X
Γ = π1(X)π:e
XX
ΓX
k0
hk:Hk,Z)Hk(X, Z),
hk
π
Hk,Z)hk
Hk(X, Z)π
Hk(e
X, Z).
h0h1h2
0H2,Z)h2
H2(X, Z)π
H2(e
X, Z)
G M G F :M7→ MG
G G
G
G M
F
k0, Hk(G, M)=RkF(M).
(C(G, M), d)Ck(G, M)
GkMC0(G, M) = M
df(g1, . . . , gk+1) = g1·f(g2, . . . , gk+1)+
k
X
j=1
(1)jf(g1, . . . , gj1, gjgj+1, . . . )
+ (1)k+1f(g1, . . . , gk).
M=ZG
H0(G, Z) = ZH1(G, Z) = Hom(G, Z).
c:G×GZ
c(g, h) = c(h, k)c(gh, k) + c(g, hk)
(g, h, k)G
GZ
1ZEG1
H2(G, Z)
1ZEG1
s:GE
s(gh)s(g)s(h)E
GZf(g, h)s(gh) =
f(g, h)s(g)s(h)s((gh)k) = s(g(hk))
f G
s f
f f(g, 1) = f(1, g)=0
Z×G
(n, g)·(m, h)=(n+m+f(g, h), gh).
Z×G
f(n, g)1= (n
f(g, g1), g1)Z=Z× {1}
Γ
Xe
XΓe
X
e
X
ΓEq(e
X)q
e
XE0(e
X) = C(e
X)
ΓEq(e
X)
Hk,Eq(e
X)) = 0 k1,q0.
k= 0
H0,Eq(e
X)) = Eq(e
X)Γ=Eq(X)
X
(Vj)jJπ:e
XX
Vjj Uje
X π
UjVj(ϕj)jJ
(Vj)j
χj= (π|Uj)(ϕj) = ϕjπ1
|Uj.
Uj
(g(Uj))jJ, gΓ
χj,g =g(χj) = χjg1.
g, h Γ,jJ, χj,gh =gχj,h.
P:Ck+1,Eq(e
X)) Ck,Eq(e
X))
P(f)(g1, . . . , gk) = (1)k+1 X
(j,g)J×Γ
χj,gf(g1, . . . , gk, g1
kg1
k1· · · g1
1g).
d(P(f))
d((1)k+1P(f))(g1, . . . , gk+1) = g
1[P(f)(g2, . . . , gk+1)] +
k
X
i=1
(1)iP(f)(g1, . . . , gigi+1, . . . , gk+1)+(1)k+1P(f)(g1, . . . , gk)
=X
j,g
g
1(χj,g)g
1f(g2, . . . , gk, g1
k+1g1
k· · · g1
2g)+
k
X
i=1
(1)iX
j,g
χj,gf(g1, . . . , gigi+1, . . . , gk+1, g1
k+1g1
k· · · g1
1g)+
(1)k+1 X
j,g
χj,gf(g1, . . . , gk, g1
kg1
k1· · · g1
1g)
=X
j,g
(χj,g)g
1f(g2, . . . , gk, g1
k+1g1
k· · · g1
1g)+
k
X
i=1
(1)if(g1, . . . , gigi+1, . . . , gk+1, g1
k+1g1
k· · · g1
1g)+
(1)k+1f(g1, . . . , gk, gk+1g1
k+1g1
kg1
k1· · · g1
1g)
=X
j,g
(χj,g)"g
1f(g2, . . . , γg
k+2)+
k+1
X
i=1
(1)if(g1, . . . , gigi+1, . . . , γg
k+2)#
χj,g
γg
k+2 =g1
k+1g1
k· · · g1
1g.
df(g1, . . . , gk+1, γg
k+2)(1)k+2f(g1, . . . , gk+1).
χj,g
d(P(f)) = f(1)kP(df))
f f
d(P(f)) = f.
e
X
Ck,Eq(e
X)).
E0(e
X)Γd//
_
E1(e
X)Γd//
_
E2(e
X)Γd//
_
. . .
R//
dΓ
E0(e
X)d//
dΓ
E1(e
X)d//
dΓ
E2(e
X)d//
dΓ
. . .
C1,R)//
dΓ
C1,E0(e
X)) d//
dΓ
C1,E1(e
X)) d//
dΓ
C1,E2(e
X)) d//
. . .
C2,R)//
dΓ
C2,E0(e
X)) d//
dΓ
C2,E1(e
X)) d//
dΓ
C2,E2(e
X)) d//
dΓ
. . .
. . . . . . . . . . . .
d
dΓ
Γ
hk:Hk,R)Hk(X, R)
k= 2 f
Γ
E0(e
X)Γ//_____
E1(e
X)Γ//_____
E2(e
X)Γ//____ . . .
R//_______
E0(e
X)//______
E1(e
X)d//E2(e
X)//____
OO
. . .
C1,R)//____
C1,E0(e
X)) d//C1,E1(e
X)) //___
P
OO
C1,E2(e
X)) //___
. . .
fC2,R)//
C2,E0(e
X)) //___
P
OO
C2,E1(e
X)) //___
C2,E2(e
X)) //___
. . .
. . . . . . . . . . . .
α2(f)∈ E2(e
X) Γ
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