4 Equation à coefficients non constants On considère l`équation

1 Soit l'équation différentielle du second ordre : (E) : y" – 2 y' – 3 y = – 4 e–x dans laquelle y est une fonction de la variable réelle x,
définie et deux fois dérivable sur IR.
1° Résoudre l'équation différentielle (E0) : y" – 2 y' – 3 y = 0
2° Déterminer une constante réelle A, telle que la fonction g définie sur IR par g (x) = A x e– x soit solution de l'équation différentielle
(E).
3° Déduire du 1° et du 2° l'ensemble des solutions de l'équation (E).
4° Déterminer la solution particulière de l'équation (E) prenant la valeur 1 pour x = 0 et la valeur 0 pour x = – 1.
2 Soit l'équation différentielle du second ordre : (E) : y" – 4 y' + 4 y = 8 x dans laquelle y est une fonction de la variable réelle x,
définie et deux fois dérivable sur IR.
1° Résoudre l'équation différentielle (E0) : y" – 4 y' + 4 y = 0
2° Déterminer les nombres réels a, b, c pour que la fonction g définie sur IR par g (x) = a x2 + b x + c soit solution de l'équation (E).
3° Déduire du 1° et du 2° l'ensemble des solutions de l'équation (E).
4° Déterminer la solution particulière f de l'équation (E) qui vérifie les conditions initiales : f (0) = 0 et f '(0) = 0
3 Soit l'équation différentielle du second ordre : (E) : y" – 2 y' + 5 y = 10 dans laquelle y est une fonction de la variable réelle x,
définie et deux fois dérivable sur IR.
1° Résoudre l'équation différentielle (E0) : y" – 2 y' + 5 y = 0
2° Déterminer une constante réelle A, telle que la fonction g définie sur IR par g (x) = A soit solution de l'équation différentielle (E).
3° Déduire du 1° et du 2° l'ensemble des solutions de l'équation (E).
4° Déterminer la solution particulière de l'équation (E) prenant la valeur 2 pour x = 0 et pour x = 
2
4 Equation à coefficients non constants On considère l'équation différentielle
(E) (x2 – 1) y' + 2 x y = 0 où y est une fonction de la variable x, définie et dérivable sur IR, de dérivée y'.
a) Résoudre l'équation différentielle (E)
b) Déterminer la solution particulière de (E) qui vérifie f (0) = 1.
5 On considère l'équation différentielle (E) (x + 1) y' + y = 1
x + 1
où y est une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur ] – 1 ; +  [ et y' sa fonction dérivée.
1° Démontrer que les solutions sur ] – 1 ; +  [ de l'équation différentielle (E0) ( 1 + x) y' + y = 0
sont les fonctions définies par h (x) = k
x + 1 où k est une constante réelle quelconque.
2° Soit g la fonction définie sur ] – 1 ; +  [ par : g (x) = ln (x + 1)
1 + x
Démontrer que la fonction g est une solution particulière de l'équation différentielle (E).
3° En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).
4. Déterminer la solution f de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale f (0) = 2.
6 On se propose de résoudre sur l'intervalle ]0 ; +  [ l'équation différentielle : (E) x y' – y = – ln x
1° Déterminer les nombres réels a et b tels que la fonction g définie sur ] 0 ; +  [ par g (x) = a ln x + b soit une solution
particulière de l'équation (E).
2° Résoudre sur ] 0 ; +  [ l'équation différentielle : (E') : x y' – y = 0
3° En déduire la solution générale de (E).

1 Soit l'équation différentielle du second ordre : (E) : y" – 2 y' – 3 y = – e–x dans laquelle y est une fonction de la variable réelle x,
définie et deux fois dérivable sur IR. 1° Résoudre l'équation différentielle (E0) : y" – 2 y' – 3 y = 0
Equation caractéristique : r2 – 2 r – 3 = 0  (r + 1) (r – 3)
Equation différentielle :  e– x +  e3 x
2° Déterminer une constante réelle A, telle que la fonction g définie sur IR par g (x)=A x e– x soit solution de l'équation différentielle (E)
g (x) = A x e– x ; g '(x) = A e– x – A x e– x et g "(x) = – A e– x – A e– x + A x e– x
g "(x) – 2 g '(x) – 3 g (x) = – 4 e– x  – 2 A e– x + A x e– x – 2 A e– x + 2 A x e– x – 3 A x e– x = – 4 e– x
 – 4 sa e– x = – 4 e– x  A = 1.
g (x) = x e– x
3° Déduire du 1° et du 2° l'ensemble des solutions de l'équation (E).
 e– x +  e3 x + x e– x
4° Déterminer la solution particulière de l'équation (E) prenant la valeur 1 pour x = 0 et la valeur 0 pour x = – 1.
f (x) =  e– x +  e3 x + x e– x
f (0) = 1   +  = 1
f (–1) = 0   e +  e3 – e = 0   +  e2 = 1
  = 1 – 
1 –  –  e2 = 1  
  = 0
 = 1
2 Soit l'équation différentielle du second ordre : (E) : y" – 4 y' + 4 y = x dans laquelle y est une fonction de la variable réelle x,
définie et deux fois dérivable sur IR. 1° Résoudre l'équation différentielle (E0) : y" – 4 y' + 4 y = 0
Equation caractéristique : r2 – 4 r + 4 = (r – 2)2
Equation différentielle : ( x + ) e2 x
2° Déterminer les nombres réels a et b pour que la fonction g définie sur IR par g (x) = a x + b soit solution de l'équation (E).
g (x) = a x + b ; g '(x) = a et g "(x) = 0
g "(x) – 4 g '(x) + 4 g (x) = 8 x  0 – 4 a + 4 (a x + b) = 8 x  – 4 a + 4 b + 4 a x = 8 x
par identification, a et b sont solution du système 
 – 4 a + 4 b = 0
4 a = 8  a = b = 2.
g (x) = 2 x + 2.
3° Déduire du 1° et du 2° l'ensemble des solutions de l'équation (E).
( x + ) e2 x + 2 x + 2
4° Déterminer la solution particulière f de l'équation (E) qui vérifie les conditions initiales : f (0) = 0 et f '(0) = 0
f (x) = ( x + ) e2 x + 2 x + 2, f '(x) =  e2 x + 2 ( x + ) e2 x + 2 = (2  x +  + 2 ) e2 x + 2
f (0) = 0   + 2 = 0 et f '(0) = 0   + 2  + 2 = 0
  + 2 = 0
 + 2  + 2 = 0  
  = – 2
 = 0
3 Soit l'équation différentielle du second ordre : (E) : y" – 2 y' + 5 y = 10 dans laquelle y est une fonction de la variable réelle x,
définie et deux fois dérivable sur IR. 1° Résoudre l'équation différentielle (E0) : y" – 2 y' + 5 y = 0
Equation caractéristique : r2 – 2 r + 5 = 0.  = 4 – 4 × 5 = – 16 deux solutions 2 + 4 i
2 = 1 + 2 i et r2 = 1 – 2 i
Equation différentielle : ex ( cos (2 x) +  sin (2 x))
2° Déterminer une constante réelle A, telle que la fonction g définie sur IR par g (x) = A soit solution de l'équation différentielle (E).
g (x) = A ; g '(x) = g "(x) = 0
g "(x) – 2 g '(x) + 5 g (x) = 10  5 A = 10  A = 2
g (x) = 2
3° Déduire du 1° et du 2° l'ensemble des solutions de l'équation (E).
f (x) = ex ( cos (2 x) +  sin (2 x)) + 2
4° Déterminer la solution particulière de l'équation (E) prenant la valeur 0 pour x = 0 et la valeur 2 pour x = 
2
f (0) = 0   cos 0 +  sin 0 + 2 = 0   = – 2
f 
2 = 2  e/2 
 cos 
2 +  sin  2 + 2 = 2   e/2 ( × 0 +  × 1) = 0   = 0 f (x) = – 2 cos (2 x) ex + 2
4 Equation à coefficients non constants On considère l'équation différentielle
(E) (x2 – 1) y' + 2 x y = 0 où y est une fonction de la variable x, définie et dérivable sur IR, de dérivée y'.

a) Résoudre l'équation différentielle (E)
• a (x) = x2 – 1 et b (x) = 2 x et b (x)
a(x) = 2 x x2 – 1
Une primitive de b
a est la fonction F définie par F (x) = ln (x2 – 1)
• Les solutions sont les fonctions définies par f (x) = k e– ln (x2 – 1) = k
eln (x2 – 1) = k
x2 – 1
b) Déterminer la solution particulière de (E) qui vérifie f (0) = 1.
f (0) = 1  k
02 – 1 = 1  k = – 1 et f (x) = – 1
x2 – 1
5 On considère l'équation différentielle (E) (x + 1) y' + y = 1
x + 1 où y est une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur ]
– 1 ; +  [ et y' sa fonction dérivée. 1° Démontrer que les solutions sur ] – 1 ; +  [ de l'équation différentielle
(E0) ( 1 + x) y' + y = 0 sont les fonctions définies par h (x) = k
x + 1 où k est une constante réelle quelconque.
• a (x) = 1 + x et b (x) = 1. b (x)
a(x) = 1
x + 1
Une primitive de b
a est la fonction F définie par F (x) = ln (x + 1)
• Les solutions sont les fonctions définies par f (x) = k e– ln (x + 1) = k
eln (x + 1) = k x + 1
2° Soit g la fonction définie sur ] – 1 ; +  [ par : g (x) = ln (x + 1)
1 + x
Démontrer que la fonction g est une solution particulière de l'équation différentielle (E).
g '(x) =
1
1 + x × (x + 1) – ln (x + 1) × 1
(x + 1)2 = 1 – ln (x + 1) (x + 1)2
(x + 1) g '(x) + g (x) = (x + 1) × 1 – ln (x + 1)
(x + 1)2 + ln (x + 1) x + 1 = 1 – ln (x + 1) x + 1 + ln (x + 1) x + 1 = 1 x + 1
Donc g est solution de (E)
3° En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).
Les solutions sont les fonctions définies sur ] – 1 ; +  [ par f (x) = k
x + 1 + ln (x + 1)
1 + x = k + ln (x + 1)
x + 1
4° Déterminer la solution f de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale f (0) = 2.
f (0) = 2  k + ln (1 + 0)
1 + 0 = 2  k = 2. f est donc définie sur ] – 1 ; +  [ par f (x) = 2 + ln (x + 1)
x + 1
6 On se propose de résoudre sur l'intervalle ]0 ; +  [ l'équation différentielle : (E) x y' – y = – ln x 1° Déterminer les nombres réels
a et b tels que la fonction g définie sur ] 0 ; +  [ par g (x) = a ln x + b soit une solution particulière de l'équation (E).
g (x) = a ln x + b et g '(x) = a
x
g solution de (E) si, et seulement si, pour tout réel x :
x g '(x) – g (x) = – ln x  x × a
x – a ln x + b = ln x  a + b – a ln x = ln x
Par identification on prend a et b solutions du système 
 – a = 1
a + b = 0  
 a = – 1
b = 1 et g (x) = ln x – x
2° Résoudre sur ] 0 ; +  [ l'équation différentielle : (E') : x y' – y = 0
• a (x) = x ; b (x) = – 1 et b (x)
a(x) = – 1
x
Une primitive de b
a est la fonction F définie sur ] 0 ; +  [ par F (x) = – ln (x)
• Les solutions sont les fonctions définies par f (x) = k eln x = k x
3° En déduire la solution générale de (E)
Les solutions sont les fonctions définies sur ] 0 ; +  [ par f (x) = k x – ln x + 1