1 Soit l'équation différentielle du second ordre : (E) : y" – 2 y' – 3 y = – 4 e–x dans laquelle y est une fonction de la variable réelle x, définie et deux fois dérivable sur IR. 1° Résoudre l'équation différentielle (E0) : y" – 2 y' – 3 y = 0 2° Déterminer une constante réelle A, telle que la fonction g définie sur IR par g (x) = A x e– x soit solution de l'équation différentielle (E). 3° Déduire du 1° et du 2° l'ensemble des solutions de l'équation (E). 4° Déterminer la solution particulière de l'équation (E) prenant la valeur 1 pour x = 0 et la valeur 0 pour x = – 1. 2 Soit l'équation différentielle du second ordre : (E) : y" – 4 y' + 4 y = 8 x dans laquelle y est une fonction de la variable réelle x, définie et deux fois dérivable sur IR. 1° Résoudre l'équation différentielle (E0) : y" – 4 y' + 4 y = 0 2° Déterminer les nombres réels a, b, c pour que la fonction g définie sur IR par g (x) = a x2 + b x + c soit solution de l'équation (E). 3° Déduire du 1° et du 2° l'ensemble des solutions de l'équation (E). 4° Déterminer la solution particulière f de l'équation (E) qui vérifie les conditions initiales : f (0) = 0 et f '(0) = 0 3 Soit l'équation différentielle du second ordre : (E) : y" – 2 y' + 5 y = 10 dans laquelle y est une fonction de la variable réelle x, définie et deux fois dérivable sur IR. 1° Résoudre l'équation différentielle (E0) : y" – 2 y' + 5 y = 0 2° Déterminer une constante réelle A, telle que la fonction g définie sur IR par g (x) = A soit solution de l'équation différentielle (E). 3° Déduire du 1° et du 2° l'ensemble des solutions de l'équation (E). 4° Déterminer la solution particulière de l'équation (E) prenant la valeur 2 pour x = 0 et pour x = 2 4 Equation à coefficients non constants On considère l'équation différentielle (E) (x2 – 1) y' + 2 x y = 0 où y est une fonction de la variable x, définie et dérivable sur IR, de dérivée y'. a) Résoudre l'équation différentielle (E) b) Déterminer la solution particulière de (E) qui vérifie f (0) = 1. 1 x+1 où y est une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur ] – 1 ; + [ et y' sa fonction dérivée. 1° Démontrer que les solutions sur ] – 1 ; + [ de l'équation différentielle (E0) ( 1 + x) y' + y = 0 k sont les fonctions définies par h (x) = où k est une constante réelle quelconque. x+1 ln (x + 1) 2° Soit g la fonction définie sur ] – 1 ; + [ par : g (x) = 1+x Démontrer que la fonction g est une solution particulière de l'équation différentielle (E). 3° En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E). 4. Déterminer la solution f de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale f (0) = 2. 5 On considère l'équation différentielle (E) (x + 1) y' + y = 6 On se propose de résoudre sur l'intervalle ]0 ; + [ l'équation différentielle : (E) x y' – y = – ln x 1° Déterminer les nombres réels a et b tels que la fonction g définie sur ] 0 ; + [ par g (x) = a ln x + b soit une solution particulière de l'équation (E). 2° Résoudre sur ] 0 ; + [ l'équation différentielle : (E') : x y' – y = 0 3° En déduire la solution générale de (E). 1 Soit l'équation différentielle du second ordre : (E) : y" – 2 y' – 3 y = – e–x dans laquelle y est une fonction de la variable réelle x, définie et deux fois dérivable sur IR. 1° Résoudre l'équation différentielle (E0) : y" – 2 y' – 3 y = 0 Equation caractéristique : r2 – 2 r – 3 = 0 (r + 1) (r – 3) Equation différentielle : e– x + e3 x 2° Déterminer une constante réelle A, telle que la fonction g définie sur IR par g (x)=A x e– x soit solution de l'équation différentielle (E) g (x) = A x e– x ; g '(x) = A e– x – A x e– x et g "(x) = – A e– x – A e– x + A x e– x g "(x) – 2 g '(x) – 3 g (x) = – 4 e– x – 2 A e– x + A x e– x – 2 A e– x + 2 A x e– x – 3 A x e– x = – 4 e– x – 4 sa e– x = – 4 e– x A = 1. g (x) = x e– x 3° Déduire du 1° et du 2° l'ensemble des solutions de l'équation (E). e– x + e3 x + x e– x 4° Déterminer la solution particulière de l'équation (E) prenant la valeur 1 pour x = 0 et la valeur 0 pour x = – 1. f (x) = e– x + e3 x + x e– x f (0) = 1 + = 1 f (–1) = 0 e + e3 – e = 0 + e2 = 1 = 1 – = 0 2 1 – – e = 1 = 1 2 Soit l'équation différentielle du second ordre : (E) : y" – 4 y' + 4 y = x dans laquelle y est une fonction de la variable réelle x, définie et deux fois dérivable sur IR. 1° Résoudre l'équation différentielle (E0) : y" – 4 y' + 4 y = 0 Equation caractéristique : r2 – 4 r + 4 = (r – 2)2 Equation différentielle : ( x + ) e2 x 2° Déterminer les nombres réels a et b pour que la fonction g définie sur IR par g (x) = a x + b soit solution de l'équation (E). g (x) = a x + b ; g '(x) = a et g "(x) = 0 g "(x) – 4 g '(x) + 4 g (x) = 8 x 0 – 4 a + 4 (a x + b) = 8 x – 4 a + 4 b + 4 a x = 8 x –4a+4b=0 par identification, a et b sont solution du système 4 a = 8 a = b = 2. g (x) = 2 x + 2. 3° Déduire du 1° et du 2° l'ensemble des solutions de l'équation (E). ( x + ) e2 x + 2 x + 2 4° Déterminer la solution particulière f de l'équation (E) qui vérifie les conditions initiales : f (0) = 0 et f '(0) = 0 f (x) = ( x + ) e2 x + 2 x + 2, f '(x) = e2 x + 2 ( x + ) e2 x + 2 = (2 x + + 2 ) e2 x + 2 f (0) = 0 + 2 = 0 et f '(0) = 0 + 2 + 2 = 0 + 2 = 0 = – 2 + 2 + 2 = 0 = 0 3 Soit l'équation différentielle du second ordre : (E) : y" – 2 y' + 5 y = 10 dans laquelle y est une fonction de la variable réelle x, définie et deux fois dérivable sur IR. 1° Résoudre l'équation différentielle (E0) : y" – 2 y' + 5 y = 0 Equation caractéristique : r2 – 2 r + 5 = 0. = 4 – 4 × 5 = – 16 deux solutions 2+4i = 1 + 2 i et r2 = 1 – 2 i 2 Equation différentielle : ex ( cos (2 x) + sin (2 x)) 2° Déterminer une constante réelle A, telle que la fonction g définie sur IR par g (x) = A soit solution de l'équation différentielle (E). g (x) = A ; g '(x) = g "(x) = 0 g "(x) – 2 g '(x) + 5 g (x) = 10 5 A = 10 A = 2 g (x) = 2 3° Déduire du 1° et du 2° l'ensemble des solutions de l'équation (E). f (x) = ex ( cos (2 x) + sin (2 x)) + 2 4° Déterminer la solution particulière de l'équation (E) prenant la valeur 0 pour x = 0 et la valeur 2 pour x = f (0) = 0 cos 0 + sin 0 + 2 = 0 = – 2 f = 2 e/2 cos + sin + 2 = 2 e/2 ( × 0 + × 1) = 0 = 0 2 2 2 f (x) = – 2 cos (2 x) ex + 2 4 Equation à coefficients non constants On considère l'équation différentielle (E) 2 (x2 – 1) y' + 2 x y = 0 où y est une fonction de la variable x, définie et dérivable sur IR, de dérivée y'. a) Résoudre l'équation différentielle (E) • a (x) = x2 – 1 et b (x) = 2 x et b (x) 2x = 2 a(x) x – 1 b Une primitive de est la fonction F définie par F (x) = ln (x2 – 1) a • Les solutions sont les fonctions définies par f (x) = k e– ln (x 2 – 1) = k e ln (x2 – 1) = k x –1 2 b) Déterminer la solution particulière de (E) qui vérifie f (0) = 1. f (0) = 1 k 1 = 1 k = – 1 et f (x) = – 2 02 – 1 x –1 1 où y est une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur ] x+1 – 1 ; + [ et y' sa fonction dérivée. 1° Démontrer que les solutions sur ] – 1 ; + [ de l'équation différentielle k (E0) ( 1 + x) y' + y = 0 sont les fonctions définies par h (x) = où k est une constante réelle quelconque. x+1 5 On considère l'équation différentielle (E) (x + 1) y' + y = • a (x) = 1 + x et b (x) = 1. b (x) 1 = a(x) x + 1 b Une primitive de est la fonction F définie par F (x) = ln (x + 1) a • Les solutions sont les fonctions définies par f (x) = k e– ln (x + 1) = 2° Soit g la fonction définie sur ] – 1 ; + [ par : g (x) = k k = eln (x + 1) x + 1 ln (x + 1) 1+x Démontrer que la fonction g est une solution particulière de l'équation différentielle (E). 1 × (x + 1) – ln (x + 1) × 1 1+x 1 – ln (x + 1) g '(x) = = 2 (x + 1) (x + 1)2 1 – ln (x + 1) ln (x + 1) 1 – ln (x + 1) ln (x + 1) 1 (x + 1) g '(x) + g (x) = (x + 1) × + = + = (x + 1)2 x+1 x+1 x+1 x+1 Donc g est solution de (E) 3° En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E). Les solutions sont les fonctions définies sur ] – 1 ; + [ par f (x) = k ln (x + 1) k + ln (x + 1) + = 1+x x+1 x+1 4° Déterminer la solution f de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale f (0) = 2. f (0) = 2 k + ln (1 + 0) 2 + ln (x + 1) = 2 k = 2. f est donc définie sur ] – 1 ; + [ par f (x) = 1+0 x+1 6 On se propose de résoudre sur l'intervalle ]0 ; + [ l'équation différentielle : (E) x y' – y = – ln x 1° Déterminer les nombres réels a et b tels que la fonction g définie sur ] 0 ; + [ par g (x) = a ln x + b soit une solution particulière de l'équation (E). a x g solution de (E) si, et seulement si, pour tout réel x : a x g '(x) – g (x) = – ln x x × – a ln x + b = ln x a + b – a ln x = ln x x –a=1 a=–1 Par identification on prend a et b solutions du système a + b = 0 b = 1 et g (x) = ln x – x g (x) = a ln x + b et g '(x) = 2° Résoudre sur ] 0 ; + [ l'équation différentielle : (E') : x y' – y = 0 • a (x) = x ; b (x) = – 1 et 1 b (x) =– a(x) x b Une primitive de est la fonction F définie sur ] 0 ; + [ par F (x) = – ln (x) a • Les solutions sont les fonctions définies par f (x) = k eln x = k x 3° En déduire la solution générale de (E) Les solutions sont les fonctions définies sur ] 0 ; + [ par f (x) = k x – ln x + 1