1)

COURS 11.
4. Transformée de Fourier d’une gaussienne.
Pour α > 0,
x2
f (x) = e−α 2
(1)
est de classe C ∞ (infiniment dérivable) et à décroissance rapide. Donc sa transformée
de Fourier fˆ(p) doit avoir les mêmes propriétés: être à décroissance rapide, comme
conséquence de f (x) ∈ C ∞ , et être infiniment dérivable, comme conséquence de f (x)
à décroissance rapide.
Nous allons faire le calcul de fˆ(p) par deux méthodes différentes. Pour simplifier ces
calculs, nous acceptons d’abord la valeur particulière pour le paramèttre α:
x2
α = 1, f (x) = e− 2
(2)
Nous trouverons ensuite la transformée de Fourier de f (x) pour α général en utilisant les
propriétés générales.
1) Calcul direct.
1 Z +∞
x2
ˆ
f (p) = √
dx exp{− − ipx}
2
2π −∞
1 Z +∞
1
p2
=√
dx exp{− (x + ip)2 − }
2
2
2π −∞
p2
1 Z +∞+ip
z2
dz exp{− }
= e− 2 √
2
2π −∞+ip
(3)
Nous avons changé la variable d’integration: x+ip = z, dx = dz; le contour d’intégration
pour la variable z est indiqué dans la Fig.1. Ensuite, on peut remettre le contour
d’intégration sur l’axe réel, Fig.2. Il est facile de vérifier que les intégrales sur les parties
l1 et l3 du contour d’intégration s’annulent. Sur l2 z = x de nouveau, et on trouve:
p2
p2
x2
1 Z +∞
fˆ(p) = e− 2 √
dxe− 2 = e− 2
2π −∞
1
(4)
Ici nous avons utilisé le résultat:
Z +∞
x2
dxe− 2 =
√
2π
(5)
−∞
Il peut le trouver de la manière suivante:
Z +∞
(
x2
dxe− 2 )2 =
Z +∞
−∞
=
Z 2π
0
dx
−∞
dϕ
Z ∞
0
ρdρe
−
ρ2
2
Z +∞
dye−
x2 +y 2
2
−∞
=π
Z ∞
2
2
− ρ2
d(ρ )e
=π
0
Z ∞
t
dte− 2 = 2π
(6)
0
–d’où le résultat de l’éq.(5).
Donc, nous avons obtenu le résultat suivant:
2
2
p
x
F : f (x) = e− 2 → fˆ(p) = e− 2
(7)
Observons que la fonction gaussienne est unique dans le sens qu’elle reste invariante sous
la transformation de Fourier.
2) Calcul indirect.
x2
1 Z +∞
ˆ
dxe− 2 e−ipx
f (p) = √
2π ∞
(8)
x2
x2
1 Z
dfˆ(p)
1 Z
=√
dxe− 2 (−ix)e−ipx = i √
dx(−x)e− 2 e−ipx
dp
2π
2π
x2
x2 d
1 Z
d
(−1) Z
= i√
dx (e− 2 )e−ipx = i √
dxe− 2
(e−ipx )
dx
dx
2π
2π
2
x2
(−1) Z
1 Z
− x2
−ipx
√
√
=i
dxe (−ip)e
= −p
dxe− 2 e−ipx = −pfˆ(p)
2π
2π
dfˆ(p)
= −pfˆ(p)
dp
dfˆ(p)
= −pdp
fˆ(p)
(9)
(10)
(11)
2
p
fˆ(p) = Ce− 2
(12)
où C est une constante. Sa valeur est définie par fˆ(0):
x2
1 Z +∞
ˆ
f (0) = √
dxe− 2 = 1
2π −∞
2
(13)
Par l’éq.(12), C = 1, et on trouve le même résultat que dans le premier calcul:
2
p
fˆ(p) = e− 2
(14)
Dans le cas d’une valeur générale du paramètre α on trouve:
x2
f (x) = e−α 2 = e−
(λx)2
2
, λ=
√
α
(15)
En utilisant la propriété de la transformation de Fourier par rapport à la dilatation, on
obtient:
F [e−
(λx)2
2
](p) =
p2
x2
1 1 p2
1
p
1
F [e− 2 ]( ) = e− 2 ( λ ) = √ e− 2α
λ
λ
λ
α
(16)
Donc:
p2
x2
1
F : f (x) = e−α 2 → fˆ(p) = √ e− 2α
α
(17)
Exercice.
Donner des arguments pour:
F : f (x) = e−α
(x−x0 )2
2
p2
1
→ fˆ(p) = √ e−ipx0 e− 2α
α
(18)
5.Réciprocité.
5.1.Remarques preliminaires
On définit l’opération F ∗ de la manière suivante:
1 Z +∞
dpeipx g(p) = F [g(p)](−x)
F ∗ [g(p)](x) = √
2π ∞
(19)
Nous allons démontrer que, sous certaines conditions, on a:
F ∗ [fˆ(p)](x) ≡ F ∗ [F [f (x)](p)](x) = f (x)
(20)
F ∗ F f (x) = f (x)
(21)
ou simplement:
qui signifie que, au sens du produit des opérations, F ∗ F est une opération d’identité:
F ∗F = 1
3
(22)
D’abord, il nous faudra:
5.2.Lemme.
Si f (x) et g(x) sont intégrables, alors f (x)ĝ(x) et fˆ(x)g(x) le sont, et
Z +∞
dxf (x)ĝ(x) =
Z +∞
dxfˆ(x)g(x)
(23)
−∞
−∞
Démonstration:
Z +∞
dxf (x)ĝ(x) =
Z +∞
−∞
1
=√
2π
=
Z +∞
−∞
=
Z +∞
−∞
Z +∞
−∞
dx
Z +∞
1 Z +∞
dxf (x) √
dyg(y)e−ixy
2π −∞
dyf (x)g(y)e−ixy
−∞
1 Z +∞
dyg(y) √
dxf (x)e−iyx
2π −∞
dyg(y)fˆ(y)
(24)
−∞
Nous avons utilisé le théorème de Fubini pour des intégrales doubles.
5.3.Théorème.
Si f (x) et fˆ(y) sont intégrables, alors
F ∗ F f (x) = f (x)
(25)
Démonstration.
Pour la démonstration on utilise une fonction auxiliaire:
gλ,x (y) = eiyx−
λ2 y 2
2
(26)
On considère gλ,x (y) comme une fonction de la variable y et de deux paramètres λ et x.
Observons d’abord que:
ĝλ,x (y) = F [gλ,x (u)](y) = F [eiux−
λ2 u2
2
](y) =
1 − (y−x)2 2
e 2λ
λ
(27)
On trouve ce résultat en utilisant l’une des propriétés générales
F [eiαx f (x)](p) = F [f (x)](p − α)
4
(28)
(cours 9, éq.(27)) et la transformée de Fourier d’une gaussienne, éq.(16).
Observons en plus que
lim gλ,x (y) = eixy
λ→0
(29)
Alors, d’une part, pour une fonction f (x) intégrable avec sa transformée fˆ(y) intégrable,
on trouve dans la limite λ → 0:
1 Z +∞
1 Z +∞
√
dygλ,x (y)fˆ(y) → √
dyeixy fˆ(y) = F ∗ [fˆ(y)](x)
2π −∞
2π −∞
(30)
D’autre part, en utilisant le lemme, on obtient:
1 Z +∞
1 Z +∞
√
dygλ,x (y)fˆ(y) = √
dyĝλ,x (y)f (y)
2π −∞
2π −∞
(y−x)2
y2
1 1 Z +∞
1 1 Z +∞
=√
dye− 2λ2 f (y) = √
dye− 2λ2 f (y + x)
2π λ −∞
2π λ −∞
2
y2
1 Z +∞
1 Z +∞
− y2
dye f (λy + x) → f (x) √
dye− 2 = f (x)
=√
2π −∞
2π −∞
(31)
– dans la limite de λ → 0. En comparant les équations (30) et (31) on obtient:
F ∗ [fˆ(y)] = f (x)
(32)
qui est le résultat annoncé dans le théorème, éq.(25).
Remarque. Dans la démonstration ci-dessus nous avons utilisé une fonction auxiliaire gλ,x (y) qui permet d’avoir des intégrales bien définies (convergentes) aux étapes intermédiaires. Par exemple, si on mit λ = 0 dès le début, alors on va rencontrer l’intégrale
pour ĝλ=0,x (y) :
1 Z +∞
ĝλ=0,x (y) = F [gλ=0,x (u)](y) = F [eixu ](y) = √
duei(x−y)u
2π −∞
(33)
qui est mal définie, n’est pas convergente. Nous allons définir des intégrales de ce type
dans la partie sur les distributions. Pour le moment, pour éviter le problème, nous avons
utilisé la fonction gλ,x (y) avec λ 6= 0, pour laquelle ĝλ,x (y) est bien régulière, et pris la
limite λ → 0 à la fin. En général, on appelle ce type de procédure une régularisation des
intégrales divergentes.
5
Exemples.
1)
2a
f (x) = e−a|x| , fˆ(y) = √
2π(a2 + y 2 )
(34)
2a Z +∞
eiyx
a π −a|x|
ˆ
F [f (y)](x) =
dy 2
e
= e−a|x|
=
2
2π −∞
a +y
πa
(35)
– Exemple 3 du cours 9.
∗
Le calcul de l’intégrale a été fait dans l’Application du cours 9.
2)
f (x) =
( −ax
e ,
x>0
(36)
0, x < 0
1
fˆ(y) = √
2π(a + iy)
(37)
– Exemple 1 du cours 9.
eiyx
1 Z +∞
ˆ
dy
F [f (y)] =
2π −∞
a + iy
∗
1 Z +∞
eiyx
=
dy
=
2πi −∞
y − ia
( −ax
e ,
x>0
(38)
0, x < 0
Pour calculer l’intégrale nous avons utilisé la déformation du contour d’intégration dans
le plan complexe de y: Fig.3 dans le cas de x > 0 et Fig.4 dans le cas de x < 0.
3)
f (x) = 1− 1 ,+ 1 (x) =
2
2

 1,

|x| <
1
2
2 sin y
fˆ(y) = √ 2
2πy
–Exemple 5 du cours 9.
y
1 Z +∞
iyx 2 sin 2
ˆ
F [f (y)](x) =
dye
2π −∞
y
∗
2 sin y2
1 Z +∞
=
dy(cos yx + i sin yx) ×
2π −∞
y
1 Z +∞ dy
y
=
cos yx × 2 sin
2π −∞ y
2
6
(39)
0, ailleurs
(40)
y
y
1 Z +∞ dy
[sin(yx + ) − sin(yx − )]
=
2π −∞ y
2
2
sin((x + 21 )y) sin((x − 21 )y)
1 Z +∞
=
dy[
−
]
2π −∞
y
y
=
1
1
1
× [πsign(x + ) − πsign(x − )]
2π
2
2

 1,
=
|x| <
1
2
(41)
0, ailleurs
Dans le calcul nous avons utilisé les formules:
1
cos α × sin β = [sin(α + β) − sin(α − β)]
2
(42)
Z ∞
sin ay
sin ay
dy
=2
dy
= πsign(a)
y
y
0
(43)
Z +∞
−∞
Conclusion: F ∗ définie par l’éq.(19) est une opération réciproque de l’opération F , transformation de Fourier d’une fonction.
7