Arithmétique Principe d`induction

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Arithmétique
L’arithmétique étudie les propriétés des entiers, naturels et relatifs. Nous
pouvons d’abord remarquer que dans l’ensemble des entiers naturels, 0 et
1 jouent un rôle particulier. D’ailleurs dans l’Antiquité, les Grecs considéraient que les entiers commençaient à 2 : ils définissaient un entier comme
une multiplicité. Le nombre entier 1 possède des propriétés particulières. Le
zéro, apparu d’abord comme place vide dans un système de numération, n’a
été accepté comme nombre que très tardivement. Les négatifs ont été utilisés bien avant que leur usage ne soit justifié et donc admis par tous les
mathématiciens, au début du dix-neuvième siècle.
Principe d’induction
Dans cette section, les axiomes qui permettent de justifier les propriétés
des entiers ne sont pas énoncés. Le but est simplement de justifier à l’aide
d’un seul principe du bon ordre qui est admis les méthodes de démonstrations
par récurrence connues depuis le lycée.
Principe du bon ordre : Tout sous-ensemble non vide de N contient un plus
petit élément.
Principe du raisonnement par récurrence : Si un sous-ensemble E ⊂ N
possède les deux propriétés suivantes :
– Initialisation : 0 ∈ E
– Propriété d’hérédité : (∀k ∈ N), k ∈ E =⇒ k + 1 ∈ E
alors cet ensemble est l’ensemble de tous les entiers, E = N.
Justification : Ce principe du raisonnement par récurrence, appelé aussi
principe d’induction résulte du principe du bon ordre. On veut montrer que
le complémentaire de E dans N est vide. Si nous le supposons non vide,
il possède un plus petit élément n d’après le principe du bon ordre, n est
non nul puisque 0 est dans E, et donc n − 1 appartient à N et est dans
E ; d’après la propriété d’hérédité, n − 1 étant dans E, n aussi, ce qui est
contraire à la façon dont nous avons défini n, comme le plus petit élément
du complémentaire de E.
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Plan d’une démonstration par récurrence
Il est conseillé d’adopter le plan suivant pour toute démonstration par
récurrence. On veut montrer que la propriété P (n) est vraie pour tout n.
– Énoncé de la propriété P (n).
– Initialisation de la propriété P (n) pour n = 0.
– Hérédité de la propriété : montrer P (n) ⇒ P (n + 1) à partir de n = 0.
– Conclusion : lorsque la propriété est vraie pour un nombre entier positif
n, elle est vraie aussi pour n + 1. Comme elle est vraie pour n = 0 , elle
est donc vraie pour tous les entiers.
Variantes
Après avoir justifié ce principe du raisonnement par récurrence, (ou principe d’induction,) plusieurs variantes peuvent être données. Ce principe peut
s’écrire en terme de propriété. Il suffit de poser E = {n ∈ N | P (n)}, pour se
ramener à l’énoncé précédent. On peut aussi varier l’initiation : dans certaines
applications, l’initialisation se fait par exemple à 2 et non à 0. L’énoncé est
adapté en conséquence. On peut faire varier la forme de la propriété d’hérédité et adopter une forme forte à la fois sous forme ensembliste, et également
en terme de propriété.
Écriture en terme de propriété :
Si une propriété P (n) dépendant d’un entier naturel n est vérifiée pour 0
et si lorsqu’elle est vérifiée pour un entier quelconque k, elle est vérifiée pour
l’entier suivant k + 1, alors elle est vraie pour tous les entiers.
Variation de l’initialisation :
Si une propriété P (n) dépendant d’un entier naturel n est vérifiée pour
n0 , et si lorsqu’elle est vérifiée pour un entier quelconque k ≥ n0 , elle est
vérifiée pour l’entier suivant k + 1, alors elle est vraie pour tous les entiers
n ≥ n0 .
Remarque : Si la propriété d’hérédité n’est vraie que pour n > n1 , il faut
chercher s’il y a une valeur n0 plus grande que n1 pour initialiser la récurrence.
Forme ensembliste forte de la propriété d’hérédité :
Si un sous-ensemble E de N possède les deux propriétés suivantes :
– Initialisation : 0 ∈ E
– Propriété d’hérédité : ∀n ∈ N, ((∀k < n, k ∈ E) =⇒ n ∈ E)
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alors cet ensemble est l’ensemble de tous les entiers, E = N.
Forme forte de la propriété d’hérédité :
Si P (n) est une propriété dépendant d’un entier naturel n telle que
– Initialisation : P (0) est vraie
– Propriété d’hérédité : ∀n ∈ N, si P (k) est vraie pour tout entier naturel
k strictement inférieur à n, alors elle est vraie pour n.
alors la propriété P (n) est vraie pour tous les entiers.
Divisibilité
Dans tout cette section, on travaille avec des entiers relatifs non nuls.
Définitions : Soient x et y deux entiers relatifs non nuls. On dit que x divise
y, ou que x est un diviseur de y ou que y est divisible par x, ou encore que
y est un multiple de x, si il existe un entier k tels que y = kx.
Notation : On notera x | y si x divise y et x - y dans le cas contraire.
Attention : Si x divise y, vous remarquerez dans toute la suite de ce chapitre
que nous n’écrivons jamais le quotient de y par x. On travaille toujours avec
des égalités d’entiers et on écrit y = kx.
Propriétés
Soient trois entiers a, b et c non nuls. Les propriétés suivantes sont faciles
à démontrer, et seulement une indication est donnée parfois sur la démonstration.
Diviseurs évidents : Tout entier non nul et différent de 1 ou −1, est divisible
par lui-même, par son opposé, par 1 et par −1. 1 et −1 ont pour seuls diviseurs
1 et −1.
Valeur absolue d’un multiple : Si un entier a divise un entier non nul b,
alors |b| majore |a| : ((a | b et b 6= 0) =⇒ |a| ≤ |b|
Il existe un entier naturel k non nul, (donc k ≥ 1,) tel que |b| = |a|k.
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Transitivité : Si un entier a en divise un second b, si l’entier b en divise un
troisième c, alors l’entier a divise l’entier c : (a | b et b | c) =⇒ a | c.
En effet, il existe deux entiers k et h tels que b = ka et c = hb, donc c = hka,
et donc a divise c.
Entiers mutuellement diviseurs : Si deux entiers a et b non nuls se divisent
mutuellement, c’est-à-dire sont tels que a divise b et b divise a, alors ces
entiers sont égaux ou opposés. (a | b et b | a) =⇒ (a = b ou a = −b)
En effet il existe deux entiers h et k tels que a = hb et b = ka, donc a = hka.
On a donc hk = 1, h = 1 ou h = −1, c’est-à-dire a = b ou a = −b.
Diviseurs et multiples : Si un entier a divise un entier b, il divise tous ses
multiples. a | b =⇒ (∀c ∈ Z, a | bc)
En effet il existe un entier k tel que b = ak ; alors bc = akc, et bc est donc
aussi multiple de a.
Entiers de la forme bx + cy : Si un entier a divise deux entiers b et c, il
divise tous les entiers de la forme bx + cy, avec x et y entiers.
(a | b et a | c) =⇒ (∀x, y ∈ Z, a | bx + cy)
En effet si a | b, il existe un entier k tel que b = ak ; si a | c, il existe un
entier h tel que c = ah. Alors bx + cy = akx + ahy = a(kx + hy). On a donc
montré que a divise tous les entiers bx + cy.
Division euclidienne dans N
Théorème d’existence et d’unicité : Étant donnés deux entiers a et b positifs, (avec b non nul), il existe un couple unique (q, r) d’entiers positifs ou
nuls tels que : a = bq + r et 0 ≤ r < b
Définitions et commentaire : On dit que q est le quotient et r le reste de la
division euclidienne de a par b. Les restes possibles sont les entiers 0, 1, 2, . . .,
b − 1. Si b | a, alors r = 0, et réciproquement si r = 0, b | a. Par conséquent
si b - a, alors 0 < r < b, et réciproquement, si r 6= 0, b - a.
Démonstration de l’existence du couple (q, r) : On distingue deux cas.
Premier cas : si a < b, on prend q = 0 et r = a. En particulier, si a = 0, on
prend q = r = 0.
Deuxième cas : si a ≥ b. On considère l’ensemble A des entiers naturels de
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la forme a − mb pour m entier naturel. Cet ensemble est non vide puisqu’il
contient a pour m = 0 ; il admet donc un plus petit élément r tel que :
r = a − qb. On a r < b, sinon a − (q + 1)b appartiendrait à A et serait plus
petit que r. On a donc 0 ≤ a − qb < b. On a trouvé un couple d’entiers (q, r)
répondant au problème. a = bq + r et 0 ≤ r < b.
Démonstration de l’unicité du couple (q, r) : On suppose l’existence d’un
deuxième couple (q 0 , r0 ) répondant au problème. a = bq 0 + r0 et 0 ≤ r0 < b.
On en déduit bq +r = bq 0 +r0 , soit b(q −q 0 ) = (r0 −r). Des inégalités 0 ≤ r < b
on déduit −b < −r ≤ 0, et par addition respectivement avec les inégalités
0 ≤ r0 < b, on déduit des inégalités strictes : −b < r0 − r < b et donc que
|r0 − r| est strictement inférieur à b. Comme b divise r − r0 il en résulte que
r − r0 = 0 et donc que q = q 0 . Il y a donc unicité du couple (q, r).
Division euclidienne dans Z
Théorème : Étant donnés deux entiers a et b, (avec b non nul), il existe un
couple unique (q, r) d’entiers tels que : a = bq + r et 0 ≤ r < |b|.
Remarque : Nous utiliserons très peu cette division d’entiers relatifs. La
plupart du temps nous travaillerons avec des entiers naturels et nous examinerons à part les questions de signe.
Démonstration : La démonstration examine trois cas suivant les signes de
a et b et utilise le théorème d’existence et d’unicité valable pour les entiers
positifs.
Si a ≥ 0 et b < 0, on peut écrire a = (−b)q 0 + r avec 0 ≤ r < |b|. On pose
q = −q 0 .
Si a < 0 et b > 0, on peut écrire −a = bq 0 + r0 soit a = b(−q 0 ) − r0 avec
0 ≤ r0 < b et donc −b < −r0 ≤ 0. Nous distinguons
— le cas où r0 = 0 et a = b(−q 0 ), on pose r = 0 et q = −q 0
— le cas où r0 6= 0 ou encore a = b(−1−q 0 )+(b−r0 ) avec 0 < b−r0 < b.
On pose q = −1 − q 0 et r = b − r0 .
Si a < 0 et b < 0, on a −a = (−b)q 0 + r0 , avec 0 ≤ r0 < −b. Ici encore nous
distinguons
— le cas où r0 = 0 où on a a = bq 0 ; on pose r = 0 et q = q 0
— le cas où r0 6= 0, soit 0 < r0 < −b, b < −r0 < 0, et 0 < −b − r0 < −b.
Alors a = bq 0 − r0 = b(q 0 + 1) + (−b − r0 ) avec 0 < −b − r0 < |b|. On
pose q = q 0 + 1 et r = −b − r0 .
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PGCD et PPCM
Plus grand commun diviseur (pgcd)
Existence du pgcd : Soient a et b deux nombres entiers, qu’on suppose positifs dans tout ce paragraphe. Existe-t-il un plus grand commun diviseur de
a et b ? Le réponse est évidemment oui, puisqu’il suffit d’examiner les diviseurs de a, ceux de b qui sont en nombre fini, chercher les diviseurs communs
et prendre le plus grand. Sur un exemple, nous verrons les limites de cette
méthode : cherchons le pgcd de 24 et 60. Diviseurs de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8,
12, 24 et leurs opposés. Diviseurs de 60 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30,
60 et leurs opposés. Diviseurs communs de 24 et 60 : 1, 2, 3, 4, 6, 12 et leurs
opposés. Le plus grand de ces diviseurs est 12.
L’écriture des diviseurs n’est possible que pour des petits nombres, et encore faut-il une méthode systématique pour ne pas en oublier. Cette méthode
ne nous apprend pas grand-chose. Dans ce chapitre nous allons élaborer une
méthode de détermination du plus grand commun diviseur de deux entiers.
Définition : Soient a et b deux entiers relatifs non nuls. On appelle plus
grand diviseur commun à a et b le plus grand entier tel que d | a et d | b.
Notation et remarque : On note pgcd(a, b) le plus grand entier tel que d | a
et d | b. Il est évident que le plus grand diviseur commun est positif, puisque
si un entier divise a et b, son opposé aussi. Il est aussi unique par définition
même.
Propriété du pgcd : Soient deux entiers non nuls appartenant à N. Si un
entier positif d est tel que les deux propriétés suivantes soient vérifiées :
– d | a et d | b
– si c est un entier positif qui divise a et b, alors c | d
alors d est le plus grand commun diviseur de ces deux entiers, d = pgcd(a, b).
Démonstration : D’après la propriété (c | d et d 6= 0) =⇒ c ≤ d, si un
entier d vérifie les deux propriétés précédentes, il est plus grand que tous les
diviseurs communs c de a et b et c’est le pgcd(a, b). On cherche donc un plus
grand diviseur commun d au sens tout autre diviseur commun de a et b est
un diviseur de d, notion qui entraı̂ne que d est aussi plus grand, (au sens de
la relation d’ordre), que tout diviseur commun.
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Détermination pratique du pgcd : la plus ancienne méthode de détermination du pgcd de deux entiers, l’algorithme d’Euclide, date de l’Antiquité
grecque (environ trois siècles avant notre ère), et fournit une méthode pratique de détermination du pgcd. L’algorithme d’Euclide repose sur la division
deux entiers, et sur la remarque suivante : si δ est un diviseur commun à a et
b, c’est aussi un diviseur commun à b et r, r étant le reste de la division de a
par b. Réciproquement un diviseur commun à b et r est un diviseur commun
à a et b. Or le couple (b, r) est un couple d’entiers plus petits que ceux du
couple initial. On peut recommencer en faisant la division de b par r.
Exemples de détermination pratique du pgcd. Sur l’exemple précédent :
60 = 24 × 2 + 12 et 24 = 2 × 12, donc 12 est le pgcd de 60 et 24.
Deuxième exemple qui sert de guide pour la démonstration générale.
Chercher le pgcd de a = 95991 et b = 13083.
95991 = 13083 × 7 + 4410
soit a = 7b + r0
Les diviseurs communs à 95991 et 13083 sont ceux de 13083 et 4410.
13083 = 4410 × 2 + 4263
soit b = 2r1 + r2
Les diviseurs communs à 13083 et 4410 sont ceux de 4410 et 4263.
4410 = 4263 + 147
soit r1 = r2 + r3
Les diviseurs communs à 4410 et 4263 sont ceux de 4263 et 147.
4263 = 147 × 29 + 0
soit r2 = 29r3
Les diviseurs communs à 4263 et 147 sont les diviseurs de 147.
147 = pgcd(95991, 13083)
Démonstration de l’algorithme d’Euclide
Soient a et b deux entiers positifs. Supposons que a est le plus grand,
a ≥ b, et divisons a par b : a = bq1 + r1 avec 0 ≤ r1 < b. Tout diviseur
commun à a et b est un diviseur commun à b et r1 et réciproquement. Donc
pgcd(a, b) = pgcd(b, r1 ).
On itère le procédé et l’on sait que la suite des restes obtenue est une
suite d’entiers strictement décroissante. Donc à un certain stade rk = 0.
b = r 1 q2 + r 2
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et
0 ≤ r2 < r 1
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r 1 = r 2 q3 + r 3
et
rk−3 = rk−2 qk−1 + rk−1 et
0 ≤ r3 < r 2
0 ≤ rk−1 < rk−2
rk−2 = rk−1 qk
Donc rk−1 divise rk−2 et pgcd(rk−2 , rk−1 ) = rk−1 et de proche en proche
rk−1 = pgcd(a, b).
Cet algorithme est une démonstration d’existence du pgcd. Il permet aussi
de montrer que tout diviseur commun à a et b est un diviseur de d. Comme
nous l’avons vu sur l’exemple, cet algorithme permet de déterminer successivement chaque reste comme na + mb avec n et m entiers. Nous allons donc
nous intéresser aux entiers qui peuvent s’écrire sous la forme ax + by.
Théorème de Bézout
Énoncé du théorème de Bézout : Soient a et b deux entiers naturels et d
leur pgcd alors il existe un couple d’entiers relatifs u et v au moins tel que
ua + vb = d.
Recherche d’entiers u et v tels que au + bv = d : l’algorithme d’Euclide
nous fournit une méthode simple pour trouver deux entiers u et v apparaissant dans le théorème de Bézout. Illustrons-le tout de suite sur l’exemple
précédent.
a =
b
7b + r1
= 2r1 + r2
r1 =
r2 + r 3
a − 7b
= r1
b − 2(a − 7b)
15b − 2a
= r2
= r2
r1 − r2
(a − 7b) − (15b − 2a)
3a − 22b
3a − 22b
=
=
=
=
r3
r3
r3
d
On a donc trouvé un couple d’entiers (3, −22) tels que :
3 × 95991 − 22 × 13083 = 147
Bien sûr, il n’y a pas unicité de ce couple car on voit tout de suite que :
(3 + 13083k) × 95991 − (22 + 95991k) × 13083 = 147, si k est un entier
quelconque. Nous reviendrons sur cet exemple ultérieurement pour chercher
tous les couples répondant au problème.
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Remarque sur les entiers u et v : on sait que le pgcd divise chacun des deux
nombres ; 95991 = 147×653 et 13083 = 147×89. Remarquons tout de
suite que le couple d’entiers (3, −22) vérifie la relation obtenue en simplifiant
par 147 la relation précédente :
3 × 95991 − 22 × 13083 = 147
3 × 653 − 22 × 89 = 1
Ceci nous sera utile plus tard. Nous allons faire une deuxième démonstration
du théorème de Bézout, reposant sur des principes très différents, et en donner
un énoncé un peu plus complet.
Théorème : Soient deux entiers relatifs a et b non nuls, et d leur pgcd.
Alors
– il existe deux entiers relatifs x0 et y0 tels que pgcd(a, b) = ax0 + by0 ;
– l’ensemble S = {ax + by | x, y ∈ Z} est l’ensemble des multiples de d.
Détermination de l’ensemble S : Soient deux entiers relatifs a et b non nuls,
ab 6= 0. Considérons l’ensemble S 0 des entiers positifs qui peuvent s’écrire sous
la forme ax + by : S 0 = {ax + by | x, y ∈ Z et ax + by > 0}. De façon évidente
S 0 est non vide puisque l’un des nombres au moins ±a, ±b est positif. D’après
la propriété du bon ordre, cet ensemble possède un plus petit élément d. Il
existe deux entiers relatifs x0 et y0 tels que d = x0 a + y0 b.
Montrons que ce nombre d est le pgcd des deux nombres a et b. On va
d’abord montrer que d | a et d | b. Sinon, on peut écrire la division euclidienne
de a par d avec un reste non nul : a = dq + r avec 0 < r < d. Comme
d = x0 a + y0 b, r = a − (x0 a + y0 b)q = a(1 − x0 q) − by0 q, ce qui montre que
r appartient à l’ensemble S 0 et est plus petit que d, ce qui est contraire à la
définition de d. On en conclut que d divise a. De la même façon, on montre
que d divise b et donc que d est un diviseur commun à a et b.
On va maintenant montrer que d est le pgcd de a et b : dans les propriétés
sur la divisibilité, on a montré que tout diviseur commun à a et b divise tous
les éléments de S et donc en particulier d. Ceci démontre que d est le plus
grand diviseur commun de a et de b.
Nature de l’ensemble S : tous les entiers de la forme ax + by sont des
multiples du pgcd de a et b. Il est évident que tout multiple de d appartient
à S :
m(ax0 + by0 ) = a(mx0 ) + b(my0 )
Par ailleurs d divisant a et b, il divise tous les entiers de la forme ax + by.
On a donc montré que l’ensemble S est constitué des multiples de d.
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Remarque : u et v ne sont pas uniques. Par exemple, u + kb et v − ka
répondent aussi au problème.
Attention, s’il existe un couple d’entiers u et v tels que au + bv = d0 , on
peut seulement conclure que d0 est un multiple du pgcd de a et b. En général,
le théorème de Bézout n’admet pas de réciproque sauf dans le cas particulier
des nombres premiers entre eux que nous étudions dans le chapitre suivant.
Nombres premiers entre eux
Définition : On dit que deux nombres a et b sont premiers entre eux si leur
pgcd pgcd(a, b) est égal à 1.
Corollaire du théorème de Bézout :
a l’équivalence :
Soient a et b deux entiers non nuls. On
pgcd(a, b) = 1 ⇐⇒ (∃u, v ∈ Z, au + bv = 1).
Si a et b sont premiers entre eux alors il existe u et v tels que ua + vb = 1 et
réciproquement si un tel couple existe, on sait que pgcd(a, b) égale 1, puisque
tous les entiers ax + by sont des multiples du pgcd de a et b. Dans ce cas, le
pgcd de a et b divise 1. Il est donc égal à 1.
Décomposition de deux nombres à l’aide de leur pgcd : Soient deux entiers
a et b avec leur pgcd d. Notons a0 et b0 les quotients de a et b par d. Donnons
nous deux entiers u et v satisfaisant à la relation de Bézout : au + bv = d.
a
b
au + bv
da0 u + db0 v
a0 u + b0 v
=
=
=
=
=
da0
db0
d
d
1
donc d’après le corollaire du théorème de Bézout a0 et b0 sont premiers entre
deux.
Condition nécessaire et suffisante pour qu’un nombre soit le pgcd de a et b :
Si a et b sont deux entiers et d un diviseur positif commun de a et de b, si
a = da0 et b = db0 , on a l’équivalence :
d = pgcd(a, b) ⇐⇒ pgcd(a0 , b0 ) = 1
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Démonstration de la réciproque : Si δ est un diviseur commun positif à a
et b, si a = δa1 et b = δb1 , et si pgcd(a1 , b1 ) = 1 alors δ = pgcd(a, b).
δ est un diviseur commun à a et b, donc δ est un diviseur du pgcd d de a et
b : il existe un entier δ 0 tel que δδ 0 = d
a = da0 = δδ 0 a0 = δ(δ 0 a0 )
et
b = db0 = δδ 0 b0 = δ(δ 0 b0 )
Donc d’après les hypothèses, δ 0 a0 = a1 et δ 0 b0 = b1 . δ 0 est un diviseur commun
à a1 et b1 , supposés premiers entre eux. pgcd(a1 , b1 ) = 1 donc δ 0 divise 1 et
est positif. Donc δ 0 = 1. on a donc montré δ = pgcd(a, b).
Théorème de Gauss : Soit n un entier qui divise le produit ab. Si n est
premier avec a, alors il divise b.
Démonstration : n est premier avec a donc pgcd(n, a) = 1. Il existe u et v
entiers tels que : au + nv = 1 Multiplions les deux membres par b :
aub + nvb = b
(ab)u + nvb = b
n divise ab et nvb donc abu + nvb, par conséquent n divise b.
Corollaire : Si a est premier avec b, et si a est premier avec c, alors il est
premier avec bc.
Nous pouvons en donner deux démonstrations de ce corollaire. Celles-ci illustrent l’utilisation des théorèmes de Bézout et de Gauss. Supposons a premier
avec b et avec c.
Première démonstration : celle-ci utilise le théorème de Gauss. Soit δ un diviseur commun à a et bc. Comme δ est un diviseur de a qui est premier avec
b, on sait que δ est premier avec b et divise bc, et donc que δ divise c, d’après
le théorème de Gauss. δ diviseur commun à a et c, supposés premiers entre
eux est égal à 1. Le seul diviseur commun possible à a et bc est 1, donc a est
premier avec bc.
Deuxième démonstration directe, en appliquant le théorème de Bézout, il
existe deux couples d’entiers (u, v) et (x, y) tels que :
au + bv = 1 et ax + cy = 1.
En multipliant membre à membre ces égalités, on obtient :
(au + bv)(ax + cy) = 1
a(aux + bvx + cuy) + (bc)(vy) = 1
D’après le corollaire du théorème de Bézout, ceci entraı̂ne que a et bc sont
premiers entre eux, et donc que a est premier avec bc.
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Plus petit commun multiple (ppcm)
Soient deux nombres a et b entiers, que nous pouvons supposer positifs.
Existe-t-il un plus petit nombre positif M multiple à la fois de a et b ? Nous
pouvons être sûrs que la réponse est oui par le raisonnement suivant. On
connaı̂t ab comme multiple commun, donc il y a des multiples communs. Il
suffit d’examiner un à un les entiers multiples de a entre a et ab, voir si ils
sont multiples de b, pour trouver le plus petit multiple commun aux deux
nombres a et b que nous notons ppcm(a, b).
Définition : Étant donnés deux entiers a et b non nuls, on appelle plus petit
commun multiple, et on note ppcm(a, b) le plus petit entier positif qui est à
la fois multiple de a et de b.
Détermination du ppcm : Soient M le ppcm de deux entiers positifs a et b,
et d leur pgcd, M = ppcm(a, b) et d = pgcd(a, b). Puisque d est le pgcd de a
et b, il existe deux entiers a0 et b0 , tels que a = da0 , b = db0 et pgcd(a0 , b0 ) = 1.
Le ppcm de a et b est donné par la formule :
M = ppcm(a, b) = da0 b0
Démonstration : Posons M1 = da0 b0 . Il est clair que M1 est un multiple commun de a et de b. Montrons que c’est le ppcm de a et b en montrant qu’il
divise tout multiple commun de a et b.
Soit m un multiple commun de a et de b. C’est un multiple de a, donc
il existe un entier p tel que m = ap = da0 p. C’est un multiple de b, donc il
existe un entier q tel que m = bq = db0 q. Par conséquent da0 p = db0 q et donc
a0 p = b0 q. Appliquons le théorème de Gauss, sachant que a0 divise b0 q et est
premier avec b0 , on peut déduire que a0 divise q et qu’il existe un entier r tel
que q = ra0 . On a obtenu m = db0 ra0 = (da0 b0 )r et donc m est un multiple de
M1 , ce qui démontre que M1 = da0 b0 est le ppcm de a et de b.
On a montré que le ppcm divise tout multiple commun à a et b. Réciproquement, si un multiple commun positif de a et b divise tout multiple
commun de a et b, c’est le ppcm de ces deux nombres.
Propriété caractéristique du ppcm : Soient a et b deux entiers non nuls,
un multiple commun positif de a et b est le ppcm de ces deux nombres si et
seulement si il divise tout multiple commun de a et b.
Relation entre pgcd et ppcm : Soient deux entiers positifs a et b, M =
ppcm(a, b) et d = pgcd(a, b). Alors on a la relation : ab = M d
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Démonstration :Avec les notations précédentes, M = da0 b0 est le ppcm de a
et de b. Alors M = da0 b0 et dM = d2 a0 b0 = (da0 )(db0 ) = ab, ce qui est la
relation cherchée.
ab = pgcd(a, b) × ppcm(a, b)
Équations diophantiennes
Une équation diophantienne est une équation dont les coefficients sont
entiers dont on cherche des solutions entières. Nous nous intéressons ici aux
équations du type : ax + by = c, où a, b et c sont des entiers.
Résolution d’une équation diophantienne
Nous allons décrire les étapes de la résolution.
Condition d’existence de solutions : ax + by = c, pgcd(a, b) = d avec d 6= 1.
Si d ne divise pas le second membre c, l’équation est impossible, n’a pas de solutions. Nous avons donc une condition nécessaire d’existence des solutions :
pgcd(a, b) divise c. Nous supposerons dorénavant cette condition satisfaite.
Simplification de l’équation : ax + by = c, pgcd(a, b) = d et d divise c.
On pose a = da0 , b = db0 , c = dc0 et l’on sait que pgcd(a0 , b0 ) = 1. On reporte
dans l’équation, da0 x + db0 y = dc0 , on simplifie l’équation et on obtient une
nouvelle équation, qui a les mêmes solutions que la précédente,
ax + by = c
a0 x + b 0 y = c 0
(1)
(2)
(on se ramène donc au cas pgcd(a, b) = 1).
Détermination d’une solution : On détermine une solution (x0 , y0 ) de l’équation a0 x + b0 y = 1 en utilisant l’algorithme d’Euclide, comme on a vu précédemment. On a un couple x = x0 c0 , y = y0 c0 , solution des équations (1) et
(2).
Détermination de toutes les solutions de l’équation de a0 x + b0 y = c0 .
a0 x + b 0 y
a0 x 0 + b 0 y 0
a0 (x − x0 ) + b0 (y − y0 )
a0 (x − x0 )
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=
=
=
=
c0
c0 et par soustraction
0
b0 (y0 − y)
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Comme b0 divise le premier membre et est premier avec a0 , d’après le théorème
de Gauss, il divise x−x0 : il existe un entier k tel que x−x0 = kb0 ; on reporte
dans la dernière équation et on obtient y − y0 = −ka0 .
Récapitulation : les solutions de l’équation initiale, quand elle admet des
solutions, (c’est-à-dire quand pgcd(a, b) divise c), sont données par :
x = x0 c0 + kb0
y = y0 c0 − ka0
Plan d’étude
—
—
—
—
—
Condition d’existence de solutions
Simplification de l’équation
Détermination d’une solution
Détermination de toutes les solutions
Récapitulation
Un exemple de résolution d’une équation. Prenons l’équation (E) :
95991x + 13083y = n
pgcd(95991, 13083) = 147 et 3 × 95991 − 22 × 13083 = 147
95991 = 147 × 653 et 13083 = 147 × 89.
— Condition d’existence de solutions : si 147 ne divise pas n l’équation est
impossible, elle n’a pas de solutions.
— Simplification de l’équation : si 147 divise n, on pose n = 147 × n0 , on
se ramène à l’équation : 653x + 89y = n0 , par simplification par 147. Cette
équation a les mêmes solutions que l’équation (E).
— Détermination d’une solution : on cherche une solution de l’équation 653x+
89y = 1 dont on connaı̂t une solution (3, −22). On en déduit une solution
(x0 = 3n0 , y0 = −22n0 ) pour l’équation avec le second membre n0 . C’est aussi
une solution de (E).
— Détermination de toutes les solutions de (E) :
653x + 89y
653x0 + 89y0
653(x − x0 ) + 89(y − y0 )
653(x − x0 )
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=
=
=
=
n0
n0 et par soustraction
0
−89(y − y0 )
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Il est indispensable d’avoir simplifié par 147 si on veut pouvoir appliquer
le théorème de Gauss pour montrer que 89 divise (x − x0 ), qu’il existe un
entier k tel que (x − x0 ) = 89k. On obtient en reportant dans l’équation
(y − y0 ) = −653k, (et non en appliquant une deuxième fois le théorème de
Gauss).
— Récapitulation : on a donc obtenu l’ensemble S des solutions de l’équation
(E), quand la condition de possibilité est vérifiée :
S = {(3n0 + 89k, −22n0 − 653k) | k ∈ Z}
Les nombres premiers
Définition : Un nombre premier est un entier positif 6= 1 qui n’a pas d’autres
diviseurs positifs que lui même et 1.
On choisit de considérer que 1 n’est pas un nombre premier. Nous verrons
dans la suite une justification de ce choix, en particulier pour avoir l’unicité
de la décomposition d’un nombre en produit de facteurs premiers.
Propriété : Si p est un nombre premier, et a un entier, alors p divise a ou
p est premier avec a. (En effet pgcd(p, a) = p ou pgcd(p, a) = 1.)
Propriété :
Deux nombres premiers distincts sont premiers entre eux.
Propriété : Si un nombre premier p divise un produit de deux nombres,
alors il divise l’un de ces deux nombres.
Attention, ce résultat n’est pas valable pour un entier quelconque.
Propriété : Un nombre p premier est premier avec toute puissance d’un
autre nombre premier.
Ceci est un corollaire du théorème de Gauss.
Crible d’Érathostène
C’est une méthode de détermination des nombres premiers petits. On va
l’appliquer pour déterminer les nombres premiers inférieurs à 50. On verra de
façon évidente que l’on doit considérer que 1 n’est pas un nombre premier,
sinon l’opération s’arrête dès le premier stade. On commence par écrire en
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tableau les nombres considérés.
10
20
30
40
1
11
21
31
41
2
12
22
32
42
3
13
23
33
43
4
14
24
34
44
5
15
25
35
45
6
16
26
36
46
7
17
27
37
47
8
18
28
38
48
9
19
29
39
49
On prend le premier nombre supérieur à 1, ici 2, et on efface tous ses
multiples.
2 3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
41
43
45
47
49
Le premier nombre non effacé, ici 3 est premier, on efface ses mutiples
et on recommence. Finalement, il ne reste dans le tableau que les nombres
premiers.
2 3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
On remarque qu’on arrête l’opération quand on a effacé les multiples de 7.
En effet si un nombre inférieur ou égal à 49 se décompose en produit de deux
facteurs, l’un des facteurs est inférieur à 7.
Théorème : Tout nombre strictement supérieur à 1 admet au moins un
diviseur premier.
Démonstration :
— Ou n n’admet pas d’autres diviseurs que lui-même et 1, il est premier
et vérifie le théorème.
— Ou n admet des diviseurs distincts de 1 et lui même. Cet ensemble
de diviseurs strictement supérieur à 1 est non vide, il admet un plus petit
élément qui est un nombre premier.
Théorème : Il y a une infinité de nombres premiers.
Démonstration : Soit un ensemble fini de nombres premiers, p1 , p2 , . . ., pn .
Montrons qu’il existe au moins un autre nombre premier. On considère l’entier a
a = p1 p2 · · · pn + 1.
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Cet entier possède au moins un diviseur premier qui ne peut être l’un des pi ,
car a n’est divisible par aucun de ces nombres. Ceci montre que l’ensemble
des nombres premiers ne peut être fini.
Décomposition en facteurs premiers
Tout nombre entier positif supérieur ou égal à 2 admet une unique décomposition en produit de facteurs premiers, (à l’ordre d’écriture des facteurs
près).
Existence de la décomposition : on va faire une démonstration par récurrence utilisant la forme forte du principe d’induction.
— Énoncé de la propriété P (n) : Le nombre entier positif n supérieur ou égal
à 2 admet une décomposition en produit de facteurs premiers.
— Initialisation : le nombre 2 admet de façon évidente une décomposition
en produit de facteurs premiers puisqu’il est un nombre premier : P (2) est
vraie.
— Hérédité de la propriété : Supposons que P (k) est vraie c’est-à-dire que k
se décompose en produit de facteurs premiers pour tout entier k, 2 ≤ k ≤
a − 1. On veut montrer que P (a) est vraie, c’est-à-dire que a se décompose
en produit de facteurs premiers. On constate qu’il y a deux cas, suivant que
a est premier ou non.
a est un nombre premier C’est fini, a a une décomposition évidente en produit de facteurs premiers.
a n’est pas un nombre premier a = a1 a2 , 1 < a1 < a et 1 < a2 < a. On peut
appliquer l’hypothèse de récurrence à a1 et a2 , qui se décomposent en
produit de facteurs premiers, donc a se décompose aussi de la même
façon.
Donc P (a) est vraie si P (k) est vraie pour tout entier 2 ≤ k ≤ a − 1
— Conclusion : lorsque la propriété est vraie pour tout nombre entier positif
de 2 à a − 1, elle est vraie aussi pour a. Comme elle est vraie pour 2, elle est
donc vraie pour tous les entiers supérieurs ou égaux à 2.
Unicité de la décomposition : on va encore faire une démonstration par
récurrence utilisant la forme forte du principe d’induction.
— Énoncé de la propriété P (n) : Le nombre entier n positif supérieur ou égal
à 2 n’admet qu’une unique décomposition en produit de facteurs premiers,
(à l’ordre des facteurs près).
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— Initialisation : de façon évidente, le nombre 2 n’admet qu’une décomposition en produit de facteurs premiers puisqu’il est un nombre premier : P (2)
est vraie.
— Hérédité de la propriété : On suppose que cette unicité ait été montrée
pour tous les entiers de 2 à a − 1. On va montrer cette unicité pour l’entier
a. On suppose que l’entier a ait deux décompositions :
a = pα1 1 pα2 2 · · · pαnn = q1β1 q2β2 · · · qrβr
avec les pi premiers distincts et les qi premiers distincts, que l’on suppose
rangés en ordre croissant.
p1 < p2 < · · · < pn et q1 < q2 < · · · < qr
On veut montrer que p1 = q1 . Sinon, on suppose que p1 < q1 . Alors p1 est
distinct de chacun des qi . D’après les propriétés montrées précédemment, si p1
et qi sont des nombres premiers distincts, p1 est premier avec toute puissance
qiβi de qi , et est donc premier avec leur produit. Or p1 divise q1β1 q2β2 · · · qrβr , ce
qui est contradictoire. On a donc p1 = q1 . Alors on simplifie l’égalité
a = pα1 1 pα2 2 · · · pαnn = q1β1 q2β2 · · · qrβr
par p1 et on applique l’hypothèse de récurrence au nombre a0 inférieur à a,
défini par a = a0 p1 .
a0 = pα1 1 −1 pα2 2 · · · pαnn = pβ1 1 −1 q2β2 · · · qrβr
Ce nombre a0 admet une unique décomposition en facteurs premiers. Donc les
nombres premiers qui figurent dans les deux décompositions sont les mêmes,
avec les mêmes exposants.
— Conclusion : Comme l’unicité de la décomposition est vraie pour 2, parce
qu’on sait que si elle est vraie pour tous les entiers de 2 à a − 1, elle est vraie
aussi pour a, on en conclut que la décomposition en facteurs premiers est
unique pour tous les entiers supérieurs ou égaux à 2.
Applications de la décomposition
Décomposition d’un diviseur : SiQ
un nombre entier a admet comme décomposition en facteurs premiers a = ni=1 pαi i , alors tout diviseur c de a admet
Q
α0
une décomposition en facteurs premiers c = ni=1 pi i , avec ∀i 0 ≤ αi0 ≤ αi
Décomposition d’un multiple : Si un nombre entier m est un multiple
Qn αde
a et si a admet comme décomposition en facteurs premiers a = i=1 pi i ,
alors tous les facteurs premiers pi figurent dans la décomposition en facteurs
premiers de m, avec un exposant au moins égal à celui qu’ils ont dans la
décomposition de a.
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Décomposition du pgcd et du ppcm :
On considère deux nombres a et b dont on connaı̂t les décompositions en
facteurs premiers. On va déterminer la décomposition du pgcd et celle du
ppcm, connaissant les décompositions des deux nombres.
Pour cela, on va modifier l’écriture de la décomposition des deux nombres.
En rajoutant formellement éventuellement
exposants
on peut écrire
Qn αdes
Qn nuls,
βi
i
ainsi ces deux décompositions : a = i=1 pi et b = i=1 pi , avec les mêmes
facteurs premiers. Si par exemple, un facteur pj ne figure pas dans la décomposition de a, mais figure dans celle de b, on le fait apparaı̂tre avec un
exposant nul dans la décomposition de a.
Par exemple : a = 23 34 52 et b = 32 74 113 .
On écrira : a = 23 34 52 70 110 et b = 20 32 50 74 113
Décomposition du pgcd : Tout diviseur commun c de a et b admet une déQ
α0
composition en facteurs premiers c = ni=1 pi i , avec ∀i 0 ≤ αi0 ≤ min(αi , βi ).
Donc le pgcd a pour décomposition
Yn min(α ,β )
i i
pgcd(a, b) =
pi
i=1
Décomposition du ppcm : Tout multiple commun c de a et b admet une
décomposition en facteurs premiers où figurent tous les facteurs premiers pi
avec un exposant au moins égal à max(αi , βi ), (et peut-être d’autres facteurs.)
Donc le ppcm a pour décomposition
Yn max(α ,β )
i i
ppcm(a, b) =
pi
i=1
Exemple :
pgcd(a, b) = 20 32 50 70 110 = 32
ppcm(a, b) = 23 34 52 74 113
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