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Samedi 02 Avril 2016
Dur´ee : 4 heures
MATH´ EMATIQUES
DEVOIR SURVEILL´ E N˚8
Si, au cours de l’´epreuve, vous rep´erez ce qui vous semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, d’une part
vous le signalez au surveillant, d’autre part vous le signalez sur votre copie et vous poursuivez la
composition en indiquant les raisons des initiatives que vous avez ´et´e amen´e `a prendre.
L’usage de calculatrice est autoris´e
AVERTISSEMENT
La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction,la clart´e et la pr´eci-
sion des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies. En
particulier, les r´esultats non encadr´es et non-justifi´es ne seront pas pris en compte.
Tournez la page S.V.P.

DEVOIR SURVEILL´ E N˚8
Exercice 1 - Des ´equivalents rapides
Toutes les questions sont ind´ependantes
1. (Extrait Sujet du concours «Petites Mines »2003 )
Soit f:t∈R7→ et
1 + t2.Il est clair que fest d´efinie sur Rtout entier, et que cette fonction est de
classe C∞.Nous noterons Cfla courbe repr´esentative de f.
(a) Quelle est la limite de f(t) lorsque ttend vers −∞?
(b) Qu’en d´eduisez-vous au sujet de Cf?
(c) Quelle est la limite de f(t) lorsque ttend vers +∞?
(d) Compl´etez chacune des phrases suivantes au moyen de l’une des locutions «est ´equivalent `a »,
«est n´egligeable devant »,«est domin´e par »:
f(t)··························· etlorsque ttend vers +∞.
f(t)··························· et
tlorsque ttend vers +∞.
f(t)··························· et
t2lorsque ttend vers +∞.
Lorsque plusieurs r´eponses sont acceptables, vous donnerez la plus pr´ecise. Bien entendu, vous
justifierez votre r´eponse.
2. Donner un ´equivalent au voisinage de 0 de f(x) = (1 + x)1
x.
3. Donner un ´equivalent simple en x= 0 de g(x) = (cos x−1)(ex−1)
ln(1 −x)(√1+3x−1).
4. Donner un ´equivalent simple de un=ln(n+ 1) −ln n
√n+ 1 −√n.
EXERCICE 2 - Trois ´etudes locales et une fonction
On consid`ere la fonction fd´efinie sur ] − ∞,−1[∪]0,+∞[ par f(x)=(x−1)2ln 1 + 1
x.
On note Cfla courbe repr´esentative de fdans un rep`ere orthonorm´e direct.
1. Questions de cours :
Rappeler les d´eveloppements limit´es au voisinage de u= 0 et `a l’ordre n∈Ndes fonctions suivantes :
(a)u7→ 1
1−u(b)u7→ 1 1 + u(c)u7→ ln(1 + u)
2. ´ Etude en +∞.
(a) D´eterminer trois r´eels α,βet γtels que : f(x) =
x→+∞αx +β+γ
x+o
x→+∞1
x
(b) En d´eduire que Cfadmet une droite asymptote lorsque x→+∞; on pr´ecisera l’´equation de
l’asymptote ainsi que sa position relative `a la courbe Cf.
3. ´ Etude en 0.D´emontrer l’´equivalent suivant : f(x)∼
x→0+−ln(x).
4. ´ Etude en 1.
(a) ´ Ecrire un d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 au voisinage de v= 1 de la fonction v7→ ln(v).
(b) D´eterminer un d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 au voisinage de v= 1 de la fonction v7→ ln(1+v).
(c) ` A l’aide des questions pr´ec´edentes, d´eterminer un d´eveloppement limit´e `a l’ordre 4 au voisinage
de x= 1 de la fonction f.
Indication : Remarquez qu’au voisinage de x= 1,ln 1 + 1
x= ln(1 + x)−ln(x).
PCSI 2015-2016 2 Lyc´ee de L’essouriau - Les Ulis

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EXERCICE 3 - Prenons la tangente, mais `a l’ordre 5...
Dans cet exercice, on pose la notation suivante : si fest une fonction,
•f[1] =f.
•Pour tout n∈N∗,f[n+1] =f◦f[n]. (Par exemple : f[2] =f◦f,f[3] =f[2] ◦f=f◦f◦f.)
Ainsi f[n]=f◦f◦. . . ◦frepr´esente la compos´ee ni`eme (si cela a un sens) de la fonction fpar elle-mˆeme.
1. (a) Prouver que la fonction tan[n]est de classe C∞sur son ensemble de d´efinition.
(On admet pour les questions suivantes que l’ensemble de d´efinition contient un voisinage de 0).
(b) Justifier que la fonction tan[n]admet un d´eveloppement limit´e au voisinage de 0 d’ordre 5.
(c) Justifier que ce d´eveloppement limit´e est de la forme tan[n](x) = anx+bnx3+cnx5+o(x5).
(o`u an,bnet cnsont 3r´eels que l’on va chercher `a d´eterminer dans cet exercice)
2. (a) En utilisant la d´efinition tan x=sin x
cos x, d´eterminer (calculs d´etaill´es `a l’appui) le d´eveloppement
limit´e `a l’ordre 5 au voisinage de x= 0 de tan(x).
V´erifier que a1= 1, b1=1
3et c1=2 15.
(b) Tracer l’allure du graphique de tan au voisinage de 0 par rapport `a sa tangente ∆ en x= 0 (dont
on pr´ecisera l’´equation).
3. Prouver (calculs d´etaill´es `a l’appui), que a2= 1, b2=2
3et c2=3 5.
4. Pour tout n>1, calculer les expressions de an+1,bn+1 et cn+1 uniquement en fonction de an,bnet cn.
5. (a) Quelle est la nature de la suite (an)n>1? En d´eduire l’expression de an.
(b) Quelle est la nature de la suite (bn)n>1? En d´eduire l’expression de bn.
(c) A l’aide du calcul de la somme
n−1
P
k=1
(ck+1 −ck), donner l’expression de cnen fonction de n.
6. Pr´eciser le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 5, au voisinage de x= 0, de tan[5](x).
7. D´eterminer la plus petite valeur de n>1 pour laquelle la partie polynomiale du d´eveloppement limit´e
de tan[n](x) `a l’ordre 5 au voisinage de x= 0 a tous ces coefficients entiers.
8. On se propose de retrouver le D.L. de la question 2. d’une autre fa¸con.
(a) Rappeler l’expression tan0en fonction de tan en pr´ecisant le domaine de validit´e.
(b) Rappeler un ´equivalent de tan x, puis un d´eveloppement limit´e d’ordre 1 au voisinage de 0.
(c) D´eduire du (a) et (b) un d´eveloppement limit´e de tan xau voisinage de 0 `a l’ordre 3 puis 5.
PROBL` EME (d’apr`es Petites Mines 2009)
Les parties A, B, C et D sont dans une tr`es large mesure ind´ependantes
Dans tout ce probl`eme, on notera sh la fonction sinus hyperbolique, ch la fonction cosinus hyperbolique
et th = sh
ch la fonction tangente hyperbolique.
Partie A - ´ Etude d’une fonction
Soit fla fonction d´efinie sur R∗par f(x) = xsh 1
x.
1. ´ Etudier la parit´e de f.
2. (a) Donner un ´equivalent de la fonction sh en 0. En d´eduire les limites de fen +∞et en −∞.
(b) D´eterminer la limite de fen 0.
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3. Justifier que fest d´erivable sur R∗et que pour tout x∈R∗,
f0(x) = th 1
x−1 x×ch 1 x.
4. Montrer que, pour tout X∈R∗
+,th(X)< X.
5. En d´eduire le tableau de variation de f.
6. Donner le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 4 en 0 de la fonction X7→ sh X
X.
7. En d´eduire qu’au voisinage de +∞et de −∞,fadmet un d´eveloppement de la forme :
f(x) = a0+a1
x+a2 x2+o1 x2,
o`u a0, a1, a2sont trois r´eels que l’ont pr´ecisera.
8. Montrer que la fonction x∈R∗7→ f1
x∈Rse prolonge sur Ren une fonction not´ee Fcontinue,
puis prouver que Fest d´erivable sur R.
Partie B - Une ´equation diff´erentielle
On consid`ere l’´equation diff´erentielle (E) suivante, que l’on va r´esoudre sur diff´erents intervalles :
xy0+y= ch(x).(E)
8. R´esoudre sur l’intervalle R∗
+l’´equation diff´erentielle (E).
9. Donner sans justification les solutions de l’´equation diff´erentielle (E) sur l’intervalle R∗
−.
10. Justifier que la fonction F(d´efinie dans la question A.7.) est l’unique fonction d´efinie et d´erivable sur
Rqui soit solution de l’´equation diff´erentielle (E) sur R.
Partie C - ´ Etude d’une suite
11. Montrer que pour n∈N∗, l’´equation f(x) = n+ 1
nadmet une unique solution dans R∗
+.
On la note un. On d´efinit ainsi une suite (un)n∈N∗que l’on va ´etudier dans les questions qui suivent.
12. Montrer que la suite (un)n∈N∗est croissante.
13. Montrer que la suite (un)n∈N∗tend vers +∞quand ntend vers +∞.
14. En utilisant la question A.6., d´eterminer un ´equivalent de unquand ntend vers +∞.
Partie D - Une fonction d´efinie par une int´egrale
Pour x∈R∗
+, on pose J(x) = Zx
x/2
f(t) dt.
15. Montrer que pour tout x∈R,sh(2x) = 2 ch(x) sh(x).
16. Justifier que Jest d´erivable sur R∗
+et que pour tout x∈R∗ +,
J0(x) = f(x)1−1
2ch 1 x.
17. En d´eduire le signe de J0sur R∗
+; on exprimera le (les) z´ero(s) de J0`a l’aide de la fonction ln.
18. On admet les r´esultats suivants :
(*) lim
x→0+J(x)=+∞,
(*) lim
x→+∞J(x) = +∞et Jadmet au voisinage de +∞une asymptote d’´equation y=x
2,
(*) la courbe repr´esentative de Jest toujours «au dessus »de l’asymptote pr´ec´edente.
Donner le tableau de variation de Jsur R∗
+.
19. Tracer l’allure de la courbe de repr´esentative de J.
On donne pour le trac´e : 1
ln(2 + √3) ≈0,76 et J1 ln(2 + √3)≈0,65 `a 10−2pr`es.
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