La particule sur le rond

Exercices CHM2401
La particule sur le cercle
On a un électron qui bouge sur un cercle.
X=l
X=0
On cherche les fonctions propres et les énergies propres.
Conditions à la fonction d’onde
ψ (0) = ψ (l )
En mécanique classique
E = TN +
Énergie
cinétique
υN
Énergie
potentielle
G2
p
T=
2m
m=1 pour un electron (en unités atomiques)
Dans notre exemple on a
υ (r ) = 0
Les postulats de la mécanique quantique permettent d’obtenir l’opérateur
Hamiltonian
G
p → −i=∇, (= =1 en unites atomique)
G
G
r →r
I) Donnez les opérateurs dont on a besoin dans notre problème!
px → pˆ x = ???
⇒ T → Tˆ = ???
pˆ xψ = pψ
II) Démontrez que les fonctions propres de
fonctions propres de
Tˆ =
pˆ 2x
2
.
Tout d’abord, on cherche les solutions pour :
pˆ xψ = pψ
sont aussi les
pˆ xψ = pψ
⇒ −i
d
ψ = pψ
dx
⇒ψ =
`
aN eipx
constante
a est une constante de normalisation.
III) Déterminez la constante de normalisation!
ψ = eipx est une fonction d’onde d’un électron qui bouge avec une vitesse
constante. La vitesse est
vx =
px
, me = 1 (en unites atomique) .
me
ipx
Notez que les états sont dégénérés parce que e et e
énergie.
− ipx
ont la même
IV) On a la condition :
ψ (0) = ψ (l )
Quelles sont les valeurs de p acceptables?
V) Donnez la formule pour les énergies de la particule sur le cercle!
La densité de la fonction ψ = ae
ρ ( x) = Ψ * ( x)Ψ ( x) = a 2 est constante!!
ipx
ipx
Parce que e et e
− ipx
sont dégénérés, chaque combinaison linéaire
c1eipx +c 2 e − ipx est aussi fonctionne propre.
ipx
A partir de e et e
− ipx
on peut obtenir deux novelles fonctions réelles
1
Ψ1 = (eipx +e − ipx ) = cos( px)
2
1
Ψ 2 = (eipx -e −ipx ) = sin( px)
2i