Facultés Universitaires Notre-Dame de la Paix `a Namur Troisi`eme

Facult´es Universitaires Notre-Dame de la Paix `a Namur
Troisi`eme Baccalaur´eat en Sciences Math´ematiques
Notes de Cours
Th´eorie de la Mesure et d’Int´egration
Frank Callier
29 novembre 2007

i
Pr´eface
Le cours de th´eorie de la mesure et d’int´egration comprend une partie th´eorique de huit
chapitres traitant l’int´egrale d’une fonction mesurable et une seconde partie appliqu´ee de
trois chapitres traitant la transform´ee de Fourier : pour plus de d´etails voir les sommaires
des chapitres et de l’annexe A dont les pages sont indiqu´ees par la table des mati`eres.
Ces notes de cours forment un ensemble (am´eliorable) de notions et de r´esultats impor-
tants. Parmi ces derniers citons le Lemme d’ Approximation 1.18, le Lemme de Continuit´e
Monotone 2.4, le Th´eor`eme de Convergence Monotone 3.7, le Th´eor`eme de Convergence
Domin´ee de Lebesgue 4.8, le Th´eor`eme de Compl´etude de Riesz-Fisher 5.12, le Th´eor`eme
d’Extension de Carath´eodory 6.8, le Th´eor`eme d’Int´egration It´er´ee de Tonelli-Fubini 7.6 ;
le Th´eor`eme de Riemann-Lebesgue 8.6, Le Th´eor`eme de Transform´ee d’une Convolution
8.10, Les Th´eor`emes d’Inversion de la Transform´ee de Fourier 8.12 (voir aussi Chapitre 10)
et 8.13, et le Th´eor`eme d’Isomorphisme de Plancherel 9.10. On touche aussi la transform´ee
de Laplace dans le Chapitre 10. Des remarques finales sont donn´ees en guise de conclusion.
Une bibliographie succincte contient :
1. R. Bartle , ” The Elements of Integration ”, John Wiley , New-York, 1966.
2. W. Rudin , ” Real and Complex Analysis ”, McGraw-Hill , New-York, 1974.
3. H.L. Royden, ” Real Analysis ”, MacMillan, New-York, 1968.
4. R.R. Goldberg, ” Fourier Transforms ”, Cambridge University Press, London, 1970.
5. M.R. Spiegel, ” Theory and Problems of Real Variables ”, Shaum’s Outline Series,
MacGraw-Hill, New-York, 1969.
6. A. Kolmogorov et S. Fomine, ” El´ements de la Th´eorie des Fonctions et de l’ Analyse
Fonctionnelle ”, Mir, Moscou, 1977.
7. P.R. Halmos, ” Measure Theory ”, Springer Verlag, New-York, 1974.
8. D.W. Stroock, ” A Concise Introduction to the Theory of Integration ”, Birkh¨auser
Verlag, Boston, 1994.
Les ouvrages de Bartle, Rudin, Royden et Goldberg sont la source d’inspiration principale
de l’auteur : ils sont ´ecrits `a l’ intention de l’´etudiant avanc´e. Le livre de la Collection Shaum
est destin´e aux ´etudiants d´ebutants (exercices r´esolus), ainsi que le livre de Kolmogorov
et Fomine. Tandis que le livre de Halmos est une des bibles des experts en th´eorie de la
mesure et d’int´egration. Finalement il existe beaucoup d’ouvrages plus r´ecents (comme le
livre de Stroock) et une multitude d’informations suppl´ementaires : voir l’excellent moteur
de recherche http ://www.google.com .

Table des mati`eres
0 Motivation 1
1 Ensembles et fonctions mesurables 4
2 Mesures 21
3 Int´egrales de fonctions non-n´egatives 30
4 Fonctions int´egrables 44
5 Espaces Lp55
6 Mesure de Lebesgue 72
7 Mesure produit et int´egration it´er´ee 91
8 Transform´ee de Fourier de L1106
9 Transform´ee de Fourier de L2122
10 Compl´ements de transform´ee de Fourier : Inversion et Laplace 135
A Lebesgue-mesurable et mesures de Stieltjes 150
En guise de conclusion 158
Avis aux lecteurs : L’expression “tel que” est utilis´ee sans accord (comme en anglais).
La ponctuation a ´et´e r´eduite pour avantager le discours math´ematique.
”s.p.d.g.” veut dire ”sans perte de g´en´eralit´e ” (similaire `a ”w.l.g.” i.e. ”without loss of
generality”). Les raisonnements math´ematiques se font `a l’aide d’un syst`eme de r´ef´erences
locales aux ´equations concern´ees. Les fautes ´eventuelles sont dues `a l’auteur, qui aimerait
bien en ˆetre inform´e.

TABLE DES MATI ` ERES 3
QUELQUES NOTATIONS
symbole signifie
n={1,2,...,n}
IC nombres complexes
IN nombres naturels : 1,2,...
IQ nombres rationnels
IR nombres r´eels
ZZ nombres entiers
θneutre d’un espace vectoriel, z´ero vectoriel
∪
fr´eunion finie
∪
d´en. r´eunion d´enombrable
C1P M fonctions continˆument diff´erentiables par morceaux
C0fonctions continues s’annulant `a l’infini, i.e. lim
x→±∞ f(x) = 0
V P valeur pricipale de Cauchy d’une int´egrale

Chapitre 0
Motivation
Sommaire
0.1 Int´egrales de fonctions r´egl´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
0.2 Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
0.3 Propri´et´es importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
0.4 Insuffisance de la th´eorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.5 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1