Arithmétique Principe d`induction

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Arithmétique
L’arithm´etique ´etudie les propri´et´es des entiers, naturels et relatifs. Nous
pouvons d’abord remarquer que dans l’ensemble des entiers naturels, 0 et
1 jouent un rˆole particulier. D’ailleurs dans l’Antiquit´e, les Grecs consid´e-
raient que les entiers commen¸caient `a 2 : ils d´efinissaient un entier comme
une multiplicit´e. Le nombre entier 1 poss`ede des propri´et´es particuli`eres. Le
z´ero, apparu d’abord comme place vide dans un syst`eme de num´eration, n’a
´et´e accept´e comme nombre que tr`es tardivement. Les n´egatifs ont ´et´e uti-
lis´es bien avant que leur usage ne soit justifi´e et donc admis par tous les
math´ematiciens, au d´ebut du dix-neuvi`eme si`ecle.
Principe d’induction
Dans cette section, les axiomes qui permettent de justifier les propri´et´es
des entiers ne sont pas ´enonc´es. Le but est simplement de justifier `a l’aide
d’un seul principe du bon ordre qui est admis les m´ethodes de d´emonstrations
par r´ecurrence connues depuis le lyc´ee.
Principe du bon ordre : Tout sous-ensemble non vide de Ncontient un plus
petit ´el´ement.
Principe du raisonnement par récurrence : Si un sous-ensemble E⊂N
poss`ede les deux propri´et´es suivantes :
– Initialisation : 0 ∈E
– Propri´et´e d’h´er´edit´e : (∀k∈N), k ∈E=⇒k+ 1 ∈E
alors cet ensemble est l’ensemble de tous les entiers, E=N.
Justification : Ce principe du raisonnement par r´ecurrence, appel´e aussi
principe d’induction r´esulte du principe du bon ordre. On veut montrer que
le compl´ementaire de Edans Nest vide. Si nous le supposons non vide,
il poss`ede un plus petit ´el´ement nd’apr`es le principe du bon ordre, nest
non nul puisque 0 est dans E, et donc n−1 appartient `a Net est dans
E; d’apr`es la propri´et´e d’h´er´edit´e, n−1 ´etant dans E,naussi, ce qui est
contraire `a la fa¸con dont nous avons d´efini n, comme le plus petit ´el´ement
du compl´ementaire de E.
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Plan d’une démonstration par récurrence
Il est conseill´e d’adopter le plan suivant pour toute d´emonstration par
r´ecurrence. On veut montrer que la propri´et´e P(n) est vraie pour tout n.
–´ Enonc´e de la propri´et´e P(n).
–Initialisation de la propri´et´e P(n) pour n= 0.
–H´er´edit´e de la propri´et´e : montrer P(n)⇒P(n+ 1) `a partir de n= 0.
–Conclusion : lorsque la propri´et´e est vraie pour un nombre entier positif
n, elle est vraie aussi pour n+ 1. Comme elle est vraie pour n= 0 , elle
est donc vraie pour tous les entiers.
Variantes
Apr`es avoir justifi´e ce principe du raisonnement par r´ecurrence, (ou prin-
cipe d’induction,) plusieurs variantes peuvent ˆetre donn´ees. Ce principe peut
s’´ecrire en terme de propri´et´e. Il suffit de poser E={n∈N|P(n)}, pour se
ramener `a l’´enonc´e pr´ec´edent. On peut aussi varier l’initiation : dans certaines
applications, l’initialisation se fait par exemple `a 2 et non `a 0. L’´enonc´e est
adapt´e en cons´equence. On peut faire varier la forme de la propri´et´e d’h´er´e-
dit´e et adopter une forme forte `a la fois sous forme ensembliste, et ´egalement
en terme de propri´et´e.
Écriture en terme de propriété :
Si une propri´et´e P(n) d´ependant d’un entier naturel nest v´erifi´ee pour 0
et si lorsqu’elle est v´erifi´ee pour un entier quelconque k, elle est v´erifi´ee pour
l’entier suivant k+ 1, alors elle est vraie pour tous les entiers.
Variation de l’initialisation :
Si une propri´et´e P(n) d´ependant d’un entier naturel nest v´erifi´ee pour
n0, et si lorsqu’elle est v´erifi´ee pour un entier quelconque k≥n0, elle est
v´erifi´ee pour l’entier suivant k+ 1, alors elle est vraie pour tous les entiers
n≥n0.
Remarque : Si la propri´et´e d’h´er´edit´e n’est vraie que pour n>n1, il faut
chercher s’il y a une valeur n0plus grande que n1pour initialiser la r´ecurrence.
Forme ensembliste forte de la propriété d’hérédité :
Si un sous-ensemble Ede Nposs`ede les deux propri´et´es suivantes :
– Initialisation : 0 ∈E
– Propri´et´e d’h´er´edit´e : ∀n∈N,((∀k < n, k ∈E) =⇒n∈E)
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alors cet ensemble est l’ensemble de tous les entiers, E=N.
Forme forte de la propriété d’hérédité :
Si P(n) est une propri´et´e d´ependant d’un entier naturel ntelle que
– Initialisation : P(0) est vraie
– Propri´et´e d’h´er´edit´e : ∀n∈N, si P(k) est vraie pour tout entier naturel
kstrictement inf´erieur `a n, alors elle est vraie pour n.
alors la propri´et´e P(n) est vraie pour tous les entiers.
Divisibilité
Dans tout cette section, on travaille avec des entiers relatifs non nuls.
Définitions : Soient xet ydeux entiers relatifs non nuls. On dit que xdivise
y, ou que xest un diviseur de you que yest divisible par x, ou encore que
yest un multiple de x, si il existe un entier ktels que y=kx.
Notation : On notera x|ysi xdivise yet x-ydans le cas contraire.
Attention : Si xdivise y, vous remarquerez dans toute la suite de ce chapitre
que nous n’´ecrivons jamais le quotient de ypar x. On travaille toujours avec
des ´egalit´es d’entiers et on ´ecrit y=kx.
Propriétés
Soient trois entiers a,bet cnon nuls. Les propri´et´es suivantes sont faciles
`a d´emontrer, et seulement une indication est donn´ee parfois sur la d´emons-
tration.
Diviseurs évidents : Tout entier non nul et diff´erent de 1 ou −1, est divisible
par lui-mˆeme, par son oppos´e, par 1 et par −1. 1 et −1 ont pour seuls diviseurs
1 et −1.
Valeur absolue d’un multiple : Si un entier adivise un entier non nul b,
alors |b|majore |a|: ((a|bet b6= 0) =⇒ |a| ≤ |b|
Il existe un entier naturel knon nul, (donc k≥1,) tel que |b|=|a|k.
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Transitivité : Si un entier aen divise un second b, si l’entier ben divise un
troisi`eme c, alors l’entier adivise l’entier c: (a|bet b|c) =⇒a|c.
En effet, il existe deux entiers ket htels que b=ka et c=hb, donc c=hka,
et donc adivise c.
Entiers mutuellement diviseurs : Si deux entiers aet bnon nuls se divisent
mutuellement, c’est-`a-dire sont tels que adivise bet bdivise a, alors ces
entiers sont ´egaux ou oppos´es. (a|bet b|a) =⇒(a=bou a=−b)
En effet il existe deux entiers het ktels que a=hb et b=ka, donc a=hka.
On a donc hk = 1,h= 1 ou h=−1, c’est-`a-dire a=bou a=−b.
Diviseurs et multiples : Si un entier adivise un entier b, il divise tous ses
multiples. a|b=⇒(∀c∈Z, a |bc)
En effet il existe un entier ktel que b=ak ; alors bc =akc, et bc est donc
aussi multiple de a.
Entiers de la forme bx +cy :Si un entier adivise deux entiers bet c, il
divise tous les entiers de la forme bx +cy, avec xet yentiers.
(a|bet a|c) =⇒(∀x, y ∈Z, a |bx +cy)
En effet si a|b, il existe un entier ktel que b=ak ; si a|c, il existe un
entier htel que c=ah. Alors bx +cy =akx +ahy =a(kx +hy). On a donc
montr´e que adivise tous les entiers bx +cy.
Division euclidienne dans N
Théorème d’existence et d’unicité : ´ Etant donn´es deux entiers aet bpo-
sitifs, (avec bnon nul), il existe un couple unique (q, r) d’entiers positifs ou
nuls tels que : a=bq +ret 0 ≤r < b
Définitions et commentaire : On dit que qest le quotient et rle reste de la
division euclidienne de apar b. Les restes possibles sont les entiers 0, 1, 2, . . .,
b−1. Si b|a, alors r= 0, et r´eciproquement si r= 0, b|a. Par cons´equent
si b-a, alors 0 < r < b, et r´eciproquement, si r6= 0, b-a.
Démonstration de l’existence du couple (q, r):On distingue deux cas.
Premier cas : si a < b, on prend q= 0 et r=a. En particulier, si a= 0, on
prend q=r= 0.
Deuxi`eme cas : si a≥b. On consid`ere l’ensemble Ades entiers naturels de
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la forme a−mb pour mentier naturel. Cet ensemble est non vide puisqu’il
contient apour m= 0 ; il admet donc un plus petit ´el´ement rtel que :
r=a−qb. On a r < b, sinon a−(q+ 1)bappartiendrait `a Aet serait plus
petit que r. On a donc 0 ≤a−qb < b. On a trouv´e un couple d’entiers (q, r)
r´epondant au probl`eme. a=bq +ret 0 ≤r < b.
Démonstration de l’unicité du couple (q, r):On suppose l’existence d’un
deuxi`eme couple (q0, r0) r´epondant au probl`eme. a=bq0+r0et 0 ≤r0< b.
On en d´eduit bq +r=bq0+r0, soit b(q−q0) = (r0−r). Des in´egalit´es 0 ≤r < b
on d´eduit −b < −r≤0, et par addition respectivement avec les in´egalit´es
0≤r0< b, on d´eduit des in´egalit´es strictes : −b < r0−r < b et donc que
|r0−r|est strictement inf´erieur `a b. Comme bdivise r−r0il en r´esulte que
r−r0= 0 et donc que q=q0. Il y a donc unicit´e du couple (q, r).
Division euclidienne dans Z
Théorème : ´ Etant donn´es deux entiers aet b, (avec bnon nul), il existe un
couple unique (q, r) d’entiers tels que : a=bq +ret 0 ≤r < |b|.
Remarque : Nous utiliserons tr`es peu cette division d’entiers relatifs. La
plupart du temps nous travaillerons avec des entiers naturels et nous exami-
nerons `a part les questions de signe.
Démonstration : La d´emonstration examine trois cas suivant les signes de
aet bet utilise le th´eor`eme d’existence et d’unicit´e valable pour les entiers
positifs.
Si a≥0et b < 0,on peut ´ecrire a= (−b)q0+ravec 0 ≤r < |b|. On pose
q=−q0.
Si a < 0et b > 0,on peut ´ecrire −a=bq0+r0soit a=b(−q0)−r0avec
0≤r0< b et donc −b < −r0≤0. Nous distinguons
— le cas o`u r0= 0 et a=b(−q0), on pose r= 0 et q=−q0
— le cas o`u r06= 0 ou encore a=b(−1−q0)+(b−r0) avec 0 < b−r0< b.
On pose q=−1−q0et r=b−r0.
Si a < 0et b < 0,on a −a= (−b)q0+r0, avec 0 ≤r0<−b. Ici encore nous
distinguons
— le cas o`u r0= 0 o`u on a a=bq0; on pose r= 0 et q=q0
— le cas o`u r06= 0, soit 0 < r0<−b,b < −r0<0, et 0 <−b−r0<−b.
Alors a=bq0−r0=b(q0+ 1) + (−b−r0) avec 0 <−b−r0<|b|. On
pose q=q0+ 1 et r=−b−r0.
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