Facultés Universitaires Notre-Dame de la Paix `a Namur Troisi`eme

Facultés Universitaires Notre-Dame de la Paix à Namur
Troisième Baccalauréat en Sciences Mathématiques
Notes de Cours
Théorie de la Mesure et d’Intégration
Frank Callier
29 novembre 2007
i
Préface
Le cours de théorie de la mesure et d’intégration comprend une partie théorique de huit
chapitres traitant l’intégrale d’une fonction mesurable et une seconde partie appliquée de
trois chapitres traitant la transformée de Fourier : pour plus de détails voir les sommaires
des chapitres et de l’annexe A dont les pages sont indiquées par la table des matières.
Ces notes de cours forment un ensemble (améliorable) de notions et de résultats importants. Parmi ces derniers citons le Lemme d’ Approximation 1.18, le Lemme de Continuité
Monotone 2.4, le Théorème de Convergence Monotone 3.7, le Théorème de Convergence
Dominée de Lebesgue 4.8, le Théorème de Complétude de Riesz-Fisher 5.12, le Théorème
d’Extension de Carathéodory 6.8, le Théorème d’Intégration Itérée de Tonelli-Fubini 7.6 ;
le Théorème de Riemann-Lebesgue 8.6, Le Théorème de Transformée d’une Convolution
8.10, Les Théorèmes d’Inversion de la Transformée de Fourier 8.12 (voir aussi Chapitre 10)
et 8.13, et le Théorème d’Isomorphisme de Plancherel 9.10. On touche aussi la transformée
de Laplace dans le Chapitre 10. Des remarques finales sont données en guise de conclusion.
Une bibliographie succincte contient :
1. R. Bartle , ” The Elements of Integration ”, John Wiley , New-York, 1966.
2. W. Rudin , ” Real and Complex Analysis ”, McGraw-Hill , New-York, 1974.
3. H.L. Royden, ” Real Analysis ”, MacMillan, New-York, 1968.
4. R.R. Goldberg, ” Fourier Transforms ”, Cambridge University Press, London, 1970.
5. M.R. Spiegel, ” Theory and Problems of Real Variables ”, Shaum’s Outline Series,
MacGraw-Hill, New-York, 1969.
6. A. Kolmogorov et S. Fomine, ” Eléments de la Théorie des Fonctions et de l’ Analyse
Fonctionnelle ”, Mir, Moscou, 1977.
7. P.R. Halmos, ” Measure Theory ”, Springer Verlag, New-York, 1974.
8. D.W. Stroock, ” A Concise Introduction to the Theory of Integration ”, Birkhäuser
Verlag, Boston, 1994.
Les ouvrages de Bartle, Rudin, Royden et Goldberg sont la source d’inspiration principale
de l’auteur : ils sont écrits à l’ intention de l’étudiant avancé. Le livre de la Collection Shaum
est destiné aux étudiants débutants (exercices résolus), ainsi que le livre de Kolmogorov
et Fomine. Tandis que le livre de Halmos est une des bibles des experts en théorie de la
mesure et d’intégration. Finalement il existe beaucoup d’ouvrages plus récents (comme le
livre de Stroock) et une multitude d’informations supplémentaires : voir l’excellent moteur
de recherche http ://www.google.com .
Table des matières
0 Motivation
1
1 Ensembles et fonctions mesurables
4
2 Mesures
21
3 Intégrales de fonctions non-négatives
30
4 Fonctions intégrables
44
5 Espaces Lp
55
6 Mesure de Lebesgue
72
7 Mesure produit et intégration itérée
91
8 Transformée de Fourier de L1
106
9 Transformée de Fourier de L2
122
10 Compléments de transformée de Fourier : Inversion et Laplace
135
A Lebesgue-mesurable et mesures de Stieltjes
150
En guise de conclusion
158
Avis aux lecteurs : L’expression “tel que” est utilisée sans accord (comme en anglais).
La ponctuation a été réduite pour avantager le discours mathématique.
”s.p.d.g.” veut dire ”sans perte de généralité ” (similaire à ”w.l.g.” i.e. ”without loss of
generality”). Les raisonnements mathématiques se font à l’aide d’un système de références
locales aux équations concernées. Les fautes éventuelles sont dues à l’auteur, qui aimerait
bien en être informé.
3
TABLE DES MATIÈRES
QUELQUES NOTATIONS
symbole
signifie
n
= {1, 2, . . . , n}
C
I
nombres complexes
IN
nombres naturels : 1, 2, . . .
Q
I
nombres rationnels
IR
nombres réels
ZZ
nombres entiers
θ
neutre d’un espace vectoriel, zéro vectoriel
∪
réunion finie
∪
réunion dénombrable
C 1P M
fonctions continûment différentiables par morceaux
C0
fonctions continues s’annulant à l’infini, i.e. lim f (x) = 0
VP
valeur pricipale de Cauchy d’une intégrale
f
dén.
x→±∞
Chapitre 0
Motivation
Sommaire
0.1
Intégrales de fonctions réglées . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
0.2
Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
0.3
Propriétés importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
0.4
Insuffisance de la théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
0.5
Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1
2
Chapitre 0. Motivation
0.1
Intégrales de fonctions réglées [selon Riemann]
• f est réglée si, pour tout x ∈ IR , f admet en x une limite à gauche et à droite, i.e.
f (x+) ∈ IR et f (x−) ∈ IR .
Exemples : f continue, f monotone, f en escalier (i.e. constante sur des intervalles)
• Rappel : f est réglée sur [a, b] ssi f est limite uniforme de fonctions en escalier
sur [a, b] .
L’intégrale d’une fonction en escalier étant l’aire sous la fonction, on peut prendre
Z b
Z b
f dx := lim
fn dx
n→∞
a
où
f = lim fn uniformément
n→∞
0.2
a
fn en escalier.
Extensions [Intégrales impropres] [f réglée]
• [de la première sorte] f est bornée sur un intervalle non borné :
Z
∞
f dx := lim
a
b→∞
Z
Z
b
f dx ;
a
∞
f dx := lim
a→−∞
−∞
b→∞
• [de la seconde sorte] f n’est pas bornée en c ∈ IR :
Z
c
f dx := lim
b↑c
a
0.3
b
f dx .
a
Propriétés importantes [f réglée]
• Si fn → f uniformément sur [a, b] , alors
Z
• Si
Z
∞
P
b
f dx = lim
n→∞
a
Z
b
fn dx .
a
fn converge uniformément sur [a, b] , alors
n=1
Z
a
b
∞
X
n=1
fn
!
dx =
∞ Z
X
n=1
a
b
fn dx .
Z
a
b
f dx .
3
Chapitre 0. Motivation
0.4
Insuffisance de la théorie
1. Dans un cadre plus large, on a souvent
Z b
Z b
( lim fn ) dx = lim
fn dx
a
n→∞
n→∞
a
pour une convergence simple des fonctions
? Définition élargie de l’intégrale ?
? Fonction intégrable ?
2. Dans le cadre actuel, les fonctions intégrables (i.e. réglées) ne forment pas un
Rb
espace normé complet sous la norme a |f | dx .
Il existe un cadre plus large où c’est vrai.
? Cadre plus large
? Espaces complets de fonctions intégrables
0.5
Perspectives
Pour intégrer les fonctions réglées, on devait mesurer la longueur des intervalles de IR (cfr.
fonctions en escalier) . . .
Par la suite, on étudie
1. les ensembles mesurables
. . . pas toute partie de IR
. . . bien sûr intervalles, ouverts, fermés.
2. la notion de mesure, i.e. fonction donnant la taille d’un ensemble mesurable.
3. les fonctions simples (i.e. constantes sur des ensembles mesurables),
et ensuite mesurables (approximables par des fonctions simples).
4. l’intégrale d’une fonction simple, d’une fonction mesurable.
Chapitre 1
Ensembles et fonctions mesurables
Sommaire
1.1
Définition [σ-algèbre] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2
Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3
σ-algèbre engendrée par un ensemble P ⊂ P(X) . . . . . . .
6
1.4
Exercice [σ-algèbre de Borel] . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.5
Définition [Fonctions mesurables] . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.6
Lemme [Modification des ensembles tests] . . . . . . . . . . .
8
1.7
Exemples de fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.8
Lemme [Combinaisons algébriques] . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.9
Définition
[f +
et
f −]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.11 Lemme [f mesurable] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.12 Proposition [Opérations simples] . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.13 Proposition [Limite inférieure et supérieure] . . . . . . . . . .
15
1.14 Corollaire [Limite] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.15 Somme et troncature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.16 Proposition [Somme] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.17 Proposition [Produit] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.18 Lemme [d’Approximation] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.10 Définition [Mesurable]
4
5
Chapitre 1. Ensembles et fonctions mesurables
1.1
Définition [σ-algèbre]
Soient X un ensemble et P(X) l’ensemble des parties de X .
Une collection A ⊂ P(X) est une σ-algèbre ssi
(i) ∅, X ∈ A ;
(ii) A ∈ A
(iii)
⇒
(An )∞
n=1
Ac ∈ A ;
⊂ A (collection dénombrable)
∞
[
⇒
n=1
An ∈ A .
”A est fermé sous un nombre dénombrable d’opérations ensemblistes.”
Le couple (X, A) est un espace mesurable et toute partie A ∈ A est dite A-mesurable.
Proposition 1.1 Si A est une σ-algèbre et (An )∞
n=1 ⊂ A , alors
∞
\
n=1
Preuve :
Lois de Morgan : I := ensemble d’indices : (Ai )i∈I ⊂ P(X) :
!c
!c
[
\
\
[
Ai =
Aci et
Ai =
Aci .
i∈I
Ainsi
∞
\
n=1
1.2
An
!c
=
∞
[
n=1
i∈I
Acn
|{z}
i∈I
∈ A par (iii)
∈A par (ii)
alors
∈I
⇒
∞
\
n=1
An ∈ A par (ii) .
Exemples [σ-algèbres]
a)
X = ensemble,
b)
X = ensemble,
c)
An ∈ A .
A = P(X) ;
A = {∅, X} ;
n
o
X = IN = {1, 2, · · · } , A = ∅, {1, 3, 5, · · · }, {2, 4, 6, · · · }, IN .
Remarque : X = IR , P = ensemble des intervalles ouverts (a, b) ⊂ IR .
(a, b)c = (−∞, a] ∪ [b, ∞) n’est pas un intervalle ouvert. Donc P n’est pas une σ-algèbre.
Remède : construire la plus petite σ-algèbre contenant P .
6
Chapitre 1. Ensembles et fonctions mesurables
1.3
σ-algèbre engendrée par un ensemble P ⊂ P(X)
Soit ΣP l’ ensemble des σ-algèbres contenant P . On a que ΣP 6= ∅ car P(X) ∈ ΣP .
On a alors
\
AP :=
{A | A ∈ ΣP }
est la plus petite σ-algèbre contenant P appelée σ-algèbre engendrée par P.
• AP est une σ-algèbre car
– ∀ A ∈ ΣP ∅ et X ∈ A
–
–
A ∈ AP
⇒
∅ et X ∈ AP
⇒
∀ A ∈ ΣP
A∈A
⇒
∀ A ∈ ΣP
Ac ∈ A
(An )∞
n=1 ∈ AP
⇒
∀ A ∈ ΣP
⇒
∀ A ∈ ΣP
⇒
n=1
∞
S
(An )∞
n=1 ⊂ A
∞
S
An ∈ A
n=1
An ∈ AP
• AP est la plus petite σ-algèbre car
∀ B ∈ ΣP
1.4
Ac ∈ AP
⇒
AP =
\
{A | A ∈ ΣP } ⊂ B .
Exercice [σ-algèbre de Borel]
a) Soient
P = {(a, b) | intervalles ouverts de IR} , P1 = {ouverts de IR} ,
P2 = {fermés de IR} , P3 = {[a, b] | intervalles fermés de IR} ,
P4 = {(a, b] | intervalles semi-ouverts de IR} , P5 = {(a, ∞) | a ∈ IR} .
Alors
ΣP = ΣPi
∀i∈5,
d’ où
B := AP = APi
∀i∈5.
B est appelée σ-algèbre de Borel et toute partie B ∈ B est appelée un Borélien.
7
Chapitre 1. Ensembles et fonctions mesurables
Preuve :
on montre :
ΣP ⊂ ΣP1 ⊂ ΣP2 ⊂ ΣP3 ⊂ ΣP4 ⊂ ΣP5 ⊂ ΣP .
1
2
3
4
5
6
1
Vrai car avec A une σ-algèbre : P ⊂ A ⇒ P1 ⊂ A
S
En effet, tout ouvert =
d’intervalles ouverts de IR .
dén.
2
Vrai car tout fermé = (ouvert)c :
P1 ⊂ A
⇒
P2 ⊂ A .
3
Vrai car tout [a, b] est fermé.
S
4
Vrai car tout (a, b] =
[a + n−1 , b] .
n≥N
S
5
Vrai car tout (a, ∞) =
(a, a + n] .
n≥N
6
Vrai car tout (a, b) est tel que
(a, b) = (a, ∞) \ [b, ∞) = (a, ∞) ∩ [b, ∞)c = (a, ∞)
"
\ \
n≥N
(b − n−1 , ∞)
#c
b) Soit X = IR = [−∞, ∞] = IR étendu.
∀ E ∈ B , on considère
E1 = E ∪ {∞} ,
E2 = E ∪ {−∞} ,
E3 = E ∪ {−∞, ∞} .
Alors
B = {Boréliens étendus} := {E, E1 , E2 , E3 | E ∈ B}
= σ-algèbre de Borel étendue = la plus petite contenant {(α, ∞] | α ∈ IR} .
Par la suite, (X, A) est un espace mesurable fixe.
1.5
Définition [Fonctions mesurables]
On dit que
f : X → IR (i.e. f : (X, A) → (IR, B) ) est A-mesurable ssi
∀ α ∈ IR {x ∈ X | f (x) > α} = f −1 ((α, ∞)) ∈ A .
On peut modifier la forme des ensembles.
.
8
Chapitre 1. Ensembles et fonctions mesurables
1.6
Lemme [Modification des ensembles tests]
Soit donné (X, A) . Soit f : X → IR .
Les assertions suivantes sont équivalentes :
a)
∀ α ∈ IR ,
Aα = {x ∈ X | f (x) > α} ∈ A ;
b)
∀ α ∈ IR ,
Bα = {x ∈ X | f (x) ≤ α} ∈ A ;
c)
∀ α ∈ IR ,
Cα = {x ∈ X | f (x) ≥ α} ∈ A ;
d)
∀ α ∈ IR ,
Dα = {x ∈ X | f (x) < α} ∈ A .
Preuve :
car
Bα = Acα
c) ⇔ d)
car
a) ⇒ c)
car
Dα = Cαc et Cα = Dαc .
\
Cα =
Aα−n−1
a) ⇔ b)
Aα = Bαc .
et
n≥1
(∀n:
c) ⇒ a)
car
[
Aα =
f (x) > α − n−1
⇔
f (x) ≥ α ).
f (x) ≥ α + n−1
⇔
f (x) > α ).
Cα+n−1
n≥1
(∃n:
Exercice : soit f : (X, A) → (IR, B) . Alors
a)
S = {E ⊆ IR | f −1 (E) ∈ A} est une σ-algèbre.
b)
f est mesurable
⇔
∀E∈B
f −1 (E) ∈ A .
Solution :
a) f −1 commute avec ∩ , ∪ et
1)
c
. Ainsi
f −1 [∅] = ∅ ∈ A et f −1 (IR) = X ∈ A
2)
E∈S
3)
(En )∞
n=1
⇒
∅, IR ∈ S .
f −1 [E c ] = (f −1 [E])c ∈ A ⇒ E c ∈ S .
∞
∞
S
S
−1
En =
f −1 [En ] ∈ A ⇒
⊂S ⇒ f
⇒
b) ⇐: E = (α, ∞) ∈ B
n=1
d’ où ∀ α ∈ IR f
n=1
−1
((α, ∞)) ∈ A
∞
S
n=1
En ∈ S .
d’ où f est mesurable.
⇒ : f est mesurable, d’ où ∀ α ∈ IR f −1 ((α, ∞)) ∈ A . Donc, la σ-algèbre
S contient P5 = {(α, ∞) | α ∈ IR} . Comme B est la plus petite σ-algèbre
contenant P5 , B ⊂ S . Donc ∀ E ∈ B f −1 (E) ∈ A .
Chapitre 1. Ensembles et fonctions mesurables
1.7
9
Exemples de fonctions mesurables
a) Fonction constante, i.e.
car
f (x) = c
∀x∈X
∀α≥c:
{x | f (x) > α} = ∅ ∈ A
∀α<c:
{x | f (x) > α} = X ∈ A

1 si x ∈ A ,
b) Fonction caractéristique de A ∈ A, i.e. χA (x) =
0 sinon.
car avec
α≥1:
{x | χA (x) > α} = ∅ ∈ A ,
1>α≥0:
{x | χA (x) > α} = A ∈ A ,
0>α:
{x | χA (x) > α} = X ∈ A .
c) Avec (X, A) = (IR, B) ,
f : IR → IR continue
d) Avec (X, A) = (IR, B) :
f : IR → IR monotone
car ∀ α ∈ IR : {x ∈ X : f (x) > α} = f −1 ((α, ∞)) = ouvert ∈ B .
Alors f est réglée et possède des sauts et s.p.d.g. f est supposée continue à droite
i.e. f (x) = f (x+) . On traite le cas où f est croissant et admet un saut en s (faire
une figure). Ici f (s) = f (s+) , et ∀ a 6= s f (a) = f (a+) = f (a−) .
Soient β := f (s+) et γ := f (s−) . Alors avec
1.8
i)
α≥β :
f −1 ((α, ∞)) = (a, ∞) ∈ B ;
ii)
β>α≥γ :
f −1 ((α, ∞)) = [s, ∞) ∈ B ;
iii)
γ>α:
f −1 ((α, ∞)) = (a, ∞) ∈ B .
Lemme [Combinaisons algébriques]
Soient f, g : X → IR mesurables et c ∈ IR .
Alors cf , f 2 , |f | , f + g et f g sont mesurables.
Preuve :
a) Si c = 0 ,
cf (x) ≡ 0
constant est mesurable. En outre avec
10
Chapitre 1. Ensembles et fonctions mesurables
c>0:
∀ α ∈ IR :
c<0:
∀ α ∈ IR :
{x ∈ X | cf (x) > α} = x | f (x) > αc ∈ A ,
{x ∈ X | cf (x) > α} = x | f (x) < αc ∈ A .
Donc cf est mesurable.
b) f 2 est mesurable car avec
α<0:
{x ∈ X | f 2 (x) > α} = X ∈ A ,
α≥0:
{x ∈ X | f 2 (x) > α} =
√
√
{x ∈ X | f (x) > α} ∪ {x ∈ X | f (x) < − α} ∈ A .
{z
} |
{z
}
|
∈A
∈A
c) |f | est mesurable car avec
α<0:
{x ∈ X | |f (x)| > α} = X ∈ A ,
α≥0:
{x ∈ X | |f (x)| > α} =
{x ∈ X | f (x) > α} ∪ {x ∈ X | f (x) < −α} ∈ A .
|
{z
} |
{z
}
∈A
∈A
d) f + g est mesurable. En effet avec α ∈ IR , soit ∀ r ∈ Q
I (rationnel),
Sr := {x | f (x) > r} ∩ {x | g(x) > α − r} .
Alors Sr ∈ A et
{x | f (x) + g(x) > α} =
car
f (x) + g(x) > α
[
r ∈Q
I
Sr ∈ A ,
|{z}
∈A
⇔
f (x) > α − g(x)
⇔
∃ r ∈Q
I tel que f (x) > r
⇔
⇔
∃ r ∈Q
I tel que f (x) > r > α − g(x)
∃ r ∈Q
I tel que x ∈ Sr .
e) f g est mesurable car f g = 41 {(f + g)2 − (f − g)2 } mes
| {z } | {z }
mes
mes
. . . Travailler avec des fonctions positives. . .
et
g(x) > α − r
11
Chapitre 1. Ensembles et fonctions mesurables
1.9
Définition [f + et f − ]
Soit f : X → IR . On appelle partie positive (respectivement négative) de f la
fonction f + (x) := sup(f (x), 0) (resp. f − (x) := sup(−f (x), 0) ) .
e.g. considérer f (x) = sin x .
Ainsi
f = f+ − f− ,
|f | = f + + f − ,
d’ où
1
[|f | + f ] ,
2
ce qui entraı̂ne le lemme suivant.
f+ =
f− =
1
[|f | − f ] ,
2
(*)
(**)
Lemme :
f:
(X, A) → (IR, B)
⇔
Preuve :
⇒:
f mesurable
⇐:
⇒
f + , f − mesurables
f + et f − sont mesurables.
|f | mesurable
(∗)
=⇒
est mesurable
(∗∗)
=⇒
f + , f − mesurables
f mesurable
. . . Souvent on a besoin de fonctions dans IR car on prend des limites, suprema, etcetera.
On considère alors (IR, B) au lieu de (IR, B) .
1.10
Définition [Mesurable]
Une fonction f : X → IR (i.e. f : (X, A) → (IR, B) ) est A-mesurable ssi
∀ α ∈ IR
f −1 ((α, ∞]) = {x ∈ X | f (x) > α} ∈ A .
On note
M(X, A) := {f : X → IR | f est A-mesurable}.
12
Chapitre 1. Ensembles et fonctions mesurables
1.11
Lemme [f mesurable]
f : X → IR est A-mesurable
⇔ (a) A := {x | f (x) = ∞} ∈ A
B := {x | f (x) = −∞} ∈ A
(b)
où

0
f1 (x) =
f (x)
f1 : X → IR est A-mesurable
si x ∈ A ∪ B
sinon
=
On a besoin de deux résultats :

0
f (x)
si f (x) = ±∞
si f (x) ∈ IR
.
Assertion 1 :
∀α≥0
{x | f1 (x) > α} = {x | f (x) > α} \ A ,
∀α≥0
{x | f (x) > α} = {x | f1 (x) > α} ∪ A ,
∀α<0
{x | f1 (x) > α} = {x | f (x) > α} ∪ B .
Assertion 2 :
∀α<0
{x | f (x) > α} = {x | f1 (x) > α} \ B .
Preuve des Assertions : Noter que
f1 (x) 6= 0
⇒
f (x) ∈ IR
⇔
f1 (x) = f (x) .
Observer ensuite
∀α≥0
{x | f (x) > α}
˙
= {x | f (x) ∈ IR , f (x) > α} ∪{x
| f (x) = ∞}
= {x | f1 (x) > α} ∪˙ A ,
∀α<0
(1)
{x | f (x) ≤ α}
˙
= {x | f (x) ∈ IR , f (x) ≤ α} ∪{x
| f (x) = −∞}
= {x | f1 (x) ≤ α} ∪˙ B .
(2)
13
Chapitre 1. Ensembles et fonctions mesurables
En prenant le complément de (2) on obtient :
∀α<0
{x | f (x) > α} = {x | f1 (x) > α} \ B .
(3)
L’Assertion 2 suit de (1) et (3) . Soustraire alors de (1) l’ensemble A et ensuite soustraire
de (2) l’ensemble B donne :
∀α≥0
∀α<0
{x | f1 (x) > α} = {x | f (x) > α} \ A ,
(4)
{x | f1 (x) ≤ α} = {x | f (x) ≤ α} \ B ,
d’où en prenant le complément du dernier ensemble :
∀α<0
{x | f1 (x) > α} = {x | f (x) > α} ∪ B .
L’Assertion 1 suit de (4) et (5) .
Preuve du Lemme 1.11 :
⇒:
f ∈ M(X, A) ⇒
\
• A=
{x | f (x) > n} ∈ A ;
|
{z
}
n∈IN
•
Bc =
[
∈A
n∈IN
{x | f (x) > −n} ∈ A
{z
}
|
d’où
∈A
• Par l’assertion 1
∀ α ∈ IR {x | f1 (x) > α} ∈ A :
⇐:
B ∈ A;
f1 est mesurable.
Par l’assertion 2 et les conditions (a)-(b)
1.12
∀ α ∈ IR
{x | f (x) > α} ∈ A :
f est mesurable.
Proposition [Opérations simples]
Soient f ∈ M(X, A) et c ∈ IR .
Alors cf , f 2 , |f | , f + , f − ∈ M(X, A) .
NB : Convention :
0 ( ±∞ ) := 0 .
Ainsi la définition de fonctions ne posera pas de problèmes.
(5)
14
Chapitre 1. Ensembles et fonctions mesurables
Preuve de la Proposition 1.12 : suit des Lemmes 1.8 [Opérations algébriques], 1.9
[ f + , f − mesurables], et 1.11 [ A, B, f1 mesurables]. On se restreint à deux cas type.
Cas de cf où c = ∞ et f ∈ M (X, A) : alors



f (x) > 0

∞
(cf )(x) = 0
f (x) = 0 .



−∞
f (x) < 0
Ainsi
A = {x | (cf )(x) = ∞} = {x | f (x) > 0}
= {x | f1 (x) > 0} ∪ A ∈ A ,
B = {x | (cf )(x) = −∞} = {x | f (x) < 0}
= {x | f1 (x) < 0} ∪ B ∈ A .
En outre g : X → IR
est tel que

0
si x ∈ A ∪ B
g(x) =
cf (x)
sinon
=
Ainsi g(x) ≡ 0 est mesurable.
Il suit que cf ∈ M(X, A) par 1.11.
Cas de |f | :

0
0
si f (x) 6= 0
si f (x) = 0
.
Par 1.11, il suffit que
A := {x | |f (x)| = ∞} ∈ A ,
B := {x | |f (x)| = −∞} ∈ A ,
et
g : X → IR mesurable
où
g(x) =

0
|f (x)|
si x ∈ A ∪ B
sinon
.
On a que B = ∅ ∈ A , A = {x | f (x) = ∞} ∪ {x | f (x) = −∞} = A ∪ B ∈ A , et
g(x) = |f1 (x)| est mesurable par 1.8.
Il suit que |f | ∈ M(X, A) par 1.11.
NB : cas f 2 analogue (exercice).
15
Chapitre 1. Ensembles et fonctions mesurables
1.13
Soit
Proposition [Limite inférieure et supérieure]
(fn )∞
1 ⊂ M(X, A) et soient
f (x) := inf fn (x) ,
F (x) := sup fn (x) ,
n∈IN
f ∗ (x) := lim inf fn (x) ,
n→∞
n∈IN
F ∗ (x) := lim sup fn (x) .
n→∞
Alors f , F , f ∗ et F ∗ ∈ M(X, A) .
Preuve :
a)
b)
c)
d)
1.14
Soit
∀
{x | f (x) > α} =
∃
n
∗
{x | fn (x) > α} ∈ A . Ainsi f ∈ M ;
n≥1
{x | F (x) > α} =
[
{x | fn (x) > α} ∈ A . Ainsi F ∈ M ;
n≥1
o
f (x) = sup inf fm (x) ∈ M , b) ;
m≥n
n
| {z }
∈M , a)
o
F ∗ (x) = inf sup fm (x) ∈ M , a) .
n
m≥n
| {z }
n
∈M , b)
Corollaire [Limite]
(fn )∞
1 ⊂ M(X, A)
∀x∈X
Alors
\
tel que
lim fn (x) = f (x)
n→∞
(convergence simple).
f ∈ M(X, A) .
Preuve :
en effet, f (x) = lim inf fn (x) = lim sup fn (x) ∈ M par 1.13.
16
Chapitre 1. Ensembles et fonctions mesurables
1.15
Somme et troncature
Définition : Soient f et g deux fonctions de X dans IR . Soient
E1 :
E2 :
E:
= {x | f (x) = +∞ , g(x) = −∞} ,
= {x | f (x) = −∞ , g(x) = +∞} ,
= E1 ∪ E2 .
Alors la somme de f et g est donnée par

0
si x ∈ E
(f + g)(x) :=
f (x) + g(x) sinon
NB. Ainsi f +g : X → IR bien définie (noter que :
.
∞+∞ = ∞ ,
−∞−∞ = −∞ ).
Définition : Soit f : X → IR et n ∈ IN . Alors la n-troncature de f , notée fn , est
donnée par



si f (x) > n

n
fn :
X → IR tel que fn (x) :=
f (x) si n ≥ f (x) ≥ −n .



−n
si − n > f (x)
Lemme :
f ∈ M(X, A)
Si
alors
1.
∀x∈X
2.
∀ n ∈ IN fn : X → IR
f (x) = lim fn (x)
n→∞
(conv. simple) ;
est mesurable.
Preuve :
1.
2.
est évident.
i
h
fn (x) = inf sup(f (x), −n), n ∈ M , 1.13.
{z
}
|
∈M , 1.13
1.16
Proposition [Somme]
f, g ∈ M(X, A)
=⇒
f + g ∈ M(X, A) .
17
Chapitre 1. Ensembles et fonctions mesurables
Preuve :
Avec fn et gn n-troncatures de f et g :
∀ x ∈ E1 ∀n fn (x) + gn (x) = n − n = 0 = (f + g)(x)
∀ x ∈ E2 ∀n fn (x) + gn (x) = −n + n = 0 = (f + g)(x)
∀ x ∈ E c = E1c ∩ E2c avec f (x) et g(x) de même signe s’ ils sont simultanément infinis :
(f + g)(x) := f (x) + g(x) = lim fn (x) + lim gn (x) = lim[fn + gn ](x) .
Donc ∀ x ∈ X
1.17
(f + g)(x) = lim (fn + gn )(x) ∈ M par 1.14.
n→∞
Proposition [Produit]
f, g ∈ M(X, A)
=⇒
f g ∈ M(X, A) .
Preuve :
avec fm et gn troncatures de f et g :
∀ m, n fm gn ∈ M par 1.8 et ∀ n f gn = lim fm gn ∈ M
m
Il s’ ensuit que f g = lim f gn ∈ M par 1.14 .
par 1.14 .
n
Soit
M + (X, A) := {f | X → IR+ , f ∈ M(X, A)} .
. . . Toute fonction f ∈ M + est limite simple croissante de fonctions φn simples mesurables
à valeurs dans IR+ .
1.18
Lemme [d’Approximation]
Soit f ∈ M + (X, A) .
+
Alors ∃ (φn )∞
1 ⊂ M (X, A) tel que
a)
∀ n ∈ IN ∀ x ∈ X
φn (x) ≤ φn+1 (x) ;
b)
∀x∈X
c)
tout φn prend au plus un nombre fini de valeurs dans IR+ .
f (x) = lim φn (x)
n→∞
(conv. simple).
18
Chapitre 1. Ensembles et fonctions mesurables
Preuve :
a) Définition des φn
Considérer les nombres dyadiques dans IR+ , i.e. du type
k2−n n ∈ IN
k = 0, 1, 2, · · · (donc k2−n = n ⇔ k = n 2n ).
Partitionner l’espace d’arrivée IR+ par


n
n2 −1

IR+ = [0, n) ∪˙ [n, ∞] =  ∪˙ [k 2−n , (k + 1) 2−n ) ∪˙ [n, ∞]
| {z }
{z
}
k=0 |
sous-int. de long. 2−n
Définir

f −1 ([k 2−n , (k + 1) 2−n )) ,
E(k, n) :=
f −1 ([n, ∞]) ,
.
(A)
int. terminal
k = 0, 1, · · · , n2n − 1 ,
k = n2n .
Noter que les E(k, n) ∈ A car f est mesurable et les E(k, n) sont des réciproques
de Boréliens étendus.
d’ où en appliquant f −1 à (A)
Noter que ∀ x ∈ X f (x) ∈ IR+
n2n
X = ∪˙ E(k, n) .
k=0
(B)
On définit alors
φn (x) := k2−n
où k prend une seule valeur
si x ∈ E(k, n)
k = 0, 1, · · · , n2n , d’ où encore
n
φn (x) =
n2
X
k 2−n χE(k,n)(x) .
(C)
k=0
NB.
φn (x) est une approximation minorante de f (x) :
cas type f (x) < n : alors x ∈ E(k, n) tel que f (x) ∈ [k 2−n , (k + 1) 2−n ) , d’ où
φn (x) = k 2−n . Il suit que φn (x) ≤ f (x) .
b) Par (C) il suit que φn prend au plus un nombre fini de valeurs dans IR+ . En outre
φn ∈ M + (X, A) .
c) Les φn sont croissants i.e. ∀ x ∈ X
φn (x) ≤ φn+1 (x) .
19
Chapitre 1. Ensembles et fonctions mesurables
En effet par (B) et (C)
∀x∈X
∃! k
tel que x ∈ E(k, n)
∃! l
tel que x ∈ E(l, n + 1)
⇒
φn (x) = k 2−n ,
⇒
φn+1(x) = l 2−(n+1) .
On trouve alors
l≥2k.
(D)
En effet (D) est vrai pour toute position de f (x) :
(I)
f (x) ≥ n + 1 > n
⇒ f (x) ∈ [n + 1, ∞] ⊂ [n, ∞]
⇒ l = (n + 1) 2(n+1)
et k = n 2n
⇒ l ≥ n 2(n+1) = 2 n 2n = 2 k
(II)
n + 1 > f (x) ≥ n
⇒ f (x) ∈ [l 2−(n+1) , (l + 1) 2−(n+1) ) ⊂ [n, ∞]
⇒ k = n 2n
l 2−(n+1) ≥ n ,
et
⇒ l ≥ n 2(n+1) = 2 k .
(III)
n + 1 > n > f (x)
⇒ f (x) ∈ [l 2−(n+1) , (l + 1) 2−(n+1) ) ⊂ [k 2−n , (k + 1) 2−n ) ,
|
{z
}
⇒l2
⇒
−(n+1)
demi-intervalle
−n
≥k 2
,
l≥2k.
Par (D) on a finalement
φn (x) = k 2−n = 2k 2−(n+1) ≤ l 2−(n+1) = φn+1 (x) CQFD .
d)
f (x) = lim φn (x)
n→∞
Noter que
• f (x) = ∞
•
⇒
∀ n φn (x) = n
⇒
lim φn (x) = ∞ = f (x) .
n→∞
f (x) < ∞ ⇒ pour n suffisamment grand f (x) < n tel que
|f (x) − φn (x)| = f (x) − φn (x) ≤ 2−n → 0 ( n → ∞ ) .
20
Chapitre 1. Ensembles et fonctions mesurables
Remarques
1. Fonctions à valeurs complexes
Soient (X, A) un espace mesurable et f : X → C
I = IR + i IR
Alors f = f1 + if2 où f1 = Ref et f2 = Imf tel que pour i = 1, 2
Définition : f est mesurable ssi f1 et f2 sont mesurables.
NB.
fi : X → IR .
Somme, produit, limites mesurables.
2. Fonctions entre espaces mesurables
Définition : f : (X, A) → (Y, B) est mesurable ssi ∀ B ∈ B
Exercice :
f : (IR, B) → (IR, B)
f −1 (B) ∈ A .
réglée est mesurable.
Solution :
f = lim f[−k,k] ,
k→∞
où ∀ k f[−k,k] est limite uniforme de fonctions en escalier (mesurables).
Alors ∀ k f[−k,k] est mesurable d’où f est mesurable.
Chapitre 2
Mesures
Sommaire
2.1
Définition [Mesure (finie ou σ-finie)] . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.2
Exemples de mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.3
Lemme [de Monotonie] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.4
Lemme [de Continuité Monotone]
24
2.5
Définitions [Espaces mesurés (complets) ; Vrai presque partout] 26
2.6
Définition [Mesure signée ou charge] . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.7
Proposition [Complet et p.p.] . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.8
Proposition [σ-fini et approximation]
28
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
Objectif
Ayant un espace mesurable (X, A) , définir la taille d’un ensemble mesurable i.e. sa mesure.
21
22
Chapitre 2. Mesures
2.1
Définition [Mesure (finie ou σ-finie)]
Soit (X, A) un espace mesurable.
a) Une fonction d’ensembles
i)
µ(∅) = 0 ;
ii)
µ(A) ≥ 0 ∀ A ∈ A ;
µ : A → IR
est une mesure ssi
[ σ-additivité] ∀ (An )∞
n=1 ⊂ A où les An sont deux à deux disjoints
X
∞
∞
µ(An ) .
µ ∪˙ An =
iii)
n=1
n=1
NB. On peut avoir
• µ(A) = ∞ .
•
∞
X
n=1
µ(An ) = ∞ i.e.
∃ n tel que µ(An ) = ∞
ou
∀ n µ(An ) < ∞
et
∞
X
n=1
µ(An ) = ∞ .
b) Une mesure µ : A → IR+ est finie ssi ∀ A ∈ A µ(A) < ∞ .
Elle est σ-finie ssi
∃ (An )∞
1 ⊂ A tel que ∀ n µ(An ) < ∞
NB.
2.2
et
∞
X = ∪ An .
n=1
S.p.d.g. les An sont croissants ou deux à deux disjoints.
Exemples de mesures
i) Mesure de Dirac : (X, A) = (IR, B) ,
∀E∈B
p ∈ IR . Mesure définie par :

1
si p ∈ E
µ(E) =
.
0
sinon
: noter que {p} = fermé ∈ B tel que µ({p}) = 1 .
: mesure finie.
ii) Mesure discrète (de comptage) : (X, A) = (IN, P(IN)) . Mesure définie par :
∀ A ∈ A µ(A) = #A .
: mesure σ-finie.
23
Chapitre 2. Mesures
iii) Mesure de Borel (par extension : de Lebesgue) : (X, A) = (IR, B) .
On sait que : ∃! mesure ℓ : B → IR tel que ∀ a, b ∈ IR avec b ≥ a
ℓ((a, b]) = b − a .
: mesure de longueur.
IR = ∪ (−n, n] ; pas finie.
: σ-finie car
n∈IN
: mesure utilisée sur IR par la suite.
: Important (exercice) : ∀ a ∈ IR ℓ({a}) = 0 tel que
b − a = ℓ((a, b]) = ℓ((a, b)) = ℓ([a, b)) = ℓ([a, b]) .
∀ a, b ∈ IR avec b > a
iv) Mesure de Borel-Stieltjes (par extension : de Lebesgue-Stieltjes) :
(X, A) = (IR, B) .
Considérer f : IR → IR croissante tel que ∀ x ∈ IR f (x) = f (x+) .
On sait que : ∃! mesure ℓf : B → IR+ tel que ∀ a, b ∈ IR avec b ≥ a
ℓf ((a, b]) = f (b) − f (a) .
NB.
• Si
• Si
alors
2.3
f (x) = x , on retrouve la mesure de Borel.

1
x≥0
f (x) = 11(x) =
, (fonction de Heaviside),
0
x<0
ℓf ({0}) = 1 .
Lemme [de Monotonie]
Soit µ une mesure sur (X, A) et soient E, F ∈ A .
Alors,
a)
E⊂F
b)
Si en outre
Preuve :
⇒
µ(E) ≤ µ(F ) .
µ(E) < ∞ , alors µ(F \ E) = µ(F ) − µ(E) .
˙
F = E ∪(F
\ E)
⇒
µ(F ) = µ(E) + µ(F \ E) .
24
Chapitre 2. Mesures
2.4
Lemme [de Continuité Monotone]
Soit µ une mesure sur (X, A) .
Alors
a)
b)
(En )∞
n=1⊂ A croissante i.e. ∀ n
∞
⇒ µ ∪ En = lim µ(En ) .
n=1
∞
(Fn )n=1 ⊂ A
∞
T
⇒
µ
n=1
En ⊂ En+1
n→∞
décroissante i.e. ∀ n
Fn = lim µ(Fn ) ∈ IR+ .
Fn ⊃ Fn+1
µ(F1 ) < ∞
et
n→∞
Preuve :
a) On distingue deux cas :
Cas 1 : ∃ m ∈ IN tel que
Alors
∞
Em ⊂ ∪ En
n=1
et
µ(Em ) = ∞
µ(Em ) ≤ µ
=⇒
2.3
∀n≥m
Em ⊂ En
∞
∪ En
n=1
=⇒
µ(Em ) ≤ µ(En )
=⇒
2.3
Dès lors
lim µ(En ) = ∞ = µ
n→∞
⇒
∞
∪ En = ∞ ,
∞
n=1
µ(En ) = ∞ .
∪ En
n=1
µ
.
Cas 2 : ∀ n µ(En ) < ∞
Avec (En )∞
n=1 croissante, on construit une réunion disjointe en définissant :
E0 := ∅
Alors ∀ m
et avec m → ∞
et
An := En \ En−1
m
m
n=1
n=1
∞
∞
n=1
n=1
∪ En = ∪˙ An ,
∪ En = ∪˙ An .
∀n≥1 .
25
Chapitre 2. Mesures
Ainsi par σ-additivité
X
∞
∞
∞
µ(An )
µ ∪ En = µ ∪˙ An =
n=1
n=1
= lim
m→∞
= lim
m→∞
n=1
m
X
µ(An ) = lim
m→∞
n=1
m
X
n=1
m
X
n=1
µ(En \ En−1 )
(µ(En ) − µ(En−1)) = lim µ(Em ) = lim µ(En ) .
m→∞
n→∞
b) Avec (Fn )∞
n=1 décroissante et µ(F1 ) < ∞
Fn ⊂ F1
∞
⇒
∩ Fn ⊂ F1
⇒
n=1
µ(Fn ) ≤ µ(F1 ) < ∞ ,
∞
µ ∩ Fn ≤ µ(F1 ) < ∞ .
n=1
Poser En = F1 \ Fn . Alors (En )∞
n=1 croissante tel que
∞
µ ∪ En = lim µ(En ) ,
n=1
où µ(En ) = µ(F1 ) − µ(Fn )
| {z } | {z }
<∞
∞
(A)
n→∞
et avec
<∞
∞
∞
∪ En = ∪ [F1 \ Fn ] = ∪ [F1 ∩ Fnc ] = F1 ∩
n=1
n=1
n=1
∞
∞
µ ∪ En = µ(F1 ) − µ ∩ Fn .
n=1
2.3 | {z }
{z }
| n=1
<∞
∞
∪ Fnc = F1 \ ∩ Fn ,
∞
n=1
n=1
<∞
Ainsi par (A)
µ(F1 ) − µ
d’où
µ
Exercice :
si
∞
∩ Fn = µ(F1 ) − lim µ(Fn ) ,
n=1
n→∞
∩ Fn = lim µ(Fn ) décroissante et < ∞ .
∞
n=1
n→∞
(An )∞
1 ⊂ A ,
alors
µ
∞
X
µ(An ) . (σ-sous-additivité)
∪ An ≤
∞
n=1
Solution : obtenir une réunion disjointe. Poser
E1 := A1
Alors
Ainsi
et
En := An \
∞
∞
n=1
n−1
∪ Aj
j=1
∪ An = ∪˙ En . En outre ∀ n En ⊂ An .
n=1
n=1
X
∞
∞
∞
∞
X
µ(En ) ≤
µ(An ) .
µ ∪ An = µ ∪˙ En =
n=1
n=1
n=1
n=1
∀n ≥ 2 .
26
Chapitre 2. Mesures
2.5
Définitions [Espaces mesurés (complets) ;
Vrai
presque partout]
1. Un espace mesuré est un triplet (X, A, µ) où (X, A) est un espace mesurable et µ
une mesure sur A , e.g. avec ℓ :=mesure de Borel, (IR, B, ℓ) := espace mesuré de
Borel.
2. Un espace mesuré (X, A, µ) est complet ssi
B ⊂ A où A ∈ A et µ(A) = 0
⇒
B∈A
et
µ(B) = 0 .
Exemple : espace mesuré de Lebesgue sur IR , extension de l’espace mesuré de Borel
(IR, B, ℓ) : sera vu plus tard.
3. Une propriété P est vraie µ-presque partout (p.p.) ssi P tient partout sauf sur
un ensemble mesurable de mesure nulle, e.g. avec f, g, fn : X → IR :
(a)
f = g p.p. ⇔
µ({x ∈ X | f (x) 6= g(x)}) = 0 ;
|
{z
}
∈A
(b)
f = lim fn p.p.
n→∞
⇔
µ({x ∈ X | f (x) 6= lim fn (x)}) = 0 ,
|
{z n→∞
}
∈A
où
{x ∈ X | f (x) 6= lim fn (x)} :=
n→∞
[
{x ∈ X | f (x) 6= lim sup fn (x)} {x ∈ X | f (x) 6= lim inf fn (x)} .
n→∞
n→∞
Remarque importante
Soit (X, A, µ) un espace mesuré.
Soit P une propriété du type “relation d’ordre”, “convergence”, ou “limite (supérieure
ou inférieure) d’ une suite” faisant intervenir des fonctions de X dans IR .
Supposons que a) toutes les fonctions qui interviennent sont A-mesurables,
ou b) (X, A, µ) est un espace mesuré complet.
Alors P est vraie µ-presque partout
⇔
Il existe un ensemble N ∈ A tel que µ(N) = 0 et P est vraie sur N c .
(Soit E ⊂ X l’ensemble d’exception (i.e. où P n’est pas vraie). Noter que :
sous a) E ∈ A , et sous b) E ∈ A dès que E ⊂ N ∈ A tel que µ(N) = 0)
. . . Il est parfois désirable que la mesure d’un ensemble soit négative. . . On évite ±∞ .
27
Chapitre 2. Mesures
2.6
Définition [Mesure signée ou charge]
Soit (X, A) un espace mesurable. Une fonction d’ensembles
mesure signée ou une charge ssi
(i)
λ(∅) = 0 ;
(ii)
[ σ-additivité absolue]
λ
∞
∪˙ An
n=1
∀ (An )∞
n=1 ⊂ A
=
∞
X
λ : A → IR
est une
où les An sont deux à deux disjoints
∞
X
λ(An ) tel que
n=1
n=1
|λ(An )| < ∞
(⋆)
NB. (⋆) ⇒ série indépendante de l’arrangement des termes.
On termine le chapitre en traitant quelques cas particuliers qui seront utiles plus tard.
2.7
Proposition [Complet et p.p.]
Soit (X, A, µ) un espace mesuré complet.
Soient f ∈ M(X, A)
(fn )∞
1 ⊂ M(X, A)
g=f
p.p.
et
et
g, h : X → IR
h = lim fn
tel que
p.p.
n→∞
Alors
g et h ∈ M(X, A) .
Preuve :
a) On a E := {x | g(x) 6= f (x)} ∈ A , µ(E) = 0 , et X = E ∪˙ E c .
Avec α ∈ IR on obtient :
{x | g(x) > α} = ({x | g(x) > α} ∩ E) ∪˙ ({x | g(x) > α} ∩ E c )
Ec ) ∈ A .
= ({x | g(x) > α} ∩ E) ∪˙ ({x | f (x) > α} ∩ |{z}
|
{z
}
{z
}
|
∈A , f ∈M
∈A , (X,A,µ) complet
Il suit que g ∈ M .
b) On a que
E := {x | h(x) 6= lim fn (x)} ∈ A
h(x) = lim fn (x)
n→∞
n→∞
et
µ(E) = 0 . En outre sur E c
d’ où
hχE c = lim fn χE c
n→∞
∈A
où fn χE c ∈ M .
28
Chapitre 2. Mesures
Ainsi hχE c ∈ M par 1.14. Voir alors que
x ∈ Ec
⇒
χE c (x) = 1
⇒
h(x) = (hχE c )(x) .
Ainsi
F := {x | h(x) 6= (hχE c )(x) } ⊂ E ∈ A où µ(E) = 0 .
Comme (X, A, µ) est complet
F ∈A
µ(F ) = 0 .
hχE c ∈ M . Il suit par a) que h ∈ M .
Il suit que h = hχE c p.p. où
2.8
et
Proposition [σ-fini et approximation]
Soit (X, A, µ) un espace mesuré où µ est σ-finie. Soit f ∈ M + (X, A) .
+
Alors ∃ (fn )∞
n=1 ⊂ M (X, A) simples tel que
∀x∈X
f (x) = lim fn (x) croissante
où
n
∀ n ∈ IN fn (x) =
avec
∀ k = 0, 1, · · · , n2n
Preuve :
(A)
n→∞
Comme µ est σ-finie
∀ n µ(En ) < ∞ ,
n2
X
k2−n χEkn (x)
(B)
k=0
Ekn ∈ A tel que
∃ (En )∞
1 ⊂ A
∞
X = ∪ En
n=1
et
µ(Ekn ) < ∞
tel que
En ⊂ En+1
∀n.
n
(Si les En ne sont pas croissants, remplacer chaque En par ∪ Em )
m=1
Considérer les approximants de 1.18 i.e.
n
φn (x) =
n2
X
k2−n χE(k,n)(x) .
k=0
Définir
Ekn := E(k, n) ∩ En ∈ A
| {z } |{z}
∈A
et
fn := φn χEn .
∈A
Alors µ(Ekn ) ≤ µ(En ) < ∞ et χE(k,n) χEn = χE(k,n)∩En = χEkn . On obtient (B) .
29
Chapitre 2. Mesures
En outre fn ∈ M + (X, A) simples.
Voir alors que φn ր f et En ր ∪ En = X ⇒ χEn ր 1 .
Il suit que fn = φn χEn ր f · 1 = f et on obtient (A) .
NB.
Les approximants sont intégrables, c’est-à-dire (plus tard)
Z
n
X
|fn (x)| dµ(x) =
(B)
n2
X
k=0
k2−n µ(E) < ∞ .
Chapitre 3
Intégrales de fonctions non-négatives
Sommaire
3.1
Définition [Fonctions simples mesurables] . . . . . . . . . . . .
31
3.2
Définition [Intégrale d’une fonction simple] . . . . . . . . . . .
31
Proposition [Intégrale d’une fonction simple] . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.3
Lemme [de Linéarité et de l’Intégrale Indéfinie] . . . . . . . .
32
3.4
Définition [Intégrales de fonctions non-négatives] . . . . . . .
34
3.5
Lemme [de Monotonie] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.6
Corollaire [Finie p.p.] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.7
Théorème [de Convergence Monotone]
. . . . . . . . . . . . .
35
3.8
Corollaire [de Linéarité]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
3.9
Lemme [de Fatou] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.10 Corollaire [Intégrale Indéfinie] . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.11 Proposition [Annulation de l’intégrale]
. . . . . . . . . . . . .
39
3.12 Proposition [ensembles nuls ou égalité p.p.] . . . . . . . . . . .
40
3.13 Définition [Mesure absolument continue] . . . . . . . . . . . .
41
3.14 Proposition [Intégrale Indéfinie] . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
3.15 Théorème [de Radon] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
3.16 Corollaire [Convergence Monotone p.p.] . . . . . . . . . . . . .
42
3.17 Corollaire [Intégrale d’une série] . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.18 Définition [Intégrale d’une fonction] . . . . . . . . . . . . . . .
43
30
31
Chapitre 3. Intégrales de fonctions non-négatives
Objectif
Étant donné un espace mesuré (X, A, µ) et f ∈ M + (X, A) définir
Z
Z
f dµ =
f (x) dµ(x) ∈ IR+
X
3.1
X
Définition [Fonctions simples mesurables]
Une fonction φ : X → IR est simple ssi elle prend au plus un nombre fini de valeurs
dans IR .
P
Une fonction simple mesurable est de la forme φ = nj=1 aj χEj i.e. combinaison
linéaire de fonctions caractéristiques où ∀ j ∈ n aj ∈ IR et Ej ∈ A et les Ej sont
deux à deux disjoints.
Une telle fonction admet une seule forme standard i.e. tel que les aj sont distincts et
n
X = ∪˙ Ej .
j=1
3.2
Définition [Intégrale d’une fonction simple]
Soit φ ∈ M + (X, A) simple de forme standard φ =
Z
NB.
φ dµ :=
X
n
X
aj µ(Ej )
Z
et
R
X
La convention 0 (±∞) := 0
j=1
aj χEj et soit A ∈ A . Alors
φ dµ :=
A
j=1
Il se peut que
Pn
φ dµ = ∞ .
⇒
si φ = 0 alors
Z
Z
φ χA dµ .
X
φ dµ = 0 .
X
Proposition [Intégrale d’une fonction simple]
Si φ ∈ M + (X, A)
Alors
Z
est simple tel que
φ dµ =
X
Il suit que
n
X
aj µ(Ej )
φ=
et
Z
Pn
j=1
φ dµ =
A
j=1
µ(A) = 0
⇒
aj χEj
Z
A
n
X
j=1
φ dµ = 0
et
A∈A.
aj µ(Ej ∩ A) .
32
Chapitre 3. Intégrales de fonctions non-négatives
Preuve :
n
a) On peut supposer que s.p.d.g. ∪˙ Ej = X (sinon définir E = ∪˙ Ej ,
j=1
j∈n
En+1 =
E c et an+1 = 0). Comme les aj ne sont pas nécessairement distincts, φ n’est pas
nécessairement de forme standard, d’ où nécessité d’ affiner.
Soit bk , k ∈ m , une énumération des aj distincts.
Soit Ik := {j ∈ n | aj = bk }
Soit Fk := ∪˙ Ej ∈ A
d’ où
k∈m
X = ∪˙ Fk .
d’ où
j∈Ik
n = ∪˙ Ik .
k∈m
Alors la forme standard de φ est donnée par φ =
P
bk χFk
d’ où
k∈m
R
X
P
φ dµ :=
bk µ(Fk )
k∈m
=
P
P
bk
j∈Ik
k∈m
b)
φ χA =
n
P
aj χEj
j=1
!
µ(Ej ) =
χA =
aj µ(Ej ) =
n
P
aj χEj ∩A
P
aj µ(Ej ) .
j∈n
k∈m j∈Ik
d’ où par a)
j=1
Z
φ dµ =
A
3.3
P P
n
X
j=1
aj µ(Ej ∩ A) .
Lemme [de Linéarité et de l’Intégrale Indéfinie]
a) [Linéarité] Soient φ et ψ ∈ M + (X, A) simples et c ∈ IR+ .
Alors
Z
cφ dµ = c
Z
φ dµ
et
Z
[φ + ψ] dµ =
b) L’intégrale indéfinie de φ ∈ M + simple i.e.
λ : A → IR+ :
est une mesure.
A 7→ λ(A) :=
Z
Z
φ dµ +
φ dµ
A
Z
ψ dµ .
33
Chapitre 3. Intégrales de fonctions non-négatives
Preuve :
1. On traite d’abord le produit par une constante , puis la somme.
Produit par c : On suppose que φ est de forme standard.
Le cas c = 0 étant évident, on regarde c > 0 : alors c φ ∈ M + est de forme standard
P
cφ=
c aj χEj et
j∈n
Z
c φ dµ =
n
X
c aj µ(Ej ) = c
j=1
Z
φ dµ .
Somme : On admet que φ et ψ sont de forme standard
X
X
φ=
aj χEj et ψ =
bk χFk .
j∈m
Alors
φ+ψ =
k∈n
XX
j∈m k∈n
où
(aj + bk ) χEj ∩Fk ∈ M + (X, A)
X = ∪˙ Ej = ∪˙ Fk =
j∈m
k∈n
Ej = ∪˙ (Ej ∩ Fk ) ,
∪˙
(j,k)∈m×n
Ej ∩ Fk ,
Fk = ∪˙ (Ej ∩ Fk ) .
j∈m
k∈n
Ainsi, par la Proposition 3.2
Z
XX
(φ + ψ) dµ =
(aj + bk ) µ(Ej ∩ Fk )
j∈m k∈n
=
aj
X
aj µ(Ej ) +
j∈m
=
X
X
k∈n
µ(Ej ∩ Fk ) +
j∈m
=
Z
φ dµ +
X
X
k∈n
bk
X
j∈m
µ(Ej ∩ Fk )
bk µ(Fk )
k∈n
Z
ψ dµ .
P
2. On admet que φ est de forme standard φ = nj=1 aj χEj . Par la proposition 3.2,
P
il suit que ∀ A ∈ A λ(A) = j∈n aj λj (A) où λj (A) = µ(Ej ∩ A) est une
P
mesure (exercice) et avec aj ∈ IR+ λ = nj=1 aj λj est une mesure (exercice).
34
Chapitre 3. Intégrales de fonctions non-négatives
3.4
Définition [Intégrales de fonctions non-négatives]
Soient f ∈ M + (X, A) et A ∈ A .
Les intégrales de f par rapport à la mesure µ sur X et sur A sont définies par
Z
f dµ :=
X
sup
Z
+
X
φ dµ | φ ∈ M (X, A) simple tel que 0 ≤ φ(x) ≤ f (x) , ∀ x ∈ X
et
Si en outre
R
Z
X
f dµ :=
A
Z
f χA dµ .
(B)
X
f ∈ L+ (X, A, µ) .
f dµ < ∞ , on dit que f est intégrable, notation :
Remarques :
a) Dans (A) , le sup existe dans IR+ , car l’ensemble droit comprend toujours 0
R
(φ(x) ≡ 0 est admissible) . On a toujours X f dµ ∈ IR+ .
b) Si A ∈ A tel que µ(A) = 0
R
alors
A
En effet, en utilisant (B) dans (A)
0 ≤ φ(x) ≤ (f χA )(x)
⇒
⇒
f dµ = 0 .
φ(x) = 0 sur Ac ⇒ φ = φ χA
Z
Z
φ dµ =
φ dµ = 0 .
X
A
d’ où la conclusion.
3.5
Lemme [de Monotonie]
a) Si
f, g ∈ M + (X, A)
tel que
f ≤g
f ∈ M + (X, A) et E, F ∈ A
R
R
alors
f
dµ
≤
f dµ .
E
F
b) Si
(A)
alors
tel que
R
f dµ ≤
E⊆F
R
g dµ .
35
Chapitre 3. Intégrales de fonctions non-négatives
Preuve :
a) Avec φ ∈ M + (X, A) simple,
Z
φ dµ : 0 ≤ φ ≤ f
Z
⊆
0≤φ≤g
φ dµ :
.
Le résultat suit par (A) en prenant le sup.
b) Observer que
3.6
f χE ≤ f χF
, d’où le résultat suit par a).
Corollaire [Finie p.p.]
Si f ∈ M + (X, A) est intégrable
E := {x ∈ X | f (x) = ∞} ∈ A .
fn := n χE . Alors
Z
Z
fn ≤ f et n µ(E) = fn dµ ≤ f dµ =: K ∈ IR+ .
Preuve :
Soit ∀ n ∈ IN
Ainsi ∀ n ∈ IN
3.7
alors f (x) < ∞ p.p.
0 ≤ µ(E) ≤ K n−1
µ(E) = 0 .
Théorème [de Convergence Monotone]
+
(fn )∞
n=1 ⊂ M (X, A) une suite croissante i.e.
Soit
Soit
n→∞
∀x∈X
Z
Z
f (x) := lim fn (x)
Alors
Preuve :
Pas 1
d’ où
lim
n→∞
R
f dµ = lim
X
n→∞
∀x∈X .
( ∈ M + , 1.14) .
fn dµ .
X
On démontre deux inégalités opposées.
R
fn dµ ≤ f dµ .
En effet ∀ n ∈ IN
fn (x) ≤ fn+1 (x)
fn ≤ f . Ainsi par 3.5 ∀ n ∈ IN
Le pas suit par prise de limite pour n → ∞ .
R
f dµ ≤
X n
R
X
f dµ .
36
Chapitre 3. Intégrales de fonctions non-négatives
Pas 2
R
f dµ ≤ lim
n→∞
R
fn dµ .
Par la définition (A) de
R
X
f dµ il suffit que
∀ φ ∈ M + (X, A) simple avec 0 ≤ φ ≤ f
Z
Z
fn dµ
α φ dµ ≤ lim
∀ α ∈ (0, 1)
(C)
n→∞
(car par (C) si α ր 1
alors
en prenant le sup).
R
φ dµ ≤ lim
n→∞
R
fn dµ
On montre (C) par la suite. Par 3.3 notons que
λ:
A → IR+ :
est une mesure, et soit
Z
A 7→ λ(A) =
d’ où l’ on obtient le Pas
α φ dµ
A
∀ n ∈ IN An := {x ∈ X | (fn − α φ)(x) ≥ 0} ∈ A .
| {z }
mesurable
On a alors
(a)
les An sont croissants i.e.
(car
(b)
x ∈ An
∞
X = ∪ An .
An ⊂ An+1 .
⇒ 0 ≤ (fn − α φ)(x) ≤ (fn+1 − α φ)(x)
⇒
x ∈ An+1 )
n=1
(prendre x ∈ X et distinguer deux cas.
Cas 1 :
0 = φ(x)
Cas 2 :
0 < φ(x)
⇒
i.e.
0 = α φ(x) ≤ fn (x) ∀ n
0 < φ(x) ≤ f (x)
où
⇒
x ∈ An
fn (x) ր f (x)
=⇒ 0 < α φ(x) < f (x)
α<1
=⇒ ∃ N ∈ IN tel que ∀ n ≥ N :
=⇒ x ∈ An
∀n≥N .
Il suit que (b) est vrai dans les 2 cas)
Z
Z
α φ dµ ≤
(c) ∀ n λ(An ) =
An
(d)
avec
α φ(x) ≤ fn (x)
3.5
fn dµ
An
≤
Z
fn dµ .
X
∞
(An )∞
tel que X = ∪ An
1 ր
1
Z
Z
α φ dµ = λ(X) = lim λ(An ) ≤ lim
fn dµ .
X
Il suit que (C) est vrai. CQFD.
2.4 n→∞
(c) n→∞
X
∀n
37
Chapitre 3. Intégrales de fonctions non-négatives
3.8
Corollaire [de Linéarité]
Si f, g ∈ M + et c ≥ 0 ,
R
R
alors
c f dµ = c f dµ
et
R
(f + g) dµ =
R
f dµ +
R
g dµ .
Preuve :
Par le Lemme d’approximation 1.18, on obtient
∃ (φn ), (ψn ) ⊂ M + (X, A) simples tel que φn ր f et ψn ր g ( n → ∞ ).
Noter que c φn ր c f et φn + ψn ր f + g .
R
R
R
R
R
En outre par 3.3,
c φn dµ = c φn dµ et
(φn + ψn ) dµ = φn dµ + ψn dµ .
Ainsi par 3.7, pour n → ∞
Z
Z
Z
Z
Z
c f dµ = c f dµ et
(f + g) dµ = f dµ + g dµ .
Corollaire [Convergence Monotone décroissante]
Soit
Soit
Alors
+
(fn )∞
décroissante tel que
n=1 ⊂ M (X, A)
f (x) = lim fn (x) ∀ x ∈ X .
f1 ∈ L+ (X, A, µ) .
n→∞
f ∈ L+ (X, A, µ)
et
Z
f dµ = lim
n→∞
X
Z
X
fn dµ < ∞ .
R
R
R
Preuve :
Noter que f ≤ fn ≤ f1 tel que
f dµ ≤ fn dµ ≤ f1 dµ < ∞ i.e.
fn et f ∈ L+ . Il suit par 3.6 que fn (x) < ∞ p.p. et f (x) < ∞ p.p. i.e.
En = {x | fn (x) = ∞} ∈ A tel que µ(En ) = 0 et
E = {x | f (x) = ∞} ∈ A tel que µ(E) = 0 . Noter que E ⊂ En ⊂ E1
Mettre alors fn (x) = 0 et f (x) = 0 ∀ x ∈ E1 .
Noter alors qu’on maintient les valeurs des intégrales et la monotonie décroissante en
utilisant des fonctions à valeurs dans IR+ .
Ainsi s.p.d.g. les fn et f sont à valeurs dans IR+ .
Définir alors
gn : X → IR+
et
g : X → IR+
gn + fn = f1
et
tel que
f + g = f1 .
38
Chapitre 3. Intégrales de fonctions non-négatives
Ainsi gn et g ∈ M + (X, A)
En outre par 3.8
R
gn dµ +
R
et
gn ր g
et
g dµ
+
<∞
Finalement par 3.7
3.9
R
R
car fn ց f .
fn dµ =
R
f dµ
=
<∞
g dµ = lim
R
gn dµ
R
R
R
d’ où
f1 dµ <
∞
f1 dµ < ∞ .
f dµ = lim
n→∞
R
fn dµ .
Lemme [de Fatou]
+
Soit (fn )∞
n=1 ⊂ M (X, A) . Alors
Z
Z
(lim inf fn ) dµ ≤ lim inf
fn dµ .
X
n→∞
n→∞
X
Preuve :
lim inf fn = sup inf fn .
n→∞
Soit
m≥1 n≥m
gm := inf fn . Alors les gm sont dans M +
et croissantes tel que
n≥m
lim gm = sup gm = lim inf fn ,
m→∞
n→∞
m≥1
et alors
∀ m gm ≤ fn
=⇒
Z
(n≥m)
gm dµ ≤ inf
n≥m
Z
=⇒
3.5
Z
gm dµ ≤
fn dµ ≤ sup inf
m≥1 n≥m
Z
Z
fn dµ = lim inf
Ainsi pour m → ∞
Z
Z
Z
3.7
(lim inf fn ) dµ = ( lim gm ) dµ = lim
gm dµ
n→∞
m→∞
m→∞
fn dµ ( n ≥ m )
n→∞
≤
Z
lim inf
n→∞
fn dµ .
X
Z
fn dµ .
39
Chapitre 3. Intégrales de fonctions non-négatives
3.10
Corollaire [Intégrale Indéfinie]
Soit f ∈ M + . Alors l’intégrale indéfinie de f
A → IR+ :
λ:
est une mesure.
En outre si f ∈ L+ (X, A, µ)
i.e.
A 7→ λ(A) :=
Z
f dµ
A
alors λ est une mesure finie.
Preuve :
On a que λ(∅) = 0 et λ(A) ≥ 0 .
˙
Soit alors (An )∞
n=1 ⊂ A où les An sont deux à deux disjoints et soit A := ∪ An .
n≥1
Noter que
χA =
X
χAn = lim
m→∞
n≥1
d’ où
f χA = lim
m→∞
Alors
λ(A)
=
=
3.8
∆
=
Z
(f χA ) dµ
lim
m→∞
∞
X
m Z
X
m
X
n=1
=
3.7
χAn ր
n=1
f χAn ր .
lim
m→∞
f χAn dµ
n=1
m
X
∆
Z
=
m
X
f χAn
n=1
lim
m→∞
m
X
!
dµ
λ(An )
n=1
λ(An ) .
n=1
3.11
Proposition [Annulation de l’intégrale]
Soit f ∈ M + . Alors
Z
X
f dµ = 0
⇔
f = 0 p.p.
40
Chapitre 3. Intégrales de fonctions non-négatives
Preuve :
Alors
Soient
E = {x | f (x) > 0} ∈ A
E = ∪ En , En ⊂ En+1 ,
Z
f dµ =
On doit montrer que
Z
f dµ
et
2.4 n→∞
f = 0 p.p.
E
Z
⇐ : suit de la définition de
R
⇔
f dµ = 0
E
E
En = {x | f (x) > n1 } ∈ A .
d’ où µ(E) = lim µ(En ) .
n≥1
Noter que
et
⇔
µ(E) = 0 .
µ(E) = 0
f dµ .
⇒ : prendre fn := n−1 χEn . Noter que fn ≤ f , d’ où
R
R
n−1 µ(En ) = fn dµ ≤ f dµ = 0 . Ainsi µ(En ) = 0 ∀ n
d’ où
µ(E) = lim µ(En ) = 0 .
3.12
Proposition [ensembles nuls ou égalité p.p.]
a) [ Rappel] Si f ∈ M + (X, A) et A ∈ A tel que µ(A) = 0 alors
R
R
b) Si f, g ∈ M + (X, A) et f = g p.p. alors f dµ = g dµ .
Preuve :
Concernant b)
R
R
En outre Ac f dµ = Ac g dµ
R
A
f dµ = 0 .
noter que A := {x | f (x) 6= g(x)} ∈ A tel que µ(A) = 0 .
R
R
d’ où par a)
f dµ = g dµ .
Application [Intégrale de Borel entre a et b]
∆
Soit (X, A, µ) = (IR, B, ℓ) l’ espace mesuré de Borel sur IR où l’on note l’incrément dℓ(x)
par dx . Soit f ∈ M + (IR, B) . Comme ∀ p ∈ IR ℓ({p}) = 0
Z
Z
Z
Z
∀ a, b ∈ IR avec a ≤ b
f (x) dx =
f (x) dx =
f (x) dx =
f (x) dx
[a,b]
[a,b)
∆
=
où
Rb
a
Z
(a,b]
b
a
f (x) dx ∈ IR+
f (x) dx est appelée intégrale de Borel de f entre a et b .
(a,b)
41
Chapitre 3. Intégrales de fonctions non-négatives
3.13
Définition [Mesure absolument continue]
Soient (X, A) un espace mesurable et λ et µ deux mesures sur A .
On dit que λ est absolument continue par rapport à µ (AC ÷µ) ssi
A ∈ A et µ(A) = 0
⇒
λ(A) = 0 .
On obtient par la Proposition 3.12
3.14
Proposition [Intégrale Indéfinie]
R
Si f ∈ M + (X, A) et λ : A → IR+ : A 7→ λ(A) = A f dµ
est l’intégrale indéfinie de f alors λ est une mesure AC ÷µ .
NB. Il arrive que λ n’est pas AC ÷µ .
e.g. (X, A) = (IR, B) µ = ℓ mesure de longueur
de Borel,

1
p∈A
λ = mesure de Dirac en p ∈ IR i.e. λ(A) =
.
0
sinon
Alors µ({p}) = ℓ({p}) = 0 mais λ({p}) = 1 .
Pourtant on a toujours
3.15
Théorème [de Radon]
Si λ et µ sont deux mesures σ-finies tel que λ est AC ÷µ
R
alors ∃ f ∈ M + tel que ∀ A ∈ A λ(A) = A f dµ où f est unique p.p.
i.e. λ est une intégrale indéfinie
NB. f est appelée dérivée de Radon ou densité de λ ÷ µ .
Notes
1. Il faut associer mesures AC et intégrales indéfinies.
2. En probabilité
(X, A) = (IR, B) où
A ∈ B : = un événement = ”(être dans) un Borélien”,
not
µ = ℓ mesure de longueur de Borel avec dx = dℓ(x) ,
λ(A) = P (A) = probabilité de l’événement A ∈ B .
42
Chapitre 3. Intégrales de fonctions non-négatives
Alors par Radon :
si P est AC ÷ℓ alors il existe p ∈ M + tel que
Z
∀ A ∈ B P (A) =
p(x) dx
A
où p(·) = densité de probabilité.
3.16
Corollaire [Convergence Monotone p.p.]
+
Soit (fn )∞
une suite croissante p.p. i.e. ∀ n ∈ IN fn ≤ fn+1
n=1 ⊂ M
Soit E := {x ∈ X | ∃ n ∈ IN tel que fn (x) > fn+1 (x) } .
Alors
a) E ∈ A,
b) ∀ f ∈ M +
µ(E) = 0
et
lim fn χE c ∈ M +
n→∞
tel que f (x) = lim fn (x)
n→∞
Z
f dµ = lim
n→∞
X
comme limite croissante.
∀ x ∈ Ec
Z
p.p.
on obtient
fn dµ .
X
Preuve :
a) Noter que ∀ n ∈ IN En := {x ∈ X | fn (x) > fn+1 (x) } ∈ A et µ(En ) = 0 .
∞
Comme E = ∪ En et comme E c = {x ∈ X | ∀ n ∈ IN fn (x) ≤ fn+1 (x) }
n=1
on obtient a) .
b) Noter que a) et 3.7 donnent
Z
Z
Z
Z
fn dµ .
fn χE c dµ = lim
f dµ =
f χE c dµ = lim
X
3.17
3.7
X
X
Corollaire [Intégrale d’une série]
+
Soit (fn )∞
une suite . Alors
n=1 ⊂ M
!
Z X
∞
∞ Z
X
fn dµ =
fn dµ .
n=1
n=1
X
43
Chapitre 3. Intégrales de fonctions non-négatives
Preuve :
Noter que
m
X
n=1
fn ր
∞
X
fn . En outre par 3.8
n=1
Z X
m
m Z
X
(
fn ) dµ =
fn dµ .
n=1
Ainsi par 3.7 pour m → ∞
Z
3.18
∞
X
n=1
fn
!
n=1
dµ = lim
m→∞
m Z
X
fn dµ =
n=1
∞ Z
X
fn dµ .
n=1
Définition [Intégrale d’une fonction]
Soient (X, A, µ) un espace mesuré et A ∈ A . Soit f ∈ M(X, A) .
Alors l’intégrale de f sur A est définie par
Z
f dµ :=
A
Z
A
f
+
dµ −
Z
f − dµ
A
R
Elle existe ssi
f dµ ∈ IR
R +A
R
i.e. ssi inf ( A f dµ , A f − dµ) < ∞ (pas simultanément infinis).
NB.
R
A
|f | dµ =
R
A
f + dµ +
R
A
f − dµ
existe toujours .
Chapitre 4
Fonctions intégrables
Sommaire
4.1
Définition [Fonction Intégrable] . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
Proposition [Intégrale simplifiée] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
4.2
Proposition [Intégrale Indéfinie] . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
4.3
Théorème [Intégrable de façon absolue] . . . . . . . . . . . . .
47
4.4
Corollaire [Finie p.p.] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
4.5
Corollaire [Intégrable par majoration] . . . . . . . . . . . . . .
48
4.6
Théorème [de Linéarité] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
4.7
Exercices [nul ou égal]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
4.8
Théorème [Convergence Dominée de Lebesgue] . . . . . . . .
51
4.9
Corollaire [Convergence Dominée p.p.]
. . . . . . . . . . . . .
51
4.10 Application[l’Intégrale de Riemann est de Borel] . . . . . . .
52
Objectif
Etant donné un espace mesuré (X, A, µ) et f ∈ M(X, A) , donner un sens à
Z
f dµ ∈ IR
∀A∈A.
A
44
45
Chapitre 4. Fonctions intégrables
4.1
Définition [Fonction Intégrable]
Une fonction f : X → IR est intégrable, notation : f ∈ L(X, A, µ) ≡ L ,
Z
f ∈ M(X, A) et
f ± dµ < ∞ ,
i.e.
f ± ∈ M + (X, A) tel que
i.e.
f ± ∈ L+ (X, A, µ) .
∀ f ∈ L et ∀ A ∈ A on définit
Z
R
X
X
f ± dµ < ∞ ,
f dµ :=
X
Z
ssi
f dµ :=
A
Z
Z
f
+
X
f
+
A
dµ −
dµ −
Z
f − dµ ,
X
Z
f − dµ .
A
On obtient sans peine : Si f ∈ L et A ∈ A alors
R
µ(A) = 0 ⇒ A f dµ = 0.
R
R
R
f
dµ
=
f
dµ
+
f dµ.
X
A
Ac
NB.
a)
b)
Proposition [Intégrale simplifiée]
Soit f ∈ L .
Soient f1 , f2 ∈ L+
tel que
f = f1 − f2
Alors
Z
Preuve :
f dµ =
Z
f1 dµ −
Z
f2 dµ .
On trouve :
∀x∈X
f + (x) + f2 (x) = f − (x) + f1 (x) .
(on distingue quatre cas :
a)
Si f1 (x) et f2 (x) < ∞, alors f ± (x) ≤ |f (x)| ≤ f1 (x) + f2 (x) < ∞
d’où
f (x) = f + (x) − f − (x) = f1 (x) − f2 (x) implique (A).
(A)
46
Chapitre 4. Fonctions intégrables
b)
Dans les trois autres cas (A) se lit ∞ = ∞ :
• f1 (x) = ∞ et f2 (x) < ∞ ⇒ f (x) = ∞ ⇒ f + (x) = ∞ et f − (x) = 0 ⇒ (A).
• f1 (x) < ∞ et f2 (x) = ∞ ⇒ f (x) = −∞ ⇒ f − (x) = ∞ et f + (x) = 0 ⇒ (A).
• f1 (x) = ∞ et f2 (x) = ∞ ⇒ f (x) = 0 ⇒ f − (x) = 0 et f + (x) = 0 ⇒ (A). )
En intégrant (A) et par 3.8 :
R
f + dµ +
<∞
R
f2 dµ =
<∞
R
f − dµ +
<∞
R
f1 dµ
<∞
d’où le résultat.
4.2
Proposition [Intégrale Indéfinie]
Soit f ∈ L . Alors l’ intégrale indéfinie de f
A → IR :
λ:
i.e.
A 7→ λ(A) =
Z
f dµ
A
est une mesure signée ou une charge.
Preuve :
f = f+ − f−
λ± :
tel que
A → IR+ :
f ± ∈ L+ .
Alors par 3.10
Z
±
A 7→ λ (A) =
f ± dµ
A
est une mesure finie. Il suit que
∀ A ∈ A λ(A) = λ+ (A) − λ− (A) ∈ IR .
<∞
<∞
En outre λ(∅) = 0 . Soit finalement (An )∞
1 ⊂ A , où les An sont deux à deux disjoints et
A := ∪˙ An . Alors
n≥1
X
n≥1
|λ(An )| ≤
X
n≥1
λ+ (An ) +
X
n≥1
λ− (An ) = λ+ (A) + λ− (A) < ∞ ,
47
Chapitre 4. Fonctions intégrables
et
m
m
!
X
X
λ+ (An ) − λ+ (A) −
λ(An ) − λ(A) = n=1
n=1
m
m
X
X
−−−→
λ− (An ) − λ− (A) −(−−
λ+ (An ) − λ+ (A) + ≤
m→∞ ) 0 .
n=1
n=1
Il suit que
λ(A) =
∞
X
∞
X
λ(An ) avec
n=1
4.3
!
λ− (An ) − λ− (A) n=1
m
X
n=1
|λ(An )| < ∞ .
Théorème [Intégrable de façon absolue]
Si f ∈ M
alors
f ∈L
et alors
|f | ∈ L+ ,
⇔
Z
Z
f dµ ≤ |f | dµ .
Preuve :
⇒:
⇐:
|f | = f + + f −
Z
f± ∈ M+
Avec f ∈ L
et
f ± ∈ L+ ⇒ |f | ∈ M + et
Z
Z
+
f dµ + f − dµ < ∞ ⇒
|f | dµ =
où
3.8
f ± ≤ |f | ∈ L+
tel que
f ± ∈ L+
⇒
|f | ∈ L+ .
f ∈L.
Z
Z
Z
Z
Z
+
−
+
f dµ = f dµ −
f dµ ≤ f dµ + f − dµ
<∞
=
Z
+
<∞
−
(f + f ) dµ =
Z
|f | dµ .
48
Chapitre 4. Fonctions intégrables
4.4
Corollaire [Finie p.p.]
Si f ∈ L alors f (x) ∈ IR p.p.
Preuve :
Noter que
Z
|f | ∈ L+
X
4.5
tel que par le Corollaire 3.6
|f | dµ < ∞
⇒
Corollaire [Intégrable par majoration]
Si f ∈ M et g ∈ L+ tel que |f | ≤ g
Preuve :
4.6
|f (x)| < ∞ p.p.
alors f ∈ L .
R
|f |, g ∈ M + et 3.5 entraı̂nent
|f | dµ ≤
R
g dµ < ∞ .
Théorème [de Linéarité]
L est un espace linéaire i.e. si f, g ∈ L et α ∈ IR
αf ∈ L
alors
f +g ∈L.
et
En outre
et
Z
Z
(αf ) dµ = α
(f + g) dµ =
Z
Z
f dµ
f dµ +
Z
g dµ .
Preuve :
a)
Produit par α : le cas α = 0 est évident donc s.p.d.g. α 6= 0 .
R
R
R
αf ∈ L car
|αf | dµ = |α| |f | dµ = |α| |f | dµ < ∞ .
49
Chapitre 4. Fonctions intégrables
En outre pour
±
α = −1 : (−f ) = f
∓
:
α > 0 : (αf )± = αf ± :
α < 0 : (αf ) = −|α| f :
b)
Somme :
si f, g ∈ L ,
|f + g| ≤ |f | + |g|
⇒
⇒
Z
Z
(−f ) dµ =
Z
Z
f
−
dµ −
Z
Z
dµ = −
Z
f dµ .
Z
dµ = α f dµ .
αf −
Z
Z
Z
(αf ) dµ = (−|α| f ) dµ = − |α| f dµ
Z
Z
= −|α| f dµ = α f dµ .
(αf ) dµ =
alors
Z
|f + g| dµ
αf + dµ −
f
+
≤
3.5 , 3.8
Z
|f | dµ +
Z
|g| dµ < ∞
f +g ∈L.
Poser f1 := f + + g + ∈ L+ et f2 := f − + g − ∈ L+ , alors
f + g = f1 − f2
(Rappel :
(A)
f + g ∈ M tel que avec
E1 := {x | f (x) = ∞ , g(x) = −∞} = {x | f + (x) = ∞ , g − (x) = ∞} ∈ A ,
E2 := {x | f (x) = −∞ , g(x) = ∞} = {x | f − (x) = ∞ , g + (x) = ∞} ∈ A ,
et
E := E1 ∪˙ E2 ∈ A ,

0
x∈E
(f + g)(x) :=
.
f (x) + g(x)
sinon
Alors E = {x | f1 (x) = ∞ = f2 (x)} et

0
(f1 − f2 )(x) :=
f1 (x) − f2 (x)
x∈E
sinon
.
Il suit que (A) est vrai ∀x ∈ E et aussi ∀x ∈ E c . La dernière assertion s’obtient en
considérant trois cas avec x ∈ E c :
50
Chapitre 4. Fonctions intégrables
1) f1 (x) < ∞ et f2 (x) < ∞ : alors f ± (x) et g ± (x) < ∞, tel que
f1 − f2 = [f + + g + ] − [f − + g − ] = [f + − f − ] + [g + − g − ] = f + g .
2) f1 (x) = ∞ et f2 (x) < ∞ : alors f (x) ou g(x) = ∞ tel que f1 − f2 = ∞ = f + g.
3) f1 (x) < ∞ et f2 (x) = ∞ : alors f (x) ou g(x) = −∞ tel que f1 −f2 = −∞ = f +g.)
Ainsi par (A) et par la Proposition 4.1
Z
Z
Z
Z
Z
+
+
(f + g) dµ = f1 dµ − f2 dµ = (f + g ) dµ − (f − + g − ) dµ
Z
Z
h Z
i h Z
i
3.8
+
+
−
=
f dµ +
g dµ −
f dµ +
g − dµ
=
4.7
a)
Z
<∞
|
f dµ +
<∞
Z
<∞
|
|
<∞
|
g dµ .
Exercices [nul ou égal]
f ∈M
(car |f | = 0 p.p. ⇒
b) f ∈ M
⇒
f = 0 p.p.
R
f ∈ L et
Z
f dµ = 0 .
R
R
|f | dµ = 0 ⇒ f ∈ L et f dµ ≤ |f | dµ = 0)
g ∈ L et f = g p.p.
⇒
f ∈ L et
R
f dµ =
R
g dµ .
R
a)
(car f − g = 0 p.p. =⇒ f − g ∈ L et
(f − g) dµ = 0
R
R
=⇒ f = (f − g) + g ∈ L et par 4.6 0 = f dµ − g dµ)
Note : si f ∈ L alors par 4.4 E := {x | |f (x)| = ∞} ∈ A
On obtient f χE c : X → IR , f = f χE c p.p..
R
R
f dµ = f χE c dµ .
En outre par b) f χE c ∈ L et
Donc s.p.d.g. ( f ← f χE c ) f : X → IR .
et
µ(E) = 0 .
51
Chapitre 4. Fonctions intégrables
4.8
Théorème [Convergence Dominée de Lebesgue]
(fn )∞
1 ⊂ L
Soit
Admettons
Alors
tel que
∀x∈X
f (x) = lim fn (x)
n→∞
∃ g ∈ L+ Ztel que |fn | ≤Z g ∀ n .
f ∈ L et
f dµ = lim
fn dµ .
n→∞
X
( ∈ M , 1.14).
X
Preuve :
4.5
|f | = lim |fn | ≤ g ∈ L+
a)
f ∈L
b)
La relation limite suit en appliquant deux fois le Lemme de Fatou 3.9.
car
=⇒
n→∞
f ∈L.
Noter que
∀ n g ≥ |fn | ≥ ±fn
tel que
∀ n g ± fn ∈ M + ,
d’ où (avec ”+” correspondant à lim inf et ”−” à lim sup)
inf
lim inf(g ± fn ) = g ± lim
fn = g ± f .
sup
Il suit que pour le cas ”+” et ”-”
Z
Z
Z
Z
g dµ ± f dµ = (g ± f ) dµ = lim inf(g ± fn ) dµ
≤
(Fatou)
=
Z
Comme
Soit
Soit
Alors
Z
(g ± fn ) dµ = lim inf
inf
g dµ ± lim
sup
Z
g dµ < ∞
Z
g dµ ±
Z
fn dµ
Z
f dµ = lim
n→∞
Z
(fn )∞
n=1 ⊂ L
tel que
+
lim fn = f p.p.
n→∞
tel que Z ∀ n |fn | ≤ gZp.p.
f ∈ L et
f dµ = lim
fn dµ .
X
n→∞
X
fn dµ .
fn dµ .
Corollaire [Convergence Dominée p.p.]
g∈L
Z
on peut barrer
g dµ au début et à la fin.
Z
Z
Z
Z
f dµ ≤ lim inf fn dµ ≤ lim sup fn dµ ≤ f dµ ∈ IR .
Ainsi
4.9
lim inf
Z
où f ∈ M .
Dès lors
52
Chapitre 4. Fonctions intégrables
On a Ef := {x ∈ X | f (x) 6= lim fn (x)} ∈ A
Preuve :
et
n→∞
µ(Ef ) = 0 ,
∀ n En := {x ∈ X | |fn (x)| > g(x)} ∈ A et µ(En ) = 0 .
S
Il suit que E := (∪ En ) Ef ∈ A et µ(E) = 0 .
n
Ensuite
f χE = 0 p.p. et fn χE = 0 p.p.
d’ où par 4.7
f χE et fn χE ∈ L
et
Z
f χE dµ = 0 =
Z
fn χE dµ .
Ensuite
tel que ∀ n |fn χE c | ≤ gχE c ≤ g ∈ L+
fn χE c → f χE c
d’ où par 4.8
f χE c ∈ L
Z
et
Finalement
f χE c dµ = lim
n→∞
Z
fn χE c dµ .
f = f χE + f χE c ∈ L
et
Z
4.10
f dµ =
Z
fχ
Ec
dµ = lim
n→∞
Z
fn χ
Ec
dµ = lim
n→∞
Z
fn dµ
Application[l’Intégrale de Riemann est de Borel]
Soit (X, A, µ) = ([a, b], B, ℓ) l’espace mesuré de Borel sur [a, b] ,
B = Boréliens sur IR intersectés avec [a, b]
où
,
ℓ = mesure de longueur de Borel où dx not
= dℓ(x)
et soit
L(a, b) := L([a, b], B, ℓ) .
Soit alors f : [a, b] → IR réglée, et soit
Z b
f (x) dx l’intégrale de Borel de f entre a et b
a
(cfr. 3.12 :=
Soit en outre
Alors
Z
f (x) dx =
[a,b]
R
Z
Z
f (x) dx =
[a,b)
b
f (x) dx
a
f ∈ L(a, b)
et
Z
Z
f (x) dx =
(a,b)
Z
f (x) dx).
(a,b]
l’intégrale de Riemann de f entre a et b .
Z b
b
f (x) dx = R
f (x) dx ∈ IR .
a
a
53
Chapitre 4. Fonctions intégrables
Preuve : Comme f : [a, b] → IR est réglée, il existe une suite de fonctions en escalier
φn : [a, b] → IR tel que
∀ x ∈ [a, b]
f (x) = lim φn (x) uniformément
n→∞
i.e.
(A)
∀ ε > 0 ∃ N(ε) tel que
n≥N
⇒ |f (x) − φn (x)| ≤ ε ∀ x ∈ [a, b]
⇒ |φn (x)| ≤ |f (x)| + ε ∀ x ∈ [a, b] .
Pour ε = 1 , on a pour n suffisamment grand,
|φn (x)| ≤ sup {|f (x)| + 1} < ∞.
x∈[a,b]
Ainsi comme chaque φn est borné on obtient qu’il existe K ∈ IR+ tel que
∀ n |φn (x)| ≤ K ∀ x ∈ [a, b] . Prendre alors g(x) ≡ K et noter que
K(b − a) < ∞ d’ où
g ∈ L+ (a, b) et ∀ n |φn | ≤ g .
Rb
a
|g(x)|dx =
(B)
Il suit par (A)–(B) et le Théorème 4.8
f ∈ L(a, b) et
Noter maintenant que
Z
b
f (x) dx = lim
n→∞
a
mn
P
∀ n φn (x) =
Z
b
φn (x) dx .
a
où Ij = intervalle ⊂ [a, b]
cj χIj (x) ,
j=1
Ij ∈ B) et cj ∈ IR . Ainsi ∀ n φn ∈ M simple tel que
R
Z
b
φn (x) dx =
a
Ainsi en combinant
Z b
j=1
f (x) dx = lim R
n→∞
a
Remarques
De façon similaire,
Z b
Z b
a)
|f (x)| dx = R
|f (x)| dx ;
a
a
mn
X
Z
a
b
cj ℓ(Ij ) =
Z
b
φn (x) dx .
a
(A)
φn (x) dx = R
Z
a
b
f (x) dx ∈ IR
(donc
54
Chapitre 4. Fonctions intégrables
b) avec [a, b] remplacé par IR ,
Z
IR
|f (x)| dx = lim R
b→∞
a→−∞
Z
b
a
|f (x)| dx ∈ IR+ ,
tel que
f ∈ L(−∞, ∞)
⇔
lim R
b→∞
a→−∞
Z
a
b
|f (x)| dx < ∞ .
Chapitre 5
Espaces Lp
Sommaire
5.1
Définition [Norme ; espace normé] . . . . . . . . . . . . . . . .
56
5.2
Exemples de normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
5.3
Exemple d’espace semi-normé . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
5.4
Définition [”Norme” définie par l’intégrale] . . . . . . . . . . .
57
5.5
Proposition [L est un espace semi-normé] . . . . . . . . . . . .
57
5.6
Définitions [Equivalence, espaces M et L1 ] . . . . . . . . . . .
58
5.7
Proposition
[L1
est un espace normé] . . . . . . . . . . . . . .
• ”Fonctions” intégrables de puissance p
Lp
59
. . . . . . . . . . . . . . .
59
5.8
Définition [Espaces
, 1 ≤ p < ∞] . . . . . . . . . . . . . . .
59
5.9
Lemme [Inégalité de Hölder] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
5.10 Corollaire [Inégalité de Cauchy-Schwartz] . . . . . . . . . . . .
62
5.11 Lemme [Inégalité de Minkowski] . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
5.12 Théorème [de Riesz-Fisher] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
5.13 Corollaire [d’ Extraction] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
• Fonctions bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
• ”Fonctions” bornées p.p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
5.14 Définitions [bornée p.p., l’espace L∞(X, A, µ)] . . . . . . . . .
67
5.15 Proposition [|f (x)| ≤ kf k∞ p.p.] . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
5.16 Théorème [L∞ est un espace de Banach] . . . . . . . . . . . .
69
5.17 Proposition [Inégalité]
71
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
Chapitre 5. Espaces Lp
56
Objectif
Convertir l’espace L = L(X, A, µ) en un espace de Banach.
Etudier les espaces Lp = Lp (X, A, µ) , 1 ≤ p ≤ ∞ , importants en analyse.
Note : Par la suite si f ∈ M(X, A) alors il existe p avec 1 ≤ p < ∞ tel que
R
|f |p dµ < ∞ ou il existe K ∈ IR+ tel que |f (x)| ≤ K p.p. Par modification sur un
X
ensemble de mesure nulle, on obtient f : X → IR en maintenant la valeur des intégrales
ou la propriété bornée p.p. Ainsi s.p.d.g. f ∈ M(X, A) ⇒ f : X → IR .
5.1
Définition [Norme ; espace normé]
Soit V un espace linéaire.
Alors N est une norme sur V ssi
N : V → IR+
⇔
1.
N(v) = 0
2.
N(αv) = |α| N(v)
3.
N(u + v) ≤ N(u) + N(v)
tel que ∀ u, v ∈ V et ∀ α ∈ IR ,
v = θ (neutre de V ) ;
[homogène en module] ;
[inégalité triangulaire].
Si 1. ne tient pas, on parle de semi-norme. (V, N) est un espace normé si V est un
espace linéaire et N une norme sur V .
5.2
a)
b)
Exemples de normes
IR , u ∈ IR , |u|.
IRn ,
u = (ui)i∈n où ∀ i ∈ n ui ∈ IR
N1 (u) =
X
i∈n
|ui | ,
Np (u) =
(
X
i∈n
|ui|p
) p1
(p ≥ 1) ,
N∞ (u) = sup |ui|
(*)
i∈n
sont des normes où 1. et 2. sont évidents ; pour 3. voir Minkowski plus loin.
c)
IR∞ ,
u = (ui)i∈IN
En remplaçant dans (*) n par IN on obtient la définition de Np (u) .
On montre : ∀ p tel que 1 ≤ p ≤ ∞ ℓp := {u ∈ IR∞ | Np (u) < ∞} est un espace
normé complet (voir plus loin).
Chapitre 5. Espaces Lp
d)
57
Fonctions bornées mesurables. Il est vrai que
B(X, A) := {f : X → IR | f ∈ M , kf k∞ = sup |f (x)| < ∞} est un espace normé
x∈X
complet (voir plus loin).
5.3
Exemple d’espace semi-normé
Un exemple d’espace semi-normé est donné par :
∞
IR
,
N(u) =
∞
X
i=2
5.4
|ui| ,
N(u) = 0 ⇔ ui = 0 ∀ i ≥ 2 .
Définition [”Norme” définie par l’intégrale]
∀ f ∈ M :=
Z M(X, A) , on définit la ”norme définie par l’ intégrale” par
Nµ (f ) :=
|f | dµ .
X
5.5
Proposition [L est un espace semi-normé]
(L, Nµ ) est un espace semi-normé où Nµ (f ) = 0 ssi f (x) = 0 p.p.
Preuve :
a) L est un espace linéaire par 4.6.
b) Nµ est une semi-norme car
f ∈L
⇔
Nµ (f ) < ∞ .
et
R
R
3.8
• Nµ (αf ) = |αf | dµ = |α| |f | dµ = |α| Nµ (f ) ;
R
• Nµ (f + g) = |f + g| dµ où |f + g| ≤ |f | + |g| tel que
Nµ (f + g) ≤ Nµ (f ) + Nµ (g) .
En outre
Z
Nµ (f ) = 0 ⇔
|f | dµ = 0 ⇔ |f | = 0 p.p. ⇔
f = 0 p.p.
Pour convertir (L, Nµ ) en espace normé, on identifie les fonctions égales p.p. i.e. on utilise
des classes d’équivalence de fonctions.
Chapitre 5. Espaces Lp
Exercice :
58
Soit (X, A, µ) un espace mesuré et
M := M(X, A) := {f : X → IR mes} . Alors
sous-espace linéaire de M .
5.6
N := {f ∈ M | f (x) = 0 p.p.} est un
Définitions [Equivalence, espaces M et L1]
Soit (X, A, µ) un espace mesuré et M := M(X, A) := {f : X → IR mesurable} .
Deux fonctions f, g ∈ M sont µ-équivalentes ssi f = g µ - p.p.
La classe d’équivalence engendrée par f ∈ M est notée [f ] et donnée par
[f ] := {g ∈ M | g = f p.p.} = f + N .
Il suit que
M
= {[f ] | f ∈ M}
N
est un espace linéaire dont le neutre est [θ] = N = {f ∈ M | f = 0 p.p.} et où avec
f, g ∈ M et α ∈ IR
[f ] + [g] = [f + g] et α[f ] = [αf ] .
M :=
Noter que ∀ [f ] ∈ M
k[f ]k1 :=
est bien définie car
⇒
f = g p.p.
On se rappelle que par 4.7
Z
|f | dµ ∈ IR+
|f | = |g| p.p.
⇒
N ⊂ L(X, A, µ)
Z
|f | dµ =
3.12
Z
”d’ où”
Définition de L1
L’espace de Lebesgue
L(X, A, µ)
N
est l’espace des classes d’équivalence de fonctions intégrables i.e.
Z
1
L := [f ] ∈ M | k[f ]k1 = |f | dµ < ∞
∆
L1 = L1 (X, A, µ) =
où l’on observe que
[f ] ∈ L1
⇔ [f ] = f + N
⇔ [f ] ⊂ L .
où f ∈ L
X
|g| dµ .
Chapitre 5. Espaces Lp
5.7
59
Proposition [L1 est un espace normé]
(L1 , k · k1 ) est un espace linéaire normé.
Preuve :
L1 =
L
est un espace linéaire.
N
k · k1 est une norme. En effet, k · k1 : L1 → IR+
R
1. k[f ]k1 = |f | dµ = 0 ⇔ f = 0 p.p.
2.
3.
kα [f ]k1 = k[αf ]k1 =
R
et
⇔
[f ] = [θ]
R
|α| |f | dµ = |α| |f | dµ = |α| k[f ]k1
R
k[f ] + [g]k1 = k[f + g]k1 = |f + g| dµ
R
R
≤ |f | dµ + |g| dµ = k[f ]k1 + k[g]k1 .
NB. Il est d’usage de confondre classes et fonctions i.e. on note [f ] par f . Sera fait pour
tout élément de Lp , 1 ≤ p ≤ ∞ .
”Fonctions” intégrables de puissance p
5.8
Définition [Espaces Lp , 1 ≤ p < ∞]
Lp = LP (X, A, µ) est donné par
Z
p
p
L = [f ] ∈ M |
|f | dµ < ∞
Soit 1 ≤ p < ∞ . L’ espace
X
où [f ] est la classe d’équivalence engendrée par f ∈ M .
La norme de Lp est notée k · kp et pour [f ] ∈ Lp donnée par
k[f ]kp :=
Z
p
X
|f | dµ
p1
NB. On parle de ”fonctions” intégrables de puissance p .
NB.
1. p = 1 a été déjà vu.
2. On utilise toujours
[f ] + [g] = [f + g] , α[f ] = [αf ] .
Chapitre 5. Espaces Lp
60
Cas discret
Ici (X, A, µ) = (IN, P(IN), µ) est l’ espace mesuré discret où µ est la mesure de comptage
définie par µ(A) := #A (A ∈ P(IN) ) .
Remarquer que les fonctions discrètes mesurables f : n ∈ IN 7→ fn ∈ IR sont des
suites f = (fn )n∈IN ∈ IR∞ et noter que les parties de IN de mesure discrète nulle sont
vides donnant f = g p.p. ssi f = g . Ainsi les classes d’équivalence contiennent un
seul élément et on travaille avec un espace de suites réelles.
En outre avec 1 ≤ p < ∞ , ℓp := Lp (IN, P(IN), µ) est appelé espace des suites
sommables de puissance p car ∀ f ∈ ℓp
Z
∞
X
p
|fn |p .
|fn | dµ(n) =
IN
n=1
P
Noter que IN = ∪˙ {n} tel que 1 =
χ{n} .
n∈IN
n≥1
P
P
|f |p = |f |p
χ{n} =
|fn |p χ{n} . Finalement par 3.17 (intégrale d’une série)
Preuve :
Ainsi
n≥1
Z
n≥1
IN
|fn |p dµ(n) =
X
n≥1
|fn |p µ({n}) =
| {z }
=1
X
n≥1
|fn |p .
Par la suite, on donne quelques lemmes utiles pour démontrer que k · kp est une norme.
5.9
Lemme [Inégalité de Hölder]
Soient 1 < p < ∞ et
Si f ∈ Lp et g ∈ Lq
f g ∈ L1
Preuve :
Pas 1
q conjuguée de p i.e. 1p + 1q = 1 .
alors
Z
et kf gk1 :=
|f g| dµ ≤ kf kp kgkq .
X
On utilise trois pas.
∀ α ∈ (0, 1) tα ≤ αt + (1 − α) ∀ t ≥ 0
Considérer la fonction φ : IR+ → IR : t 7→ φ(t) := αt − tα . Noter que φ est
strictement convexe sur t ≥ 0 , admettant un minimum global en t = 1. En effet
φ̇(t) = α − αtα−1
et φ̈(t) = −α (α − 1) tα−2 ,
Chapitre 5. Espaces Lp
61
tel que sur IR+
φ̈(t) > 0 et φ̇(t) = 0
⇔
t=1.
Avec φ(1) = α − 1 on obtient ∀ t ≥ 0 αt − tα ≥ α − 1 et le Pas 1 suit sans peine.
Pas 2
Pour
1<p<∞
p−1 + q −1 = 1
AB ≤
a≥0
En effet avec
b≥0
et
et
pour
A ≥ 0 et B ≥ 0
Ap B q
+
.
p
q
(A)
α ∈ (0, 1)
aα b1−α ≤ α a + (1 − α) b .
(B)
(Cfr. Pas 1 : y mettre t = a b−1 donnant (a b−1 )α ≤ α (a b−1 ) + (1 − α) ce qui
entraine (B). Pour b = 0 il n’y a pas de problèmes)
Ensuite poser dans (B) a = Ap
et on obtient (A).
Pas 3
b = Bq
et
α = p−1 . Alors
1 − α = q −1
Le résultat est vrai.
Si
kf kp = 0
(car alors
kgkq = 0 le résultat est vrai
R
f g = 0 p.p.
|f g| = 0 et kf kp kgkq = 0).
Ainsi s.p.d.g.
Noter que
ou
kf kp 6= 0
f, g ∈ M
Poser alors dans (A)
⇒
et
fg ∈ M .
A=
Il suit
kgkq 6= 0 .
|f (x)|
kf kp
et B =
|g(x)|
.
kgkq
q
|f (x) g(x)|
|f (x)|p
−1 |g(x)|
≤ p−1
+
q
kf kp kgkq
kf kpp
kgkqq
∈L
R
car = 1
∈L
R
car = 1
∈L
d’où le membre de gauche est intégrable par majoration cfr. 4.5. Dès lors, f g ∈ L
et
R
|f g| dµ
≤ p−1 + q −1 = 1 ,
kf kp kgkq
d’ où
Z
|f g| dµ ≤ kf kp kgkq .
Chapitre 5. Espaces Lp
5.10
Corollaire [Inégalité de Cauchy-Schwartz]
∀ f, g ∈ L2
1
fg ∈ L
5.11
62
et
Z
Z
|hf, gi| := f g dµ ≤ |f g| dµ ≤ kf k2 kgk2 .
Lemme [Inégalité de Minkowski]
Soit 1 ≤ p < ∞ . Soient f, g ∈ Lp .
Alors f + g ∈ Lp et kf + gkp ≤ kf kp + kgkp .
NB. On dit que f ∈ Lp ssi f p ∈ L . On obtient par 5.11 que Lp est un espace linéaire
Lp
, il suit que Lp est un espace linéaire. En outre par 5.11, k · kp
tel que, comme Lp =
N
est d’abord une semi-norme sur Lp et ensuite par prise de quotient une norme sur Lp . Il
suit que (Lp , k · kp ) est un espace normé.
Preuve :
Comme par 5.7 le cas p = 1 est vrai,
preuve utilise 3 pas.
Pas 1
f + g ∈ Lp
on se restreint au cas p > 1. La
i.e. |f + g|p ∈ L ≡ L1
En effet, f + g ∈ M et
|f + g|p ≤ [|f | + |g|]p ≤ [2 max(|f |, |g|)]p
= 2p max(|f |p, |g|p) ≤ 2p [ |f |p + |g|p ] ∈ L
|{z} |{z}
∈L
d’où par majoration (i.e. par 4.5)
Pas 2
|f |, |g| ∈ Lp
et
En effet f et g ∈ Lp
∈L
|f + g|p ∈ L .
|f + g|p−1 ∈ Lq
d’où
p−1 + q −1 = 1
|f |, |g| ∈ Lp
⇒
et
q + p = pq
⇒
(p − 1) q = p .
Ainsi par le Pas 1,
|f + g|(p−1)q ∈ L1 ,
i.e. |f + g|p−1 ∈ Lq .
Chapitre 5. Espaces Lp
Pas 3
63
Le résultat est vrai.
kf + gkp 6= 0 (car sinon pas de problème). Voir alors que

p 1
=p
q p

z }| { 
Z

p
|f + g|(p − 1)q dµ
k|f + g|p−1kq =
= kf + gkpq




En effet, s.p.d.g.
et avec p > 1
|f + g|p ≤ [|f | + |g|] · |f + g|p−1 ,
où les termes du premier facteur du produit droit sont dans Lp et le second facteur
est dans Lq . Ainsi par intégration et par Hölder
p
kf + gkpp ≤ [kf kp + kgkp ] kf + gkpq .
Finalement
p − p q −1 = p p−1 = 1
implique
kf + gkp ≤ kf kp + kgkp .
Exercice 1
Soient (X, d) un espace métrique et (xn )∞
n=1 ⊂ X une suite de Cauchy. Supposons qu’il
∞
existe une sous-suite (xnk )k=1 de (xn ) ( nk ≥ k) et x ∈ X tel que lim d(xnk , x) = 0 .
k→∞
Alors
lim d(xn , x) = 0 .
n→∞
Solution : Prendre ε > 0 . Comme (xn ) est de Cauchy, il existe N(ε) tel que
m, n ≥ N ⇒ d(xm , xn ) ≤ ε . Noter que
∀n≥N
Il suit
d(xn , x) ≤
d(xn , xnk ) + d(xnk , x) ∀ k ∈ IN
≤
lim sup d(xn , xnk ) + lim sup d(xnk , x)
≤
ε
k→∞
+
∀ ε > 0 ∃ N(ε) tel que n ≥ N
k→∞
0
=
⇒
ε.
d(xn , x) ≤ ε .
Exercice 2
Soient (X, d) un espace métrique et (xn )∞
n=1 ⊂ X une suite de Cauchy.
∞
Alors il existe une sous-suite (xni )i=1 ⊂ (xn )∞
n=1 ( ni ≥ i ) tel que
∀ i ∈ IN d(xni+1 , xni ) ≤ 2−i .
Chapitre 5. Espaces Lp
64
Solution : ∀ i ∈ IN ∃ ni tel que m, n ≥ ni ⇒ d(xm , xn ) ≤ 2−i .
Il est permis d’ augmenter les ni , tel que l’on peut obtenir ∀i ni ≥ i avec ni+1 ≥ ni .
Il suit que d(xni+1 , xni ) ≤ 2−i .
Tout espace normé (X, k · k) est métrique sous la métrique d(f, g) := kf − gk .
NB.
5.12
Soit
Théorème [de Riesz-Fisher]
1 ≤ p < ∞ . Alors l’espace normé (Lp , k · kp ) est complet i.e. de Banach.
p
Preuve :
Soit (fn )∞
une suite de Cauchy.
n=1 ⊂ L
p
Il faut montrer qu’il existe f ∈ L tel que
lim kfn − f kp = 0 .
n→∞
∞
Par l’exercice 1 il suffit de montrer : ∃ f ∈ Lp et ∃ (fnk )∞
k=1 ⊂ (fn )n=1
tel que
lim kf − fnk kp = 0 .
( nk ≥ k )
k→∞
On omet parfois l’indice p de k · kp .
∞
Pas 1 Il existe une sous-suite (fnk )∞
k=1 ⊂ (fn )n=1 ( nk ≥ k ) et il existe une fonction
f : X → IR , f ∈ M , tel que
lim fnk = f p.p.
k→∞
En effet, comme (fn )∞
n=1 est de Cauchy, par l’exercice 2 il existe une sous-suite
∞
∞
(fni )i=1 ⊂ (fn )n=1 ( ni ≥ i ) tel que
kfni+1 − fni k ≤ 2−i ,
Noter que ∀ k ∈ IN :
fnk = fn1 +
k−1
X
i=1
Poser
gk =
k−1
X
i=1
On a que
gk et g ∈ M +
|fni+1 − fni |
i ∈ IN .
(1)
(fni+1 − fni ) .
(2)
et
(où g(x) ∈ IR+ )
g=
∞
X
i=1
et
|fni+1 − fni | .
gk ր g .
(3)
Chapitre 5. Espaces Lp
65
Soit k ∈ IN . Par Minkowski et (1) :
kgk k ≤
k−1
X
i=1
kfni+1 − fni k ≤
∞
X
2−i = 1 .
i=1
En outre, remarquer que (gk )p ր g p , d’où par 3.7
Z
Z
p
g dµ = lim (gk )p dµ = lim kgk kpp ≤ 1 .
k→∞
k→∞
X
Ainsi par 3.6, g p est finie p.p. et de même pour g , i.e.
N := {x ∈ X | g(x) = ∞} ∈ A
Définir alors
f := fn1 +
∞
X
i=1
Il suit que
|(II)| ≤
∞
X
i=1
et
µ(N) = 0 .
[fni+1 − fni ]χN c := (I) + (II) .
(4)
|fni+1 − fni | χN c := gχN c < ∞ .
Ainsi, la série (II) converge de façon absolue d’où (II) et f sont bien définies.
Remarquer que f ∈ M et par (2) − (4)
∀x∈N
c
|f − fnk | ≤
∞
X
i=k
|fni+1 − fni | = g − gk → 0 ( k → ∞)
(car gk (x) ր g(x) < ∞). Noter alors qu’avec f ∈ M et (fnk ) ⊂ M , il existe
N ∈ A tel que µ(N) = 0 et f (x) = limk→∞ fnk (x) ∀ x ∈ N c . Ainsi par la
remarque de 2.5, il existe f ∈ M tel que
lim fnk = f p.p.
k→∞
Pas 2 [terminal]
f ∈ Lp et
lim kfnk − f kp = 0 .
k→∞
En effet, prendre l > k , et utiliser (2), Minkowski et (1), donne
kfnl − fnk k ≤
c
l−1
X
i=k
kfni+1 − fni k ≤
∞
X
2−i = 2−k+1 .
i=k
Comme lim fnl = f sur N et µ(N) = 0 , il suit par Fatou
l→∞
Z
Z
p
p
|f − fnk | dµ =
lim |fnℓ − fnk |p dµ
kf − fnk kp =
Nc
X
≤ lim inf
l→∞
Z
Nc
p
|fnℓ − fnk | dµ = lim inf
≤ [2−k+1]p → 0 ( k → ∞) .
l→∞
Z
X
|fnℓ − fnk |p dµ = lim inf kfnℓ − fnk kpp
ℓ→∞
Chapitre 5. Espaces Lp
66
Donc
f = fnk +(f − fnk ) ∈ Lp
|{z} | {z }
∈Lp
5.13
lim kf − fnk kp = 0 .
et
k→∞
∈Lp
Corollaire [d’ Extraction]
Soit 1 ≤ p < ∞ .
Supposons que f ∈ Lp
et
p
∃ (fn )∞
n=1 ⊂ L
tel que
lim kf − fn kp = 0 .
(A)
n→∞
∞
Alors il existe une sous-suite (fnk )∞
k=1 ⊂ (fn )n=1
lim fnk = f
k→∞
( nk ≥ k )
tel que
p.p.
Preuve :
(fn ) de Cauchy implique par la preuve de 5.12 qu’il existe une sous-suite
∞
(fnk )∞
et g ∈ Lp tel que
k=1 ⊂ (fn )n=1 ( nk ≥ k )
lim fnk = g
k→∞
p.p.
(1)
et
lim kfn − gkp = 0 .
(2)
n→∞
Par (A) et (2)
kf − gk ≤ kf − fn k + kfn − gk → 0 ( n → ∞) ,
d’où kf − gk = 0
On obtient par (1)
i.e. f = g
lim fnk = f
k→∞
p.p.
p.p.
NB. La convergence dans Lp implique la convergence p.p. modulo extraction.
Fonctions bornées
Exercice
Soit
B = B(X, A)
donné par
B = {f : X → IR : f ∈ M et kf k∞ = sup |f (x)| < ∞} .
x∈X
Alors,
Chapitre 5. Espaces Lp
67
a)
(B, k · k∞ ) est un espace normé ;
b)
(B, k · k∞ ) est un espace normé complet i.e. de Banach.
Solution :
a) est facile.
b) Soit (fn )∞
n=1 ⊂ B de Cauchy.
Soit ε > 0 arbitraire . Alors il existe N(ε) tel que
m, n ≥ N
⇒
kfm − fn k∞ ≤ ε
⇒
∀x ∈ X
|fm (x) − fn (x)| ≤ ε .
Il suit que ∀ x ∈ X (fn (x)) est une suite de Cauchy dans (IR, | · |) complet .
Ainsi ∀ x ∈ X ∃ f (x) ∈ IR tel que f (x) = lim fn (x) . En outre f ∈ M .
n→∞
Ensuite il suit que pour m → ∞ il existe N(ε) tel que
n≥N
⇒
∀x ∈ X
|f (x) − fn (x)| ≤ ε
⇒
kf − fn k∞ ≤ ε .
Donc pour n suffisamment grand, f − fn ∈ B donnant f = fn + (f − fn ) ∈ B .
En outre,
lim kf − fn k∞ = 0 .
n→∞
”Fonctions” bornées p.p.
5.14
Définitions [bornée p.p., l’espace L∞ (X, A, µ)]
Une fonction f : X → IR tel que f ∈ M est bornée p.p. (notation : f ∈ L∞ ) ssi
∃ N ∈ A tel que µ(N) = 0 et
Sf [N] := sup{|f (x)| | x ∈ N c } < ∞ .
L∞ = L∞ (X, A, µ) est défini par
L∞ :=
L∞
= { [f ] ∈ M | f bornée p.p.}
N
Chapitre 5. Espaces Lp
68
Pour toute classe [f ] ∈ L∞ on définit
k[f ]k∞ := inf{Sf [N] : N ∈ A tel que µ(N) = 0}
Un élément de L∞ est appelé ”fonction” bornée p.p. et k[f ]k∞ est appelé
suprémum essentiel de ”f ” (on confond classes et fonctions).
NB.
Les définitions sont sans problèmes.
a) Propriété bornée p.p. partagée pour tout g ∈ [f ]
i.e. si f, g : X → IR , ∈ M , f bornée p.p. , et g = f p.p.
alors g bornée p.p.
(f bornée p.p.
g = f p.p.
⇔
⇐⇒
∃ N1 ∈ A avec µ(N1 ) = 0
∃ N2 ∈ A avec µ(N2 ) = 0
et
tel que Sf [N1 ] < ∞ .
f = g sur N2c .
Soit alors N := N1 ∪ N2 . Alors N ∈ A, µ(N) = 0 et N c = N1c ∩ N2c .
Ainsi Sg [N] = Sf [N] ≤ Sf [N1 ] < ∞ . Il suit que g est bornée p.p.)
b) k · k∞ bien définie i.e.
∀ g ∈ [f ]
k[g]k∞ = k[f ]k∞
(On a
g ∈ [f ]
En effet
Prendre
Soit alors
tel que
g ∈ [f ]
N ∈A
⇒
⇒
k[g]k∞ ≤ k[f ]k∞ .
∃ N1 ∈ A tel que µ(N1 ) = 0
tel que
(A)
g = f sur N1c .
et
µ(N) = 0 .
N2 = N1 ∪ N . Alors
N2 ∈ A ,
µ(N2 ) = 0
et
N2c = N1c ∩ N c
k[g]k∞ ≤ Sg [N2 ] = Sf [N2 ] ≤ Sf [N] .
On obtient (A) en prenant l’infimum sur tout N ∈ A tel que µ(N) = 0 .
Noter que
[f ] = [g]
⇒
f ∈ [g]
Par la suite on confond [f ] et f .
d’ où par symétrie
k[f ]k∞ ≤ k[g]k∞ .)
Chapitre 5. Espaces Lp
5.15
69
Proposition [|f (x)| ≤ kf k∞ p.p.]
Si f ∈ L∞
En outre, si
alors |f (x)| ≤ kf k∞ p.p.
K ≥ 0 tel que K < kf k∞
alors
A := {x ∈ X | |f (x)| > K} ∈ A et µ(A) > 0
Preuve :
a) Par la définition infimale de kf k∞ :
∃ (Nn ) ⊂ A ,
Prendre
N=
µ(Nn ) = 0 ∀ n tel que
S
kf k∞ ≤ Sf [Nn ] ≤ kf k∞ + n−1 .
n≥1
Nn . Alors N ∈ A , µ(N) = 0 , N c ⊂ Nnc pour tout n .
Il suit que ∀ x ∈ N c
|f (x)| ≤ Sf [Nn ] ≤ kf k∞ + n−1
∀n.
D’où |f (x)| ≤ kf k∞ sur N c . Avec f ∈ M , on a trouvé un ensemble N ∈ A
tel que µ(N) = 0 et |f (x)| ≤ kf k∞ sur N c .
Par la remarque de 2.5, il suit que |f (x)| ≤ kf k∞ p.p.
b) A ∈ A est évident . Supposons que µ(A) = 0 . Alors kf k∞ ≤ Sf [A]
où Sf [A] = sup{|f (x)| | x ∈ Ac } ≤ K . Donc kf k∞ ≤ K : →← .
Il suit que µ(A) > 0 .
5.16
Théorème [L∞ est un espace de Banach]
(L∞ , k · k∞ ) est un espace normé complet i.e. de Banach.
Preuve :
on vérifie sans peine que
∞
L
L∞ =
est un espace linéaire kf k∞ ∈ IR+
N
a) [Annulation] :
kf k∞ = 0
⇔
et
f (x) = 0 p.p.
kαf k∞ = |α| kf k∞ .
⇔
[f ] = [θ]
Chapitre 5. Espaces Lp
70
kf k∞ = 0 . Par la définition de kf k∞ ∃ (Nn ) ⊂ A avec µ(Nn ) = 0 et
=⇒ :
kf k ≤ Sf [Nn ] ≤ kf k∞ +n−1 .
| {z∞}
| {z }
=0
Définir
N=
S
n≥1
c
Ainsi ∀ x ∈ N
=0
Nn . Alors N ∈ A , µ(N) = 0 et N c ⊂ Nnc
|f (x)| ≤ Sf [N] ≤ n−1
Il suit f (x) = 0 p.p.
⇐= :
f (x) = 0 p.p.
Ainsi
⇒
∀n.
∀n.
∃ N ∈ A avec µ(N) = 0 et f (x) = 0 sur N c .
kf k∞ ≤ Sf [N] = supx∈N c |f (x)| = 0 . Il suit que
kf k∞ = 0 .
b) [Verification de l’inégalité triangulaire]
Soit fi ∈ L∞ , i = 1, 2 .
Par 5.15, pour i = 1, 2 ∃ Ni ∈ A avec µ(Ni) = 0 et |fi (x)| ≤ kfi k∞ sur Nic .
Prendre N := N1 ∪ N2 . Alors N ∈ A , µ(N) = 0 et N c ⊂ Nic pour i = 1, 2 .
Ainsi ∀ x ∈ N c
|f1 (x) + f2 (x)| ≤ |f1 (x)| + |f2 (x)| ≤ kf1 k∞ + kf2 k∞
d’ où
kf1 + f2 k∞ ≤ Sf1 +f2 [N] ≤ kf1 k∞ + kf2 k∞ .
c) [L∞ est Complet]
∞
Soit (fn )∞
une suite de Cauchy
1 ⊂ L
i.e.
∀ ε > 0 ∃ N(ε) > 0 tel que m, n ≥ N(ε)
⇒
kfm − fn k ≤ ε .
Objectif : ∃ N ∈ A avec µ(N) = 0 tel que sur N c (fn )∞
1 est une suite de Cauchy
c
c
dans B(N , A) = {fonctions mes. bornées sur N munies de la norme Sf [N]} qui est
complet.
Par 5.15
∀ n fn ∈ L∞ : ∃ Nn ∈ A , µ(Nn ) = 0 et ∀ x ∈ Nnc
∀ m, n fm − fn ∈ L∞ : ∃ Nmn ∈ A ,
µ(Nmn ) = 0 et
|fn (x)| ≤ kfn k∞ ,
c
∀ x ∈ Nmn
|fm (x) − fn (x)| ≤ kfm − fn k∞ .
S
S
Définir N =
Nn ∪
Nmn . Alors N ∈ A , µ(N) = 0 et N c ⊂ Nnc
n
et
c
N c ⊂ Nmn
m,n
∀ m, n .
∀n
Chapitre 5. Espaces Lp
71
Alors
Sfn [N] ≤ Sfn [Nn ] ≤ kfn k∞ < ∞ .
∀n
∀ε>0
m, n ≥ N(ε)
avec
Sfm −fn [N] ≤ Sfm −fn [Nmn ] ≤ kfm − fn k∞ ≤ ε .
c
On trouve que sur N c (fn )∞
1 est une suite de Cauchy dans B(N , A) complet .
Donc ∃ f ∈ B(N c , A) (mesurable et bornée sur N c ) tel que
Sfn −f [N] → 0 ( n → ∞) .
Poser f (x) = 0 ∀ x ∈ N . Alors f est bien définie sur X ,
f ∈ L∞ (bornée) et
mesurable (exercice),
kfn − f k∞ ≤ Sfn −f [N] → 0 ( n → ∞) .
5.17
Proposition [Inégalité]
Si f ∈ Lp où 1 ≤ p ≤ ∞ et g ∈ L∞
alors f g ∈ Lp et kf gkp ≤ kf kp kgk∞ .
NB. pour p = 1 , on obtient l’inégalité de Hölder pour p = 1 .
Preuve :
a) p < ∞ :
g ∈ L∞
=⇒
⇒
|g(x)| ≤ kgk∞ p.p.
|f (x) · g(x)|p = |f (x)|p |g(x)|p ≤ |f (x)|p kgkp∞ p.p.
Ainsi par intégration
kf gkpp ≤ kf kpp kgkp∞ .
b) p = ∞ :
f, g ∈ L∞
=⇒
⇒
|f (x)| ≤ kf k∞ p.p. et |g(x)| ≤ kgk∞ p.p.
|f (x) · g(x)| ≤ kf k∞ kgk∞ p.p. i.e. sur N c .
Ainsi
kf gk∞ ≤ Sf g [N] ≤ kf k∞ kgk∞ .
Chapitre 6
Mesure de Lebesgue
Sommaire
• Données [Classes D et Ds ; mesure de longueur] . . . . . . . . . .
73
6.1
Définition [Algèbre] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
6.2
Définition [Mesure et Espace Prémesuré] . . . . . . . . . . . .
74
6.3
Triplet générateur d’un espace prémesuré . . . . . . . . . . . .
74
6.4
Proposition [(IR, Ds, ℓ0 ) est un espace prémesuré] . . . . . . .
77
• Procédé d’extension de Carathéodory . . . . . . . . . . . . . . . .
80
6.5
Définition [Mesure extérieure µ∗] . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
6.6
Proposition [Propriétés élémentaires de
. . . . . . . . . . .
81
6.7
Définition [µ∗-mesurable ; classe A∗] . . . . . . . . . . . . . . .
82
6.8
Théorème [d’ Extension de Carathéodory : (X, A∗, µ∗)
est un espace mesuré] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
Proposition [Parties de mesure extérieure nulle] . . . . . . . .
86
6.10 Théorème [d’Unicité d’Extension de Hahn] . . . . . . . . . . .
86
• Espace mesuré de Lebesgue sur IR . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
6.11 Construction de l’espace mesuré de Lebesgue . . . . . . . . .
87
Commentaires sur la restriction à B . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
6.12 Théorème [de Calibrage] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
6.13 Théorème [Fonctions presque Borel-mesurables] . . . . . . . .
89
6.9
72
µ∗]
73
Chapitre 6. Mesure de Lebesgue
Objectif
Construire l’espace mesuré complet de Lebesgue sur IR à partir de la notion de longueur
d’intervalle.
Données [Classes D et Ds ; mesure de longueur]
1. Ds := classe des réunions finies d’intervalles de classe D (”semi-ouvert droit”)
i.e.
E = (a, b] ,
(a, ∞) ,
(−∞, b] ,
(−∞, ∞) ,
où s.p.d.g. toute réunion est disjointe (en enlevant des parties communes).
˙ 1 , b2 ]
e.g. (a1 , b1 ] ∪ (a2 , b2 ] = (a1 , b1 ] ∪(b
a1
2. ∀ E ∈ Ds avec E = ∪˙ Ei
i∈n
a2
b1
b2
(Ei ∈ D) , on définit sa longueur par la somme des
longueurs des intervalles Ei ; par exemple avec les Ei = (ai , bi ]
X
X
ℓ0 (E) :=
ℓ0 (Ei ) =
(bi − ai ) .
i∈n
i∈n
Noter que ℓ0 n’est pas une mesure sur Ds car Ds n’est pas une σ-algèbre.
S
En effet
(a, b − n−1 ] = (a, b) ∈
/ Ds .
n≥N
Pour parer à la situation, on lance le concept de mesure sur une algèbre.
6.1
Définition [Algèbre]
Une classe A ⊂ P(X) est une algèbre ssi
i)
ii)
iii)
∅, X ∈ A ,
E∈A
⇒
(Ei )i∈n ⊂ A
Ec ∈ A ,
S
⇒
Ei ∈ A .
i∈n
Note : une algèbre est fermée sous un nombre fini d’opérations ensemblistes : noter que
"
#c
T
S c
∀ (Ei )i∈n ⊂ A :
Ei =
Ei ∈ A ,
i∈n
E1 , E2 ∈ A
⇒
i∈n
E1 \ E2 = E1 ∩ E2c ∈ A .
74
Chapitre 6. Mesure de Lebesgue
6.2
Définition [Mesure et Espace Prémesuré]
Soit A ⊂ P(X) une algèbre.
µ est une mesure sur l’algèbre A
µ : A → IR
ssi
i)
µ(∅) = 0 ,
ii)
µ(E) ≥ 0 ∀ E ∈ A ,
iii)
On a la σ-additivité conditionnelle i.e.
(Ei )∞
i=1 ⊂ A
tel que
∞
deux à deux disjoints tel que
⇒
µ(E) =
∞
X
E := ∪˙ Ei ∈ A
i=1
µ(Ei ) .
i=1
Tout triplet (X, A, µ) où A ⊂ P(X) est une algèbre et µ une mesure sur A est appelé
espace prémesuré.
Les Définitions et le Théorème suivants allègent la vérification d’un espace prémesuré.
6.3
Triplet générateur d’un espace prémesuré
Définitions
Une classe C ⊂ P(X) est une semi-algèbre ssi
(i)
∅ et X ∈ C ,
(ii)
C1 , C2 ∈ C
(iii)
C∈C
⇒
⇒
C1 ∩ C2 ∈ C ,
C c = ∪˙ Ci
i∈n
Ci ∈ C .
Notes
a) Noter que
C1 \ C2 = ∪˙ {C ∈ C}
∀ C1 , C2 ∈ C
(car
f
C1 ∩ C2c = C1 ∩ ∪˙ {Cj ∈ C} = ∪˙ {C1 ∩ Cj ∈ C}).
b) S.p.d.g. toute réunion
f
S
i∈n
f
Ci où Ci ∈ C est disjointe
(Suit par récurrence. Soit
Rj =
j
S
i=1
Ci . L’assertion est vraie pour j = 1 .
(A)
75
Chapitre 6. Mesure de Lebesgue
On montre : Vrai pour j
⇒
Vrai pour j + 1 .
En effet, en utilisant l’hypothèse de récurrence
Rj+1 = Rj ∪ Cj+1 = ∪˙ {Ck ∈ C} ∪ Cj+1 = ∪˙ {Ck \ Cj+1} ∪˙ Cj+1
f
où par (A)
∀k
f
Ck \ Cj+1 = ∪˙ {C ∈ C} . Donc
f
Finalement pour j = n :
Rj+1 = ∪˙ {C ∈ C} . CQFD.
f
Rn = ∪ Ci = ∪˙ {C ∈ C})
i∈n
f
Soit C ⊂ P(X) est une semi-algèbre. Alors µ est une mesure sur C ssi µ : C → IR+ ,
µ(∅) = 0 , et µ est conditionnellement σ-additive sur C i.e.
(Ci)∞
i=1 ⊂ C
∞
où les Ci sont deux à deux disjoints tel que C := ∪ Ci ∈ C
i=1
∞
P
=⇒ µ(C) =
µ(Ci) .
(C)
i=1
Tout triplet (X, C, µ), où C ⊂ P(X) est une semi-algèbre et µ est une mesure sur C, est
appelé triplet générateur .
En effet, définissons deux extensions additives respectivement de C et de µ, i.e.
a) A ⊃ C donnée par
A∈A
ssi
A := ∪{C ∈ C}
f
(réunion vide incluse) ,
(AC)
(i.e. A est l’ ensemble des réunions finies d’éléments de C , appelée algèbre engendrée par C ).
b) µ : A → IR+ donnée pour tout A ∈ A tel que avec A = ∪˙ Ci
i∈n
µ(A) :=
X
i∈n
On obtient alors :
µ(Ci ) .
(Ci ∈ C)
(MA)
76
Chapitre 6. Mesure de Lebesgue
Théorème
Soit (X, C, µ) un triplet générateur, A l’algèbre engendrée par C, et µ l’extension sur
A, définies par respectivement (AC) et (MA).
Alors
(X, A, µ) est un espace prémesuré, où µ est une mesure d’extension unique sur A .
Preuve :
A est une algèbre.
Pas 1
On montre que la définition d’algèbre est vérifiée par A .
1.
2.
3.
∅, X ∈ A [car ∅, X ∈ C ]
A1 , A2 ∈ A
A∈A
⇒
A1 ∪ A2 ∈ A [par la définition de A].
Ci
Ci ∈ C
Ac ∈ A .
⇒
En effet
n
S
A=
i=1
Dès lors
c
A =
n
T
i=1
Pas 2
Cic
=
n
T
i=1
m
Si
∀ i Cic =
où
Ciki
ki =1
=
m
S1
k1 =1
µ est bien définie sur A
si A ∈ A est découpé de deux façons
A = ∪˙ {Ci ∈ C} = ∪˙ {Dj ∈ C} alors
i.e.
i∈m
où Ciki ∈ C .
Ciki
ki =1
m
Sn
{C1k1 ∩ . . . ∩ Cnkn } ∈ A .
|
{z
}
kn =1
∈C
c.à.d.
j∈n
X
µ(Ci) =
X
∆
µ(Dj ) = µ(A) ,
j∈n
i∈m
i.e.
···
m
Si
(MA) est indépendant du découpage de A .
En effet
A=
avec
et
∪˙
(i,j)∈m×n
(Ci ∩ Dj )
où Ci ∩ Dj ∈ C ,
X
Ci = ∪˙ Ci ∩ Dj
tel que par (MA) µ(Ci) =
Dj = ∪˙ Ci ∩ Dj
tel que par (MA) µ(Dj ) =
j∈n
i∈m
j∈n
µ(Ci ∩ Dj ) ,
X
i∈m
µ(Ci ∩ Dj ) .
77
Chapitre 6. Mesure de Lebesgue
Dès lors
X
(i,j)∈m×n
Pas 3
µ(Ci ∩ Dj ) =
X
µ(Ci ) =
i∈m
X
µ(Dj ) .
j∈n
µ est une mesure sur A .
En effet par la définition (MA) µ est additive sur A.
En outre µ sera conditionnellement σ-additive sur A.
∞
En effet, avec
A = ∪˙ Ai
i=1
où les Ai et A sont dans A tel que
ni
A = ∪˙ Cl
(Cl ∈ C) et Ai = ∪˙ Cik
l∈m
k=1
noter que
∞
∞
(Cik ∈ C) ,
ni
Cl = A ∩ Cl = ∪˙ (Ai ∩ Cl ) = ∪˙ ∪˙ (Cik ∩ Cl ) ,
i=1 k=1 | {z }
i=1
∈C
d’ où par (C)
µ(Cl ) =
ni
∞ X
X
i=1 k=1
Dès lors
µ(A) =
m
X
µ(Cl ) =
i.e.
∞ X
m
X
i=1 l=1
l=1
Pas 4
(M A)
µ(Cik ∩ Cl ) =
∞
X
i=1
µ(Ai ∩ Cl ) .
µ(Ai ∩ Cl ) =
µ est une mesure d’extension unique sur A ,
si ν : A → IR+ est une mesure tel que
∀C∈C
∞
X
µ(Ai ) .
i=1
ν(C) = µ(C) alors
∀ A ∈ A ν(A) = µ(A) .
En effet, A = ∪˙ Ci
i∈n
avec Ci ∈ C donne
ν(A) =
X
i∈n
6.4
ν(Ci ) =
X
µ(Ci ) = µ(A) .
i∈n
Proposition [(IR, Ds, ℓ0 ) est un espace prémesuré]
Ds (classe des réunions finies d’intervalles de D) est une algèbre et la longueur ℓ0
est une mesure sur Ds i.e. (IR, Ds , ℓ0 ) est un espace prémesuré.
78
Chapitre 6. Mesure de Lebesgue
Preuve :
Par le Théorème 6.3, il suffit de montrer que (IR, D, ℓ0 ) est un triplet
générateur car alors par les définitions Ds est une algèbre (engendrée par D) et ℓ0 est
une mesure sur Ds .
Pas 1
D est une semi-algèbre.
En effet : 1) ∅ (= (a, b] où a = b) et IR ∈ D, 2) D est fermé sous des intersections
finies, et 3) tout E ∈ D est tel que E c est une réunion finie disjointe d’éléments de
D , e.g. (a, b ]c = (−∞, a ] ∪ (b, ∞). Par le Théorème 6.3, il s’ensuit que Ds est une
algèbre (engendrée par D) .
Pas 2
ℓ0 est additive, monotone et sous-additive sur Ds
En effet par la définition de ℓ0 : Ds → IR+ , ℓ0 est additive, car avec E1 , E2 ∈ Ds
disjoints, ℓ0 (E1 ∪˙ E2 ) = ℓ0 (E1 ) + ℓ0 (E2 ).
Remarquer alors qu’ avec E, F ∈ Ds , F \ E ∈ Ds (algèbre), tel que E ⊂ F implique
ℓ0 (E) ≤ ℓ0 (F ) (monotonie). Ensuite avec E, F ∈ Ds , ℓ0 (E ∪ F ) ≤ ℓ0 (E) + ℓ0 (F )
(sous-additivité).
Pas 3
ℓ0 est une mesure sur D .
En effet ℓ0 sera conditionnellement σ-additive sur D, i.e.




∞

 (En )n=1 ⊂ D deux à deux disjoints 

X
⇒
ℓ
(E)
=
ℓ0 (En ) .
0
S




E
=
E
∈
D
n≥1
n


(L)
n≥1
Il y a quatre cas : E = (a, b ], (a, ∞), (−∞, b ], IR .
a) Cas E = (a, b ]
Comme a et b ∈ IR il suit que ∀ n En = (an , bn ] (i.e. intervalles finis), deux à
deux disjoints et contigus (sinon on ne recouvre pas (a, b]).
On vérifie (L) par deux inégalités opposées.
P
1) ℓ0 (E) ≥
ℓ0 (En )
n≥1
En effet, en considérant k intervalles En = (an , bn ] s.p.d.g. réordonnés tel que
a ≤ a1 < b1 ≤ a2 < b2 ≤ · · · ≤ ak < bk ≤ b
on obtient
k
X
n=1
ℓ0 (En ) ≤ bk − a1 ≤ b − a = ℓ0 (E) .
En laissant k tendre vers l’infini, on obtient 1).
79
Chapitre 6. Mesure de Lebesgue
2)
ℓ0 ((a, b]) ≤
P
ℓ0 ((an , bn ])
n≥1
La démonstration commence par considérer un
P
ε 2−n tel que
εn = ε.
ε > 0 arbitraire
et
εn =
n≥1
Comme les En = (an , bn ] sont contigus il existe une sous-suite (ani )∞
i=1 ⊂ (an )
tel que ani → a ( i → ∞) . Ainsi il existe un ani tel que ani − ε1 < a .
En échangant les indices ni et 1 on obtient que a1 satisfait a1 − ε1 < a .
ε1
a
a1
Définir alors
On := (an − εn , bn + εn ) et Jn := (an − εn , bn + εn ] ∈ D .
Noter que a ∈ O1 et
∀ n En ⊂ On ⊂ Jn = (an − εn , an ] ∪ En ∪(bn , bn + εn ]
tel que
Il suit
d’ où
∀ n ℓ0 (Jn ) = ℓ0 (En ) + 2 εn .
∞
S
On et a ∈ O1 ,
(a, b] = E = ∪ En ⊂
n≥1
[a, b] ⊂
∞
S
On
n=1
(On )∞
n=1 est un recouvrement ouvert de [a, b] .
i.e.
n=1
Ainsi par le Théorème de Heine-Borel [a, b] admet un sous-recouvrement fini
(Onj )kj=1 donnant :
E = (a, b] ⊂ [a, b] ⊂
j=1
d’où
ℓ0 (E) ≤ ℓ0
|
ℓ0 monotone
k
S
Jn j
j=1
!
≤
|
k
S
k
X
j=1
O nj ⊂
k
S
Jn j ,
j=1
k
X
ℓ0 (Jnj ) =
[ℓ0 (Enj ) + 2 εnj ] .
j=1
ℓ0 sous-additif
Ainsi en complétant des sommes
X
X
X
ℓ0 (E) ≤
ℓ0 (En ) + 2
εn =
ℓ0 (En ) + 2 ε
n≥1
n≥1
n≥1
80
Chapitre 6. Mesure de Lebesgue
où ε > 0 est arbitraire, donc
ℓ0 (E) ≤
X
ℓ0 (En ) .
n≥1
b) Cas E = (a, ∞), (−∞, b ], IR
∞
Avec E = ∪˙ (En ∈ D) , s.p.d.g. ∀ n ℓ0 (En ) < ∞ , (sinon pas de problème).
n=1
∞
m
m
˙
Noter qu’il existe (E m )∞
m=1 ⊂ D , tel que ∀ m ℓ0 (E ) = 1 et E = ∪ E .
m=1
Considérer Enm := E m ∩ En ∈ D .
Alors
∞
∞
∞
n=1
m=1
m,n=1
E = ∪˙ En = ∪˙ E m =
où
∞
En = ∪˙ Enm
m=1
∪˙ Enm ,
∞
et E m = ∪˙ Enm ,
n=1
où l’on est dans le cas a). Ainsi
∞
∞ X
∞
∞ X
∞
∞
X
X
X
X
m
m
m
ℓ0 (E) =
ℓ0 (E ) =
ℓ0 (En ) =
ℓ0 (En ) =
ℓ0 (En ) .
m=1
m=1 n=1
n=1 m=1
n=1
Procédé d’extension de Carathéodory
Donné : (X, A, µ) un espace prémesuré où A est une algèbre et µ une mesure sur A .
Objectif : trouver une σ-algèbre A∗ ⊃ A et une mesure µ∗ sur A∗ tel que
∀ A ∈ A µ∗ (A) = µ(A) .
(i.e. trouver un espace mesuré (X, A∗ , µ∗) d’extension) : sera obtenu par les définitions
6.5 et 6.7.
6.5
Définition [Mesure extérieure µ∗]
Soit A ⊂ X . La mesure extérieure de A , notée µ∗ (A) , est donnée par
(∞
)
∞
X
S
µ∗ (A) = inf
µ(En ) | (En )∞
En
n=1 ⊂ A tel que A ⊂
n=1
n=1
où la condition de l’ensemble droit veut dire (En )∞
n=1 est un A-recouvrement de A .
Idée : calibrer A par µ en utilisant des parties A-mesurables.
81
Chapitre 6. Mesure de Lebesgue
6.6
Proposition [Propriétés élémentaires de µ∗]
µ∗ est tel que
a)
µ∗ (∅) = 0 ;
b)
µ∗ (A) ≥ 0
c)
[Monotonie]
d)
[Extension]
e)
[ µ∗ σ-sous-additive]
∀ A⊂X;
si A ⊂ B , alors µ∗ (A) ≤ µ∗ (B) ;
si A ∈ A , alors µ∗ (A) = µ(A) ;
(An )∞
n=1 ⊂ P(X)
µ∗ (
⇒
S
n≥1
An ) ≤
X
µ∗ (An ) .
n≥1
Preuve :
a) Comme ∅ ∈ A
b) Par 6.5
0 ≤ µ∗ (∅) ≤ µ(∅) = 0 d’ où
par 6.4
µ∗ (A) ≥ 0 .
µ∗ (∅) = 0 .
⇒ tout A-recouvrement (En )∞
n=1 de B est un A-recouvrement de A .
P
Dès lors par 6.5, pour tout A-recouvrement (En ) de B µ∗ (A) ≤
µ(En ) .
c) A ⊂ B
n≥1
∗
∗
Par 6.5 en prenant l’infimum, µ (A) ≤ µ (B) .
d) A ∈ A . Par 6.5 on obtient
µ∗ (A) ≤ µ(A) .
Soit alors (En )∞
n=1 un A-recouvrement de A ∈ A . Alors
S
T S
S
En .
En =
(A ∩ En ) ⊂
A =A
|{z}
| {z }
n≥1
n≥1
n≥1
∈A
∈A
Dès lors, comme µ est conditionnellement σ-(sous-)additive sur A
µ(A) ≤
X
n≥1
µ(A ∩ En ) ≤
X
µ(En )
inf
=⇒
n≥1
µ(A) ≤ µ∗ (A) .
−n
e) Considérer (An )∞
, tel que
n=1 ⊂ P(X) , ε > 0 , εn = ε 2
Par la définition infimale de µ∗ (An ) :
∀ n ∃ (Enk )∞
k=1
un A-recouvrement de An tel que
∗
µ (An ) ≤
∞
X
k=1
µ(Enk ) ≤ µ∗ (An ) + εn .
∞
P
n=1
εn = ε.
82
Chapitre 6. Mesure de Lebesgue
Alors (Enk )∞
n,k=1 est un A-recouvrement de
∞
X
n,k=1
µ(Enk ) ≤
inf
=⇒
µ
∗
∞
X
S
An tel que
n≥1
µ∗ (An ) + ε
n=1
S
An
n≥1
Ainsi
µ
∗
S
≤
X
An
n≥1
µ∗ (An ) + ε
( ε arbitraire).
n≥1
≤
X
µ∗ (An ) .
n≥1
On dispose dès à présent d’un espace prémesuré (X, A, µ) et d’ une mesure extérieure
µ∗ : P(X) → IR+ qui est une extension σ-sous-additive de µ sur P(X) .
6.7
Définition [µ∗-mesurable ; classe A∗]
On définit successivement :
1. E ∈ P(X) est µ∗-mesurable ssi
∀A⊂X
c
µ∗ (A) = µ∗ (A ∩ E) + µ∗ (A
| ∩
{zE})
=A\E
NB. Noter que les parties de A dans E et dans E c sont distinguées de façon additive
par µ∗ . En outre, comme µ∗ est sous-additive, il suffit que
∀A⊂X
µ∗ (A) ≥ µ∗ (A ∩ E) + µ∗ (A ∩ E c ) .
2. A∗ := {E ⊂ X | E est µ∗ -mesurable} .
83
Chapitre 6. Mesure de Lebesgue
6.8
Théorème [d’ Extension
de
Carathéodory
:
(X, A∗, µ∗) est un espace mesuré]
Soient donnés un espace prémesuré (X, A, µ) et A∗ classe des parties µ∗ -mesurables.
Alors
a) A ⊂ A∗ ;
b) A∗ est une σ-algèbre ;
c) µ∗ est σ-additive sur A∗
∀
(En )∞
n=1
⊂A
∗
i.e.
deux à deux disjoints,
µ
∗
S
En
n≥1
=
∞
P
µ∗ (En ) .
n=1
NB. Ainsi (X, A∗ , µ∗ ) est un espace mesuré qui étend (X, A, µ) i.e. A est contenu dans
une σ-algèbre A∗ et µ∗ est une mesure sur A∗ tel que (cfr. 6.6) ∀ A ∈ A µ∗ (A) = µ(A) .
Preuve :
La preuve utilise trois pas.
Pas 1 : A ⊂ A∗
Soit E ∈ A . Il faut montrer que E ∈ A∗ . Soit A ⊂ X . Prendre ε > 0 .
Par la définition infimale de µ∗ (A) ∃ un A-recouvrement (Fn )∞
1 de A tel que
∞
X
n=1
Noter que A ⊂
∞
S
µ∗ (Fn ) ≤ µ∗ (A) + ε .
Fn donne
n=1
A∩E ⊂
où µ∗ = µ sur A . Donc
[
(Fn ∩ E ) et A \ E ⊂
| {z }
n≥1
∈A
µ∗ (A ∩ E) + µ∗ (A \ E) ≤
=
X
n≥1
X
n≥1
=
X
n≥1
[
(Fn \ E ) ,
| {z }
n≥1
µ(Fn ∩ E) +
∈A
X
n≥1
µ(Fn \ E)
[µ(Fn ∩ E) + µ(Fn \ E)]
µ(Fn ) ≤ µ∗ (A) + ε
avec ε arbitraire. Il suit µ∗ (A ∩ E) + µ∗ (A \ E) ≤ µ∗ (A) . Ainsi E ∈ A∗ .
84
Chapitre 6. Mesure de Lebesgue
Pas 2 : A∗ est une algèbre et µ∗ est additive sur A∗ tel que ∀ E, F ∈ A∗ disjoints
µ∗ (A ∩ (E ∪ F )) = µ∗ (A ∩ E) + µ∗ (A ∩ F ) .
∀A⊂X
En effet
a) φ et X ∈ A∗
(car avec E = ∅ ou X :
∀A⊂X
µ∗ (A ∩ E) + µ∗ (A ∩ E c ) = 0 + µ∗ (A) = µ∗ (A))
b) E ∈ A∗
E c ∈ A∗
⇒
(noter que
E cc = E ,
d’où
∀A⊂X
µ∗ (A ∩ E c ) + µ∗ (A ∩ E cc ) = µ∗ (A ∩ E c ) + µ∗ (A ∩ E) = µ∗ (A))
c) E, F ∈ A∗
⇒
E ∪ F ∈ A∗
(il faut montrer :
∀A⊂X
µ∗ (A) = µ∗ (A ∩ (E ∪ F )) + µ∗ (A ∩ E c ∩ F c ) .
Noter que
E ∈ A∗
F ∈ A∗
E ∈ A∗
⇒ µ∗ (A) = µ∗ (A ∩ E) + µ∗ (A ∩ E c )
| {z }
⇒
µ∗ (A ∩ E c ) = µ∗ (A ∩ E c ∩ F ) + µ∗ (A ∩ E c ∩ F c )
| {z }
⇒ µ∗ (A ∩ (E ∪ F ))
= µ∗ (A ∩ (E ∪ F ) ∩ E) + µ∗ (A ∩ (E ∪ F ) ∩ E c )
= µ∗ (A ∩ E) + µ∗ (A ∩ F ∩ E c ) .
Donc en combinant
∀A⊂X
µ∗ (A) = µ∗ (A ∩ E) + µ∗ (A ∩ E c ∩ F ) + µ∗ (A ∩ E c ∩ F c )
= µ∗ (A ∩ (E ∪ F )) + µ∗ (A ∩ E c ∩ F c ))
(A)
85
Chapitre 6. Mesure de Lebesgue
d) par a) − c)
A∗ est une algèbre
e) ∀ E, F ∈ A∗ disjoints,
E ∈ A∗ :
comme
∀A⊂X
µ∗ (A ∩ (E ∪ F )) = µ∗ (A ∩ (E ∪ F ) ∩ E) + µ∗ (A ∩ (E ∪ F ) ∩ E c )
= µ∗ (A ∩ E) + µ∗ (A ∩ F ) .
Donc (A) est vrai.
f) en mettant A = X
dans (A) il suit que
i.e. µ∗ est additive sur A∗ .
µ∗ (E ∪ F ) = µ∗ (E) + µ∗ (F )
Pas 3 : A∗ est une σ-algèbre et µ∗ est σ-additive surA∗
Noter que s.p.d.g. toute réunion dénombrable est disjointe. Ainsi il suffit de montrer :
∗
si (En )∞
n=1 ⊂ A
où les En sont deux à deux disjoints
alors
et si E := ∪˙ En
n≥1
E ∈ A∗ ,
et
∗
µ (E) =
∞
X
µ∗ (En ) .
n=1
k
En effet, considérons ∀ k
Fk := ∪˙ En . Alors Fk ∈ A∗ (algèbre) d’ où
n=1
µ∗ (A) = µ∗ (A ∩ Fk ) + µ∗ (A \ Fk )
∀A⊂X
k
X
(A)
=
n=1
d’ où avec
Fk ⊂ E
⇒
µ∗ (A ∩ En ) + µ∗ (A \ Fk ) ,
A \ E ⊂ A \ Fk
∗
∀A⊂X
µ (A) ≥
k
X
n=1
µ∗ (A ∩ En ) + µ∗ (A \ E)
où k est arbitraire. Ainsi lorsque k → ∞ :
∀A⊂X
∗
µ (A) ≥
∞
X
n=1
µ∗ (A ∩ En ) + µ∗ (A \ E) .
Noter alors que µ∗ est σ-sous-additive et
∞
A ∩ E = ∪˙ A ∩ En
n=1
˙
et A = (A ∩ E) ∪(A
\ E) .
(1)
(2)
86
Chapitre 6. Mesure de Lebesgue
Ainsi :
∀A⊂X
µ∗ (A) ≥
∞
X
n=1
µ∗ (A ∩ En ) + µ∗ (A \ E)
≥ µ∗ (A ∩ E) + µ∗ (A \ E) ≥ µ∗ (A)
Donc, on obtient égalité partout d’ où l’on tire
∀A⊂X
si A = E
µ∗ (A) = µ∗ (A ∩ E) + µ∗ (A \ E)
∞
X
∗
µ (E) =
µ∗ (En )
=⇒
(1)
=⇒
(2)
n=1
CQFD.
6.9
Proposition [Parties de mesure extérieure nulle]
Si E ⊂ X tel que µ∗ (E) = 0
alors E ∈ A∗ .
NB. Il suit que (X, A∗ , µ∗ ) est un espace mesuré complet car pour tout A ∈ A∗
que µ∗ (A) = 0 on obtient : si B ⊂ A alors µ∗ (B) = 0 et B ∈ A∗ .
Preuve :
Soit E ⊂ X tel que µ∗ (E) = 0 . Soit A ⊂ X .
Alors µ∗ (A ∩ E) ≤ µ∗ (E) = 0 d’ où µ∗ (A ∩ E) = 0 . Ainsi
µ∗ (A ∩ E) + µ∗ (A \ E) = µ∗ (A \ E) ≤ µ∗ (A) .
Il suit E ∈ A∗ .
6.10
Théorème [d’Unicité d’Extension de Hahn]
Soit (X, A, µ) un espace prémesuré où µ est une mesure σ-finie sur A .
Alors µ admet une seule mesure d’extension µ∗ sur A∗ ⊃ A .
Preuve :
Comme µ est σ-finie s.p.d.g. X admet le partitionnement
X = ∪˙ Xn
n≥1
Xn ∈ A ⊂ A ∗
Soit ν une mesure sur A∗ tel que
avec µ(Xn ) = µ∗ (Xn ) < ∞ .
∀ A ∈ A ν(A) = µ(A) .
tel
87
Chapitre 6. Mesure de Lebesgue
Il suffit de montrer que
∀ E ∈ A∗
En effet, alors ∀ E ∈ A∗
µ∗ (E) =
X
n≥1
i.e.
µ∗ = ν .
∀ n µ∗ (E ∩ Xn ) = ν(E ∩ Xn ) .
µ∗ (E ∩ Xn ) =
X
n≥1
(*)
ν(E ∩ Xn ) = ν(E)
On montre (*) en deux pas.
Pas 1
∀ E ∈ A∗
ν(E) ≤ µ∗ (E)
En effet soit (Fk )∞
k=1 un A-recouvrement de E . Alors
!
X
X
[
µ(Fk ) .
ν(Fk ) =
Fk ≤
ν(E) ≤ ν
Dès lors par la définition infimale de µ∗ (E)
Pas 2
∀ E ∈ A∗
k≥1
k≥1
k≥1
ν(E) ≤ µ∗ (E) .
∀ n µ∗ (E ∩ Xn ) = ν(E ∩ Xn )
En effet, Xn ∈ A tel que avec X = E ∪˙ E c
µ(Xn ) = µ∗ (Xn ) =
= ν(Xn )
<∞
=
=⇒
µ∗ (E ∩ Xn ) + µ∗ (E c ∩ Xn )
ν(E ∩ Xn ) + ν(E c ∩ Xn )
<∞
<∞
En soustrayant la seconde égalité de la première il suit
0 = [µ∗ (E ∩ Xn ) − ν(E ∩ Xn )] + [µ∗ (E c ∩ Xn ) − ν(E c ∩ Xn )]
où les termes droits sont non-négatifs par le Pas 1. Ainsi tout terme doit être nul,
d’ où en particulier µ∗ (E ∩ Xn ) = ν(E ∩ Xn ) .
Espace mesuré de Lebesgue sur IR
6.11
Construction de l’espace mesuré de Lebesgue
L’espace mesuré de Lebesgue est obtenu par l’application du procédé d’extension
de Carathéodory à l’espace prémesuré (IR, Ds , ℓ0 ) où
88
Chapitre 6. Mesure de Lebesgue
• Ds est l’algèbre des réunions finies d’ intervalles de classe D ;
• ℓ0 est la mesure de longueur sur Ds .
En notant la mesure extérieure par ℓ et la classe des parties ℓ-mesurables par E, on passe
par
1. ∀ A ⊂ IR
ℓ(A) := inf
(
∞
X
n=1
ℓ0 (En ) | (En )∞
n=1 ⊂ Ds tel que A ⊂
2. E := {E ⊂ IR | E est ℓ-mesurable} où
∞
S
En
n=1
)
.
E ⊂ IR est ℓ-mesurable ssi
∀ A ⊆ IR ℓ(A) = ℓ(A ∩ E) + ℓ(A \ E) .
On obtient par 6.8 et 6.9 l’espace mesuré d’extension complet (IR, E, ℓ)
espace mesuré de Lebesgue où
• E = σ-algèbre des parties de IR mesurables selon Lebesgue,
et
• ℓ (mesure extérieure) sur E est la mesure de Lebesgue sur IR .
appelé
Notes
Ds ⊂ E σ-algèbre tel que ℓ mesure sur E où ∀ E ∈ Ds
a) [Extension]
b) [Unicité]
Comme ℓ0 est σ-finie sur Ds (car
(IR, E, ℓ) est unique par le Théorème de Hahn.
ℓ(E) = ℓ0 (E) .
IR = ∪ (n, n + 1] ) l’extension
n∈ZZ
c) [Espace mesuré de Borel] La plus petite σ-algèbre contenant les intervalles de
classe D et donc Ds est la σ-algèbre B des Boréliens de IR où Ds ⊂ B ⊂ E et la
restriction de ℓ à B est une mesure appelée mesure de Borel.
Ainsi (IR, Ds , ℓ0 ) admet deux extensions
(IR, Ds , ℓ0 )
⊂
(IR, B, ℓ)
⊂
(IR, E, ℓ)
espace mesuré de Borel
espace mesuré de Lebesgue
pas complet
complet
Commentaires sur la restriction à B
Noter que B ⊂ E et toute fonction B-mesurable est mesurable selon Lebesgue i.e. Emesurable ou encore ℓ-mesurable.
89
Chapitre 6. Mesure de Lebesgue
Pourtant, on ne perd presque rien en remplaçant E par B pour trois raisons :
1. Diminution des ensembles mesurables par des ensembles de mesure
(extérieure) nulle car :
6.12
Théorème [de Calibrage]
Soit E ∈ E (mesurable selon Lebesgue).
Alors ∃ Bi ∈ B et ∃ Be ∈ B tel que
Bi ⊂ E ⊂ Be
où N := Be \ Bi satisfait ℓ(N) = 0 , d’ où ℓ(Bi ) = ℓ(E) = ℓ(Be ) .
En outre, E = Bi ∪˙ Z où Z ⊂ N avec Z ∈ E tel que ℓ(Z) = 0 .
Pour la preuve voir l’ Annexe A, Théorème A.2.
NB.
a) On peut coincer E entre deux Boréliens Bi (intérieur) et Be (extérieur) dont la
différence N ∈ B est de mesure nulle : la mesure extérieure ne distingue pas Bi , E
et Be .
b) On trouve : ∀ n ∈ IN ∃ Fn (fermé) et Gn (ouvert) tel que
Fn ⊂ E ⊂ Gn
où ℓ(Gn \ Fn ) ≤ n−1
d’ où, avec Gδ (resp. Fσ ) la classe des intersections (réunions) dénombrables d’ouverts (de fermés),
Be :=
∞
\
n=1
Gn ∈ Gδ ⊂ B
et
Bi :=
∞
[
n=1
Fn ∈ Fσ ⊂ B .
2. Les fonctions mesurables selon Lebesgue sont presque Borel-mesurables car :
6.13
Théorème [Fonctions presque Borel-mesurables]
Toute fonction f : IR → IR mesurable selon Lebesgue ( E-mesurable) est égale à une
fonction g : IR → IR mesurable selon Borel ( B-mesurable) sauf sur un ensemble de
mesure extérieure nulle.
90
Chapitre 6. Mesure de Lebesgue
Pour la preuve voir Annexe A, Théorème A.3.
3. Intégrales identiques.
NB. Il est d’usage de noter une intégrale de Lebesgue ou de Borel i.e.
R
par IR f (x) dx .
R
IR
f (x) dℓ(x)
Il suit des Théorèmes 6.12 et 6.13 : si f : IR → IR est intégrable selon Lebesgue
alors ∃ g : IR → IR intégrable selon Borel tel que f = g p.p. et
Z
Z
f (x) dx =
g(x) dx .
IR
En outre,
∀E∈E
IR
∃ B ∈ B tel que ℓ(E \ B) = 0 et
Z
Z
f (x) dx =
g(x) dx .
E
B
Chapitre 7
Mesure produit et intégration itérée
Sommaire
• Mesure produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
7.1
Introduction : classes R et Rs et mesure π0 . . . . . . . . . .
92
7.2
Proposition [(X × Y, Rs, π0 ) espace prémesuré] . . . . . . . .
92
7.3
L’espace mesuré produit (X × Y, S, π) . . . . . . . . . . . . .
94
• Intégration par rapport à la mesure produit . . . . . . . . . . . .
96
7.4
Définitions [x-sections] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
7.5
Préliminaires au Théorème de Tonelli-Fubini . . . . . . . . . .
96
Lemme 1 [d’Approximation] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
Lemme 2 [ x-sections] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
Lemme 3 [Mesure d’une Aire] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
Lemme 4 [Ensembles de mesure nulle] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Lemme 5 [Mesure d’une aire] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.6
Théorème de Tonelli-Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
91
92
Chapitre 7. Mesure produit et intégration itérée
Mesure produit
7.1
Introduction : classes R et Rs et mesure π0
Soient (X, A, µ) et (Y, B, ν) deux espaces mesurés.
On appelle rectangle mesurable tout E ⊂ X × Y tel que
E =A×B
où A ∈ A et B ∈ B .
On définit
R := { rectangles mesurables}
Rs := {E ⊆ X × Y | E = ∪ Ei
i∈n
Ei ∈ R} .
On définit la fonction d’ensembles ”aire” par π0 : Rs → IR+ tel que
∀ A×B ∈R
∀E ∈ Rs
E = ∪˙ Ei
i∈n
π0 (A × B) := µ(A) ν(B) ,
(Ei ∈ R)
π0 (E) :=
On aura que Rs est une algèbre et π0 une mesure sur Rs
i.e. (X × Y, Rs , π0 ) est un espace prémesuré.
7.2
X
π0 (Ei ) .
i∈n
Proposition [(X × Y, Rs, π0) espace prémesuré]
Soient (X, A, µ) et (Y, B, ν) deux espaces mesurés et soit Rs la classe des réunions
finies de rectangles mesurables de 7.1. Soit π0 : Rs → IR+ la fonction ”aire” de 7.1.
Alors
(i)
(ii)
Rs ⊂ P(X × Y ) est une algèbre ;
π0 : Rs → IR+ est la seule mesure sur Rs tel que
∀ A × B ∈ R π0 (A × B) = µ(A) ν(B) ;
(iii)
Si µ et ν sont σ-finies alors π0 est σ-finie.
(A)
93
Chapitre 7. Mesure produit et intégration itérée
Preuve :
Pas 1 : (i) et (ii) sont vrais.
En effet (i) et (ii) sont obtenus du Théorème 6.3, car (X × Y, R, π0 ) est un triplet
générateur, voir a) et b) ci-bas.
a) : R est une semi-algèbre car R satisfait les conditions de la définition :
(i) ∅ ( = A × B où A ∈ A , B ∈ B et A ou B = ∅ ) et X × Y ∈ R .
(ii) ∀ A × B ∈ R
∀ C×D ∈R
(A × B) ∩ (C × D) = (A
∩ C}) × (B
∩ D}) ∈ R .
| {z
| {z
∈A
∈B
(iii) Si A × B ∈ R alors
(x, y) ∈ (A × B)c
(x, y) ∈ Ac × B
⇐⇒
ou (x, y) ∈ A × B c
ou (x, y) ∈ Ac × B c ,
d’où
c
c ˙
c
˙
(A × B)c = (A
× B}) ∪(A
× B}c ) .
| {z
| ×
| {z
{zB}) ∪(A
∈R
b) :
∈R
∈R
π0 est une mesure sur R, car conditionnellement σ-additive sur R :
∞
i.e. soit (Ei )∞
i=1 = (Ai × Bi )i=1 ⊂ R où les Ei sont deux à deux disjoints tel que
∪˙ Ei = ∪˙ (Ai × Bi ) = E = A × B ∈ R .
i≥1
i≥1
Alors
π0 (E) = µ(A) ν(B) =
X
µ(Ai ) ν(Bi ) =
i≥1
X
π0 (Ei ) .
i≥1
En effet A × B étant une réunion disjointe des Ai × Bi implique
X
χA×B (x, y) =
χAi ×Bi (x, y)
i≥1
i.e.
χA (x) χB (y) =
X
i≥1
χAi (x) χBi (y) .
94
Chapitre 7. Mesure produit et intégration itérée
Fixer d’abord x donne
χA (x) χB (·) =
X
χAi (x) χBi (·)
i≥1
: série de fonctions non-négatives B-mesurables d’ où par 3.17 (intégrale d’une série)
X
χA (x) ν(B) =
χAi (x) ν(Bi )
i≥1
: série de fonctions non-négatives A-mesurables d’ où encore par 3.17
X
µ(A) ν(B) =
µ(Ai ) ν(Bi ) .
i≥1
Pas 2 :
En effet
Ainsi
µ et ν σ-finies
⇒
∃ (Ai )∞
i=1 ⊂ A ,
ր,
∀ i µ(Ai) < ∞ et X =
∃ (Bi )∞
i=1 ⊂ B ,
ր,
∀ i ν(Bi ) < ∞ et Y =
∃ (Ai × Bi )∞
i=1 ⊂ R ,
π0 σ-finie.
ր,
S
Ai
i≥1
S
Bi .
i≥1
∀ i π0 (Ai × Bi ) = µ(Ai ) ν(Bi ) < ∞ et
S
X × Y = (Ai × Bi ) .
i≥1
7.3
L’espace mesuré produit (X × Y, S, π)
Etant donnés deux espaces mesurés (X, A, µ) et (Y, B, ν) on obtient par 7.2 l’espace
prémesuré (X × Y, Rs , π0 ) où
Rs =
algèbre des réunions finies de rectangles mesurables ( ∈ R ) ;
π0 = mesure d’aire sur Rs tel que (A) est vrai
( σ-finie si µ et ν sont σ-finies).
Le procédé d’extension de Carathéorody donne alors l’espace mesuré d’extension complet
(X × Y, S, π) =: espace mesuré produit où
1. π := mesure (extérieure) produit i.e. π : P(X × Y ) → IR+ tel que
(∞
)
X
∞
S
∀ A ⊂ X × Y π(A) := inf
π0 (En ) | (En )∞
En ,
1 ⊂ Rs tel que A ⊂
n=1
n=1
et
∀ A × B ∈ R π(A × B) = π0 (A × B) = µ(A) ν(B) .
(B)
95
Chapitre 7. Mesure produit et intégration itérée
2.
S := {E ⊂ X × Y | E
π-mesurable} où
∀ A⊂X ×Y
E ⊂ X × Y est π-mesurable ssi
π(A) = π(A ∩ E) + π(A \ E) .
NB. Par 6.8 et 6.6, S est une σ-algèbre contenant Rs et π est une mesure sur S
qui coı̈ncide avec π0 sur Rs donnant (B).
En outre, par 7.2 et le Théorème 6.10 de Hahn, si µ et ν sont σ-finies, alors π0 est σ-finie
tel que π est la seule mesure vérifiant (B).
Note : On restreint parfois S à A × B := plus petite σ-algèbre contenant R (et donc
Rs ). On obtient alors l’espace mesuré intermédiaire (X × Y, A × B, π) tel que l’on obtient
deux extensions :
(X × Y, Rs , π0 ) ⊂
(X × Y, A × B, π)
espace mesuré
⊂
(X × Y, S, π)
espace mesuré complet
Exemples
1. (X, A, µ) = (Y, B, ν) = (IR, E, ℓ) = espace mesuré de Lebesgue sur IR où
ℓ est σ-finie.
Alors (X × Y, S, π)=(IR2 , S, π) = espace mesuré de Lebesgue sur IR2
où π : P(IR2 ) → IR+ est la mesure extérieure produit de Lebesgue sur IR2 ,
S = σ-algèbre des parties de IR2 π-mesurables i.e. mesurables selon Lebesgue,
sur laquelle π est la mesure de Lebesgue sur IR2 .
2. (X, A, µ) = (Y, B, ν) = (IR, B, ℓ) = espace mesuré de Borel sur IR où ℓ est σ-finie.
Alors (X × Y, A × B, π)=(IR2 , B2 , π) = espace mesuré de Borel sur IR2
où π : P(IR2 ) → IR+ est la mesure extérieure produit de Borel sur IR2 ,
B2 = σ-algèbre des Boréliens de IR2 (engendrée par les ouverts de IR2 )
(on perd des ensembles de mesure nulle de S),
sur laquelle π est la mesure de Borel sur IR2 .
96
Chapitre 7. Mesure produit et intégration itérée
Intégration par rapport à la mesure produit
Objectif
Démontrer le théorème d’intégration itérée de Tonelli-Fubini.
Rappel
Un espace mesuré complet ou σ-fini est avantageux, cfr.
Proposition 2.7 : si X est complet alors l’égalité p.p. ou la convergence p.p.
⇒
la mesurabilité de la fonction (limite).
Proposition 2.8 : si f ∈ M + et µ est σ-finie alors
il existe une suite (fn ) ⊂ L+ ( i.e. intégrables ) et simples tel que fn ր f .
7.4
Définitions [x-sections]
(i) Soit
E ∈ P(X × Y ) et x ∈ X .
Alors la x-section de E est l’ensemble Ex ⊂ Y tel que Ex := {y ∈ Y | (x, y) ∈ E}
(Analogue :
y∈Y :
y-section de E
Ey := {x ∈ X | (x, y) ∈ E})
(ii) Soit donné une fonction f : X × Y → IR et x ∈ X .
Alors la x-section de f est la fonction
(Analogue :
y∈Y ,
y-section de f
fx : Y → IR : y 7→ fx (y) := f (x, y)
fy : X → IR : x 7→ fy (x) := f (x, y))
NB. Avec E et (Ei )∞
i=1 ⊂ X × Y :
1. ∀ x ∈ X (E c )x = (Ex )c ,
∞ ∞
T
T
Eix ,
2.
Ei =
i=1
i=1
x
∞ ∞
S
S
3.
Ei =
Eix .
i=1
7.5
x
i=1
Préliminaires au Théorème de Tonelli-Fubini
On admet que (X, A, µ) et (Y, B, ν) sont deux espaces mesurés complets et on note par
(X × Y, S, π) l’espace mesuré produit complet de 7.3 où
97
Chapitre 7. Mesure produit et intégration itérée
1. π est la mesure extérieure produit i.e.
(∞
)
X
∞
S
∞
∀ E ⊂ X × Y π(E) := inf
π0 (En ) | (En )n=1 ⊂ Rs tel que E ⊂
En .
n=1
R
n=1
2. S est la σ-algèbre des parties π-mesurables de X × Y
E∈S
⇔
∀ A⊂ X ×Y
i.e.
π(A) = π(A ∩ E) + π(A \ E) .
S contient
• R i.e. la semi-algèbre des rectangles mesurables A × B , A ∈ A , B ∈ B ,
• Rσ := { réunions dénombrables d’éléments de R} ,
• Rσδ := {intersections dénombrables d’éléments de Rσ } ,
où s.p.d.g.
1. tout élément de Rσ est une réunion disjointe d’éléments de R ;
2. tout élément de Rσδ est une intersection d’éléments de Rσ décroissants.
En effet
a) Un élément de Rσ s’ écrit
∞
i−1
∪ Fi = F1 ∪(F2 \ F1 ) ∪ · · · ∪(Fi \ ( ∪ Fj )) ∪ · · ·
|{z} | {z }
i=1 |{z}
j=1
{z
}
|
∈R
∈R
∈Rs
∈Rs
Comme R est une semi-algèbre, chaque élément de Rs est s.p.d.g. une réunion finie
disjointe d’éléments de R . On obtient que tout élément de Rσ est s.p.d.g. une
réunion disjointe d’éléments de R .
b) Rσ est stable sous l’intersection finie car
n
n
∞
∩ Fi = ∩ ∪ Fiki
i=1 ki =1
i=1 |{z}
∈Rσ
∞
(Fiki ∈ R)
∞
= ∪ · · · ∪ [F1k1 ∩ F2k2 ∩ · · · ∩ Fnkn ] ∈ Rσ .
{z
}
k1 =1
kn =1 |
∈R
∞
c) Si F ∈ Rσδ alors F = ∩ Fi
i=1
(Fi ∈ Rσ ) est tel que
j
F1 ⊃ F1 ∩ F2 ⊃ · · · ⊃ ∩ Fi ⊃ · · · .
i=1
∞
j
T
Gj avec Gj ∈ Rσ tel que Gj ⊃ Gj+1 .
Définir Gj := ∩ Fi ∈ Rσ . Alors F =
i=1
j=1
98
Chapitre 7. Mesure produit et intégration itérée
Lemme 1 [d’Approximation]
Soit E ∈ S tel que π(E) < ∞ . Alors
∀n
∃ Fn ∈ Rσ
et
tel que
∞
∃ F = ∩ Fn ∈ Rσδ
n=1
E ⊂ Fn
et π(Fn ) ≤ π(E) +
tel que E ⊂ F
Preuve :
Par la définition infimale de π(E) ,
∞
∞
(Fnj )j=1 de E tel que E ⊂ ∪ Fnj =: Fn ∈ Rσ et
1
,
n
et π(F ) = π(E) .
j=1
π0 (Fnj ) ≤ π(E) + n−1 .
Comme π est σ-sous-additive et π coı̈ncide avec π0 sur Rs
∀ n ∃ Fn ∈ Rσ tel que E ⊂ Fn
et π(Fn ) ≤
∞
X
j=1
π0 (Fnj ) ≤ π(E) + n−1
ce qui entraı̂ne (A).
∞
En outre F := ∩ Fn ∈ Rσδ est tel que
n=1
E⊂F
et
π(E) ≤ π(F ) ≤ π(Fn ) ≤ π(E) + n−1
∀n
ce qui entraı̂ne (B).
∞
Note : si E ∈ Rσδ ⊂ S tel que π(E) < ∞ E = ∩ Fn
n=1
alors
s.p.d.g.
∀ n Fn ⊃ Fn+1
(déjà fait)
π(Fn ) < ∞ ∀ n
(Fn ∈ Rσ )
et
i.e. π(F1 ) < ∞ .
En effet par (A), il existe F ∈ Rσ tel que E ⊂ F et π(F ) ≤ π(E) + ε < ∞ .
On obtient
∞
∞
E = F ∩ E = F ∩( ∩ Fn ) = ∩ (F ∩ Fn ) ,
n=1
(B)
∀ n il existe un Rs -recouvrement
j=1
∞
X
(A)
n=1
où les ensembles soulignés sont des éléments de Rσ décroissants tel que
π(F ∩ F1 ) < π(F ) < ∞ .
99
Chapitre 7. Mesure produit et intégration itérée
Lemme 2 [x-sections]
Soit U = {E ⊂ X × Y | ∀x ∈ X Ex ∈ B} .
Alors U est une σ-algèbre tel que R ⊂ U .
Ainsi U ⊃ R , Rσ , Rσδ .
Preuve :
R⊂U .
Pas 1
Car si
E =A×B
(A ∈ A , B ∈ B)
∀ x ∈ A Ex = B ∈ B
alors
et
∀x∈
/ A Ex = ∅ ∈ B .
U est une σ-algèbre .
Pas 2
Car
1. ∅ et X × Y sont dans R ⊂ U .
2. E ∈ U
⇒
3. (Ei )∞
i=1 ⊂ U
∀ x Ex ∈ B
⇒
⇒
∀ x (E c )x = (Ex )c ∈ B
⇒
∀ x Eix ∈ B
∞ ∞
S
S
∀x
Ei =
Eix ∈ B ⇒
i=1
x
i=1
Lemme 3 [Mesure d’une aire : F ∈ Rσδ ]
Soit F ∈ Rσδ
Alors
(i)
(ii)
∀x∈X
tel que π(F ) < ∞ .
Fx ∈ B .
g(x) = ν(Fx ) ≥ 0 est une fonction A-mesurable et
Z
g dµ = π(F ) < ∞ .
X
(iii)
g ∈ L(µ) et g(x) < ∞ p.p.
Preuve :
(i) suit du Lemme 2 car Rσδ ⊂ U .
(iii) suit de (ii) et 3.6.
∞
S
i=1
⇒
Ei ∈ U .
Ec ∈ U .
100
Chapitre 7. Mesure produit et intégration itérée
(ii) :
on progresse du cas simple au cas de la thèse :
α) vrai pour F = A × B ∈ R où
π(F ) = µ(A) ν(B) < ∞ .
En effet, g(x) = ν(Fx ) = χA (x) ν(B). g est A-mesurable car avec A ∈ A
χA est A-mesurable. En outre
Z
g dµ = µ(A) ν(B) < ∞ .
X
∞
β) vrai pour F = ∪˙ {Fi ∈ R} ∈ Rσ où π(F ) < ∞ .
i=1
En effet, avec π(Fi ) < ∞ par α) : ∀ i gi (x) := ν( Fix ) est A-mesurable et
|{z}
∈B
R
∞
X
gi dµ = π(Fi ) .
Noter que
Fx = ∪˙ Fix ∈ B ,
i=1 |{z}
d’ où comme ν est
∈B
σ-additive
g(x) = ν(Fx ) =
∞
X
ν(Fix ) =
i=1
∞
X
gi (x) .
i=1
Il suit que g est A-mesurable comme série de fonctions A-mesurables. En outre
par 3.17 (intégrale d’une série) et comme π est σ-additive
Z
∞ Z
X
∞
P
g dµ =
gi dµ =
π(Fi ) = π(F ) < ∞ .
X
i=1
i=1
X
∞
γ) vrai pour F = ∩ {Fi ∈ Rσ } ∈ Rσδ où π(F ) < ∞
i=1
où s.p.d.g. Fi ⊃ Fi+1
et π(F1 ) < ∞ i.e ∀i π(Fi ) < ∞.
En effet, avec π(Fi ) < ∞ par β) : ∀ i gi (x) := ν(Fix ) est A-mesurable et
R
∞
g dµ = π(Fi ) < ∞ . Soit alors g(x) = ν(Fx ) . Alors Fx = ∩ Fix ∈ B
X i
i=1
R
où les Fix ∈ B sont décroissants. Ensuite, comme X g1 dµ = π(F1 ) < ∞ ,
g1 (x) = ν(F1x ) < ∞ p.p. , i.e. sauf sur un ensemble N ∈ A tel que µ(N) = 0 .
Ainsi par continuité monotone des mesures (i.e. 2.4), ∀ x ∈ N c (i.e. p.p.)
g(x) = ν(Fx ) = lim ν(Fix ) = lim gi (x) ,
i→∞
i→∞
où les gi sont décroissants tel que g1 ∈ L(µ). Ainsi comme les gi sont Amesurables et (X, A, µ) est complet, g est A-mesurable par la Proposition 2.7.
En outre par convergence monotone décroissante 3.8
Z
Z
Z
Z
g dµ =
g dµ = lim
gi dµ = lim
gi dµ = lim π(Fi ) = π(F ) ,
X
Nc
i→∞
Nc
i→∞
X
i→∞
où la dernière égalité suit par la continuité monotone des mesures 2.4.
Chapitre 7. Mesure produit et intégration itérée
101
Lemme 4 [Ensembles de mesure nulle]
Soit G ⊂ X × Y tel que π(G) = 0 (donc G ∈ S ).
Alors pour p.t. x Gx ∈ B et ν(Gx ) = 0.
Preuve :
Par le Lemme 1, ∃ F ∈ Rσδ tel que G ⊂ F et π(F ) = π(G) = 0 .
R
Par le Lemme 3, ∀ x Fx ∈ B , x 7→ ν(Fx ) est A-mesurable et
ν(Fx ) dµ =
X
π(F ) = 0 . Donc par 3.11, ν(Fx ) = 0 p.p. En outre Gx ⊂ Fx ∈ B . Ainsi, comme
(Y, B, ν) est complet : pour p.t. x ∈ X Gx ∈ B et ν(Gx ) = 0 .
Lemme 5 [Mesure d’une aire]
Soit E ⊂ X × Y
Alors
tel que E ∈ S et π(E) < ∞ .
(i) pour p.t. x ∈ X
Ex ∈ B .
(ii) φ(x) := ν(Ex ) est une fonction A-mesurable définie pour p.t. x ∈ X et
Z
φ dµ = π(E) < ∞ .
X
(iii) φ ∈ L(µ) et φ(x) < ∞ p.p. .
Preuve :
(iii) suit de (ii). On se concentre sur (i) et (ii) .
Par le Lemme 1, il existe F ∈ Rσδ tel que E ⊂ F et π(F ) = π(E) < ∞ où
1) par le Lemme 3, ∀ x ∈ X Fx ∈ B ,
R
ν(Fx ) dµ = π(F ) = π(E) < ∞ .
X
x 7→ ν(Fx ) est A-mesurable et
2) G := F \ E ∈ S satisfait π(G) = π(F ) − π(E) = 0 tel que par le Lemme 4 :
pour p.t. x ∈ X
Gx ∈ B et ν(Gx ) = 0.
Comme ∀ x ∈ X Ex = Fx \ Gx et (Y, B, ν) est complet, on obtient pour p.t. x
Ex ∈ B et φ(x) := ν(Ex ) = ν(Fx ) ∈ IR+ i.e. φ bien définie en p.t. x .
Alors en comparant des fonctions φ(x) = ν(Fx ) p.p. où x 7→ ν(Fx ) est A-mesurable.
Comme (X, A, µ) est complet, il suit par la Proposition 2.7 que φ est A-mesurable.
R
R
En outre, par 3.12 (i.e. f = g p.p. ⇒
f dµ = g dµ)
R
R
φ(x) dµ(x) = X ν(Fx ) dµ(x) = π(F ) = π(E) < ∞ .
X
On obtient (i) et (ii).
102
Chapitre 7. Mesure produit et intégration itérée
7.6
Théorème de Tonelli-Fubini
Ce théorème est dû à Tonelli (hypothèse f ≥ 0) et Fubini (hypothèse f ∈ L(π)).
Les affirmations entre parenthèses doivent être ajoutées sous l’hypothèse de Fubini.
Le théorème permet de décider quand :
(i) une fonction f (x, y) S-mesurable est π-intégrable ;
(ii) une intégrale itérée e.g.
Z Z
X
fx (y) dν(y)
Y
dµ(x) ,
peut être remplaçée par l’autre itérée
Z Z
fy (x) dµ(x) dν(y) ,
Y
ou par l’intégrale double
X
Z
f (x, y) dπ(x, y) .
X×Y
Théorème [de Tonelli-Fubini]
Soient (X, A, µ) et (Y, B, ν) deux espaces mesurés complets et σ-finis.
Soit (X ×Y, S, π) l’espace mesuré produit complet et σ-fini de 7.3, où S est la σ-algèbre
des parties π-mesurables de X × Y , et soit f (x, y) une fonction S-mesurable.
Alors
a) Si
f ∈ IR+
(resp.
(i) pour p.t. x ∈ X
f ∈ L(π) )
fx est B-mesurable
(et fx ∈ L(ν)) ;
(i)’ pour p.t. y ∈ Y
fy est A-mesurable (et fy ∈ L(µ)) ;
R
(ii) x 7→ φ(x) := Y fx dν est A-mesurable (et φ ∈ L(µ)) ;
R
(ii)’ y 7→ ψ(y) := X fy dµ est B-mesurable (et ψ ∈ L(ν) ) ;
R
R
R
(iii) X φ dµ = X×Y f dπ = Y ψ dν .
b) Si
f ∈ IR
et si
ou
∗
φ (x) :=
ou ψ ∗ (y) :=
Z
ZY
X
alors
f ∈ L(π) .
|fx | dν
est tel que
|fy | dµ est tel que
Z
ZX
Y
φ∗ dµ < ∞ ,
(I)
ψ ∗ dν < ∞ ,
(II)
103
Chapitre 7. Mesure produit et intégration itérée
Note : retenir que par b) et a) si une des itérées converge de façon absolue i.e. (I)
ou (II), alors f ∈ L(π) et les deux itérées sont égales à l’intégrale double : voir (iii).
Preuve :
a) Par symétrie, il suffit de montrer (i), (ii) et la première égalité de (iii) .
On notera
X × Y =: Z .
a1) Les affirmations de a) sont vraies si f ∈ IR+ (hypothèse de Tonelli) .
α) a1) tient si f = χE où E ∈ S tel que π(E) < ∞ .
En effet, par le Lemme 5 de 7.5 : pour p.t. x ∈ X
Ex ∈ B,
d’ où pour p.t. x ∈ X fx (y) = (χE )x (y) = χEx (y) est B-mesurable ; en outre
Z
Z
φ(x) =
fx dν =
χEx dν = ν(Ex ) est A-mesurable
Y
et
Z
φ(x) dµ(x) =
X
Y
Z
ν(Ex ) dµ(x) = π(E) =
X
Z
χE dπ =
Z
β) a1) tient si f est de type (L) i.e.
f=
m
P
Z
f dπ .
Z
ck χEk
k=1
où ∀ k ∈ m ck ∈ IR+
(L)
et Ek ∈ S
tel que π(Ek ) < ∞ .
En effet, par α) avec fk := χEk et φk (x) :=
∀ k ∈ m pour p.t. x ∈ X
R
R
et
φ dµ = Z fk dπ .
X k
R
Y
fkx dν :
fkx (y) est B-mesurable, φk (x) est A-mesurable
Noter que
f=
m
X
ck fk
k=1
donnant :
fx (y) =
m
X
k=1
où ∀ k
ck ∈ IR+
et fk ∈ M + (Z, S)
(A)
ck fkx (y) où les fkx (y) sont B-mesurables pour p.t.
x ∈ X . Ainsi par 1.16 : pour p.t. x ∈ X fx (y) est B-mesurable.
Il suit alors par la linéarité 3.8 (d’intégrales de fonctions ≥ 0 )
Z
Z
m
X
ck
fkx dν ,
pour p.t. x ∈ X
fx dν =
Y
k=1
Y
104
Chapitre 7. Mesure produit et intégration itérée
i.e.
φ(x) =
m
X
ck φk (x) p.p.
k=1
où les φk (·) sont A-mesurables. Comme (X, A, µ) est complet, il suit par la
proposition 2.7 que φ(·) est A-mesurable.
R
R
En outre, par 3.12 (f = g p.p. ⇒
f dµ = g dµ)
!
Z
Z
m
X
ck φk dµ
φ dµ =
X
X
(par linéarité 3.8) =
k=1
m
X
k=1
(par linéarité 3.8) =
Z
Z
(par (A))
=
Z
ck
Z
φk dµ =
X
m
X
ck fk
k=0
m
X
ck
k=1
!
Z
fk dπ
Z
dπ
f dπ .
Z
γ) a1) tient si f ∈ IR+ est S-mesurable i.e. f ∈ M + (Z, S) .
Par les hypothèses, π est σ-finie d’ où par la Proposition 2.8 :
+
∃ (fn )∞
n=1 ⊂ M (Z, S) où les fn sont simples de type (L) et croissantes tel que
f (x, y) = lim fn (x, y) ր .
n→∞
(B)
Il suit
∀ x ∈ X fx (y) = lim fnx (y) ր ,
n→∞
R
où par β) avec φn (x) := Y fnx dν :
∀ n pour p.t. x ∈ X fnx (y) est B-mesurable,
R
R
et
φ
dµ
=
f dπ .
n
X
Z n
(C)
φn (x) est A-mesurable
Noter que ∀ n ∃ An := {x ∈ X | fnx (y) pas B-mesurable} ∈ A tel que
µ(An ) = 0 .
∞
S
Définir A :=
An = {x ∈ X | ∃ n tel que fnx (y) pas B-mesurable} .
n=1
Alors A ∈ A , µ(A) = 0 et Ac = {x ∈ X | ∀ n fnx (y) est B-mesurable} .
Ainsi par (C) pour p.t. x (i.e. x ∈ Ac ) fx(y) est B-mesurable
105
Chapitre 7. Mesure produit et intégration itérée
(car limite de fonctions B-mesurables, voir 1.14).
En outre, par la convergence monotone dans (C) par 3.7 :
pour p.t. x (i.e. x ∈ Ac )
Z
fx dν = lim
n→∞
Y
Z
Y
fnx dν ր ,
i.e.
φ(x) = lim φn (x) ր p.p.
n→∞
où les φn sont A-mesurables. Donc comme (X, A, µ) est complet, par 2.7
φ(x) est A-mesurable et par 3.16 (convergence monotone p.p.)
Z
Z
Z
Z
f dπ ,
fn dπ =
φn dµ = lim
φ dµ = lim
n→∞
X
X
n→∞
Z
Z
où la dernière égalité suit par (B) et 3.7. On a tout.
a2) Les affirmations de a) sont vraies si f ∈ L(π) (hypothèse de Fubini).
S.p.d.g. on peut supposer que f ≥ 0 .
(car f = f + − f − où f ± ∈ L+ (π) donne : si a2) tient pour f ± alors a2) tient
pour f par linéarité)
R
R
Alors avec f ∈ L+ (π) a1) tient où en outre X φ dµ = Z f dπ < ∞ d’où
R
φ ∈ L(µ) . En outre, par 3.6 φ(x) = Y fx dν < ∞ p.p. i.e. pour p.t. x ∈ X
fx ∈ L(ν). On a les précisions supplémentaires.
|f | ∈ M + . Appliquer a1) à |f | .
R
R
Alors par a1) et e.g. (I) Z |f | dπ = X φ∗ dµ < ∞. Donc f ∈ L(π) .
b) Noter que f ∈ M
⇒
Chapitre 8
Transformée de Fourier de L1
Sommaire
• Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.1
Définition [Transformée de Fourier]
. . . . . . . . . . . . . . . 107
• Propriétés immédiates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
8.2
Proposition [Bornée et Continue] . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
8.3
Proposition [Convergence uniforme] . . . . . . . . . . . . . . . 108
8.4
Proposition [Translatées] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.5
Lemme [Lp-continuité de la translatée] . . . . . . . . . . . . . 110
8.6
Théorème [de Riemann-Lebesgue : annulation à l’infini] . . . 111
• Convolution et symétrie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
8.7
Définition [Produit de convolution] . . . . . . . . . . . . . . . . 112
8.8
Théorème[Existence et propriétés du produit de convolution] 112
8.9
Proposition [Continuité du produit de convolution] . . . . . . 113
8.10 Théorème [Transformée d’une convolution] . . . . . . . . . . . 114
8.11 Théorème [de symétrie] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
• Inversion de F
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8.12 Théorème [Inversion] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8.13 Théorème [Inversion forte] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.14 Lemme [Parapluies-cloches] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.15 Corollaire [Deux fois Fourier] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.16 Théorème [F est injectif ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
106
Chapitre 8. Transformée de Fourier de L1
107
Introduction
La théorie des séries de Fourier associe à une fonction (périodique) f une suite
(fˆk )∞
I de coefficients de Fourier. La transformée de Fourier associe à chaque
k=−∞ ⊂ C
ˆ
fonction t ∈ IR 7→ f (t) ∈ C
I une fonction x ∈ IR 7→ f(x)
∈C
I . On admet que IR =
1
(IR, E, ℓ) = espace mesuré de Lebesgue sur IR et f ∈ L = L1 (IR, E, ℓ) = espace des
”fonctions” intégrables selon Lebesgue où f (t) ∈ C
I .
R −ixt
1
Noter que si f ∈ L alors ∀ x ∈ IR IR e
f (t) dt existe au sens de Lebesgue car
−ixt
1
|e
f (t)| = |f (t)| ∈ L .
8.1
Définition [Transformée de Fourier]
∆
La transformée de Fourier de f ∈ L1 est une fonction notée fˆ = F (f )
Z
ˆ
fˆ : IR → C
I : x 7→ f(x)
où fˆ(x) :=
e−ixt f (t) dt .
tel que
IR
NB. La transformée de Laplace de f ∈ L1 , où f (t) := 0 pour t < 0, est définie par
Z ∞
f˜ : C
I + →C
I : s 7→ f˜(s) :=
e−st f (t) dt,
0
1
où C
I + := {s ∈ C
I | Re(s) ≥ 0}. Si f ∈ L , alors
∀t ∈ IR \ {0}
f (t) = f+ (t) + f− (t) où (f± )(t) :=
On obtient alors sans peine :

f (t)
0
±t ≥ 0
ailleurs
.
g
^
∀x ∈ IR fˆ(x) = [f
+ ](ix) + [f− (−t)](−ix) ,
formule permettant d’utiliser la transformée de Laplace (tables très disponibles) pour obtenir une transformée de Fourier.
Application : avec k ∈ IN, considérons la fonction f (t) := (2π)−1 e−|t|/k , alors pour t ≥ 0,
f+ (t) = (2π)−1 e−t/k = f− (−t) , tel que sans peine
1
1
=
(k/2π)
.
s + k −1
1 + ks
Ainsi on obtient la transformée de Fourier :
1
1
1
ˆ
f(x) = (k/2π)
= (k/π)
+
.
1 + ikx 1 − ikx
1 + (kx)2
−1
g
[f
+ ](s) = (2π)
Pour plus d’informations concernant la transformée de Laplace voir le Chapitre 10.
Chapitre 8. Transformée de Fourier de L1
108
Propriétés immédiates
8.2
Proposition [Bornée et Continue]
a) fˆ est bornée sur IR tel que
ˆ ∞ := sup{|f(x)|
ˆ
kfk
| x ∈ IR} ≤ kf k1 ;
b) fˆ est continue sur IR .
Preuve :
b
a) |f(x)|
≤
b) ∀ h ∈ IR
R
IR
|e−ixt f (t)| dt =
|e−iht − 1| ≤ 2
R
IR
|f (t)| dt = kf k1 .
et
|e−ixt (e−iht − 1)f (t)| ≤ 2 |f (t)| ∈ L1 .
Ainsi par convergence dominée 4.8 :
Z
b
b
f (x + h) − f (x) =
e−ixt (e−iht − 1) f (t) dt → 0 ( h → 0) .
| {z }
IR
→0 ( h→0)
∴
8.3
fb est continue sur IR .
Proposition [Convergence uniforme]
1
Soit (fn )∞
n=1 ⊂ L
Alors
i.e.
Preuve :
et
f ∈ L1
tel que
kfn − f k1 → 0 ( n → ∞) .
kfbn − fbk∞ → 0 ( n → ∞) ,
lim fbn (x) = fb(x) uniformément en x ∈ IR .
n→∞
noter que
fn − f ∈ L1
Ainsi par 8.2
et
b
b
f\
n − f = fn − f .
sup |fbn (x) − fb(x)| ≤ kfn − f k1 → 0 ( n → ∞) .
x∈IR
Chapitre 8. Transformée de Fourier de L1
109
. . . Lp . . . Théorèmes manquants
NB.
a) Si
f ∈ L1
alors
Z
e.g. [Royden, Rudin].
∞
f (t + a) dt =
−∞
Z
∞
f (t) dt .
−∞
(i.e. invariance d’ une intégrale de Lebesgue sur IR sous translation)
b) Si f ∈ Lp où 1 ≤ p < ∞ alors ∀ ε > 0 ∃ g : IR → C
I continue à support
c
compact (i.e. ∃ A > 0 tel que g(x) = 0 sur [−A, A] ) tel que kf − gkp < ε .
(i.e. fonctions continues à support compact denses dans Lp )
. . . En outre . . .
c) Si une fonction f : IR → C
I : t 7→ f (t) est continue et admet une valeur en +∞ et
−∞ i.e. limt→∞ f (t) =: f (+∞) ∈ C
I et limt→−∞ f (t) =: f (−∞) ∈ C
I , alors f est
uniformément continue sur IR .
8.4
Proposition [Translatées]
Soient
a, b ∈ IR
et
f ∈ L1 .
Alors
a) [f (t + a)]∧ (x) = eiax fb(x)
i.e. en notant par fa (t) := f (t + a) la a-translatée de f
b) fb(x + b) = [e−ibt f (t)]∧ (x)
i.e. ( fb )b = [e−ib· f ]∧ .
Preuve :
a) fˆa (t) = [f (t + a)]∧ (x) = eixa
Z
−ix(t+a)
IR
b) fb(x + b) =
IR
−i(x+b)t
e
f (t) dt =
f (t + a)
{z
}
a-translatée de e−ixt f (t)
eixa fˆ(x)
Z
e
|
Z
IR
e−ixt [e−ibt f (t)] dt .
dt
fba = eia· fb;
ixa
= e
Z
IR
e−ixt f (t) dt =
Chapitre 8. Transformée de Fourier de L1
110
Lemme [Lp-continuité de la translatée]
8.5
Soient f ∈ Lp où 1 ≤ p < ∞ et τ ∈ IR .
Soient fτ (t) := f (t + τ ) et g(τ ) = kf − fτ kp .
Alors τ 7→ g(τ ) est bornée et continue en 0 i.e.
lim g(τ ) = lim kf − fτ kp = 0 = g(0)
τ →0
τ →0
i.e.
f = Lp − lim fτ .
τ →0
Preuve :
a) g(·) bornée car ∀ τ
kf kp = kfτ kp et 0 ≤ g(τ ) ≤ kf kp + kfτ kp = 2 kf kp .
b) g(·) continue en 0 . En effet soit ε > 0 .
Comme f ∈ Lp ∃ h(·) continue tel que h(x) = 0 sur [−A, A]c et kf − hkp < ε .
Remarquer que ∀ τ
kfτ − hτ kp = k(f − h)τ kp = kf − hkp .
Noter alors que h(·) est uniformément continue sur IR .
Ainsi pour ε > 0 , il existe δ ∈ (0, A) tel que
|τ | < δ
Z
⇒
IR
⇒
|h(t) − h(t + τ )|p ≤ (4A)−1 εp
⇒
h(t) = 0 = h(t + τ ) pour |t| > 2A
p
|h(t) − h(t + τ )| dt =
Z
∀ t ∈ IR
2A
−2A
|h(t) − h(t + τ )|p dt
≤ (4A)−1 εp (4A) = εp
i.e.
∃ δ ∈ (0, A) tel que
Ainsi avec ce δ
|τ | < δ
⇒
|τ | < δ
⇒
kh − hτ kp ≤ ε .
kf − fτ kp ≤ kf − hkp + kh − hτ k + khτ − fτ kp
= 2 kf − hkp + kh − hτ kp ≤ 2ε + ε = 3ε .
Comme ε > 0 est arbitraire, on obtient
lim g(τ ) = lim kf − fτ kp = 0 .
τ →0
τ →0
Chapitre 8. Transformée de Fourier de L1
8.6
Si
111
Théorème [de Riemann-Lebesgue]
f ∈ L1
lim fb(x) = 0
alors
Preuve :
x→±∞
i.e.
eiπ = −1 .
fb s’annule à l’infini.
Ainsi avec f ∈ L1
Z
b
f (x) =
e−ixt f (t) dt ,
Noter que
(1)
IR
et
π
8.4 d
π ](x) =
−fb(x) = eiπ fb(x) = ei( x )x fb(x) = [f
x
La soustraction de (2) de (1) donne
d’où
2 |fb(x)| ≤
car par le Lemme 8.5
Z
2fb(x) =
IR
Z
IR
Z
IR
e−ixt f πx (t) dt
(2)
e−ixt f (t) − f πx (t) dt ,
f (t) − f π (t) dt = kf − f π k1 → 0 ( x → ±∞) ,
x
x
f = L1 − lim f πx .
x→±∞
Notes
1. Des résultats précédents, il suit que si f ∈ L1 , alors fb est continue et s’annule à
l’infini ( i. e. fb(x) → 0 si x → ±∞ ).
Notons par F la transformée de Fourier et par C0 l’espace linéaire des fonctions
continues sur IR qui s’annulent à l’infini.
On sait [Rudin] que (C0 , k · k∞ ) est un espace normé complet et, par le Théorème
de Riesz-Fisher 5.12, que (L1 , k · k1 ) est un espace normé complet.
Par 8.3, on obtient que F est un opérateur linéaire continu dans le cadre
F :
En effet
(L1 , k · k1 ) → (C0 , k · k∞ ) :
lim kfn − f k1 = 0
n→∞
donne
f 7→ F (f ) = fb .
lim kF (fn ) − F (f )k∞ = 0 .
n→∞
2. Nous verrons que dans ce cadre F est injectif ( i.e. Ker F = {θ} ),
et on sait que ImF = C0 ( image de F dense dans C0 : F est presque surjectif :
on n’a pas que ImF est fermée i.e. ImF = ImF ).
Chapitre 8. Transformée de Fourier de L1
112
Convolution et symétrie
8.7
Définition [Produit de convolution]
Soit f et g ∈ L1 . On appelle produit de convolution de f par g la fonction f ∗ g
donnée par
Z
f ∗ g : IR → C
I : x 7→ (f ∗ g)(x) :=
f (x − t) g(t) dt .
IR
8.8
Théorème [Existence et propriétés du produit de
convolution]
Si f et g ∈ L1
alors
t 7→ f (x − t)g(t) ∈ L1 ,
R
∆
i.e. pour p.t. x ∈ IR l’intégrale IR f (x − t) g(t) dt = (f ∗ g)(x)
a) pour p.t. x ∈ IR
existe au sens de Lebesgue ;
b) x 7→ (f ∗ g)(x) ∈ L1 ;
R
R
R
c) IR (f ∗ g)(x) dx = IR f (x) dx
g(t) dt .
IR
NB. c) dit que l’intégrale du produit est égal au produit des intégrales.
Preuve :
f et g ∈ L1 , où s.p.d.g. f et g sont à valeurs dans IR et dans M(IR, E)
(i.e mesurables selon Lebesgue). Par le Théorème 6.13, il suit alors qu’il existe f0 et g0 ∈
M(IR, B) (i.e. mesurables selon Borel) tel que f = f0 p.p. et g = g0 p.p.. Noter que
remplacer f , g par f0 , g0 ne change pas la valeur des intégrales de convolution (intégrands
égaux p.p.). Ainsi s.p.d.g. f et g ∈ M(IR, B). Remplaçons (x, t) par (x1 , x2 ), et rappelons
que B2 et S désignent les parties mesurables selon Borel respectivement selon Lebesgue
de IR2 . Observons que pour i = 1, 2 les projections pi : (IR2 , B2 ) → (IR, B) : (x1 , x2 ) 7→
pi (x1 , x2 ) := xi sont mesurables, car continues. Alors
f (x1 − x2 ) · g(x2 ) = [f ◦ (p1 − p2 )](x1 , x2 ) · [g ◦ p2 ](x1 , x2 ) ,
où les facteurs sont B2 -mesurables en tant que composition de fonctions Borel-mesurables,
e.g. avec p1 − p2 B2 -mesurable, ∀E ∈ B, f −1 (E) ∈ B tel que
[f ◦ (p1 − p2 )]−1 (E) = (p1 − p2 )−1 (f −1 (E)) ∈ B2 .
Chapitre 8. Transformée de Fourier de L1
113
Comme B2 ⊂ S, il s’ensuit que (x1 , x2 ) 7→ f (x1 − x2 )g(x2 ) est S-mesurable comme produit
de fonctions S-mesurables. Considérons alors
Z
Z Z
(f ∗ g)(x) dx =
f (x − t) g(t) dt dx
IR
IR
IR
en tant qu’ intégrale itérée dans le cadre du Théorème 7.6 de Tonelli-Fubini, où (IR2 , S, π)
est l’espace mesuré produit de Lebesgue sur IR2 et (x, t) 7→ f (x − t)g(t) est S-mesurable.
Par Tonelli, on trouve
Z
|f (x − t) g(t)| dπ(x, t)
IR2
=
=
=
Z Z
IR
IR
IR
IR
Z Z
Z
IR
Z Z
|f (x − t) g(t)| dx dt =
|f (x − t)| dx |g(t)| dt
|f−t
(x)| dx |g(t)| dt
=
IR
IR
IR
IR
Z Z
|f (x)| dx |g(t)| dt
(*)
Z
|f (x)| dx
|g(t)| dt
= kf k1 · kgk1 < ∞ .
IR
Il suit que (x, t) 7→ f (x−t) g(t) est π-intégrable. Ainsi par Fubini, on obtient les conclusions
de la thèse. En ce qui concerne c), remarquer que par Fubini
Z
Z
Z
Z
(f ∗ g)(x) dx =
f (x − t) g(t) dπ(x, t) =
f (x) dx
g(t) dt ,
IR2
IR
IR
IR
où la dernière égalité est obtenue en répétant le raisonnement de (*).
Remarque : on obtient aussi par Tonelli :
Z Z
Z
Z Z
f (x − t) g(t) dt dx ≤
|f (x − t)| |g(t)| dt dx
|f ∗ g| dx =
IR
IR
autre itérée
Dès lors :
8.9
IR
IR
Z Z
IR
IR
IR
|f (x − t)| dx |g(t)| dt = kf k1 kgk1 < ∞ .
Proposition [Continuité du produit de convolution]
Si f et g ∈ L1 alors kf ∗ gk1 ≤ kf k1 kgk1 .
En outre si f et g ≥ 0 alors kf ∗ gk1 = kf k1 kgk1 .
Par Tonelli-Fubini, on a en outre
Chapitre 8. Transformée de Fourier de L1
114
Proposition [commutatif, associatif]
Si f , g et h ∈ L1
alors
f ∗ g = g ∗ f ∈ L1
(f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h) ∈ L1
Note : on appelle algèbre de Banach tout espace de Banach (X, k·k) muni d’un produit
∗ tel que ∀ f, g ∈ X
f ∗g ∈X
et
kf ∗ gk ≤ kf k kgk .
On constate que (L1 , k · k1 ) muni du produit de convolution ∗ est une algèbre de Banach.
NB. L’algèbre L1 n’a pas d’unité multiplicative i.e.
e ∈ L1
tel que e ∗ f = f
∀ f ∈ L1 .
\
ˆ = f(x)
ˆ
Preuve :
(voir 8.10 ci-après) : sinon (e
∗ f )(x) = ê(x) f(x)
,
d’ où ê(x) ≡ 1 . Mais e ∈ L1 implique par Riemann-Lebesgue lim ê(x) = 0 : →← .
x→±∞
8.10
Théorème [Transformée d’une convolution]
Si f et g ∈ L1 , alors f[
∗ g = fb · b
g.
Preuve :
Noter que f, g ∈ L1 ⇒
Avec f ∗ g ∈ L1 , on obtient ∀x ∈ IR
\
(f
∗ g)(x) =
=
=
8.8
=
R
R
IR
R
R
IR
R
IR
R
IR
∀x ∈ IR e−ix· f,
e−ix· g ∈ L1 .
f (t − τ ) g(τ ) dτ e−ixt dt
[e−ix(t−τ ) f (t − τ )] [e−ixτ g(τ )] dτ
IR
dt
(e−ix· f ∗ e−ix· g) (t) dt
IR
R
e−ixt f (t) dt · IR e−ixτ g(τ ) dτ = fb(x) · gb(x) .
Chapitre 8. Transformée de Fourier de L1
8.11
115
Théorème de symétrie
Si f et g ∈ L1
alors
Z
Preuve :
Z
f (t) ĝ(t) dt =
IR
Z
IR
f (t) ĝ(t) dt =
IR
Z
f (t)
IR
fb(x) g(x) dx .
Z
−itx
e
IR
g(x) dx dt ,
où l’itérée converge de façon absolue car
Z
Z
|f (t)|
|g(x)| dx dt = kf k1 kgk1 < ∞ .
IR
IR
Ainsi par Tonelli-Fubini
Z
Z Z
−itx
f (t) ĝ(t) dt =
f (t) e
dt g(x) dx
IR
IR
=
Z
IR
IR
fb(x) g(x) dx .
Inversion de F
Par la suite, on note par C 1 P M la classe des fonctions une fois continûment différentiables
par morceaux.
8.12
Théorème [Inversion]
Si f ∈ L1 ∩ C 1 P M
2
alors
−1
∀ t ∈ IR
1
[f (t+) + f (t−)] = lim
k→∞ 2π
Z
k
−k
b
eixt f(x)
dx .
Notes
1. Si f est continue en t , alors le membre gauche de (1) est égal à f (t)
car alors f (t) = f (t+) = f (t−) . Ceci est vrai presque partout.
(1)
Chapitre 8. Transformée de Fourier de L1
2. Si fb ∈ L1
116
alors
(2π)
−1
Z
k
e fˆ(x) dx = (2π)
ixt
−k
−1
Z
ˆ
eixt f(x)
χ[−k, k] (x) dx ,
IR
où
ˆ
| intégrand | ≤ |f(x)|
∈ L1 .
Ainsi par 4.8 (convergence dominée)
lim (2π)
−1
k→∞
Z
k
ˆ
e f(x)
dx = (2π)−1
ixt
−k
Z
eixt fˆ(x) dx .
IR
R
Donc alors le membre droit de (1) est l’intégrale de Lebesgue (2π)−1 IR eixt fb(x) dx ;
R∞
sinon c’est la valeur principale de Cauchy de (2π)−1 −∞ eixt fb(x) dx .
3. La formule (1) permet le calcul d’inversion à l’aide du calcul des résidus
(en considérant un contour). Voir Chapitre 10.
Pour la structure, il est intéressant de considérer :
8.13
Théorème [Inversion forte]
Si f ∈ L1 et fb ∈ L1 ,
alors
p.p.
f (t) = (2π)
−1
Z
IR
b
eixt f(x)
dx ,
où il y a égalité en tout t où f (·) est continue.
Pour la preuve, on a besoin d’un lemme :
(2)
Chapitre 8. Transformée de Fourier de L1
8.14
117
Lemme [Parapluies-cloches]
Soient f ∈ L1 , g ∈ L∞ ,
et ∀ k ∈ IN , considérons les fonctions paires (appelées parapluies) données par
δk (·) :
x 7→ δk (x) := (2π)−1 e−|x|k
IR → IR+ :
−1
(3)
∈ C0 ∩ L1 ( ∈ Lp ∀ p ≥ 1 ),
et leurs transformées de Fourier (appelées cloches)
Z
δ̂k (t) :=
e−itx δk (x) dx t ∈ IR .
IR
Alors
(i) ∀ k ∈ IN
δ̂k : IR → IR+ est paire tel que
δ̂k (t) =
1
k
·
π 1 + (kt)2
(4)
En outre
kδ̂k k1 = 1
(ii) ∀ k ∈ IN
δ̂k ∈ C0 ∩ L1
et
f ∗ δ̂k ∈ L1 tel que
(f ∗ δ̂k )(t) =
Z
IR
( ∈ Lp
∀ p ≥ 1 ).
fb(x) eitx δk (x) dx ∀ t ∈ IR .
(5)
(6)
(iii) Si g(·) est continue en t on obtient l’identité approximative simple :
g(t) = lim (g ∗ δ̂k )(t) .
k→∞
(7)
(iv) On obtient l’identité approximative dans L1 :
lim kf − f ∗ δ̂k k1 = 0 ,
k→∞
i.e.
f = L1 − lim f ∗ δ̂k .
k→∞
(8)
Chapitre 8. Transformée de Fourier de L1
118
Preuve :
(i) Par la remarque de 8.1, f (t) := (2π)−1 e−|t|/k donne fˆ(x) = (k/π)
1
.
1 + (kx)2
1
≥0.
1 + (kt)2
Donc δk (x) := (2π)−1 e−|x|/k donne δˆk (t) = (k/π)
On obtient (4).
Observer alors que
1
kδ̂k k1 =
π
( kt = tg x
d(kt) =
dx
(cos x)2
Z
IR
1
d(kt)
1 + (kt)2
1
= (cos x)2
1 + (kt)2
1
=
π
Z
kt = ±∞ ⇒ x = ± π2 )
π
2
dx = 1 .
− π2
Il suit que (5) est vrai.
(ii) f ∗ δ̂k ∈ L1 car f, δ̂k ∈ L1
Ensuite avec δˆk paire,
(f ∗ δ̂k )(t) =
=
(par 8.8).
Z
Z
IR
f (t − τ )δˆk (τ )dτ =
Z
f (t + τ ) δˆk (τ ) dτ
IR
ft (τ ) δ̂k (τ ) dτ
IR
où ft et δk ∈ L1 tel que par le Théorème de symétrie 8.11
Z
=
fbt (x) δk (x) dx
IR
et par 8.4
=
Z
On obtient (6).
(iii) Comme
R
δ̂ (τ )
IR k
dτ = 1
g(t) − (g ∗ δ̂k )(t) = g(t) −
IR
fb(x) eitx δk (x) dx .
et
Z
IR
δˆk est paire,
g(t − τ ) δ̂k (τ ) dτ =
Z
IR
[g(t) − g(t + τ )] δ̂k (τ ) dτ ,
Chapitre 8. Transformée de Fourier de L1
119
où δ̂k (τ ) = k δ̂1 (kτ ) . Ainsi, avec σ = kτ i.e. τ = σk −1
Z
g(t) − (g ∗ δ̂k )(t) =
[g(t) − g(t + τ )] δˆ1 (kτ ) d(kτ )
IR
où
et
|intégrand|
lim g t +
k→∞
σ
k
Z h
σ i
=
g(t) − g t +
δ̂1 (σ) dσ ,
k
IR
≤ 2 kgk∞ δˆ1 (σ) ∈ L1 ,
= g(t)
(car g(·) est continue en t ).
Donc par le Théorème 4.8 de convergence dominée,
Z
g(t) − g t + σk δ̂1 (σ) dσ = 0 ,
lim
k→∞
IR
d’où
lim (g ∗ δ̂k )(t) = g(t) .
k→∞
On obtient (7).
(iv) Comme
R
ˆ
et δˆk est paire,
Z Z
kf − f ∗ δ̂k k1 =
f (t − τ ) δ̂k (τ ) dτ dt
f (t) −
δ (τ )
IR k
dτ = 1
IR
IR
Z Z
=
[f (t) − f (t + τ )] δ̂k (τ ) dτ dt
IR
IR
≤
Z Z
=
Z Z
et par Tonelli,
IR
IR
=
Z
IR
|f (t) − f (t + τ )| δ̂k (τ ) dτ dt
IR
IR
|f (t) − f (t + τ )| dt δ̂k (τ ) dτ
kf − fτ k1 δ̂k (τ ) dτ =
Z
g(τ )δ̂k (τ ) dτ ,
IR
où par 8.5 g(τ ) := kf − fτ k1 est tel que g(·) est bornée, continue en 0, et g(0) = 0 .
Alors avec δˆk paire
Z
kf − f ∗ δ̂k k1 ≤
g(0 − τ )δ̂k (τ ) dτ = (g ∗ δˆk )(0)
IR
où par (iii) le membre droit tend vers zéro lorsque k tend vers l’infini. Il suit que
lim kf − f ∗ δ̂k k1 = 0 .
k→∞
On obtient (8).
Chapitre 8. Transformée de Fourier de L1
120
Preuve du Théorème 8.13
Comme f et fb ∈ L1 on obtient
1
h(t) :=
2π
Z
eixt fb(x) dx ∈ C0 .
}
| IR {z
intégrale de Fourier
p.p
Pas 1
(2) est vrai i.e. f (t) = h(t) .
Par (8), on obtient f = L1 − lim f ∗ δ̂k . Ainsi par le corollaire d’extraction 5.13 ,
k→∞
il existe une sous-suite (f ∗ δ̂kj )∞
j=1
p.p.
f (t) =
( kj ≥ j) tel que
Z
(6)
lim (f ∗ δ̂kj )(t) = lim
fb(x) eitx δkj (x) dx ,
j→∞
j→∞
IR
1 −|x|kj−1
1
1 b
b
e
=
et |intégrand| = |f(x)|
δkj (x) ≤
|f(x)|
j→∞
j→∞ 2π
2π
2π
avec |fb(x)| ∈ L1 . Ainsi, par le Théorème de convergence dominée
Z
p.p. 1
fb(x) eitx dx = h(t) .
f (t) =
2π IR
où lim δkj (x) = lim
Pas 2
Si f (·) est continue en t alors f (t) = h(t)
i.e. il y a égalité en (2).
En effet, comme f et h sont continues en t , il suit que g := f − h est continue en t .
Supposons que g(t) 6= 0 . Alors comme g(·) est continue en t , il existe un intervalle
ouvert It autour de t de mesure ℓ(It ) = 2δ > 0 tel que g(·) y est différent de zéro.
.
(Prendre ε = |g(t)| 2 > 0 . Alors ∃ δ > 0 tel que
|τ − t| < δ
En outre par le Pas 1
⇒
| |g(τ )| − |g(t)| | ≤ |g(τ ) − g(t)| < ε
⇒
|g(τ )| > |g(t)| − ε = ε > 0)
g = f − h = 0 p.p. i.e. E := {τ ∈ IR | g(τ ) 6= 0} est
tel que ℓ(E) = 0 . Ainsi It ⊂ E tel que 0 < 2δ = ℓ(It ) ≤ ℓ(E) = 0 : impossible. Il
suit que g(t) = 0 i.e. f (t) = h(t) .
Chapitre 8. Transformée de Fourier de L1
8.15
Corollaire [Deux fois Fourier]
Si f et fb ∈ L1
Preuve :
8.16
121
alors
Par 8.13
bb
f(t)
= 2πf (−t) p.p.
2πf (−t) =
p.p.
R
IR
bb
b dx = f(t)
e−itx f(x)
.
Théorème [F est injectif ]
Notons par F et C0 la transformée de Fourier et la classe des fonctions continues
s’annulant à l’infini.
Alors F : L1 → C0 est une injection linéaire.
Preuve :
F : L1 → C0 a déjà été démontré. En outre F est linéaire.
F est injectif car si f ∈ L1 et fb ≡ 0 alors par le Théorème 8.13 f (t) = 0 p.p. .
Ainsi fb1 = fb2 implique f1 = f2 p.p.
Chapitre 9
Transformée de Fourier de L2
Sommaire
Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
9.1
Lemme [L1 ∩ L2 est dense dans L2 ] . . . . . . . . . . . . . . . . 125
9.2
Théorème [F : cas L1 ∩ L2 ]
9.3
Proposition [Autres résultats dans L1 ∩ L2 ] . . . . . . . . . . . 128
9.4
Théorème [Existence de F : L2 → L2 ] . . . . . . . . . . . . . . 129
9.5
Définition [F : L2 → L2 ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
9.6
Théorème [Parseval et symétrie : Cas L2 ] . . . . . . . . . . . . 131
9.7
Théorème [Deux fois Fourier] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
9.8
Corollaire [Inversion de F : Cas L2 ] . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.9
Corollaire [F : L2 → L2 est une bijection] . . . . . . . . . . . . 133
9.10 Théorème [de Plancherel]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
122
Chapitre 9. Transformée de Fourier de L2
123
Objectif
On définit la transformée de Fourier d’une fonction f ∈ L2 := L2 (IR, E, ℓ) .
On examine d’abord le cas d’une fonction f ∈ L1 ∩ L2 (dense dans L2 ).
Puis on obtient F (f ) où f ∈ L2 par extension continue dans k · k2 .
On sait que L2 est un espace de Hilbert sous le produit scalaire
Z
(f, g) :=
f (t) g(t) dt ∀ f, g ∈ L2 ,
IR
où g désigne le complexe conjugué de g .
On aura que la transformée de Fourier
F :
L2 → L2
est une bijection linéaire qui (modulo une constante) préserve le produit scalaire i.e.
(f, g) =
1 ˆ
(f , ĝ) ∀ f, g ∈ L2 .
2π
Ainsi F est un isomorphisme entre deux espaces de Hilbert (de L2 sur L2 ).
Préliminaires
1. Un espace de Hilbert (H, (·, ·)) est un espace de Banach dans la norme définie par
kf k2 := (f, f ) f ∈ H et admet l’inégalité de Cauchy-Schwartz :
|(f, g)| ≤ kf k kgk f, g ∈ H .
2. Dans un espace de Hilbert (H, (·, ·)) le produit scalaire est continu dans la norme,
∞
i.e. si (fm )∞
m=1 ⊂ H , (gn )n=1 ⊂ H et f, g ∈ H tel que
lim kfm − f k = 0
m→∞
et
lim kgn − gk = 0 ,
n→∞
alors
lim (fm , gn ) = (f, g) ,
m,n→∞
i.e.
lim (fm , gn ) = (H − lim fm , H − lim gn ) .
m,n→∞
m→∞
n→∞
Chapitre 9. Transformée de Fourier de L2
124
Preuve :
(fm , gn ) − (f, g) = (fm − f, gn ) + (f, gn − g)
= (fm − f, gn − g) + (fm − f, g) + (f, gn − g) .
Ainsi, par les inégalités triangulaire et de Cauchy-Schwartz
|(fm , gn ) − (f, g)| ≤ kfm − f k kgn − gk + kfm − f k kgk + kf k kgn − gk ,
où le membre droit tend vers zéro si m, n → ∞ .
3. Dans un espace de Hilbert (H, (·, ·)) :
f ∈H
tel que ∀ g ∈ H
Preuve :
(f, g) = 0
⇒
f =0.
prendre g = f donne kf k2 = (f, f ) = 0
d’ où f = 0 .
4. Un espace de Hilbert (H, (·, ·)) muni de scalaires complexes admet l’identité polaire :
4(f, g) = kf + gk2 − kf − gk2 + i kf + igk2 − kf − igk2
f, g ∈ H ,
(P)
qui avec des scalaires réels se réduit à :
4(f, g) = kf + gk2 − kf − gk2
f, g ∈ H .
Preuve :
On se restreint au cas complexe. Alors, avec a ∈ C
I et f, g ∈ H ,
(af, g) := a(f, g) , (f, ag) := a(f, g) , et (g, f ) := (f, g) .
On obtient que le membre droit de (P) vaut successivement :
((f + g, f + g) − (f − g, f − g)) + i ((f + ig, f + ig) − (f − ig, f − ig))
= 2 ((f, g) + (g, f )) + i2 ((f, ig) + (ig, f ))
= 2 ((f, g) + (g, f )) + i2 (−i(f, g) + i(g, f ))
= 2 ((f, g) + (g, f )) + 2 ((f, g) − (g, f ))
= 4(f, g) .
Chapitre 9. Transformée de Fourier de L2
125
5. Soit (X, k · k) un espace normé. On dit que la partie Y de X est dense dans X ssi
∃ (fn )∞
n=1 ⊂ Y tel que
∀f ∈X
f = X − lim fn
n→∞
i.e.
lim kf − fn k = 0 .
n→∞
6. Soient (X, k · kX ) et (Y, k · kY ) deux espaces normés et T : X → Y un opérateur
linéaire qui conserve la norme . Alors T est continu et injectif.
Soient (xn ) ⊂ X et x ∈ X tel que
Preuve :
x = X − lim xn ,
n→∞
Alors
i.e.
lim kxn − xkX = 0 .
n→∞
kT xn − T xkY = kT (xn − x)kY = kxn − xkX → 0 ( n → ∞) .
Donc T x = Y − lim T xn
i.e. T est continu.
n→∞
En outre, ∀ x ∈ X kT xkY = kxkX , d’ où T x = 0 ⇒ x = 0
9.1
i.e. T est injectif.
Lemme [L1 ∩ L2 est dense dans L2 ]
L1 ∩ L2 est dense dans L2 .
En effet, soit f ∈ L2 . Soit ∀ N ∈ IN la N-tronquée de f donnée par

f (t)
si |t| ≤ N
fN (t) =
.
0
sinon
1
2
Alors (fN )∞
N =1 ⊂ L ∩ L tel que
f = L2 − lim fN
N →∞
Preuve :
1.
fN ∈ L1 ∩ L2 car
|fN (t)|2 ≤ |f (t)|2 ∈ L1
⇒
i.e.
lim kf − fN k2 = 0 .
N →∞
fN ∈ L2 .
2. Par Cauchy-Schwartz,
R
|f | dt =
IR N
RN
|f | · 1 dt ≤
−N
R
N
−N
≤ kf k2
En outre, comme f ∈ L2
21
12 R
N
1
dt
|f |2 dt
−N
√
2N < ∞ .
|f |2 ∈ L1 avec |f |2 = lim |fN |2 ր .
N →∞
Chapitre 9. Transformée de Fourier de L2
126
Il suit en utilisant la convergence monotone 3.7
Z
Z
Z N
2
2
|fN (t)| dt =
|f (t)|2 dt < ∞ .
|f (t)| dt = lim
lim
N →∞
N →∞
−N
IR
IR
Dès lors,
kf −
fN k22
=
=
Z
Z
2
IR
|f (t) − fN (t)| dt =
2
IR
|f (t)| dt −
Z
Z
|t|>N
|f (t)|2 dt
N
−N
|f (t)|2 dt → 0 ( N → ∞) .
Théorème [F : cas L1 ∩ L2]
9.2
Si f ∈ L1 ∩ L2
alors fb ∈ L2 et on obtient l’ identité de Parseval # 1 i.e.
b2.
kf k22 = (2π)−1 kfk
2
Preuve :
Pas 1
Soient
Alors
(i)
(ii)
e = f (−t)
f(t)
(conjuguée réflectée de f )
g ∈ L1 , ĝ = |fb|2 ;
g(t) = (ft , f ) tel que
g bornée,
g(0) = kf k22 ,
g = f ∗ fe .
et
g(·) continue en 0.
En effet
(i) Noter que
R
t←−t R
b
fe(x) = IR e−ixt f(−t) dt = IR eixt f (t) dt
=
R
IR
e−ixt f (t) dt =
= fb(x) .
R
IR
e−ixt f (t) dt
Comme f et fe ∈ L1 par 8.8, g = f ∗ fe ∈ L1 .
e ∧ = fb · fbe = fb · fb = |f|
b2 .
En outre par 8.10, ĝ = (f ∗ f)
Chapitre 9. Transformée de Fourier de L2
127
(ii) Noter que
g(t) = (f ∗ fe)(t) =
τ ←−τ
=
Z
Z
IR
f (t − τ ) f (−τ ) dτ
f (t + τ ) f (τ ) dτ =
Z
ft (τ )f (τ ) dτ
IR
IR
∆
= (ft , f ) .
a.
b.
g(0) = (f0 , f ) = (f, f ) = kf k22 .
|g(t)| = |(ft , f )| ≤ kft k2 kf k2 = kf k2 kf k2
= kf k22 < ∞ .
c.
|g(t) − g(0)| = |(ft , f ) − (f, f )| = |(ft − f, f )|
car par 8.5
≤ kft − f k2 kf k2 → 0 ( t → 0) ,
L2 − lim ft = f .
t→0
Dès lors g(0) = lim g(t) i.e. g(·) est continue en 0 .
t→0
Pas 2
(2π)−1 kfbk22 = kf k22 < ∞ tel que fb ∈ L2 .
En effet, par le Pas 1 (ii) et par 8.14 (iii) :
lim (g ∗ δbk )(0) = g(0) = kf k22 ,
(1)
k→∞
où par 8.14 (ii) (avec t = 0 ) et par le Pas 1 (i) :
Z
Z
i0x
b
b 2 δk (x) dx ,
ĝ(x) |{z}
e
δk (x) dx =
|f(x)|
( g ∗ δk )(0) =
|{z}
IR
IR
=1
∈L1
où
δk (x) = (2π)−1 e−|x|k
ր (2π)−1 ( k → ∞ ) .
−1
Donc par le Théorème 3.7 de convergence monotone
lim (g ∗ δbk )(0) = lim
k→∞
R
k→∞ IR
= (2π)
|fb(x)|2 δk (x) dx
R
−1
IR
(2)
b 2 dx = (2π)−1 kfk
b2.
|f(x)|
2
Ainsi par (1) et (2), (2π)−1 kfbk22 = kf k22 < ∞
tel que
fb ∈ L2 .
Chapitre 9. Transformée de Fourier de L2
9.3
128
Proposition [Autres résultats dans L1 ∩ L2 ]
Avec f, g ∈ L1 ∩ L2 et l’opérateur de Réflection (Rf )(·) := f (−·) , on obtient
a) l’ identité de Parseval #2
i.e.
b) R commute avec F
d;
Rfb = Rf
c) l’ identité de symétrie
Preuve :
i.e.
(f, g) =
1
2π
b ĝ) ;
(f,
b g) = (Rf,
d g) .
(f, ĝ) = (Rf,
i.e.
On démontre les assertions de façon successive.
a) En utilisant deux fois l’identité polaire de L2 et l’identité de Parseval #1 :
4 (f, g) = kf + gk2 − kf − gk2 + i kf + i gk2 − i kf − i gk2
= (2π)−1 kfb + gbk2 − kfb − b
g k2 + i kfb + i b
g k2 − i kfb − i b
g k2
= (2π)−1 · 4 (fb, b
g) .
b) En remplaçant t par −t :
Z
Z
−ixt
d
b
b
Rf(x) =
e
f (−t) dt =
eixt f (t) dt = f(−x)
=: Rf(x)
.
IR
IR
On obtient F R = RF .
c) En utilisant le Théorème 8.11 de symétrie et un changement de signe :
Z
Z
(f, ĝ) :=
f (t) b
g (t) dt =
f (t) b
g (t) dt
e
=
=
R
IR
IR
R
IR
IR
fb(x) ge(x) dx =
R
IR
fb(x) g(−x) dx
b g)
fb(−x) g(x) dx =: (Rf,
d g) .
= (Rf,
Chapitre 9. Transformée de Fourier de L2
129
Théorème [Existence de F : L2 → L2]
9.4
Soit f ∈ L2 .
Alors
Soit ∀ N ∈ IN fN la N-tronquée de f de 9.1 i.e.

f (t)
si |t| ≤ N
fN (t) =
.
0
sinon
∀ N ∈ IN fbN ∈ L2 ;
a)
2
(fbN )∞
N =1 ⊂ L est une suite de Cauchy ;
b)
∃! fb ∈ L2 tel que
c)
fb = L2 − lim fbN
Preuve :
a) Par 9.1
b) Par 9.1
Il suit que
N →∞
fN ∈ L1 ∩ L2
f = L2 − lim fN
N →∞
(fN )∞
N =1 ⊂
i.e.
tel que par 9.2
i.e.
lim kfbN − fbk2 = 0 .
N →∞
2
fc
N ∈ L .
lim kfN − f k2 = 0 .
N →∞
L2 est une suite de Cauchy.
Prendre alors M ≥ N et noter que fM − fN ∈ L1 ∩ L2 tel que
Ainsi par 9.2
c
fM\
− fN = fc
M − fN .
kfbM − fbN k22 = 2π kfM − fN k22
kfM − fN k2 → 0 ( M ≥ N → ∞) .
∞
2
Il suit que (fc
N )N =1 ⊂ L est une suite de Cauchy.
où
c) : Suit par le Théorème 5.12 de Riesz-Fisher qui affirme que L2 est complet.
Le Théorème 9.4 justifie
Chapitre 9. Transformée de Fourier de L2
130
Définition [F : L2 → L2 ]
9.5
Soit f ∈ L2 . La transformée de Fourier de f ∈ L2 est la ”fonction” fb ∈ L2 donnée par
fb(x) = L2 − lim fc
N (x)
N →∞
2
= L − lim
N →∞
Z
N
e−ixt f (t) dt
(A)
−N
Notes
fb ∈ L2 est une classe d’équivalence, d’où fb(x) est définie pour p.t. x ∈ IR .
On peut calculer fb(x) en observant que par (A) et le Corollaire d’extraction 5.13
∞
il existe une sous-suite (fc
( Nj ≥ j ) tel que
N )
1. ∀ f ∈ L2
j
j=1
fb(x) = lim fc
Nj (x) = lim
p.p. j→∞
j→∞
Z
Nj
e−ixt f (t) dt ,
ce qui suggère de calculer une valeur principale de Cauchy de
par
Z
Z
k
∞
e−ixt f (t) dt
VP
k→∞
R∞
−∞
−k
2. La définition est une extension du cas f ∈ZL1 ∩ L2 .
En effet, alors (B) devient fb(x) = lim
e−ixt fNj (t) dt où
p.p. j→∞
IR
lim fNj (t) = f (t)
j→∞
et
|intégrand| = |fNj (t)| ≤ |f (t)| ∈ L1 .
R
b p.p.
Ainsi par convergence dominée, f(x)
= IR e−ixt f (t) dt .
3. La définition 9.5 implique
F :
L2 → L2
En effet, avec a, b ∈ C
I et f, g ∈ L2
e−ixt f (t) dt donnée
e−ixt f (t) dt .
:= lim
−∞
(B)
−Nj
est linéaire.
considérons af + bg ∈ L2 .
Chapitre 9. Transformée de Fourier de L2
131
Alors avec fN et gN N-tronquées de f et g , et en utilisant la L2 -continuité de la
somme et de la multiplication scalaire :
[af + bg]∧ = L2 − lim([af + bg]N )∧
N →∞
= L − lim(afN + bgN )∧ = L2 − lim(afc
gN )
N + bc
2
N →∞
N →∞
= L − lim (afc
gN )
N ) + L − lim (bc
2
2
N →∞
N →∞
2
b g.
= a(L − lim fc
c
N ) + b(L − lim g
N ) = af + bb
2
N →∞
N →∞
4. Noter que les opérateurs
R:
C:
H:
L2 → L2 : f 7→ f (−·) ,
L2 → L2 : f 7→ f ,
L2 → L2 : f 7→ fe
H = CR = RC ,
sont (sesqui)-linéaires et conservent la norme : ils sont donc (sesqui)-linéaires et
continus.
9.6
Théorème [Parseval et symétrie : Cas L2 ]
Si f et g ∈ L2 ,
a)
alors on a les identités suivantes :
Parseval # 1 :
il suit que F :
b)
L2 → L2
linéaire , est continu et injectif ;
Parseval # 2 :
(f, g) = (2π)−1 (fb, gb) ;
c)
d)
b2;
kf k22 = (2π)−1 kfk
2
fb(−·) = [f (−·)]∧
b
fb = fe
i.e. RF = F R ;
i.e. CF = F H = F RC = F CR = RF C ;
Symétrie :
b g) = (Rf
d, g) .
(f, ĝ) = (Rf,
Chapitre 9. Transformée de Fourier de L2
132
Preuve :
a) : Parseval #1 suit de b). Les affirmations concernant F suivent du fait que F est
linéaire et conserve par Parseval #1 la norme modulo une constante.
b) : Avec fM et gN tronquées dans L1 ∩ L2 de f et g , et en utilisant la continuité du
produit scalaire :
(f, g) = (L2 − lim fM , L2 − lim gN )
1
= lim (fM , gN ) =
lim (fc
c
M, g
N)
9.3 2π M,N →∞
M,N →∞
=
1
1 b
2
(L2 − lim fc
c
(f , b
g).
M , L − lim g
N) =
2π
2π
c) : Noter que pour tout N les relations sont vraies pour fN ∈ L1 ∩ L2 . Comme les
opérateurs F , R, C, et H sont continus , les relations restent vraies dans L2 par
prise de limite . Par exemple :
d = L2 − lim ([Rf ]N )∧ = L2 − lim Rf
dN = L2 − lim R fc
Rf
N
b
= R (L2 − lim fc
N ) = Rf .
d) : Suit de l’identité de symétrie 9.3. Noter qu’ en utilisant la continuité du produit
scalaire et de R et le fait que R commute avec F :
(f, b
g ) = (L2 − lim fM , L2 − lim gc
N)
=
lim (fM , gc
N) =
M,N →∞
lim (Rfc
M , gN )
9.3 M,N →∞
2
= (L2 − lim Rfc
M , L − lim gN )
M →∞
N →∞
2
= (R (L2 − lim fc
M ), L − lim gN )
M →∞
N →∞
b g) = (Rf,
d g) .
= (Rf,
9.7
Soit
Théorème [Deux fois Fourier]
f ∈ L2
alors 2πRf = F 2 f
b
i.e. 2πf (−·) = fb .
Chapitre 9. Transformée de Fourier de L2
133
Preuve :
Prendre h ∈ L2 . Noter alors qu’ en utilisant les identités de Parseval #2 et
de symétrie :
2π (Rf, h) = (F Rf, F h) = (RF 2 Rf, h) = (F 2 R2 f, h) = (F 2 f, h) .
Corollaire [Inversion de F : Cas L2]
9.8
Si
2
f ∈L
Preuve :
2
alors f (t) = L − lim (2π)
−1
N →∞
Z
N
−N
b
eitx f(x)
dx .
par 9.7, 2πRf = F 2 f = F fb . Ainsi
Z
2
2
ˆ
2πf (−t) = L − lim F [f ]N (t) = L − lim
N →∞
N →∞
d’ où
2
2πf (t) = L − lim
N →∞
Z
N
N
ˆ
e−itx f(x)
dx ,
−N
eitx fˆ(x) dx .
−N
∞
ˆ
NB. Par le Corollaire d’extraction 5.13, il existe une sous-suite F [f ]Nj
j=1
telle que
2π f (t) =
lim
p.p. j→∞
Z
Nj
−Nj
eitx fb(x) dx
(on peut calculer 2πf (t) par une valeur principale de Cauchy de
9.9
R∞
−∞
( Nj ≥ j )
eitx fb(x) dx ).
Corollaire [F : L2 → L2 est une bijection]
∀ g ∈ L2
∃! f ∈ L2
tel que
g = fb .
Preuve :
En vue du Théorème 9.6 a) F : L2 → L2 est injectif. Il suffit de montrer
1
ĝ(−·) ∈ L2 . Alors par 9.7,
que F est surjectif. Soit g ∈ L2 . Définir f := 2π
2π Rg = F 2 g d’ où
2πg = RF 2 g = F (RF g) = F (ĝ(−·)) = F (2πf ) .
Il suit que ∀ g ∈ L2
∃ f ∈ L2 tel que g = F (f ) .
On réunit quelques résultats :
Chapitre 9. Transformée de Fourier de L2
9.10
134
Théorème [de Plancherel]
alors ∃! fb ∈ L2 (appelée transformée de Fourier de f ) tel que
RN
a) fb(x) = L2 − lim −N e−ixt f (t) dt ;
N →∞
RN
2
f (t) = L − lim (2π)−1 −N eixt fb(x)dx ;
Si f ∈ L2
N →∞
b) [Isométrie]
kf k22 = (2π)−1 kfbk22 ;
c) [Isomorphisme]
F : L2 → L2 est une bijection linéaire qui (modulo une
constante) préserve le produit scalaire i.e. ∀ f, g ∈ L2 (f, g) = (2π)−1 (fb, b
g) ;
d) [Extension] si f ∈ L1 ∩ L2
(comme élément de L2 ).
alors fb coı̈ncide avec la L1 -transformée de f
Chapitre 10
Compléments de transformée de
Fourier : Inversion et Laplace
Sommaire
• Inversion de la transformée de Fourier par valeur principale de
Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
10.1 Lemme [sin x/x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
10.2 Lemme [Fondamental] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
10.3 Lemme [Près] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
10.4 Lemme [Loin] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
10.5 Preuve du Théorème 8.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
10.6 Calcul type d’ inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
• Transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
10.7 Définition [Transformée de Laplace] . . . . . . . . . . . . . . . 142
10.8 Théorème [Transformée Holomorphe] . . . . . . . . . . . . . . 143
10.9 Théorème [de Convolution] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
10.10 Proposition [Intégration par parties] . . . . . . . . . . . . . . 146
10.11 Théorème [de la Dérivée] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
10.12 Corrolaire [Dérivées multiples] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
135
Chapitre 10. Compléments de tranformée de Fourier : Inversion et Laplace
136
Inversion de la transformée de Fourier par valeur principale de Cauchy
L’ objectif est de démontrer :
8.12 Théorème
f ∈ L1 ∩ C 1 P M
Si
2
−1
alors pour tout t ∈ IR
[f (t+) + f (t−)] = lim (2π)
−1
k→∞
Z
k
−k
eitx fb(x) dx
et de faire un calcul type basé sur ce Théorème.
Par la suite VP veut dire ”valeur principale de Cauchy”. On sait que
Z k
Z ∞
Z ∞
π
sin x
sin x
1 − cos x
VP
dx := lim
dx = =
dx .
k→∞ 0
x
x
2
x2
0
0
10.1
(1)
(2)
Lemme [sin x/x]
∀k≥0
et
∀u≥0,
soit
Z u
Z ku
sin kt
sin x
hk (u) =
dt =
dx .
t
x
0
0
(3)
Alors
a)
1 − cos ku
+
hk (u) =
ku
Z
ku
0
1 − cos x
dx ,
x2
(4)
où le premier terme droit et l’intégrand du second terme droit sont non-négatifs,
et en outre le premier terme est zéro pour ku = 0 ;
b)
∀u>0
π
lim hk (u) = = V P
k→∞
2
Z
0
c)
0 ≤ hk (u) ≤ 1 +
Preuve :
∞
sin x
dx ;
x
π
·
2
(5)
(6)
Chapitre 10. Compléments de tranformée de Fourier : Inversion et Laplace
137
sin x dx = d(1 − cos x) . Alors par intégration par parties
ku Z ku
1 − cos x
1 − cos x
hk (u) =
+
dx
x
x2
0
0
a) Remarquer que dans (3)
où l’évaluation du premier terme droit en zéro est zéro. On obtient (4).
b) (5) suit de (3) et de (2).
c) (6) : noter que
Ainsi par (4)
1 − cos ku ku sin ku
0≤
= sin
ku 2 ≤ 1 · 1 = 1 .
ku
2
2
∀ k ≥ 0 et ∀ u ≥ 0
Z ∞
π
1 − cos x
(2)
dx = 1 + ·
0 ≤ hk (u) ≤ 1 +
2
x
2
0
NB. Si
χk (x) := χ[−k, k] (x) .
Alors
χ
ck (u) =
Z
−iux
e
χk (x) dx =
Z
k
e−iux χk (x) dx =
−k
IR
qui est une fonction paire et de module ≤ 2k.
10.2
2 sin ku
1 iuk
e − e−iuk =
,
iu
u
Lemme [Fondamental]
Si f ∈ L1 et k > 0. Alors
Z k
Z
1
sin ku
1
itx ˆ
ft (u)
e f(x) dx =
du ,
2π −k
π IR
u
où ft (u) := f (t + u) est la t-translatée de f (u).
Preuve :
2 sin ku
on obtient en utilisant le Théorème de symétrie 8.11
u
R k itx
R itx
b(x) dx =
e
f
e fb(x)χk (x) dx
−k
IR
Avec χ
ck (u) =
8.4
=
R
=2
.
8.11
fb (x) χk (x) dx =
IR t
R
IR
ft (u)
sin ku
du .
u
R
IR
ft (u) χ
ck (u) du
Chapitre 10. Compléments de tranformée de Fourier : Inversion et Laplace
10.3
138
Lemme [Près]
Soit f ∈ C 1 P M . Alors il existe δ > 0 tel que
Z
sin ku
1
1
ft (u)
du = [f (t+) + f (t−)] .
lim
k→∞ π |u|≤δ
u
2
Preuve :
Comme f ∈ C 1 P M
il existe δ > 0 tel que
Z u
g± (u) := f (t ± u) − f (t±) =
g˙± (s) ds ∀u ∈ [0, δ] ,
0
sin ku
est paire
u
où g˙± est continue sur [0, δ]. En outre comme
(π)
−1
Z
ft (u)
|u|≤δ
= (π)
−1
Z
δ
0
sin ku
du
u
sin ku
f (t + u)
du + (π)−1
u
Z
δ
f (t − u)
0
sin ku
du
u
=: (π)−1 I+ (k) + (π)−1 I− (k) .
Il suffit de montrer que lim I± (k) = f (t±)(π/2). Pour des raisons d’analogie il suffit de
k→∞
traiter I+ (k). On obtient alors
Z δ Z u
Z δ
sin ku
sin ku
du =
du ,
f (t+) +
g˙+ (s) ds
I+ (k) :=
f (t + u)
u
u
0
0
0
d’ où en séparant des termes
Z
I+ (k) = f (t+)
0
δ
sin ku
du +
u
Z δ Z
0
u
g˙+ (s) ds
0
sin ku
du .
u
Ainsi par (3) et par Fubini
I+ (k) = f (t+) hk (δ) +
= f (t+) hk (δ) +
Z
Z
δ
g˙+ (s)
0
δ
0
Z
δ
u=s
sin ku
du
u
ds
g˙+ (s) [hk (δ) − hk (s)] ds ,
où par (5) limk→∞ hk (δ) = π/2 et (sauf en s = 0) limk→∞[hk (δ) − hk (s)] = 0. En outre en
utilisant (6)
| intégrand | ≤ |g˙+ (s)| [hk (δ) + hk (s)] ≤ (2 + π)|g˙+ (s)| ∈ L1 (0, δ).
Chapitre 10. Compléments de tranformée de Fourier : Inversion et Laplace
139
Ainsi par (5) et par convergence dominée
lim I+ (k) = f (t+) π/2 +
k→∞
10.4
Z
δ
g˙+ (s) 0 ds = f (t+) π/2 .
0
Lemme [Loin]
Si f ∈ L1 . Alors pour tout δ > 0
Z
sin ku
1
ft (u)
du = 0 .
lim
k→∞ π |u|≥δ
u
Preuve :
Poser
g(u) := (ft (u)/u) χ(−∞,−δ]∪[
Alors
Z
IR
|g(u)| du ≤ (δ)
Ainsi g ∈ L1 . Alors
Z
−1
Z
|u|≥δ
=
IR
g(u)
.
| ft (u) | du ≤ (δ)−1 || f ||1 < ∞ .
sin ku
du =
ft (u)
u
|u|≥δ
Z
δ, ∞) (u)
Z
g(u) sin(ku) du
IR
[eiku − e−iku ]
[ĝ(−k) − ĝ(k)]
du =
,
2i
2i
qui tend vers zéro lorsque k → ∞ par le Théorème 8.6 de Riemann–Lebesgue .
10.5
Preuve du Théorème 8.12
Preuve :
Avec f ∈ L1 ∩ C 1 P M on obtient par le Lemme fondamental 10.2
Z k
Z
sin ku
−1
itx ˆ
−1
(2π)
ft (u)
e f (x) dx = (π)
du
u
IR
−k
Z
Z
sin ku
sin ku
−1
−1
ft (u)
du + (π)
du .
ft (u)
= (π)
u
u
|u|≥δ
|u|≤δ
Lorsque k → ∞, le premier terme tend vers [f (t+) + f (t−)]/2 (par le Lemme 10.3) et le
second terme tend vers zéro (par le Lemme 10.4).
140
Chapitre 10. Compléments de tranformée de Fourier : Inversion et Laplace
10.6
Calcul type d’ inversion
On considère :
f (t) = e−ct 1(t)
Re c > 0 où
∞
Z ∞
e−(c+ix)t
1
−ct −ixt
b
f (x) =
e e
dt =
=
.
−(c + ix) 0
c + ix
0
Le problème d’inversion est alors :
2
−1
Z
−1
[f (t+) + f (t−)] = lim (2π)
?
k→∞
k
−k
eixt
dx =: (I)
c + ix
.
Cas t 6= 0 : En se laissant inspirer par les ingénieurs et physiciens, on obtient en
remplaçant ix par s :
Z ik
est
−1
ds ,
(I) = (2πi)
−ik s + c
où l’intégrand admet un pôle en s = −c .
Cas t > 0 : Considérer s ∈ C
I , où l’on note que l’intégrale (I) se prend sur l’axe
imaginaire entre −ik (point A) et ik (point B) en passant par 0 (point O) : prendre k
grand et fermer le contour à gauche en utilisant un demi-cercle BCA de rayon k tel que le
est
dans le sens positif ; le point C
contour AOBCA entoure le pôle −c de l’intégrand
s+c
réprésente −k .
π 3π
iθ
.
Noter que sur BCA : s = ke où θ ∈
,
2 2
Observer alors qu’en utilisant le Théorème des Résidus :
Z
Z
est
est
−1
−1
(I) = (2πi)
ds − (2πi)
ds
AOBCA s + c
BCA s + c
= Rés
−ct
=e
Z
est
est
−1
; −c − (2πi)
ds
s+c
BCA s + c
− (2πi)
Noter ensuite que sur BCA avec
−1
Z
est
ds .
BCA s + c
π 3π
:
,
θ∈
2 2
ds = k eiθ idθ , |ds| = k dθ ,
|s + c| ≥ k − |c| , |est | = ekt cos θ ≤ 1 ∈ L1 [
π 3π
,
].
2 2
Chapitre 10. Compléments de tranformée de Fourier : Inversion et Laplace
141
Ainsi en utilisant le Théorème de convergence dominée :
Z
BCA
Donc pour t > 0
Z 3π
2
est
k
ds ≤
·
ekt cos θ dθ → 1 · 0 = 0 ( k → ∞) .
s+c
k − |c| π2
lim (2π)
−1
k→∞
Z
k
eixt
dx = e−ct
c + ix
−k
CQFD .
Cas t < 0 :
En fermant le contour à droite pour k grand par un demi-cercle BCA de
est
: ce dernier
rayon k , le contour A0BCA n’entoure pas de singularités de l’intégrand
s+c
est holomorphe dans le demi-disque ; le point
réprésente
k.
h C
i
π
π
Noter que sur BCA : s = keiθ où θ ∈ − ,
.
2 2
Observer alors qu’en utilisant le Théorème de Cauchy :
Z
Z
est
est
−1
−1
ds − (2πi)
ds
(I) = (2πi)
BCA s + c
AOBCA s + c
= 0 − (2πi)
= −(2πi)
−1
−1
Z
BCA
Z
BCA
est
ds
s+c
est
ds ,
s+c
où l’on obtient de façon analogue à celle du cas t > 0 :
Z
Z π
st
2
e
k
≤
ekt cos θ dθ → 1 · 0 = 0 ( k → ∞) .
ds
·
π
k − |c| − 2
BCA s + c
Donc pour t < 0
lim (2π)
k→∞
−1
Z
k
−k
eixt
dx = 0 CQFD .
c + ix
Cas t = 0 : Poser c := a + ib où a > 0 . En posant ensuite y := b + x on obtient :
Z k
Z b+k
1
1
−1
−1
(I) = (2π)
dx = (2π)
dy .
−k a + i(b + x)
b−k a + iy
Remarquer alors que f (y) :=
1
est tel que f (−y) = f (y), ce qui entraine lorsque k
a + iy
tend vers l’infini :
Z ∞
Z
Z π
Z ∞
1
1
1
1
a ∞
1 2
1
1
dy =
· 2Re
dy =
dy =
dφ = ,
2
2
2π −∞ a + iy
2π
a + iy
π 0 a +y
π 0
2
0
Chapitre 10. Compléments de tranformée de Fourier : Inversion et Laplace
142
où pour obtenir l’avant dernière égalité on a posé y =: a tan φ .
Donc pour t = 0
Z k
eixt
1
−1
lim (2π)
dx =
CQFD .
k→∞
2
−k c + ix
Transformée de Laplace
Nous donnons par la suite un bref aperçu de la théorie de la transformée de Laplace,
comprenant sa définition et trois théorèmes essentiels : la transformée est holomorphe
dans son demi-plan de définition, convertit une convolution en produit des transformées, et
transforme une dérivée par multipltication par s modulo soustraction de la valeur initiale.
10.7
Définition [Transformée de Laplace]
Pour définir la transformée de Laplace, on se donne d’abord quelques notations.
Un point s ∈ C
I s’écrit s = σ + ix. Le demi-plan fermé du plan complexe à droite de
l’abscisse σ sera noté C
I σ+ := {s ∈ C
I | Res ≥ σ} et le demi-plan ouvert correspondant est
◦
noté C
I σ+ := {s ∈ C
I | Res > σ}.
On a aussi besoin de l’espace de fonctions L1σ+ défini par
f ∈ L1σ+
⇐⇒
f : t 7→ f (t) : IR → C
I , tel que f est mesurable selon Lebesgue ,
f (t) = 0 ∀ t < 0 , et ∃ σ ∈ IR tel que e−σt f (t) ∈ L1 .
donc essentiellement f est mesurable, a son support sur IR+ , et est intégrable modulo
calibration par une exponentielle.
Par la suite L1+ désigne l’espace des fonctions f dans L1 avec support sur IR+
( i.e. f (t) = 0 ∀ t < 0 ) . Ainsi f ∈ L1σ+ ssi ∃ σ ∈ IR tel que e−σt f (t) ∈ L1+ .
Toute fonction f
donnée par
∈ L1σ+ admet une abscisse de convergence absolue σo (f ) < ∞
σo (f ) := inf{σ ∈ IR | e−σ· f ∈ L1+ }
(1)
La transformée de Laplace d’une fonction f ∈ L1σ+ est une fonction notée f˜ tel que
Z ∞
◦
˜
˜
˜
f :C
I σ0 + → C
I : s 7→ f (s) où f (s) :=
e−st f (t) dt ,
0
et où σ0 = σ0 (f ) est l’abscisse de convergence absolue de f .
Chapitre 10. Compléments de tranformée de Fourier : Inversion et Laplace
10.8
143
Théorème [Transformée Holomorphe]
Soit f ∈ L1σ+ avec σ0 = σ0 (f ) son abscisse de convergence absolue donnée par (1).
Alors
◦
∀s ∈ C
I σ0 +
d ˜
^(t)](s) ,
f (s) = [(−t)f
ds
i.e. f˜(s) est holomorphe dans son demi-plan de définition.
◦
Preuve :
s ∈C
I σ0 + donne s = σ + ix où σ > σ0 .
R∞
Alors il existe ε > 0 tel que σ − σ0 = 3ε, et f˜(s) = 0 e−st f (t) dt.
Alors avec h ∈ C
I tel que |h| ≤ ε
Z ∞ −ht
˜
f˜(s + h) − f(s)
e − 1 −st
=
e f (t) dt ,
h
h
0
e−ht − 1
= −t .
h→0
h
où
lim
Alors |e−ht − 1| ≤ e|h|t − 1 et 1 − e−|h|t ≤ |h| · t
(car
∞
∞
n
X
−ht
(−ht)
X (|h|t)n
e − 1 ≤ = e|h|t − 1 ,
≤
n! n!
n=1
−x
et pour x ≥ 0 1 − e
n=1
≤ x)
Ainsi
|(e−ht − 1)/h| ≤ e|h|t (1 − e−|h|t)/|h| ≤ e|h|t · t ≤ eεt · t ≤ Kε e2εt ,
car limt→∞ t/eεt = 0 implique : ∃ Kε > 0 tel que t ≤ Kε eεt .
Alors
| intégrand | ≤ Kε e2εt · e−σt |f (t)| = Kε e−(σ−2ε)t |f (t)| ∈ L1
car σ − 2ε > σ0 .
Ainsi par 4.8 (convergence dominée)
˜ + h) − f˜(s) Z ∞
f(s
d ˜
^(t)](s) .
f (s) = lim
=
(−t)e−st f (t) dt = [(−t)f
h→0
ds
h
0
NB. On obtient par récurrence
n
◦
d
^
n f (t)](s) pour n = 0, 1, 2, . . . .
˜ = [(−t)
f(s)
∀s ∈ C
I σ0 +
ds
Chapitre 10. Compléments de tranformée de Fourier : Inversion et Laplace
144
Notes. La transformée de Laplace est linéaire et holomorphe et admet les propriétés
suivantes :
1) Extension analytique : souvent f˜ admet une extension analytique sur tout C
I , i.e.
◦
∃ ! g(·) : C
I →C
I
holomorphe sauf en des points singuliers telle que g(s) = f˜(s) sur C
I σ0 + .
Il est d’ usage de confondre f˜ et g.
Par exemple avec f (t) = 1(t) ect (= ect ∀t ≥ 0) on trouve σ0 = σ0 (f ) = Re c et f˜(s) =
(s − c)−1 ∀ Re s > Re c, qui admet l’extension analytique g(s) = (s − c)−1 . On écrit :
f˜(s) = (s − c)−1 (extension analytique sans spécifier Re s > Re c).
2) Lien avec la transformée de Fourier : notons par F la transformée de Fourier de
L1 , alors
◦
∀ f ∈ L1σ+
∀ s = σ + ix ∈ C
I σ0 +
Z ∞
˜ + ix) =
f˜(s) = f(σ
e−ixt [e−σt f (t)] dt = F [e−σ· f (·)](x) avec e−σ· f ∈ L1+ .
0
Ainsi la transformée de Laplace est injective sur L1σ+ (propriété de F sur L1 ). En outre
par le Théorème 8.12 d’ inversion, on obtient sans peine la formule d’ inversion :
Z σ+ik
1
1
1
∀ f ∈ Lσ+ ∩ C P M ∀ t ∈ IR
(1/2)[f (t+) + f (t−)] = lim
est f˜(s) ds
k→∞ 2πi σ−ik
où σ est une abscisse fixe telle que σ > σ0 (f ).
Cette formule s’ évalue par une intégrale de contour et par calcul des résidus comme dans
la section 10.6 ; elle n’est pas souvent utilisée car on dispose de tables bien fournies.
3) Formule de l’exponentielle : la remarque après le Theorème 10.8 donne avec f (t) :=
1(t)ect où c ∈ C
I telle que f˜(s) = (s − c)−1 :
∀n ∈ IN g(t) = 1(t) (tn−1 /(n − 1)!) ect
•−•
g̃(s) = (s − c)−n .
(2)
où • − • veut dire ”correspond à ”.
10.9
Théorème [de Convolution]
Soient f et g ∈ L1σ+ avec σ0 (f ) et σ0 (g) leurs abscisses de convergence absolue données
par (1). Soit σ∗ := max{σ0 (f ), σ0 (g)}.
Alors
Rt
1) f ∗ g ∈ L1σ+ où (f ∗ g)(t) = 0 f (t − τ )g(τ ) dτ ∀t ≥ 0 ,
2) Avec s = σ + ix où σ > σ∗
.
^
[f
∗ g](s) = f˜(s) · g̃(s) .
145
Chapitre 10. Compléments de tranformée de Fourier : Inversion et Laplace
Preuve :
1) : Comme f et g ont leur support sur IR+ (i.e f (τ ) = 0 = g(τ ) pour
τ < 0), on obtient

IR \ [0, t] si t ≥ 0
Zt := {τ ∈ IR | f (t − τ )g(τ ) = 0} ⊃ (−∞, 0) ∪ (t, ∞) =
.
 IR
si t < 0
Ainsi
(f ∗ g)(t) :=
avec pour tout t ∈ IR
Z
IR
f (t − τ )g(τ )dτ =
R
 t f (t − τ )g(τ )dτ
0
 0
si t ≥ 0
si t < 0
,
e−σt (f ∗ g)(t) = ([e−σ· f ] ∗ [e−σ· g])(t) .
Alors avec σ > σ∗ , e−σ· f et e−σ· g sont dans L1+ , tel que e−σ· (f ∗ g) = [e−σ· f ] ∗ [e−σ· g] est
dans L1+ . On obtient les assertions de 1).
2) : Avec s = σ + ix où σ > σ∗ , par le lien de la transformée de Laplace à la transformée
de Fourier de fonctions dans L1+ :
^
[f
∗ g](σ + ix) = F [e−σ· (f ∗ g)](x) = F ([e−σ· f ] ∗ [e−σ· g])(x) =
= F [e−σ· f ](x) · F [e−σ· g](x) = f˜(σ + ix) · g̃(σ + ix) .
NB. Le Théorème 10.9 permet d’ établir la formule de l’exponentielle (2) par récurrence :
en effet elle est vraie pour n = 1 et supposons qu’elle soit vraie pour n, alors :
Z t
n+1
−1
−n
(s − c)
= (s − c) · (s − c)
•−•
ec(t−τ ) (τ n−1 /(n − 1)!) ecτ dτ = ect (tn /n!) ,
0
d’où elle est vraie pour n + 1.
En vue des définitions et résultats précédents on travaillera par la suite s.p.d.g. avec des
fonctions f définies sur IR+ dont l’abscisse de convergence absolue est donnée
par
σo(f ) := inf {σ ∈ IR | e−σ· f ∈ L1 (0, ∞)} .
(3)
Chapitre 10. Compléments de tranformée de Fourier : Inversion et Laplace
146
Nous abordons maintenant le théorème de la dérivée en définissant la classe des fonctions
f (t) ∈ C
I qui sont absolument continues sur IR+ , notée AC(0, ∞), telle que
f ∈ AC(0, ∞)
⇐⇒
a) Pour presque tout t ≥ 0 f˙(t) ∈ C
I
b) Pour tout t ≥ 0 f (t) = f (0+) +
et
Rt
0
f˙ ∈ L1 (0, T ) ∀T > 0 ,
f˙(u) du .
NB. Une telle fonction est continue et C 1 (0, ∞) ⊂ AC(0, ∞) . En outre :
10.10
Proposition [Intégration par parties]
Soient f ∈ AC(0, ∞) et g ∈ AC(0, ∞).
Alors pour tout t ≥ 0
Z
t
f (u)ġ(u)du =
0
[f (u)g(u)]t0+
−
Z
t
f˙(u)g(u)du
0
i.e. l’ intégration par parties est valable.
Preuve :
par le théorème de Fubini :
Z t
Z t
Z
f (u)ġ(u) du =
[f (0+) +
0
Z
0
u
f˙(v) dv] ġ(u) du =
0
Z t
Z t
˙
˙
f (0+)[g(t)−g(0+)]+
f(v)[ ġ(u)du]dv = f (0+)[g(t)−g(0+)]+
f(v)[g(t)−g(v)]dv
0
v
0
Z t
= f (0+)[g(t) − g(0+)] + [f (t) − f (0+)] g(t) −
f˙(v)g(v) dv ,
t
0
d’où le résultat.
10.11
Théorème [de la Dérivée]
˙ données
Soit f ∈ AC(0, ∞), ayant des abscisses de convergence absolue σ0 (f ) et σ0 (f)
˙ <∞ .
par (3) telles que σ∗ := max{σ0 (f ), σ0 (f)}
Alors
∀ s = σ + ix ∈ C
I où σ > σ∗
f
[f˙](s) = sf˜(s) − f (0+) .
(4)
Chapitre 10. Compléments de tranformée de Fourier : Inversion et Laplace
147
Preuve : Définir g(t) := e−st ∀t ≥ 0. Alors f et g ∈ AC(0, ∞) donnent, avec ġ = −sg,
par intégration par parties (voir 10.10) : pour tout t ≥ 0
Z t
Z t
t
˙
(fg)(u)du
= [(f g)(u)]0+ + s (f g)(u)du .
(A)
0
0
Prendre alors s = σ + ix ∈ C
I où σ > σ∗ . Comme |f g|(t) = e−σt |f (t)| et |f˙g|(t) =
˙ ∈ L1 (0, ∞), tel que si t → ∞, alors les intégrales dans (A)
e−σt |f˙(t)|, on obtient f g et fg
convergent, d’ où de même pour (f g)(t), i.e. limt→∞ (f g)(t) =: (f g)(∞) ∈ C
I ; en outre
1
comme f g ∈ L (0, ∞) il suit : (f g)(∞) = 0. Ainsi si t → ∞ dans (A), on obtient :
Z ∞
Z ∞
˙
f(t)g(t)dt = −f (0+)g(0+) + s
f (t)g(t)dt ,
0
0
d’ où avec g(t) := e−st :
Z
∞
f˙(t)e
−st
0
i.e.
dt = −f (0+) + s
Z
∞
f (t)e−st dt ,
0
f
˜ − f (0+) .
[f˙](s) = sf(s)
Remarque : Les ingénieurs et physiciens considèrent une fonction f de classe C 1 P M
sur (−ε, ∞) et utilisent une dérivée au sens des distributions. Ils obtiennent la formule (4)
modulo échange de 0+ par 0− .
Par exemple considérons la fonction f (t) = 1(t) − 1(t − 1) = χ[0,1] (t) .
Cette fonction admet une discontinuité en t = 1 et ne peut être traitée par la formule (4).
Pourtant elle admet une dérivée au sens des distributions de la forme f˙(t) = δ(t) − δ(t − 1),
où pour t0 ∈ IR, δ(t − t0 ) est la distribution de Dirac en t0 i.e. une fonctionnelle telle
que, pour toute fonction g ∈ CP M, pour tout intervalle I

Z
g(t +)
si ∃ τ > 0 tel que [t0 , t0 + τ ] ⊂ I
0
g(t)δ(t − t0 )dt :=
 0
I
sinon
donnant g(t)δ(t − t0 ) = g(t0 +)δ(t − t0 ) .
Ceci entraine avec t0 ≥ 0,
^
δ(·
− t0 )(s) =
en outre
∀t ≥ 0
Z
Z
∞
0−
e−st δ(t − t0 )dt = e−st0 ;
t
0−
δ(u − t0 )du = 1(t − t0 ) sauf en t = t0 .
Chapitre 10. Compléments de tranformée de Fourier : Inversion et Laplace
148
Ainsi avec f (0−) = 0,
Z t
∀t ≥ 0
f˙(u)du = 1(t) − 1(t − 1) = f (t) sauf en t = 0 et t = 1 ,
0−
i.e. ”f est intégrale de sa dérivée sauf en ses points de discontinuité” . Alors on trouve
d’ où avec f (0−) = 0,
f˙
[f](s)
= 1 − e−s
et
1 − e−s
f˜(s) =
,
s
[f
f˙](s) = sf˜(s) − f (0−) .
(5)
La même philosophie donne avec f (t) = 1(t)e−t
f˙(t) = −1(t)e−t + δ(t)
1
s
˜ = 1
et [f
f˙](s) = −
+1=
d’ où l’ on obtient (5).
ce qui donne f(s)
s+1
s+1
s+1
Le théorème 10.11 permet de composer, d’ où avec f (k) la k-ième dérivée de f := f (0) :
10.12
Corrolaire [Dérivées multiples]
Soit f (k) ∈ AC(0, ∞) pour k = 0, 1, . . . , n − 1 ayant des abscisses de convergence
absolue données par (3) telles que σ∗ := max(σ0 (f (k) ))k=0,1,...,n < ∞.
Alors
∀s = σ + ix ∈ C
I où σ > σ∗
]
(n) ](s) = sn f˜(s) − sn−1 f (0+) − sn−2 f (1) (0+) − · · · − f (n−1) (0+) .
[f
Remarque : Même remarque comme après la preuve du Théorème 10.11 pour une fonction f de classe C n P M sur (−ε, ∞) en utilisant des dérivées au sens des distributions : on
obtient la même formule modulo échange de 0+ par 0−.
Preuve :
s.p.d.g. n = 2 . Alors
]
]
(1) ](s)−f (1) (0+) = [f
(2) ](s)
˜
s2 f˜(s)−sf (0+)−f (1) (0+) = s(sf(s)−f
(0+))−f (1) (0+) = s[f
Chapitre 10. Compléments de tranformée de Fourier : Inversion et Laplace
149
Ce corrolaire et le théorème 10.9 permettent de résoudre des équations différentielles à
coefficients constants commandées, par exemple :
x(2) (t) + ax(1) (t) + bx(t) = f (t) t ≥ 0 .
(6)
Par linéarité de la transformée et par le corrolaire on obtient :
[s2 x̃(s) − sx(0+) − x(1) (0+)] + a[sx̃(s) − x(0+)] + b x̃(s) = f˜(s) .
Il s’ensuit :
x̃(s) =
(s + a)x(0+) + x(1) (0+) f˜(s)
+
χ(s)
χ(s)
où χ(s) := s2 + as + b est le polynome caractéristique de l’ équation différentielle (6). Sa
solution dépend 1) des racines s1,2 de χ(s) donnant sa factorisation en termes élémentaires
χ(s) = (s − s1 )(s − s2 ) et 2) des fonctions rationnelles en s strictement propres (i.e. zéro
à l’infini) rencontrées. Ainsi
a) avec a = 2 et b = 2 s1,2 = −1 ± i donne
A
B
1 1+i
1−i
s+2
• − • e−t (sin(t) + cos(t)) ,
=
+
=
−
χ(s)
s − s1 s − s2
2i s − s1 s − s2
et
1
1
C
D
1
1
=
+
=
−
χ(s)
s − s1 s − s2
2i s − s1 s − s2
•−•
e−t sin(t) ,
ce qui donne la solution
−t
−t
x(t) = e (sin(t) + cos(t))x(0+) + e
(1)
sin(t)x (0+) +
Z
t
0
e−(t−τ ) sin(t − τ )f (τ ) dτ .
b) avec a = 2 et b = 1 on obtient s1 = s2 = −1 tel que χ(s) = (s − s1 )2 = (s + 1)2 d’ où
s+2
1
1
=
+
χ(s)
s + 1 (s + 1)2
et
1
1
=
χ(s)
(s + 1)2
(1 + t)e−t ,
•−•
te−t ,
•−•
ce qui donne la solution
−t
−t (1)
x(t) = (1 + t)e x(0+) + te x (0+) +
Z
t
0
(t − τ )e−(t−τ ) f (τ ) dτ .
Annexe A
Lebesgue-mesurable et mesures de
Stieltjes
Sommaire
• Ensembles et fonctions Lebesgue-mesurables . . . . . . . . . . . . 151
A.1 Lemme [Ensemble mesurable selon Lebesgue] . . . . . . . . . 151
A.2 Théorème [de Calibrage] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
A.3 Théorème [Fonctions presque Borel-mesurables] . . . . . . . . 153
• Espaces mesurés de Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
A.4 Introduction à la mesure de Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . 154
A.5 Proposition [Espace prémesuré de Stieltjes]
. . . . . . . . . . 154
A.6 Espaces mesurés d’extension de Stieltjes . . . . . . . . . . . . 157
150
151
Annexe A. Lebesgue-mesurable et mesures de Stieltjes
Ensembles et fonctions Lebesgue-mesurables
A.1
Lemme [Ensemble mesurable selon Lebesgue]
Soit E ∈ E (mesurable selon Lebesgue). Soit G et F respectivement la classe des ouverts
et des fermés de IR . Alors
a)
ℓ(E) = inf { ℓ(G) | G ∈ G
E ⊂ G} ;
b)
∀ε>0
∃G∈G
tel que
E ⊂ G et ℓ(G \ E) ≤ ε ;
c)
∀ε>0
∃F ∈F
tel que
F ⊂E
d)
ℓ(E) = sup { ℓ(F ) | F ∈ F
et ℓ(E \ F ) ≤ ε ;
F ⊂ E} .
Preuve :
a) Il suffit de montrer
E∈E
⇒
∀ε>0 ∃G∈G
tel que E ⊂ G et ℓ(G) ≤ ℓ(E) + ε
(A)
En effet pour E ∈ D , pour tout ε > 0 il existe G ∈ G tel que E ⊂ G et
ℓ(G) ≤ ℓ(E) + ε . En outre avec E ∈ E et ε > 0 , il existe (En )∞
n=1 ⊂ D tel que
P∞
∞
E ⊂ ∪n=1 En et
n=1 ℓ0 (En ) ≤ ℓ(E) + ε/2 . Pour tout n il existe alors Gn ∈ G
∞
tel que En ⊂ Gn et ℓ(Gn ) ≤ ℓ(En ) + ε2−n−1 . Soit alors G := ∪ Gn . Alors G ∈ G
n=1
et E ⊂ G . En outre
∞
∞
∞
P
P
P
ℓ(G) ≤
ℓ(Gn ) ≤
ℓ0 (En ) +
ε2−n−1 ≤ ℓ(E) + ε/2 + ε/2
n=1
n=1
n=1
= ℓ(E) + ε .
On obtient (A).
b) Si ℓ(E) < ∞ le résultat suit par (A). Soit alors ℓ(E) = ∞ et ε > 0 .
∞
∀ n ∈ IN définir In := (−n, n) et An := In \ In−1 où I0 := ∅ . Alors IR = ∪˙ An
où ∀ n ∈ IN ℓ(An ) = 2 .
n=1
∞
Définir En := E ∩ An . Alors E = ∪˙ En où ∀ n ∈ IN En ∈ E
n=1
et ℓ(En ) ≤ 2 .
Alors par (A) ∀ n ∈ IN ∃ Gn ∈ G tel que En ⊂ Gn et ℓ(Gn \ En ) ≤ ε2−n .
Définir G := ∪∞
E ⊂ G et G \ E = ∪∞
n=1 Gn . Alors G ∈ G
n=1 (Gn \ E) ⊂
∞
∪n=1 (Gn \ En ) . Ainsi
∞
∞
∞
X
X
ℓ(G \ E) ≤ E ∪ (Gn \ En ) ≤
ℓ(Gn \ En ) ≤
ε2−n = ε .
n=1
n=1
n=1
152
Annexe A. Lebesgue-mesurable et mesures de Stieltjes
c) Soit ε > 0 . Comme E c ∈ E, par b) il existe G ∈ G tel que E c ⊂ G et
ℓ(G \ E c ) ≤ ε . Définir F := Gc . Alors F ∈ F F ⊂ E et E \ F = G \ E c
tel que ℓ(E \ F ) ≤ ε .
d) Soit ε > 0 . Par c) il existe F ∈ F tel que F ⊂ E et ℓ(E \ F ) ≤ ε . Comme
ℓ(E) = ℓ(F ) + ℓ(E \ F ) , on obtient ℓ(E) ≤ ℓ(F ) + ε .
Donc si ℓ(E) = ∞ , il existe F ∈ F F ⊂ E et ℓ(F ) = ∞ .
En outre si ℓ(E) < ∞ , alors ∀ ε > 0 ∃ F ∈ F tel que
F ⊂ E et ℓ(E) − ε ≤ ℓ(F ) ≤ ℓ(E) .
Il suit que le résultat est vrai.
NB. Il suit de la preuve que si ℓ(E) = ∞ , alors il existe F ∈ F et G ∈ G tel que
F ⊂ E ⊂ G et ℓ(F ) = ℓ(E) = ℓ(G) . Un résultat similaire est valable lorsque ℓ(E) < ∞,
en remplaçant 1) G par Gδ i.e. classe des intersections dénombrables d’ouverts de IR , et
2) F par Fσ i.e. classe des réunions dénombrables de fermés de IR . En effet :
A.2
Théorème [de Calibrage]
Soit E ∈ E (mesurable selon Lebesgue).
Alors ∃ Bi ∈ Fσ ⊂ B et ∃ Be ∈ Gδ ⊂ B tel que
Bi ⊂ E ⊂ Be
où N := Be \ Bi ∈ B satisfait ℓ(N) = 0 , d’ où ℓ(Bi ) = ℓ(E) = ℓ(Be ) .
En outre E = Bi ∪˙ Z où Z ⊂ N avec Z ∈ E tel que ℓ(Z) = 0 .
Preuve :
Par le Lemme A.1, pour tout n ∈ IN il existe Fn ∈ F et Gn ∈ G tel que
Fn ⊂ E ⊂ Gn ℓ(E \ Fn ) ≤ 1/2n et ℓ(Gn \ E) ≤ 1/2n , d’ où ℓ(Gn \ Fn ) ≤ 1/n .
∞
Définir Bi := ∪∞
n=1 Fn ∈ Fσ ⊂ B et Be := ∩n=1 Gn ∈ Gδ ⊂ B . Alors Bi ⊂ E ⊂ Be et
∞
∞
n=1
n=1
N := Be \ Bi = ( ∩ Gn ) \ ( ∪ Fn ) ⊂ Gn \ Fn
∀ n ∈ IN ,
tel que
ℓ(N) ≤ ℓ(Gn \ Fn ) ≤ 1/n
∀ n ∈ IN .
Donc ℓ(N) = 0 . Comme ℓ(N) = ℓ(Be \ E) + ℓ(E \ Bi ) = 0 , il suit que ℓ(Be \ E) =
ℓ(E \ Bi ) = 0 . Ainsi ℓ(Bi ) = ℓ(E) = ℓ(Be ) , et Z := E \ Bi est tel que Z ∈ E et
ℓ(Z) = 0 .
153
Annexe A. Lebesgue-mesurable et mesures de Stieltjes
A.3
Théorème [Fonctions presque Borel-mesurables]
Toute fonction f : IR → IR mesurable selon Lebesgue ( E-mesurable) est égale à une
fonction g : IR → IR mesurable selon Borel ( B-mesurable) sauf sur un ensemble de
mesure extérieure nulle.
Preuve :
Soit Q
I ⊂ IR l’ensemble des nombres rationnels.
Comme f est E-mesurable
∀ r ∈Q
I Er := {x | f (x) > r} ∈ E
d’ où par le Théorème A.2
Er = Br ∪˙ Zr
où
Br ∈ B ,
Zr ∈ E ,
Zr ⊂ Nr ,
Nr ∈ B
tel que ℓ(Nr ) = 0 .
Soient θ(x) := 0 ∀ x ∈ IR et Θr := {x | θ(x) > r} ( r ∈ Q
I ).
φ r ≥ 0
Θr =
,
d’où Θr ∈ B .
IR r < 0
Soit
N :=
S
Nr . Alors
r∈I
Q
Définir alors
Noter que
g : IR → IR
N ∈B,
tel que
Alors
ℓ(N) = 0 .

θ(x)
g(x) :=
f (x)
x∈N
x ∈ Nc
.
Er ∩ N c = (Br ∪ Zr ) ∩ N c = Br ∩ N c ∈ B .
| {z }
φ
Alors
1. g(x) B-mesurable car avec r ∈ Q
I et Gr := {x | g(x) > r} ,
Gr = (Gr ∩ N) ∪ (Gr ∩ N c )
= (Θr ∩ N) ∪ (Er ∩ N c ) = (Θr ∩ N) ∪ (Br ∩ N c ) ∈ B
d’où
∀ α ∈ IR {x | g(x) > α} = ∪{Gr | r ∈ Q
I , r > α} ∈ B .
154
Annexe A. Lebesgue-mesurable et mesures de Stieltjes
2. g(x) = f (x) ℓ∗ -p.p. car
E = {x | g(x) 6= f (x)} ⊂ N
d’où ℓ(E) = 0
mesurable).
( N c ⊂ Ec )
et par 6.9 (ensemble de mesure extérieure nulle)
E∈E
( ℓ-
Espaces mesurés de Stieltjes
A.4
Introduction à la mesure de Stieltjes
On considère IR muni de l’algèbre Ds des réunions finies d’ intervalles de classe D .
Soit f : IR → IR une fonction croissante continue à droite i. e. f (x) = f (x+) ∀ x ∈ IR .
Noter que f (∞) et f (−∞) existent dans IR .
Pour E ∈ D on définit la mesure de Stieltjes par :
ℓf 0 ((a, b]) := f (b) − f (a) , ℓf 0 ((a, ∞)) := f (∞) − f (a) ,
ℓf 0 ((−∞, b]) := f (b) − f (−∞) , ℓf 0 ((−∞, ∞)) := f (∞) − f (−∞) ,
n
n
P
ℓf 0 (Ei ) .
et pour E ∈ Ds avec E = ∪˙ Ei (Ei ∈ D) on définit : ℓf 0 (E) :=
i=1
i=1
On démontre alors
A.5
Proposition [Espace prémesuré de Stieltjes]
(IR, Ds , ℓf 0 ) est un espace prémesuré où ℓf 0 est une mesure σ-finie sur Ds .
Preuve :
est σ-finie.
On sait par 6.4 que Ds est une algèbre, et il est facile de montrer que ℓf 0
Pour obtenir que ℓf 0 est une mesure sur Ds , on montre sans peine que ℓf 0 (∅) = 0 ,
ℓf 0 (E) ≥ 0 ∀ E ∈ Ds , et ℓf 0 est (sous-)additive et monotone.
On se concentre sur ℓf 0 est conditionnellement σ-additive sur Ds , où en vue de la preuve
de 6.4, on se restreint au cas où (En )∞
n=1 est une suite d’intervalles En := (an , bn ] deux à
deux disjoints et contigus tel que ∪˙ En = ∪˙ (an , bn ] = (a, b] =: E . Il faut donc montrer
n≥1
ℓf 0 ((a, b]) =
n≥1
X
n≥1
ℓf 0 ((an , bn ]) .
(A)
155
Annexe A. Lebesgue-mesurable et mesures de Stieltjes
Comme f est croissante et continue à droite, on sait ([Kolmogorov et Fomine, p.318]) que
f admet sur [a − 1, b + 1] la décomposition unique f = g + h où, 1) g est croissante et
continue, et 2) h est une fonction en escaliers, croissante et continue à droite, qui reprend
les sauts dénombrables de f sur [a − 1, b + 1] .
Soit {si }∞
i=1 une énumération des points de discontinuité de f sur (a, b], correspondant à
des sauts f (si ) − f (si −) = h(si ) − h(si −) =: hi > 0 .
P
hi tel que
On trouve que tout (an , bn ] satisfait ℓh0 ((an , bn ]) =
an < si ≤ bn
∞
X
ℓh0 ((an , bn ]) =
n=1
X
hi
=
∞
X
i=1
a < si ≤ b
[h(si ) − h(si −)] =
∞
X
i=1
ℓ((h(si −), h(si )]) .
On trouve alors que
∀ i ∈ IN ∃ !ri ∈ {si }∞
i=1
∞
tel que h(ri ) = h(si −) ,
et (h(a), h(b)] = ∪˙ (h(ri ), h(si )] .
i=1
Ainsi en utilisant la Proposition 6.4,
∞
X
ℓh0 ((an , bn ]) =
n=1
∞
X
ℓ0 ((h(ri ), h(si )]) = ℓ0 ((h(a), h(b)]) = ℓh0 ((a, b]) .
i=1
Il suit qu’en vue de la décompositon f = g + h et l’objectif (A) , il suffit de montrer
X
ℓg0 ((a, b]) =
ℓg0 ((an , bn ]) ,
(B)
n≥1
où g est croissante et continue sur [a − 1, b + 1] .
On vérifie (B) par deux inégalités opposées.
P
Pas 1 ℓg0 ((a, b]) ≥
ℓg0 ((an , bn ])
n≥1
En effet en considérant k intervalles s.p.d.g. ré-ordonnés tel que
a ≤ a1 < b1 ≤ a2 < b2 ≤ · · · ≤ ak < bk ≤ b
on obtient
k
X
n=1
ℓg0 ((an , bn ]) ≤ g(bk ) − g(a1 ) ≤ g(b) − g(a) = ℓg0 ((a, b]) .
En laissant k tendre vers l’infini on obtient le Pas 1.
156
Annexe A. Lebesgue-mesurable et mesures de Stieltjes
Pas 2
ℓg0 ((a, b]) ≤
P
ℓg0 ((an , bn ])
n≥1
Considérer un ε > 0 arbitraire et εn = ε 2−n tel que
P
εn = ε.
n≥1
Comme g est uniformément continue sur [a − 1, b + 1] , on trouve que
∀ εn
∃ δn ∈ (0, 1) tel que
(C)
∀ x, y ∈ [a − 1, b + 1] : |x − y| ≤ δn
⇒
|g(x) − g(y)| ≤ εn .
Comme dans la preuve de 6.4 on obtient s.p.d.g. que a1 satisfait a1 − δ1 < a, et on
définit
On := (an − δn , bn + δn ) et Jn := (an − δn , bn + δn ] ∈ D .
Noter que a ∈ O1 et
∀ n En ⊂ On ⊂ Jn = (an − δn , an ] ∪ En ∪(bn , bn + δn ] ,
où en utilisant (C)
∀ n ℓg0 (Jn ) ≤ ℓg0 (En ) + 2 εn .
∞
∞
S
S
Comme (a, b] = E = ∪ En ⊂
On et a ∈ O1 , on obtient [a, b] ⊂
On
n≥1
n=1
n=1
i.e. (On )∞
n=1 est un recouvrement ouvert de [a, b] .
Ainsi par le Théorème de Heine-Borel, [a, b] admet un sous-recouvrement fini
(Onj )kj=1 donnant :
k
S
E = (a, b] ⊂ [a, b] ⊂
d’où
ℓg0 (E) ≤ ℓg0
|
ℓg0 monotone
k
S
Jn j
j=1
!
≤
|
k
X
j=1
j=1
O nj ⊂
k
S
Jn j ,
j=1
ℓg0 (Jnj ) ≤
k
X
[ℓg0 (Enj ) + 2 εnj ] .
j=1
ℓg0 sous-additif
Ainsi, en complétant des sommes
X
X
X
ℓg0 (E) ≤
ℓg0 (En ) + 2
εn =
ℓg0 (En ) + 2 ε
n≥1
n≥1
n≥1
où ε > 0 est arbitraire, donc
ℓg0 (E) ≤
X
n≥1
ℓg0 (En ) .
157
Annexe A. Lebesgue-mesurable et mesures de Stieltjes
A.6
Espaces mesurés d’extension de Stieltjes
L’espace mesuré de Lebesgue-Stieltjes est obtenu par l’application du procédé d’extension
de Carathéodory à l’espace prémesuré (IR, Ds , ℓf 0 ) où
• Ds est l’algèbre des réunions finies d’ intervalles de classe D ;
• ℓf 0 est la mesure de Stieltjes sur Ds , qui est σ-finie.
On passe par
1. ∀ A ⊂ IR
ℓf (A) := inf
(
∞
X
n=1
ℓf 0 (En ) | (En )∞
n=1 ⊂ Ds tel que A ⊂
2. Ef := {E ⊂ IR | E est ℓf -mesurable} où
∞
S
n=1
En
)
.
E ⊂ IR est ℓf -mesurable ssi
∀ A ⊂ IR ℓf (A) = ℓf (A ∩ E) + ℓf (A \ E) .
On obtient par 6.8– 6.10 l’ unique espace mesuré d’extension complet (IR, Ef , ℓf ) appelé
espace mesuré de Lebesgue-Stieltjes où
• Ef = σ-algèbre des parties de IR mesurables selon Lebesgue-Stieltjes,
et
• ℓf (mesure extérieure) sur Ef est la mesure de Lebesgue-Stieltjes sur IR .
La plus petite σ-algèbre contenant les intervalles de classe D et donc Ds est la σ-algèbre
B des Boréliens de IR où Ds ⊂ B ⊂ Ef et la restriction de ℓf à B est une mesure appelée
mesure de Borel-Stieltjes.
Ainsi (IR, Ds , ℓf 0 ) admet deux extensions
(IR, Ds , ℓf 0 )
⊂
(IR, B, ℓf )
⊂
(IR, Ef , ℓf )
espace mesuré de Borel-Stieltjes
espace mesuré de Lebesgue-Stieltjes
pas complet
complet
NB. Il est d’usage de noter une intégrale de Lebesgue-Stieltjes ou de Borel-Stieltjes i.e.
R
R
g(x) dℓf (x) par E g(x) df (x) ( E ∈ Ef ou E ∈ B) , . . .cfr. théorie de probabilité où
E
f est la fonction de génération, . . .calcul des moyennes de variables aléatoires.
En guise de conclusion
158
En guise de conclusion
Notons parmi les sujets importants non vus ou de manière sommaire dans ces notes :
La notion de Fonction Absolument Continue, le Théorème de Différentiation de Lebesgue
d’une intégrale indéfinie, et la Transformée de Laplace.
Cette dernière est une extension facile de la transformée de Fourier et utilisée dans le cours
de Contrôle Optimal et Systèmes. Elle a été trés étudiée par les mathématiciens : voir les
“monuments” de Gustav Doetsch (“Handbuch der Laplace-Transformation”, Birkhaüser
Verlag, Basel, 1971, 3 Vols.) et David Vernon Widder (“The Laplace Transform”, Princeton
University Press, 1972 , eight printing). Elle est fréquemment utilisée par les physiciens et
ingénieurs (e.g. F.M. Callier and C.A. Desoer, “Linear System Theory”, Springer Verlag,
New-York, 1991).
Mentionnons aussi l’importance de la théorie de la mesure et d’intégration dans différentes
branches des mathématiques, comme par exemple : Equations Différentielles, Théorie de
Probabilité et des Processus Stochastiques, et les Intégrales de Bochner de fonctions à
valeurs dans un espace de Hilbert intéressants dans la résolution d’équations aux dérivées
partielles (Théorie des Semigroupes).
Disons aussi que sans les Transformées de Fourier et de Laplace, la vie serait plus pauvre en
électricité , mécanique, physique mathématique, et en théorie du contrôle (automatique).
Pour trouver des ouvrages associés récents ainsi que des informations complémentaires,
utiliser le moteur de recherche http ://www. google.com .
Remerciement
L’auteur tient à remercier Katia Demaseure, Bénédicte Le Bailly, et Vincent Malmedy
pour des corrections méthodiques et soignées.