e−αx2 (1)

COURS 11.
4. Transform´ee de Fourier d’une gaussienne.
Pour α > 0,
f(x) = e−αx2
2(1)
est de classe C∞(infiniment d´erivable) et `a d´ecroissance rapide. Donc sa transform´ee
de Fourier ˆ f(p) doit avoir les mˆemes propri´et´es: ˆetre `a d´ecroissance rapide, comme
cons´equence de f(x)∈C∞, et ˆetre infiniment d´erivable, comme cons´equence de f(x)
`a d´ecroissance rapide.
Nous allons faire le calcul de ˆ f(p) par deux m´ethodes diff´erentes. Pour simplifier ces
calculs, nous acceptons d’abord la valeur particuli`ere pour le param`ettre α:
α= 1, f(x) = e−x2
2(2)
Nous trouverons ensuite la transform´ee de Fourier de f(x) pour αg´en´eral en utilisant les
propri´et´es g´en´erales.
1) Calcul direct.
ˆ
f(p) = 1
√2πZ+∞
−∞
dx exp{−x2
2−ipx}
=1
√2πZ+∞
−∞
dx exp{−1
2(x+ip)2−p2 2}
=e−p2
21
√2πZ+∞+ip
−∞+ip
dz exp{−z2
2}(3)
Nous avons chang´e la variable d’integration: x+ip =z, dx =dz; le contour d’int´egration
pour la variable zest indiqu´e dans la Fig.1. Ensuite, on peut remettre le contour
d’int´egration sur l’axe r´eel, Fig.2. Il est facile de v´erifier que les int´egrales sur les parties
l1et l3du contour d’int´egration s’annulent. Sur l2z=xde nouveau, et on trouve:
ˆ
f(p) = e−p2
21
√2πZ+∞
−∞
dxe−x2
2=e−p2 2(4)
1

Ici nous avons utilis´e le r´esultat:
Z+∞
−∞
dxe−x2
2=√2π(5)
Il peut le trouver de la mani`ere suivante:
(Z+∞
−∞
dxe−x2
2)2=Z+∞
−∞
dx Z+∞
−∞
dye−x2+y2
2
=Z2π
0
dϕ Z∞
0
ρdρe−ρ2
2=πZ∞
0
d(ρ2)e−ρ2
2=πZ∞
0
dte−t
2= 2π(6)
–d’o`u le r´esultat de l’´eq.(5).
Donc, nous avons obtenu le r´esultat suivant:
F:f(x) = e−x2
2→ˆ
f(p) = e−p2
2(7)
Observons que la fonction gaussienne est unique dans le sens qu’elle reste invariante sous
la transformation de Fourier.
2) Calcul indirect.
ˆ
f(p) = 1
√2πZ+∞
∞
dxe−x2
2e−ipx (8)
dˆ f(p)
dp =1
√2πZdxe−x2
2(−ix)e−ipx =i1
√2πZdx(−x)e−x2
2e−ipx
=i1
√2πZdx d
dx(e−x2
2)e−ipx =i(−1)
√2πZdxe−x2
2d
dx(e−ipx)
=i(−1)
√2πZdxe−x2
2(−ip)e−ipx =−p1
√2πZdxe−x2
2e−ipx =−pˆ
f(p) (9)
dˆ f(p)
dp =−pˆ
f(p) (10)
dˆ f(p)
ˆ
f(p)=−pdp (11)
ˆ
f(p) = Ce−p2
2(12)
o`u Cest une constante. Sa valeur est d´efinie par ˆ f(0):
ˆ
f(0) = 1
√2πZ+∞
−∞
dxe−x2
2= 1 (13)
2

Par l’´eq.(12), C= 1, et on trouve le mˆeme r´esultat que dans le premier calcul:
ˆ
f(p) = e−p2
2(14)
Dans le cas d’une valeur g´en´erale du param`etre αon trouve:
f(x) = e−αx2
2=e−(λx)2 2, λ =√α(15)
En utilisant la propri´et´e de la transformation de Fourier par rapport `a la dilatation, on
obtient:
F[e−(λx)2
2](p) = 1
λF[e−x2
2]( p
λ) = 1 λe−1
2(p λ)2=1
√αe−p2
2α(16)
Donc:
F:f(x) = e−αx2
2→ˆ
f(p) = 1
√αe−p2
2α(17)
Exercice.
Donner des arguments pour:
F:f(x) = e−α(x−x0)2
2→ˆ
f(p) = 1
√αe−ipx0e−p2
2α(18)
5.R´eciprocit´e.
5.1.Remarques preliminaires
On d´efinit l’op´eration F∗de la mani`ere suivante:
F∗[g(p)](x) = 1
√2πZ+∞
∞
dpeipxg(p) = F[g(p)](−x) (19)
Nous allons d´emontrer que, sous certaines conditions, on a:
F∗[ˆ f(p)](x)≡F∗[F[f(x)](p)](x) = f(x) (20)
ou simplement:
F∗F f(x) = f(x) (21)
qui signifie que, au sens du produit des op´erations, F∗Fest une op´eration d’identit´e:
F∗F= 1 (22)
3

D’abord, il nous faudra:
5.2.Lemme.
Si f(x) et g(x) sont int´egrables, alors f(x)ˆg(x) et ˆ f(x)g(x) le sont, et
Z+∞
−∞
dxf(x)ˆg(x) = Z+∞
−∞
dx ˆ f(x)g(x) (23)
D´emonstration:
Z+∞
−∞
dxf(x)ˆg(x) = Z+∞
−∞
dxf(x)1
√2πZ+∞
−∞
dyg(y)e−ixy
=1
√2πZ+∞
−∞
dx Z+∞
−∞
dyf(x)g(y)e−ixy
=Z+∞
−∞
dyg(y)1
√2πZ+∞
−∞
dxf(x)e−iyx
=Z+∞
−∞
dyg(y)ˆ f(y) (24)
Nous avons utilis´e le th´eor`eme de Fubini pour des int´egrales doubles.
5.3.Th´eor`eme.
Si f(x) et ˆ f(y) sont int´egrables, alors
F∗F f(x) = f(x) (25)
D´emonstration.
Pour la d´emonstration on utilise une fonction auxiliaire:
gλ,x(y) = eiyx−λ2y2
2(26)
On consid`ere gλ,x(y) comme une fonction de la variable yet de deux param`etres λet x.
Observons d’abord que:
ˆgλ,x(y) = F[gλ,x(u)](y) = F[eiux−λ2u2
2](y) = 1
λe−(y−x)2
2λ2(27)
On trouve ce r´esultat en utilisant l’une des propri´et´es g´en´erales
F[eiαxf(x)](p) = F[f(x)](p−α) (28)
4

(cours 9, ´eq.(27)) et la transform´ee de Fourier d’une gaussienne, ´eq.(16).
Observons en plus que
lim
λ→0gλ,x(y) = eixy (29)
Alors, d’une part, pour une fonction f(x) int´egrable avec sa transform´ee ˆ f(y) int´egrable,
on trouve dans la limite λ→0:
1
√2πZ+∞
−∞
dygλ,x(y)ˆ f(y)→1
√2πZ+∞
−∞
dyeixy ˆ f(y) = F∗[ˆ f(y)](x) (30)
D’autre part, en utilisant le lemme, on obtient:
1
√2πZ+∞
−∞
dygλ,x(y)ˆ f(y) = 1
√2πZ+∞
−∞
dyˆgλ,x(y)f(y)
=1
√2π
1
λZ+∞
−∞
dye−(y−x)2
2λ2f(y) = 1
√2π
1
λZ+∞
−∞
dye−y2
2λ2f(y+x)
=1
√2πZ+∞
−∞
dye−y2
2f(λy +x)→f(x)1
√2πZ+∞
−∞
dye−y2
2=f(x) (31)
– dans la limite de λ→0.En comparant les ´equations (30) et (31) on obtient:
F∗[ˆ f(y)] = f(x) (32)
qui est le r´esultat annonc´e dans le th´eor`eme, ´eq.(25).
Remarque. Dans la d´emonstration ci-dessus nous avons utilis´e une fonction auxili-
aire gλ,x(y) qui permet d’avoir des int´egrales bien d´efinies (convergentes) aux ´etapes in-
term´ediaires. Par exemple, si on mit λ= 0 d`es le d´ebut, alors on va rencontrer l’int´egrale
pour ˆgλ=0,x(y) :
ˆgλ=0,x(y) = F[gλ=0,x(u)](y) = F[eixu](y) = 1
√2πZ+∞
−∞
duei(x−y)u(33)
qui est mal d´efinie, n’est pas convergente. Nous allons d´efinir des int´egrales de ce type
dans la partie sur les distributions. Pour le moment, pour ´eviter le probl`eme, nous avons
utilis´e la fonction gλ,x(y) avec λ6= 0, pour laquelle ˆgλ,x(y) est bien r´eguli`ere, et pris la
limite λ→0 `a la fin. En g´en´eral, on appelle ce type de proc´edure une r´egularisation des
int´egrales divergentes.
5