La particule sur le rond

Exercices CHM2401
La particule sur le cercle
On a un électron qui bouge sur un cercle.
X=
l
X=0
On cherche les fonctions propres et les énergies propres.
Conditions à la fonction d’onde
(0) ( )l
ψ
ψ =
En mécanique classique
N
N
Énergie
É
nergie
cinétique potentielle
ET
υ
=+
2
2
m 1 pour un electron (en unités atomiques)
p
Tm =
=
G

Dans notre exemple on a
() 0r
υ
=
Les postulats de la mécanique quantique permettent d’obtenir l’opérateur
Hamiltonian
, ( =1 en unites atomique)pi
rr
→− ∇
→
G==
GG
I) Donnez les opérateurs dont on a besoin dans notre problème!
ˆ???
ˆ???
xx
pp
TT
→=
⇒→=
II) Démontrez que les fonctions propres de
ˆ
x
p
p
ψ
ψ
=
sont aussi les
fonctions propres de
2
ˆ
ˆ2
x
p
T=.
Tout d’abord, on cherche les solutions pour :
ˆ
x
p
p
ψ
ψ
=

ˆ
x
pp
ψ
ψ
=
d
ip
dx
ψ
ψ ⇒− =
`
N
constante
ipx
ae ψ ⇒=
a est une constante de normalisation.
III) Déterminez la constante de normalisation!
ipx
e ψ =
est une fonction d’onde d’un électron qui bouge avec une vitesse
constante. La vitesse est
, 1 (en unites atomique)
x
xe
e
p
vm
m
==
.
Notez que les états sont dégénérés parce que ont la même
énergie.
ipx ipx
eete
−
IV) On a la condition :
(0) ( )l
ψ
ψ
=
Quelles sont les valeurs de p acceptables?
V) Donnez la formule pour les énergies de la particule sur le cercle!

La densité de la fonction
ipx
ae
ψ
=
*
() () ()
2
x
xxa ρ =Ψ Ψ = est constante!!
Parce que sont dégénérés, chaque combinaison linéaire
ipx ipx
eete
−
est aussi fonctionne propre.
12
+c
ipx ipx
ce e
−
A partir de on peut obtenir deux novelles fonctions réelles
ipx ipx
eete
−
1
2
1(+ )cos(
2
1(- )sin(
2
ipx ipx
ipx ipx
ee px
ee px
i
−
−
Ψ= =
Ψ= =
)
)