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Samedi 02 Avril 2016
Durée : 4 heures
MATHÉMATIQUES
DEVOIR SURVEILLÉ N˚8
Si, au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous semble être une erreur d’énoncé, d’une part
vous le signalez au surveillant, d’autre part vous le signalez sur votre copie et vous poursuivez la
composition en indiquant les raisons des initiatives que vous avez été amené à prendre.
L’usage de calculatrice est autorisé
AVERTISSEMENT
La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. En
particulier, les résultats non encadrés et non-justifiés ne seront pas pris en compte.
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DEVOIR SURVEILLÉ N˚8
Exercice 1 - Des équivalents rapides
Toutes les questions sont indépendantes
1. (Extrait Sujet du concours « Petites Mines » 2003 )
et
Soit f : t ∈ R 7→
. Il est clair que f est définie sur R tout entier, et que cette fonction est de
1 + t2
∞
classe C . Nous noterons Cf la courbe représentative de f .
(a) Quelle est la limite de f (t) lorsque t tend vers −∞ ?
(b) Qu’en déduisez-vous au sujet de Cf ?
(c) Quelle est la limite de f (t) lorsque t tend vers +∞ ?
(d) Complétez chacune des phrases suivantes au moyen de l’une des locutions « est équivalent à »,
« est négligeable devant », « est dominé par » :
f (t) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · et lorsque t tend vers +∞.
et
lorsque t tend vers +∞.
t
et
f (t) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2 lorsque t tend vers +∞.
t
Lorsque plusieurs réponses sont acceptables, vous donnerez la plus précise. Bien entendu, vous
justifierez votre réponse.
f (t) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
1
2. Donner un équivalent au voisinage de 0 de f (x) = (1 + x) x .
(cos x − 1)(ex − 1)
√
3. Donner un équivalent simple en x = 0 de g(x) =
.
ln(1 − x)( 1 + 3x − 1)
ln(n + 1) − ln n
4. Donner un équivalent simple de un = √
√ .
n+1− n
EXERCICE 2 - Trois études locales et une fonction
On considère la fonction f définie sur ] − ∞, −1[∪]0, +∞[ par f (x) = (x −
On note Cf la courbe représentative de f dans un repère orthonormé direct.
1)2 ln
1
1+
.
x
1. Questions de cours :
Rappeler les développements limités au voisinage de u = 0 et à l’ordre n ∈ N des fonctions suivantes :
(a) u 7→
1
1−u
(b) u 7→
1
1+u
(c) u 7→ ln(1 + u)
2. Étude en +∞.
γ
1
(a) Déterminer trois réels α, β et γ tels que :
f (x) = αx + β + + o
x→+∞
x x→+∞ x
(b) En déduire que Cf admet une droite asymptote lorsque x → +∞ ; on précisera l’équation de
l’asymptote ainsi que sa position relative à la courbe Cf .
f (x) ∼ − ln(x).
3. Étude en 0. Démontrer l’équivalent suivant :
x→0+
4. Étude en 1.
(a) Écrire un développement limité à l’ordre 2 au voisinage de v = 1 de la fonction v 7→ ln(v).
(b) Déterminer un développement limité à l’ordre 2 au voisinage de v = 1 de la fonction v 7→ ln(1+v).
(c) À l’aide des questions précédentes, déterminer un développement limité à l’ordre 4 au voisinage
de x = 1 de la fonction f .
1
Indication : Remarquez qu’au voisinage de x = 1, ln 1 +
= ln(1 + x) − ln(x).
x
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EXERCICE 3 - Prenons la tangente, mais à l’ordre 5...
Dans cet exercice, on pose la notation suivante : si f est une fonction,
• f [1] = f .
• Pour tout n ∈ N∗ , f [n+1] = f ◦ f [n] . (Par exemple : f [2] = f ◦ f , f [3] = f [2] ◦ f = f ◦ f ◦ f .)
Ainsi f [n] = f ◦ f ◦ . . . ◦ f représente la composée nième (si cela a un sens) de la fonction f par elle-même.
1. (a) Prouver que la fonction tan[n] est de classe C ∞ sur son ensemble de définition.
(On admet pour les questions suivantes que l’ensemble de définition contient un voisinage de 0).
(b) Justifier que la fonction tan[n] admet un développement limité au voisinage de 0 d’ordre 5.
(c) Justifier que ce développement limité est de la forme tan[n] (x) = an x + bn x3 + cn x5 + o(x5 ).
(où an , bn et cn sont 3 réels que l’on va chercher à déterminer dans cet exercice)
sin x
2. (a) En utilisant la définition tan x =
, déterminer (calculs détaillés à l’appui) le développement
cos x
limité à l’ordre 5 au voisinage de x = 0 de tan(x).
1
2
Vérifier que a1 = 1, b1 = et c1 = .
3
15
(b) Tracer l’allure du graphique de tan au voisinage de 0 par rapport à sa tangente ∆ en x = 0 (dont
on précisera l’équation).
2
3
3. Prouver (calculs détaillés à l’appui), que a2 = 1, b2 = et c2 = .
3
5
4. Pour tout n > 1, calculer les expressions de an+1 , bn+1 et cn+1 uniquement en fonction de an , bn et cn .
5. (a) Quelle est la nature de la suite (an )n>1 ? En déduire l’expression de an .
(b) Quelle est la nature de la suite (bn )n>1 ? En déduire l’expression de bn .
n−1
P
(c) A l’aide du calcul de la somme
(ck+1 − ck ), donner l’expression de cn en fonction de n.
k=1
6. Préciser le développement limité à l’ordre 5, au voisinage de x = 0, de tan[5] (x).
7. Déterminer la plus petite valeur de n > 1 pour laquelle la partie polynomiale du développement limité
de tan[n] (x) à l’ordre 5 au voisinage de x = 0 a tous ces coefficients entiers.
8. On se propose de retrouver le D.L. de la question 2. d’une autre façon.
(a) Rappeler l’expression tan0 en fonction de tan en précisant le domaine de validité.
(b) Rappeler un équivalent de tan x, puis un développement limité d’ordre 1 au voisinage de 0.
(c) Déduire du (a) et (b) un développement limité de tan x au voisinage de 0 à l’ordre 3 puis 5.
PROBLÈME
(d’après Petites Mines 2009)
Les parties A, B, C et D sont dans une très large mesure indépendantes
Dans tout ce problème, on notera sh la fonction sinus hyperbolique, ch la fonction cosinus hyperbolique
sh
et th = ch
la fonction tangente hyperbolique.
Partie A - Étude d’une fonction
Soit f la fonction définie sur
R∗
1
par f (x) = x sh
.
x
1. Étudier la parité de f .
2. (a) Donner un équivalent de la fonction sh en 0. En déduire les limites de f en +∞ et en −∞.
(b) Déterminer la limite de f en 0.
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3. Justifier que f est dérivable sur R∗ et que pour tout x ∈ R∗ ,
1
1
1
0
−
× ch
.
f (x) = th
x
x
x
4. Montrer que, pour tout X ∈ R∗+ , th(X) < X.
5. En déduire le tableau de variation de f .
sh X
.
X
7. En déduire qu’au voisinage de +∞ et de −∞, f admet un développement de la forme :
1
a1
a2
,
f (x) = a0 +
+ 2 +o
x
x
x2
6. Donner le développement limité à l’ordre 4 en 0 de la fonction X 7→
où a0 , a1 , a2 sont trois réels que l’ont précisera.
1
∗
8. Montrer que la fonction x ∈ R 7→ f
∈ R se prolonge sur R en une fonction notée F continue,
x
puis prouver que F est dérivable sur R.
Partie B - Une équation différentielle
On considère l’équation différentielle (E) suivante, que l’on va résoudre sur différents intervalles :
xy 0 + y = ch(x). (E)
8. Résoudre sur l’intervalle R∗+ l’équation différentielle (E).
9. Donner sans justification les solutions de l’équation différentielle (E) sur l’intervalle R∗− .
10. Justifier que la fonction F (définie dans la question A.7.) est l’unique fonction définie et dérivable sur
R qui soit solution de l’équation différentielle (E) sur R.
Partie C - Étude d’une suite
n+1
admet une unique solution dans R∗+ .
n
On la note un . On définit ainsi une suite (un )n∈N∗ que l’on va étudier dans les questions qui suivent.
12. Montrer que la suite (un )n∈N∗ est croissante.
13. Montrer que la suite (un )n∈N∗ tend vers +∞ quand n tend vers +∞.
14. En utilisant la question A.6., déterminer un équivalent de un quand n tend vers +∞.
11. Montrer que pour n ∈ N∗ , l’équation f (x) =
Partie D - Une fonction définie par une intégrale
Pour x ∈ R∗+ , on pose J(x) =
Z
x
f (t) dt.
x/2
15. Montrer que pour tout x ∈ R, sh(2x) = 2 ch(x) sh(x).
16. Justifier que J est dérivable sur R∗+ et que pour tout x ∈ R∗+ ,
1
1
0
J (x) = f (x) 1 − ch
.
2
x
17. En déduire le signe de J 0 sur R∗+ ; on exprimera le (les) zéro(s) de J 0 à l’aide de la fonction ln.
18. On admet les résultats suivants :
(*) lim J(x) = +∞,
x→0+
x
(*) lim J(x) = +∞ et J admet au voisinage de +∞ une asymptote d’équation y = ,
x→+∞
2
(*) la courbe représentative de J est toujours « au dessus » de l’asymptote précédente.
Donner le tableau de variation de J sur R∗+ .
19. Tracer l’allure de la courbe de représentative de J.
1
1
√ ≈ 0, 76 et J
√
On donne pour le tracé :
≈ 0, 65 à 10−2 près.
ln(2 + 3)
ln(2 + 3)
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