4 Equation à coefficients non constants On considère l`équation

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1 Soit l'équation différentielle du second ordre : (E) : y" – 2 y' – 3 y = – 4 e–x dans laquelle y est une fonction de la variable réelle x,
définie et deux fois dérivable sur IR.
1° Résoudre l'équation différentielle (E0) : y" – 2 y' – 3 y = 0
2° Déterminer une constante réelle A, telle que la fonction g définie sur IR par g (x) = A x e– x soit solution de l'équation différentielle
(E).
3° Déduire du 1° et du 2° l'ensemble des solutions de l'équation (E).
4° Déterminer la solution particulière de l'équation (E) prenant la valeur 1 pour x = 0 et la valeur 0 pour x = – 1.
2 Soit l'équation différentielle du second ordre : (E) : y" – 4 y' + 4 y = 8 x dans laquelle y est une fonction de la variable réelle x,
définie et deux fois dérivable sur IR.
1° Résoudre l'équation différentielle (E0) : y" – 4 y' + 4 y = 0
2° Déterminer les nombres réels a, b, c pour que la fonction g définie sur IR par g (x) = a x2 + b x + c soit solution de l'équation (E).
3° Déduire du 1° et du 2° l'ensemble des solutions de l'équation (E).
4° Déterminer la solution particulière f de l'équation (E) qui vérifie les conditions initiales : f (0) = 0 et f '(0) = 0
3 Soit l'équation différentielle du second ordre : (E) : y" – 2 y' + 5 y = 10 dans laquelle y est une fonction de la variable réelle x,
définie et deux fois dérivable sur IR.
1° Résoudre l'équation différentielle (E0) : y" – 2 y' + 5 y = 0
2° Déterminer une constante réelle A, telle que la fonction g définie sur IR par g (x) = A soit solution de l'équation différentielle (E).
3° Déduire du 1° et du 2° l'ensemble des solutions de l'équation (E).

4° Déterminer la solution particulière de l'équation (E) prenant la valeur 2 pour x = 0 et pour x =
2
4 Equation à coefficients non constants On considère l'équation différentielle
(E)
(x2 – 1) y' + 2 x y = 0 où y est une fonction de la variable x, définie et dérivable sur IR, de dérivée y'.
a) Résoudre l'équation différentielle (E)
b) Déterminer la solution particulière de (E) qui vérifie f (0) = 1.
1
x+1
où y est une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur ] – 1 ; +  [ et y' sa fonction dérivée.
1° Démontrer que les solutions sur ] – 1 ; +  [ de l'équation différentielle (E0) ( 1 + x) y' + y = 0
k
sont les fonctions définies par h (x) =
où k est une constante réelle quelconque.
x+1
ln (x + 1)
2° Soit g la fonction définie sur ] – 1 ; +  [ par : g (x) =
1+x
Démontrer que la fonction g est une solution particulière de l'équation différentielle (E).
3° En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).
4. Déterminer la solution f de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale f (0) = 2.
5 On considère l'équation différentielle (E) (x + 1) y' + y =
6 On se propose de résoudre sur l'intervalle ]0 ; +  [ l'équation différentielle : (E) x y' – y = – ln x
1° Déterminer les nombres réels a et b tels que la fonction g définie sur ] 0 ; +  [ par g (x) = a ln x + b soit une solution
particulière de l'équation (E).
2° Résoudre sur ] 0 ; +  [ l'équation différentielle : (E') : x y' – y = 0
3° En déduire la solution générale de (E).
1 Soit l'équation différentielle du second ordre : (E) : y" – 2 y' – 3 y = – e–x dans laquelle y est une fonction de la variable réelle x,
définie et deux fois dérivable sur IR. 1° Résoudre l'équation différentielle (E0) : y" – 2 y' – 3 y = 0
Equation caractéristique : r2 – 2 r – 3 = 0  (r + 1) (r – 3)
Equation différentielle :  e– x +  e3 x
2° Déterminer une constante réelle A, telle que la fonction g définie sur IR par g (x)=A x e– x soit solution de l'équation différentielle (E)
g (x) = A x e– x ; g '(x) = A e– x – A x e– x et g "(x) = – A e– x – A e– x + A x e– x
g "(x) – 2 g '(x) – 3 g (x) = – 4 e– x  – 2 A e– x + A x e– x – 2 A e– x + 2 A x e– x – 3 A x e– x = – 4 e– x
 – 4 sa e– x = – 4 e– x  A = 1.
g (x) = x e– x
3° Déduire du 1° et du 2° l'ensemble des solutions de l'équation (E).
 e– x +  e3 x + x e– x
4° Déterminer la solution particulière de l'équation (E) prenant la valeur 1 pour x = 0 et la valeur 0 pour x = – 1.
f (x) =  e– x +  e3 x + x e– x
f (0) = 1   +  = 1
f (–1) = 0   e +  e3 – e = 0   +  e2 = 1
  = 1 – 
  = 0


2
 1 –  –  e = 1
  = 1
2 Soit l'équation différentielle du second ordre : (E) : y" – 4 y' + 4 y = x dans laquelle y est une fonction de la variable réelle x,
définie et deux fois dérivable sur IR. 1° Résoudre l'équation différentielle (E0) : y" – 4 y' + 4 y = 0
Equation caractéristique : r2 – 4 r + 4 = (r – 2)2
Equation différentielle : ( x + ) e2 x
2° Déterminer les nombres réels a et b pour que la fonction g définie sur IR par g (x) = a x + b soit solution de l'équation (E).
g (x) = a x + b ; g '(x) = a et g "(x) = 0
g "(x) – 4 g '(x) + 4 g (x) = 8 x  0 – 4 a + 4 (a x + b) = 8 x  – 4 a + 4 b + 4 a x = 8 x
–4a+4b=0
par identification, a et b sont solution du système  4 a = 8
 a = b = 2.

g (x) = 2 x + 2.
3° Déduire du 1° et du 2° l'ensemble des solutions de l'équation (E).
( x + ) e2 x + 2 x + 2
4° Déterminer la solution particulière f de l'équation (E) qui vérifie les conditions initiales : f (0) = 0 et f '(0) = 0
f (x) = ( x + ) e2 x + 2 x + 2, f '(x) =  e2 x + 2 ( x + ) e2 x + 2 = (2  x +  + 2 ) e2 x + 2
f (0) = 0   + 2 = 0 et f '(0) = 0   + 2  + 2 = 0
  + 2 = 0
  = – 2


  + 2  + 2 = 0
  = 0
3 Soit l'équation différentielle du second ordre : (E) : y" – 2 y' + 5 y = 10 dans laquelle y est une fonction de la variable réelle x,
définie et deux fois dérivable sur IR. 1° Résoudre l'équation différentielle (E0) : y" – 2 y' + 5 y = 0
Equation caractéristique : r2 – 2 r + 5 = 0.  = 4 – 4 × 5 = – 16 deux solutions
2+4i
= 1 + 2 i et r2 = 1 – 2 i
2
Equation différentielle : ex ( cos (2 x) +  sin (2 x))
2° Déterminer une constante réelle A, telle que la fonction g définie sur IR par g (x) = A soit solution de l'équation différentielle (E).
g (x) = A ; g '(x) = g "(x) = 0
g "(x) – 2 g '(x) + 5 g (x) = 10  5 A = 10  A = 2
g (x) = 2
3° Déduire du 1° et du 2° l'ensemble des solutions de l'équation (E).
f (x) = ex ( cos (2 x) +  sin (2 x)) + 2
4° Déterminer la solution particulière de l'équation (E) prenant la valeur 0 pour x = 0 et la valeur 2 pour x =
f (0) = 0   cos 0 +  sin 0 + 2 = 0   = – 2



f   = 2  e/2  cos   +  sin    + 2 = 2   e/2 ( × 0 +  × 1) = 0   = 0
 2

 2
 2 
f (x) = – 2 cos (2 x) ex + 2
4 Equation à coefficients non constants On considère l'équation différentielle
(E)

2
(x2 – 1) y' + 2 x y = 0 où y est une fonction de la variable x, définie et dérivable sur IR, de dérivée y'.
a) Résoudre l'équation différentielle (E)
•
a (x) = x2 – 1 et b (x) = 2 x et
b (x)
2x
= 2
a(x) x – 1
b
Une primitive de est la fonction F définie par F (x) = ln (x2 – 1)
a
•
Les solutions sont les fonctions définies par f (x) = k e– ln (x
2
– 1)
=
k
e
ln (x2 – 1)
=
k
x –1
2
b) Déterminer la solution particulière de (E) qui vérifie f (0) = 1.
f (0) = 1 
k
1
= 1  k = – 1 et f (x) = – 2
02 – 1
x –1
1
où y est une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur ]
x+1
– 1 ; +  [ et y' sa fonction dérivée. 1° Démontrer que les solutions sur ] – 1 ; +  [ de l'équation différentielle
k
(E0) ( 1 + x) y' + y = 0 sont les fonctions définies par h (x) =
où k est une constante réelle quelconque.
x+1
5 On considère l'équation différentielle (E) (x + 1) y' + y =
•
a (x) = 1 + x et b (x) = 1.
b (x)
1
=
a(x) x + 1
b
Une primitive de est la fonction F définie par F (x) = ln (x + 1)
a
•
Les solutions sont les fonctions définies par f (x) = k e– ln (x + 1) =
2° Soit g la fonction définie sur ] – 1 ; +  [ par : g (x) =
k
k
=
eln (x + 1) x + 1
ln (x + 1)
1+x
Démontrer que la fonction g est une solution particulière de l'équation différentielle (E).
1
× (x + 1) – ln (x + 1) × 1
1+x
1 – ln (x + 1)
g '(x) =
=
2
(x + 1)
(x + 1)2
1 – ln (x + 1) ln (x + 1) 1 – ln (x + 1) ln (x + 1)
1
(x + 1) g '(x) + g (x) = (x + 1) ×
+
=
+
=
(x + 1)2
x+1
x+1
x+1
x+1
Donc g est solution de (E)
3° En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).
Les solutions sont les fonctions définies sur ] – 1 ; +  [ par f (x) =
k
ln (x + 1) k + ln (x + 1)
+
=
1+x
x+1
x+1
4° Déterminer la solution f de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale f (0) = 2.
f (0) = 2 
k + ln (1 + 0)
2 + ln (x + 1)
= 2  k = 2. f est donc définie sur ] – 1 ; +  [ par f (x) =
1+0
x+1
6 On se propose de résoudre sur l'intervalle ]0 ; +  [ l'équation différentielle : (E) x y' – y = – ln x 1° Déterminer les nombres réels
a et b tels que la fonction g définie sur ] 0 ; +  [ par g (x) = a ln x + b soit une solution particulière de l'équation (E).
a
x
g solution de (E) si, et seulement si, pour tout réel x :
a
x g '(x) – g (x) = – ln x  x × – a ln x + b = ln x  a + b – a ln x = ln x
x
–a=1
a=–1
Par identification on prend a et b solutions du système  a + b = 0   b = 1 et g (x) = ln x – x


g (x) = a ln x + b et g '(x) =
2° Résoudre sur ] 0 ; +  [ l'équation différentielle : (E') : x y' – y = 0
•
a (x) = x ; b (x) = – 1 et
1
b (x)
=–
a(x)
x
b
Une primitive de est la fonction F définie sur ] 0 ; +  [ par F (x) = – ln (x)
a
• Les solutions sont les fonctions définies par f (x) = k eln x = k x
3° En déduire la solution générale de (E)
Les solutions sont les fonctions définies sur ] 0 ; +  [ par f (x) = k x – ln x + 1
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