Decitre

PREALGE2 ALGEBRE linéaire et bilinéaire - 17mm_Mise en page 1 31/07/2014 15:21 Page1
C
et ouvrage développe le programme d’algèbre de deuxième année
des classes préparatoires scientifiques, de façon originale,
approfondie et fidèle.
• Le texte, rigoureux et pédagogique, permet à tous les étudiants de suivre pas
à pas les démonstrations. Des figures, ainsi que des algorithmes implémentés
en Python, facilitent la compréhension et l'assimilation des notions abordées.
Conf
orme
au no
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mme
2014
• L'auteur a pris soin de replacer les résultats présentés dans leur contexte
historique, des notices biographiques évoquent les faits marquants de la vie des
mathématiciens cités.
• Dans les parties « compléments », l'ouvrage aborde des théorèmes plus difficiles ou moins connus, destinés aux lecteurs souhaitant un approfondissement
des sujets classiques.
L’ouvrage intéressera également les candidats au CAPES et à l’agrégation.
+ Conforme au nouveau programme 2014
+ De nombreux exercices corrigés
+ Texte abondamment illustré
pour faciliter la compréhension
+ Tout en couleur
Christophe Antonini est professeur de mathématiques en classes préparatoires au lycée
Stanislas de Cannes.
Conform
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amme
2014
MP-MP*
2e ANNÉE
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ANALYSE
2e
édition
MPSI / PCSI
1re ANNÉE
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ANALYSE
MPSI / PCSI
Confo
ALGÈBRE
COURS
EXERCICES CORRIGÉS
COURS
EXERCICES CORRIGÉS
COURS
EXERCICES CORRIGÉS
OLIVIER RODOT
GILLES COSTANTINI
NICOLAS BASBOIS
PIERRE ABBRUGIATI
<
Conception graphique : Primo&Primo
<
IS BN : 978-2-8041- 817 0 -3
9 782804 181703
PREALGE2
www.deboeck.com
< Dans la
même
collection
dirigée par
Olivier Rodot
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ALGÈBRE
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MP-MP*
1re ANNÉE
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Conf
COURS
EXERCICES CORRIGÉS
CHRISTOPHE
ANTONINI
+
LES
ALGÈBRE
• Des exercices, dont les corrigés sont très détaillés, permettent de vérifier
l’acquisition des points clés de chaque chapitre.
MP-MP*
2e ANNÉE
2
édition
CHRISTOPHE ANTONINI
A vant-propos
Cet ouvrage traite d’algèbre générale, d’algèbre linéaire et bilinéaire, avec pour fil directeur le nouveau programme des classes préparatoires MP-MP* qu’il suit scrupuleusement. L’auteur s’est efforcé de rédiger un traité autonome, accompagné d’applications,
d’exemples et d’exercices entièrement corrigés.
Afin d’être adapté au public d’aujourd’hui, l’ouvrage a essayé de trancher avec le style
parfois austère utilisé dans ce type d’ouvrage, en essayant autant que faire se peut d’introduire avec beaucoup de soin les concepts, et d’en proposer de nombreuses applications.
Ce livre s’adresse également à tout étudiant de premier cycle, ou préparant des concours
d’enseignement. En outre, les chapitres sur lesquels le programme met l’accent comptent
en général une introduction historique, ou établissent le lien avec d’autres domaines scientifiques. Plus généralement, l’ensemble du livre est émaillé d’indications historiques : notices biographiques, datation de certains théorèmes.
Cette part belle faite à l’histoire des mathématiques est une spécificité de cette collection.
Enfin, l’auteur a tenu à illustrer différents résultats à l’aide d’algorithmes implémentés
sous Python 3.
Je commence naturellement par remercier Fabrice Chrétien, des éditions De Boeck, pour
m’avoir proposé de participer à ce projet. Mes remerciements vont également à Olivier
Rodot, directeur de la collection et auteur de l’ouvrage d’analyse de seconde année, pour
son soutien, ses conseils et critiques avisés et sa grande disponibilité, et pour avoir été le
premier à me contacter.
Je remercie très vivement Guillaume Euvrard et Guillaume Goron pour leur relecture.
J’ai une pensée pour l’ensemble de mes collègues de travail pour leur soutien amical.
Enfin, je remercie tout particulièrement mes collègues Nicolas Basbois et Pierre Abbrugiati, auteurs de l’ouvrage d’algèbre de première année, pour toute l’aide qu’ils m’ont
apportée.
Christophe Antonini.
Table des m atières
1 Structures algébriques usuelles
1.1
7
Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.1.1
Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.1.2
Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.1.3
Morphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.1.4
Sous-groupes engendrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
1.1.5
Le groupe Z/nZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
1.1.6
Ordre d’un groupe, ordre d’un élément . . . . . . . . . . . . . . . .
34
1.1.7
Le groupe symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
1.2.1
Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
1.2.2
Idéaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
1.2.3
Anneaux principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
1.2.4
L’anneau Z/nZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
1.2.5
L’anneau K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
1.3
Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
1.4
Algèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
1.4.1
Polynômes dans une algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
1.4.2
Idéal annulateur et polynôme minimal . . . . . . . . . . . . . . . .
77
Exercices corrigés du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
1.2
1.5
4
TABLE DES MATIÈRES
2 Compléments d’algèbre linéaire
2.1
93
Sur les bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
2.1.1
Rappels et compléments sur les combinaisons linéaires . . . . . . .
93
2.1.2
Familles libres, familles génératrices et bases . . . . . . . . . . . .
96
2.1.3
Le cas des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.1.4
Lien avec les applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.2
Sommes, sommes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.3
Trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
2.4
Déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.4.1
Formes multilinéaires
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.4.2
Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
2.4.3
Définition et formule du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
2.4.4
Propriétés « calculatoires » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.4.5
Cas particuliers et exemples classiques . . . . . . . . . . . . . . . . 139
2.4.6
Méthode algorithmique de calcul du déterminant . . . . . . . . . . 144
2.5
Interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
2.6
Orientation des espaces réels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . 154
2.7
Polynômes de matrices carrées et d’endomorphismes . . . . . . . . . . . . 156
2.8
2.9
2.7.1
Définitions et propriétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
2.7.2
Puissances et polynômes des matrices diagonales . . . . . . . . . . 164
2.7.3
Idéal des polynômes annulateurs et polynôme minimal . . . . . . . 165
2.7.4
Lemme des noyaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
2.8.1
Matrices à diagonale strictement dominante . . . . . . . . . . . . . 172
2.8.2
Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Exercices corrigés du chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
3 Réduction
3.1
3.2
213
Stabilité, endomorphismes induits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
3.1.1
Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
3.1.2
Signification en terme de stabilité d’une matrice triangulaire . . . 220
3.1.3
Cas d’endomorphismes commutant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
Éléments propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
3.2.1
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
5
TABLE DES MATIÈRES
3.3
3.2.2
Somme directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
3.2.3
Quelques liens avec la stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
3.2.4
Cas de la dimension finie : le polynôme caractéristique . . . . . . . 234
Matrices et endomorphismes diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
3.3.1
Définition et premiers résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
3.3.2
Diagonalisation et ordre des valeurs propres . . . . . . . . . . . . . 246
3.3.3
Diagonalisation et polynômes annulateurs . . . . . . . . . . . . . . 253
3.3.4
Diagonalisation simultanée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
3.4
Trigonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
3.5
Théorème de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
3.6
Exponentielle de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
3.7
Applications de la réduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
3.8
3.9
3.7.1
Systèmes différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
3.7.2
Équations différentielles scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
3.7.3
Équations différentielles scalaires d’ordre 2
3.7.4
Méthode de variation des constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
3.7.5
Calculs de polynômes d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
3.8.1
Localisation des valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
3.8.2
Sous-espaces caractéristiques et décomposition de Dunford
3.8.3
Réduction de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
4.2
4.3
. . . . 306
Exercices corrigés du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
4 Espaces préhilbertiens
4.1
. . . . . . . . . . . . . 290
339
Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
4.1.1
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
4.1.2
Exemples classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
Norme euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
4.2.1
Inégalité de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
4.2.2
Inégalité de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
4.2.3
Convexité stricte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
Calculs de produits scalaires et de normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
4.3.1
Développements et polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
4.3.2
Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
6
TABLE DES MATIÈRES
4.4
Bases orthonormées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
4.4.1
Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
4.4.2
Projections orthogonales et inégalité de Bessel . . . . . . . . . . . 382
4.4.3
Orthonormalisation de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . 389
4.5
Sous-espaces orthogonaux, sommes directes orthogonales . . . . . . . . . . 396
4.6
Représentation des formes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
4.7
Endomorphismes orthogonaux, matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . 399
4.8
4.9
4.7.1
Endomorphismes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
4.7.2
Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
4.7.3
Vision matricielle des changements de base orthonormée . . . . . . 409
4.7.4
Vision matricielle des endomorphismes orthogonaux . . . . . . . . 410
4.7.5
Étude de O(2) et de SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
4.7.6
Isométries vectorielles du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
Produit mixte, produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
4.8.1
Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
4.8.2
Produit vectoriel (dimension 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
4.8.3
Isométries vectorielles d’un espace euclidien de dimension 3 . . . . 436
Endomorphismes symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
4.10 Réduction des endomorphismes et matrices symétriques . . . . . . . . . . 450
4.11 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
4.11.1 Théorème de Riesz-Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
4.11.2 Produit scalaire complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
4.11.3 Endomorphismes hermitiens et matrices hermitiennes . . . . . . . 483
4.12 Exercices corrigés du chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
CHAPITRE 1
Structures algébriques
usuelles
Les ensembles de nombres avec lesquels nous travaillons usuellement en mathématiques
sont apparus progressivement, d’abord avec les entiers (strictement) positifs pour dénombrer les objets, mesurer les récoltes, commercer, . . . Sont ensuite venues les fractions pour
√
établir des liens de proportionnalité et des nombres irrationnels tels que 2 qui apparaît
géométriquement comme longueur de la diagonale d’un carré de côté 1. Plus tard sont
apparus d’autres réels comme π ou e et relativement plus récemment au xvie siècle les
nombres complexes ont vu le jour.
Avec ces ensembles (même si ces termes n’étaient pas nécessairement employés) sont venues des opérations (que l’on appelle lois) : addition, multiplication, . . .
L’étude des structures algébriques a pour but de formaliser ces concepts à travers les notions de groupes 1 , d’anneaux 2 , de corps et d’algèbres notamment, dans le but de dégager
des résultats généraux.
1. À la suite de Lagrange, Évariste Galois a utilisé au xixe siècle des permutations de racines de
polynômes, mais n’a pas formalisé la définition des groupes.
La première définition générale d’un groupe a été écrite (pour un cardinal fini) par Arthur Cayley en
1854, cf. On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θ n = 1, Philosophical Magazine
and Journal of Science 7 (1854), pp. 40-47. Dans cet article se trouvent notamment des tables de l.c.i.
pour des groupes à 4 et à 6 éléments.
Le lecteur est invité à se référer à la notice biographique d’Arthur Cayley page 223.
2. Anneaux et corps ont été progressivement introduits notamment par Leopold Kronecker (18231891), spécialiste de la théorie des nombres, Richard Dedekind (1831-1916) et Ernst Kummer (18101893), tous deux spécialisés en arithmétique, ainsi que David Hilbert (1862-1943), et plus généralement
toute l’école des mathématiciens allemands de la seconde moitié du xixe siècle et de la première moitié
du xxe siècle.
8
Chapitre 1. Structures algébriques usuelles
Commençons ce chapitre par une définition générale qui servira aux différentes structures.
Définition 1
Soit E un ensemble. On appelle loi de composition interne (l.c.i.) sur E toute application ∗ :
1.1
1.1.1
E2
(x, y)
−→ E
7−→ x ∗ y
Groupes
Généralités
Définition 2
On dit que (G, ∗) est un groupe si G est un ensemble non vide et si ∗ est une loi de
composition interne sur G, vérifiant les trois propriétés suivantes :
1. La loi ∗ est associative, c’est-à-dire :
∀(x, y, z) ∈ G3 , (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z).
On notera alors x ∗ y ∗ z cette quantité commune.
2. La loi ∗ possède un élément neutre, c’est-à-dire :
∃e ∈ G : ∀x ∈ G, e ∗ x = x ∗ e = x.
3. Tout élément de G possède un inverse 3 pour ∗, c’est-à-dire :
∀x ∈ E, ∃x′ ∈ E : x ∗ x′ = x′ ∗ x = e.
Proposition 1
Soit (G, ∗) un groupe. Alors
1. Il existe un unique élément neutre ;
2. Pour tout x dans G, il existe un unique élément x′ ∈ G tel que x ∗ x′ = x′ ∗ x = e.
3. On pourra également parler d’élément symétrique.
1.1
Groupes
9
Démonstration
Supposons e1 et e2 deux éléments neutres. Calculons e1 ∗ e2 de deux façons différentes.
D’une part, comme e1 est un élément neutre, e1 ∗ e2 = e2 .
D’autre part, comme e2 est un élément neutre, e1 ∗ e2 = e1 .
On en déduit immédiatement e1 = e2 , d’où l’unicité annoncée de l’élément neutre.
On note maintenant e l’unique élément neutre.
Soit x ∈ G, montrons que x a un unique inverse. Supposons que x′1 et x′2 vérifient
x ∗ x′1 = x′1 ∗ x = e et x ∗ x′2 = x′2 ∗ x = e.
Alors on calcule cette fois x′1 ∗ x ∗ x′2 de deux façons par associativité :
D’une part,
x′1 ∗ x ∗ x′2 = x′1 ∗ (x ∗ x′2 ) = x′1 ∗ e = x′1 .
D’autre part,
x′1 ∗ x ∗ x′2 = (x′1 ∗ x) ∗ x′2 = e ∗ x′2 = x′2 .
On en déduit immédiatement x′1 = x′2 , d’où l’unicité annoncée de l’inverse de x.
Définition 3
Soit x un élément d’un groupe (G, ∗).
L’unique élément x′ de G vérifiant x ∗ x′ = x′ ∗ x = e est appelé l’inverse 4 de x et
noté x−1 = x′ .
Proposition 2
Soit (G, ∗) un groupe, d’élément neutre e.
Alors :
1. e est son propre inverse, c’est-à-dire e−1 = e.
2. ∀(x, y) ∈ G2 , (x ∗ y)−1 = y −1 ∗ x−1 .
3. Soient x et y deux éléments de G.
Alors x ∗ y = e implique que y est l’inverse de x, c’est-à-dire que x−1 = y.
De même, y ∗ x = e implique x−1 = y.
4. Voir note 3.
10
Chapitre 1. Structures algébriques usuelles
Démonstration
Montrons que e est son propre inverse. Le fait que e est l’élément neutre implique e∗e = e,
égalité signifiant justement que e−1 = e.
Soit maintenant (x, y) ∈ G2 .
Posons z = x ∗ y et z ′ = y −1 ∗ x−1 .
Alors l’associativité du produit permet d’écrire
z ∗ z′
=
(x ∗ y) ∗ (y −1 ∗ x−1 )
=
x ∗ (y ∗ y −1 ) ∗ x−1
| {z }
=e
=
(x ∗ e) ∗ x−1
=
x ∗ x−1
=
e,
et on montrerait de même que z ′ ∗ z = e.
Ainsi z admet z ′ comme inverse, c’est-à-dire z −1 = z ′ .
Le deuxième résultat est ainsi démontré 5 .
Enfin, considérons (x, y) ∈ G2 vérifiant x ∗ y = e.
On a alors en multipliant à gauche par x−1 :
x−1 ∗ (x ∗ y) = x−1 ∗ e.
Or par associativité 6 ,
x−1 ∗ (x ∗ y) = (x−1 ∗ x) ∗ y = e ∗ y = y.
L’autre membre de l’égalité x−1 ∗ e vaut simplement x−1 , donc on obtient bien y = x−1 .
De façon parfaitement analogue 7 , on déduit de y ∗ x = e que y = x−1 .
Remarque
Il est à noter que ce résultat n’est valable que dans un groupe. Il existe des ensembles A
munis d’une l.c.i. ∗ et possédant un élément neutre e et deux éléments x et x′ de A tels
que x ∗ x′ = e sans que x ne soit inversible.
Considérons en effet A = F (N, N) ensemble des fonctions de N dans N.
5. Notons qu’en utilisant le troisième résultat, il aurait suffi de montrer que z ∗ z ′ = e.
6. On utilise également le fait que x−1 est l’inverse de x, et que e est l’élément neutre.
7. À ceci près qu’il faut multiplier l’égalité à droite par x−1 .
1.1
Groupes
11
La composition ◦ est une l.c.i. de A.
Il est clair que IdN est un élément neutre 8 de (A, ◦).
Définissons f : N
n
−→ N
et g : N
7−→ 2n
m
−→ N
7−→ E(m/2)
Nous avons ainsi f et g qui sont éléments de A avec g ◦ f = IdN et pourtant ni f , ni g
n’est inversible 9 .
Définition 4
Un groupe (G, ∗) est dit abélien 10,11 si
∀(x, y) ∈ G2 , x ∗ y = y ∗ x.
Notation
Dans les groupes commutatifs, la l.c.i. est généralement notée +.
Dans ce cas, le symétrique d’un élément x de G se note −x . On choisit en outre de
l’appeler opposé de x et non plus inverse.
Exemples (et contre-exemples)
1. (Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +) sont des groupes abéliens.
2. En revanche, (N, +) n’est pas un groupe : à part 0, les éléments n’ont pas de
symétrique (c’est-à-dire pas d’opposé).
3. (R∗ , .), (C∗ , .), (Q∗ , .) sont des groupes abéliens (nous verrons que ce résultat se
généralise à tout corps privé de 0).
De même, ]0, +∞[, . est un groupe abélien.
4. En revanche, (R, .) n’est pas un groupe, car 0 n’a pas d’inverse.
Et c’est pour une autre raison que ]−∞, 0[, . n’est pas un groupe, notamment
car la multiplication n’est pas une loi de composition interne, le produit de deux
nombres strictement négatifs n’étant pas un nombre strictement négatif.
8. On peut même écrire que IdN est l’élément neutre, car la démonstation précédente de l’unicité
d’un élément neutre reste valable grâce à l’associativité de la l.c.i. ◦.
9. f inversible signifierait f bijective, or f n’est pas surjective. De même, g n’est pas bijective car non
injective : g(0) = 0 = g(1).
10. Ce qualificatif rend hommage à Niels Abel (1802-1829), cf. la notice biographique page 12.
11. Un tel groupe est également appelé groupe commutatif. On dit aussi que la loi ∗ est commutative.
12
Chapitre 1. Structures algébriques usuelles
Le norvégien Niels Abel est
l’un des mathématiciens
les plus remarquables du XIXe siècle, ayant laissé une
empreinte indélébile sur le développement ultérieur des
mathématiques malgré son décès très prématuré a .
Le parcours d’Abel dans son pays natal est profondément influencé par le professeur Bernt Michael Holmboe
(1795-1850), guère plus âgé que lui, qui sait reconnaître
et encourager ses talents de mathématicien.
La situation de la famille d’Abel est modeste mais le
génie de Niels lui permet d’avoir quelques protecteurs,
Niels Henrik Abel qui subviennent en partie à ses besoins et lui permettent
(1802–1829)
ainsi de se consacrer à la recherche mathématique. Personne en Norvège, à commencer par Holmboe bien sûr, ne doute des capacités
d’Abel mais il n’a pas facilement accès à des bourses du fait de la situation géopolitique complexe de son pays natal à cette époque-là b .
Abel fait néanmoins rapidement des découvertes fondamentales, la principale étant
l’impossibilité de la résolution algébrique de l’équation générale du cinquième
degré c . Il obtient enfin, en 1825, le financement adéquat pour partir en Allemagne
et en France. Son voyage en Allemagne se révèle extrêmement fécond, couronné
par une relation étroite nouée avec August Leopold Crelle, qui s’apprête à lancer la
première revue mathématique en Allemagne : Abel est un des principaux contributeurs des premiers numéros du Journal de Crelle, ce qui étend beaucoup sa renommée.
En revanche, le voyage en France une déception. Abel partage difficilement ses découvertes, ses travaux rencontrant notamment auprès de Cauchy le même destin
funeste que ceux de Galois : Cauchy ne prend guère le temps de les lire, les égare
ou en rédige un rapport rapide et peu enthousiaste.
On doit également à Abel des travaux en analyse. Citons la transformation d’Abel d
permettant l’étude de certaines séries semi-convergentes.
Abel revient en Norvège en mai 1827. Malgré de nombreuses sollicitations de Crelle
pour travailler en Allemagne, il a le mal du pays et sent ce retour nécessaire. Malheureusement sa situation financière en Norvège n’est pas florissante et, s’il n’exclut pas de rejoindre Crelle, sa santé commence à s’altérer.
Abel meurt de la tuberculose sans atteindre ses 27 ans, à peu près au moment où
Crelle lui annonce sa nomination comme professeur à l’université de Berlin.
a. Pour les détails biographiques, cf. Øystein Ore, Niels Henrik Abel, Mathematician Extraordinary, University of Minnesota Press (1957), dont on a fait un usage très large ici.
b. La Norvège fut cédée en 1814 par le Danemark à la Suède suite à son implication aux côtés de Napoléon : ceci incita
les Norvégiens à proclamer leur indépendance. . .
c. cf. le Mémoire sur les équations algébriques, où l’on démontre l’impossibilité de la résolution de l’équation générale du cinquième
degré de 1824, accessible dans les Œuvres complètes de Niels Henrik Abel aux éditions Jacques Gabay, Tome I, pp. 28-33.
Rappelons que les formules de Cardan pour les équations du troisième degré et la méthode de Ferrari pour celle du
quatrième degré étaient connues depuis le XVIe siècle !
d. cf. O. Rodot, Analyse seconde année, De Boeck (2014).
5. Si E est un ensemble quelconque, alors S(E), ensemble des bijections de E dans E,
que l’on appelle groupe des permutations de E, est un groupe pour la loi ◦, définie
1.1
Groupes
13
par
f ◦g :
E
x
−→ E
7−→ f ◦ g(x) = f g(x) .
Nous verrons (cf. proposition 24 page 42) que si E est un ensemble de cardinal
supérieur ou égal à 3 (a fortiori si E est un ensemble infini), alors le groupe S(E), ◦
n’est pas commutatif.
Un groupe particulièrement étudié est le groupe Sn des permutations de J1, nK.
6. De nombreux exemples de groupes sont issus de la géométrie.
Nous reviendrons dans cet ouvrage sur le groupe orthogonal d’un espace euclidien 12 , c’est-à-dire l’ensemble des applications conservant une norme euclidienne.
Ces groupes sont non commutatifs (à part en dimension 1) ; en revanche, l’ensemble
des rotations du plan (qui correspond à l’ensemble des automorphismes orthogonaux de déterminant 1 dans le plan) est abélien.
L’étude de certains sous-groupes du groupe orthogonal en dimension 3 a permis de
prouver qu’il n’existe que 5 solides platoniciens, c’est-à-dire des polyèdres réguliers
convexes : le tétraèdre régulier (4 faces), l’hexaèdre régulier, ou cube (6 faces),
l’octaèdre régulier (8 faces), le dodécaèdre régulier (12 faces) et enfin l’icosaèdre
régulier (20 faces).
7. L’étude des groupes laissant invariante une molécule a aussi un intérêt en chimie.
Citons la notion de chiralité, correspondant à l’absence de symétrie indirecte d’une
molécule.
Les deux molécules différentes obtenues (l’une et son symétrique), une lévogyre et
une dextrogyre, dites énantiomères, peuvent posséder des propriétés distinctes.
8. L’exercice 1.1 est un exercice classique sur certains groupes, qui sont alors abéliens.
En remarque suivent des exemples d’applications géométriques de cette situation.
9. Soit c > 0. On note G = ]−c, c[ et on définit
∀(v1 , v2 ) ∈ G2 , v1 ∗ v2 =
12. cf. définition 79 page 402.
v1 + v2
v1 v2 ·
1+ 2
c
14
Chapitre 1. Structures algébriques usuelles
v1 + v
v1 v sur ]−c, c[.
1+ 2
c
On observe 13 que cette fonction est strictement croissante, et en calculant les limites
À v1 ∈ G fixé, on étudie la fonction ρ : v 7−→
de ρ aux bornes 14 de G, on conclut que
∀v ∈ G,
v1 + v
v1 v ∈ ]−c, c[.
1+ 2
c
Ainsi, ∗ est une l.c.i. sur G.
En outre, 0 est clairement un élément neutre de (G, ∗).
Enfin, étant donné v dans G et en notant v ′ = −v (l’opposé usuel dans R) on a
v ′ ∈ G et
v ∗ v′ = v′ ∗ v = 0
puisque le numérateur s’annule de manière évidente, donc v ′ = −v est l’inverse de
v pour ∗.
Ainsi, (G, ∗) est un groupe. On pourra noter que, grâce à la commutativité de la
somme et du produit dans R, on a clairement
∀(v1 , v2 ) ∈ G2 , v1 ∗ v2 = v2 ∗ v1 ,
c’est-à-dire que le groupe (G, ∗) est commutatif.
Remarque
Ce dernier exemple ne saurait se restreindre aux mathématiques. Faisons référence aux
transformations de Lorentz 15 pour la vitesse.
On note c > 0 la vitesse de la lumière.
On considère des déplacements le long d’une même droite.
Si un objet se déplace, à la vitesse v2 (avec |v2 | < c) par rapport à un référentiel R′ ,
lui-même en mouvement à la vitesse v1 (avec |v1 | < c) par rapport à un référentiel R, la
théorie de la relativité restreinte prévoit une vitesse de déplacement de cet objet égale
à v1 ∗ v2 par rapport au référentiel R.
Rappelons que la loi de composition des vitesses, en mécanique galiléenne, fournirait une
vitesse égale à v1 + v2 .
13. Le lecteur vérifiera aisément que ρ est dérivable sur G avec ∀v ∈ G, ρ′ (v) > 0.
14. On trouve
lim ρ(v) = −c et lim ρ(v) = −c.
v→(−c)+
v→c−
15. Hendrik Lorentz (1853-1928), physicien néerlandais, co-lauréat (avec Pieter Zeeman) du prix Nobel
de physique en 1902.
1.1
Groupes
15
En mathématiques, cet exemple est presque toujours traité avec c = 1, ce qui correspond
à un adimensionnement.
Définition 5
Soit x un élément d’un groupe (G, ∗). On définit la suite (xn )n∈N par :
x0 = e ; ∀n ∈ N, xn+1 = x ∗ xn .
On notera pour n ∈ N∗
n
x−n = x−1 .
Remarques
1. On a x1 = x, x2 = x ∗ x, x3 = x ∗ x2 = x ∗ (x ∗ x) = (x ∗ x) ∗ x = x2 ∗ x par
associativité.
Ainsi, il aurait également été possible de définir la même suite en posant x0 = e et
pour tout n ∈ N, xn+1 = xn ∗ x.
2. Si le groupe G est commutatif et sa loi notée additivement +, alors on notera ces
itérés de x sous la forme nx au lieu de xn .
Proposition 3
Soit x un élément d’un groupe (G, ∗). Alors :
1. ∀n ∈ N, xn ∗ x−n = e.
2. ∀(m, n) ∈ Z2 , xm+n = xm ∗ xn .
Démonstration
Il s’agit de résultats se démontrant aisément par récurrence (à m fixé pour le second) 16 .
Remarque
On notera que le deuxième point implique que pour tous entiers relatifs n et m, les
éléments xn et xm de G commutent, puisque n + m = m + n implique
xm ∗ xn = xm+n = xn+m = xn ∗ xm .
16. La récurrence s’effectuera normalement pour n ∈ N, et pour n 6 0 on effectue la récurrence sur
k = −n.
16
Chapitre 1. Structures algébriques usuelles
Mais ce deuxième point signifie également qu’en définissant
ϕ :
Z
n
−→
7−→
G
xn
on a la relation ∀(m, n) ∈ Z2 , ϕ(m + n) = ϕ(m) ∗ ϕ(n).
Ainsi 17 , l’application ϕ est un morphisme de groupes.
1.1.2
Sous-groupes
Définition 6
Soient (G, ∗) un groupe (d’élément neutre e) et H une partie de G.
On dit que H est un sous-groupe de (G, ∗) si :
1. e ∈ H (l’élément neutre est dans H) ;
2. ∀(x, y) ∈ H 2 , x ∗ y ∈ H (H est stable par la l.c.i.) ;
3. ∀x ∈ H, x−1 ∈ H (H est stable par inversion).
Proposition 4
Soient (G, ∗) un groupe et H une partie de G.
Alors H est un sous-groupe de G si et seulement si
1. e ∈ H ;
2. ∀(x, y) ∈ H 2 , x ∗ y −1 ∈ H.
Démonstration
On trouvera cette démonstration dans l’ouvrage d’algèbre de première année de la même
collection 18 .
Remarque
On peut remplacer l’hypothèse 1 par l’hypothèse H non vide (H 6= ∅), car en considérant
alors y = x ∈ H le point 2 implique
e = x ∗ x−1 ∈ H.
17. cf. la définition 8.
18. N. Basbois et P. Abbrugiati, Algèbre première année, De Boeck (2013).
1.1
Groupes
17
Proposition 5
Soit H un sous-groupe d’un groupe (G, ∗).
Alors (H, ∗) est un groupe.
Démonstration
La loi ∗ est une loi de composition interne 19 à H par la définition 6.
L’hypothèse d’associativité de la loi ∗ dans G s’écrit
∀(x, y, z) ∈ G3 , (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z).
L’inclusion H ⊂ G implique alors
∀(x, y, z) ∈ H 3 , (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z),
c’est-à-dire que la loi ∗ est associative sur H.
L’élément neutre e de G est élément de H par hypothèse.
Comme
∀x ∈ G, x ∗ e = e ∗ x = x,
l’inclusion H ⊂ G implique
∀x ∈ H, x ∗ e = e ∗ x = x.
Enfin, l’existence d’un inverse (dans H) pour tout élément x de H est directement imposée
dans la définition 6.
Exemples
1. (Z, +) est un sous-groupe de (Q, +), qui est un sous-groupe de (R, +), qui est un
sous-groupe de (C, +).
On en déduit 20 que Z, Q et R sont des sous-groupes de (C, +).
2. {−1, 1}, ]0, +∞[, Q∗ , R∗ sont des sous-groupes de (C∗ , .).
19. On parlera de loi induite sur H.
20. On admettra en effet (la preuve étant évidente) que si H est un sous-groupe d’un groupe (G, ∗) et
que K est un sous-groupe de (H, ∗), alors K est un sous-groupe de (G, ∗).
18
Chapitre 1. Structures algébriques usuelles
3. Soit n ∈ N∗ . On note Un = {z ∈ C, z n = 1} et U = {z ∈ C, |z| = 1}.
Alors (Un , .) est un sous-groupe de (U, .), qui est lui-même un sous-groupe de (C∗ , .).
4. Dans le groupe GLn (K) des matrices carrées inversibles, il existe différents sousgroupes classiques, comme le groupe spécial linéaire
SLn (K) = M ∈ GLn (K), det(M ) = 1 ,
ou encore le groupe orthogonal 21 O(n) et le groupe spécial orthogonal 22 SO(n).
Proposition 6
Soient H1 et H2 deux sous-groupes d’un groupe (G, ∗).
Alors H1 ∩ H2 est un sous-groupe de (G, ∗).
Démonstration
1. Puisque H1 est un sous-groupe de G, l’élément neutre e de G appartient à H1 .
De même, e appartient à H2 .
On en déduit immédiatement que e ∈ H1 ∩ H2 .
2. Soient h et h′ dans H1 ∩ H2 , montrons que h ∗ h′−1 ∈ H1 ∩ H2 .
H1 étant un sous-groupe de G, on sait que h et h′ dans H1 implique h ∗ h′−1 ∈ H1 .
De même, h ∗ h′−1 ∈ H2 du fait que H2 est un sous-groupe de G.
On en déduit que h ∗ h′−1 ∈ H1 ∩ H2 .
Définition 7
Soient g un élément d’un groupe (G, ∗), A et B deux parties de G. On définit les
parties g ∗ A, A ∗ g et A ∗ B de G par
1. g ∗ A = g ∗ x, x ∈ A et A ∗ g = x ∗ g, x ∈ A ;
2. A ∗ B = x ∗ y, (x, y) ∈ A × B .
Proposition 7
Soient H1 et H2 deux sous-groupes d’un groupe commutatif (G, +).
Alors l’ensemble H = H1 + H2 est un sous-groupe de (G, +).
21. cf. définition 81 page 406.
22. cf. définition 82 page 408.
1.1
Groupes
19
Démonstration
1. Puisque H1 est un sous-groupe de G, l’élément neutre e de G appartient à H1 .
De même, e appartient à H2 .
En posant h1 = e ∈ H1 et h2 = e ∈ H2 , on obtient
e = e + e = h1 + h2 ∈ H1 + H2 = H,
donc H contient bien e.
2. Soient h et h′ dans H, montrons que h − h′ ∈ H.
Par définition, il existe (h1 , h2 ) ∈ H1 × H2 tel que h = h1 + h2 .
De même, il existe (h′1 , h′2 ) ∈ H1 × H2 tel que h′ = h′1 + h′2 .
On a alors
h − h′ = (h1 + h2 ) − (h′1 + h′2 ) = h1 + h2 − h′2 − h′1 = (h1 − h′1 ) + (h2 − h′2 )
par commutativité et associativité.
H1 et H2 étant des sous-groupes, on sait que
h′′1 = h1 − h′1 ∈ H1
et h′′2 = h2 − h′2 ∈ H2 ,
ce qui permet de conclure que h − h′ = h′′1 + h′′2 ∈ H.
Remarque
Ces résultats nous resserviront lors de l’étude des idéaux, et notamment de leurs sommes.
Contre-exemple
Ce résultat devient faux dans un groupe non commutatif, comme le montre le contreexemple suivant.
On se place dans (Sn , ◦), groupe des permutations 23 de J1, nK, pour n > 3.
On définit H1 le sous-groupe engendré 24 par la transposition τ1 = (1 2), c’est-à-dire
H1 = {Id, τ1 }.
On définit de même H2 le sous-groupe engendré par la transposition τ2 = (2 3), c’est-àdire
H2 = {Id, τ2 }.
23. On retrouvera la définition des p-cycles et des transpositions dans la définition 18 (p. 42).
24. Ce terme sera précisé dans la définition 10 (p. 28).
20
Chapitre 1. Structures algébriques usuelles
Le produit H = H1 .H2 contient alors les 4 éléments suivants :
Id ◦ Id = Id, Id ◦ τ2 = τ2 , τ1 ◦ Id = τ1 , et τ1 ◦ τ2 = (1 2 3).
Il ne s’agit pas d’un sous-groupe, puisque l’inverse du 3-cycle (1 2 3), qui est le 3-cycle
(1 3 2), n’appartient pas à H.
Proposition 8
Soit H un sous-groupe de (Z, +).
Alors il existe un unique n0 ∈ N tel que H = n0 Z = {n0 k, k ∈ Z}.
Démonstration
Si H = {0}, alors le résultat est vérifié, avec n0 = 0, et seul 0 convient.
Sinon, il existe n ∈ H\{0}. Quitte à remplacer n par −n qui appartient également à H,
on peut supposer n > 0.
On peut alors définir n0 , le plus petit élément de N∗ ∩ H, puisqu’il s’agit d’une partie
non vide de N.
Vérifions que H = n0 Z.
D’une part, puisque n0 ∈ H, alors le sous-groupe de (Z, +) engendré 25 par n0 est contenu
dans H : n0 Z ⊂ H.
Démontrons l’autre inclusion. Soit donc h ∈ H. En effectuant la division euclidienne de
h par n0 , on peut affirmer qu’il existe un unique couple (q, r) ∈ Z2 tel que
h = qn0 + r
avec
0 6 r 6 n0 − 1.
Or h et qn0 sont dans H, donc r = h − qn0 ∈ H.
Si r 6= 0, alors 0 < r < n0 , et ainsi r est un élément de N∗ ∩ H strictement inférieur à
n0 , ce qui contredit la définition de n0 .
On a ainsi r = 0, et par suite h = qn0 ∈ n0 Z, d’où
H ⊂ n0 Z,
l’égalité est ainsi prouvée.
Pour l’unicité, supposons n0 et n′0 éléments de N vérifient n0 Z = n′0 Z.
25. Le sous-groupe de Z engendré par n0 est évidemment n0 Z, cf. la remarque page suivante.
1.1
Groupes
21
Alors n0 ∈ n0 Z = n′0 Z, donc n′0 divise n0 et comme ces nombres sont strictement positifs,
on a n′0 6 n0 .
En échangeant les rôles de n0 et n′0 , on a de même n0 6 n′0 , d’où n0 = n′0 et l’unicité
annoncée est démontrée.
Notons que cette preuve resservira pour l’étude des idéaux de l’anneau (Z, +, .).
Remarque
Réciproquement, il est aisé de vérifier que pour tout entier n0 , l’ensemble n0 Z est un
sous-groupe de (Z, +).
On utilise cette propriété dans la démonstration de la proposition 8, en affirmant que
n0 Z est le sous-groupe de (Z, +) engendré par n0 .
1.1.3
Morphismes de groupes
Définition 8
Soient (G, ∗) et (G ′ , .) deux groupes.
On appelle morphisme de groupes de G dans G′ toute application f : G −→ G ′
compatible avec les lois, c’est-à-dire vérifiant
∀(x, x′ ) ∈ G2 ,
f (x ∗ x′ ) = f (x).f (x′ ).
On dira aussi que :
1. f est un isomorphisme (de groupes) si f est bijective ;
2. f est un endomorphisme 26 du groupe (G, ∗) si (G ′ , .) = (G, ∗) ;
3. f est un automorphisme du groupe (G, ∗) si f est à la fois un isomorphisme et
un endomorphisme, c’est-à-dire si f : (G, ∗) −→ (G, ∗) est un morphisme (de
groupes) bijectif.
26. Pour un endomorphisme, il ne faut pas seulement que l’ensemble soit le même au départ et à
l’arrivée (ce qui correspondrait seulement à G ′ = G comme hypothèse), mais aussi que la loi soit la
même.
22
Chapitre 1. Structures algébriques usuelles
Proposition 9
Soient (G, ∗) et (G ′ , .) deux groupes et f un morphisme de groupes de (G, ∗) dans
(G ′ , .).
On note e et e′ les éléments neutres respectifs de G et G ′ . On a alors :
1. f (e) = e′ ;
−1
2. ∀x ∈ G, f (x−1 ) = f (x)
.
Remarque
Pour mémoriser de tels résultats, on pourra utiliser des phrases du type « l’image de
l’élément neutre par un morphisme est l’élément neutre », ou encore « l’image (par un
morphisme) de l’inverse d’un élément est l’inverse de l’image ».
Démonstration
1. On part de l’égalité e ∗ e = e.
On en déduit f (e).f (e) = f (e ∗ e) = f (e), soit
f (e).f (e) = f (e).
On multiplie cette égalité à gauche par f (e)−1 (comme tout élément de G ′ , f (e)
possède un inverse), on en déduit
f (e)−1 .f (e).f (e) = f (e)−1 .f (e)
et ainsi f (e) = e′ .
2. Soit x ∈ G. On part de x ∗ x−1 = x−1 ∗ x = e, on en déduit grâce au premier point
f (x).f (x−1 ) = f (x ∗ x−1 ) = f (e) = e′ ,
et de même f (x−1 ).f (x) = e′ .
−1
Ainsi, f (x−1 ) est l’inverse de f (x), c’est-à-dire : f (x)
= f (x−1 ).
Proposition 10
Soient (G, ∗), (G ′ , .) et (G ′′ , ⋆) trois groupes, f est un morphisme de groupes de
(G, ∗) dans (G ′ , .) et g est un morphisme de groupes de (G ′ , .) dans (G ′′ , ⋆).
Alors g ◦ f est un morphisme de groupes de (G, ∗) dans (G ′′ , ⋆).
1.1
Groupes
23
Démonstration
Soit (x, x′ ) ∈ G2 .
On sait que f (x ∗ x′ ) = f (x).f (x′ ).
Notons y = f (x) et y ′ = f (x′ ). On sait également que g(y.y ′ ) = g(y) ⋆ g(y ′ ).
On peut alors affirmer que
g ◦ f (x ∗ x′ ) =
=
g f (x ∗ x′ )
g f (x).f (x′ )
=
g(y.y ′ )
=
g(y) ⋆ g(y ′ )
=
g ◦ f (x) ⋆ g ◦ f (x′ ) .
Proposition 11
Soit f un isomorphisme d’un groupe (G, ∗) dans un groupe (G ′, .).
Alors f−1 est un isomorphisme de groupes de (G ′, .) dans (G, ∗).
Démonstration
On sait que f −1 est bijective, la question est uniquement de montrer que f −1 est un
morphisme de groupes.
2
Soit (y, y ′ ) ∈ G ′ , il faut montrer que f −1 (y.y ′ ) = f −1 (y) ∗ f −1 (y ′ ).
On note x = f −1 (y) et x′ = f −1 (y ′ ), donc on a x et x′ dans G tels que
f (x) = y
et
f (x′ ) = y ′ .
Le fait que f est un morphisme de groupes s’écrit
f (x ∗ x′ ) = f (x).f (x′ ) = y.y ′ .
Ainsi, x ∗ x′ est un antécédent de y.y ′ par f bijectif, d’où
f −1 (y.y ′ ) = x ∗ x′ = f −1 (y) ∗ f −1 (y ′ ).
24
Chapitre 1. Structures algébriques usuelles
Exemples
1. L’égalité :
∀(t, t′ ) ∈ R2 ,
exp(t + t′ ) = exp(t). exp(t′ )
signifie que l’application
f :
R
t
−→ ]0, +∞[
7−→ f (t) = exp(t)
est un morphisme du groupe (R, +) dans le groupe ]0, +∞[, . .
Cette application est connue comme étant bijective ; on peut alors affirmer que son
application réciproque, qui n’est autre que le logarithme népérien, est un morphisme
de groupes de ]0, +∞[, . dans (R, +), donc on a aussi l’égalité
∀(y, y ′ ) ∈ ]0, +∞[2 , ln(y.y ′ ) = ln(y) + ln(y ′ )
2. Pour α ∈ R, les applications
fα :
(R, +) −→ (R, +)
x 7−→ αx
et
gα :
]0, +∞[, . −→
]0, +∞[, .
x 7−→ xα
sont des morphismes de groupes.
Il y a d’ailleurs un rapport avec l’exemple précédent, dans la mesure où
gα = exp ◦fα ◦ ln
cf. la formule : ∀y > 0, y α = exp α ln(x) .
En outre, si α ∈ R∗ , fα et gα sont même des isomorphismes de groupes, les isomorphismes réciproques étant respectivement f1/α et g1/α .
3. Si k ∈ Z, l’application z 7−→ z k est un endomorphisme de (U, .).
La même expression définit un endomorphisme 27 de (C∗ , .) ou aussi de (Un , .).
27. Ces applications sont des automorphismes si et seulement si k = ±1.
1.1
Groupes
25
Définition 9
Soit f un morphisme d’un groupe (G, ∗) dans un groupe (G ′ , .).
On appelle noyau de f l’ensemble Ker(f ) défini par :
Ker(f ) = f −1 {e′ } = x ∈ G, f (x) = e′ ,
où e′ désigne l’élément neutre de (G ′ , .).
On appelle image de f l’ensemble Im(f ) défini par :
Im(f ) = f (G) = f (x), x ∈ G = y ∈ G ′ ; ∃x ∈ G, y = f (x) .
Proposition 12
Soit f un morphisme d’un groupe (G, ∗) dans un groupe (G ′ , .). Alors :
1. Ker(f ) est un sous-groupe de (G, ∗) ;
2. f est injectif si et seulement si Ker(f ) ⊂ {e}, où e désigne l’élément neutre de G ;
3. Im(f ) est un sous-groupe de (G ′ , .) ;
4. f est surjectif si et seulement si G ′ ⊂ Im(f ).
Démonstration
1. Nous avons précédemment démontré (cf. le premier point de la proposition 9) que
f (e) = e′ , et ainsi e ∈ Ker(f ).
2
Soit maintenant (x, x′ ) ∈ Ker(f ) .
On a alors 28
f (x ∗ x′−1 ) = f (x).f (x′−1 ) = f (x).f (x′ )−1 = e′ .e′−1 = e′ .e′ = e′ ,
donc x ∗ x′−1 ∈ Ker(f ).
2. Supposons f injectif 29 .
Si x ∈ Ker(f ), alors f (x) = e′ = f (e), et donc par l’injectivité de f , on a x = e,
d’où 30 Ker(f ) ⊂ {e}.
28. Cette fois, on utilise le second point de la proposition 9.
29. Notons que puisque f (e) = e′ , on peut affirmer e ∈ Ker(f ), c’est-à-dire : {e} ⊂ Ker(f ). Mais cette
inclusion, toujours valable, est inutile.
30. Ou, si l’on préfère, Ker(f ) = {e}.
26
Chapitre 1. Structures algébriques usuelles
Réciproquement, supposons Ker(f ) ⊂ {e} et montrons que f est injectif.
Soient x et x′ dans G tels que f (x) = f (x′ ). Alors
f (x ∗ x′−1 ) = f (x).f (x′−1 ) = f (x).f (x′ )−1 = f (x).f (x)−1 = e′ ,
soit x ∗ x′−1 ∈ Ker(f ) = {e}, ou encore x ∗ x′−1 = e.
On en déduit 31 que x = x ∗ e = x ∗ x′−1 ∗ x′ = e ∗ x′ = x′ , d’où x = x′ .
Ainsi, l’injectivité de f est démontrée.
3. On a déjà e′ = f (e) ∈ Im(f ).
2
Soit maintenant (y, y ′ ) ∈ Im(f ) , montrons que y.y ′−1 ∈ Im(f ).
Or il existe (x, x′ ) ∈ G2 tel que y = f (x) et y = f (x′ ).
Alors
y.y ′−1 = f (x).f (x′ )−1 = f (x) ∗ f x′−1 = f x ∗ x′−1 .
Ainsi, en notant x′′ = x ∗ x′−1 , on a un élément x′′ dans G tel que y.y ′−1 = f (x′′ ),
ce qui signifie bien que y.y ′−1 ∈ Im(f ) et achève de prouver que Im(f ) est un
sous-groupe de (G ′ , .).
4. Ce point est évident, puisque f surjective équivaut par définition à G ′ ⊂ f (G), et
que Im(f ) = f (G).
Proposition 13
Soit f un morphisme d’un groupe (G, ∗) dans un groupe (G ′ , .).
1. Si H ′ est un sous-groupe de (G ′ , .), alors f −1 (H ′ ) est un sous-groupe de (G, ∗) ;
2. Si H est un sous-groupe de (G, ∗), alors f (H) est un sous-groupe de (G ′ , .) ;
Démonstration
La preuve 32 est analogue à celle du fait que Ker(f ) et Im(f ) sont des sous-groupes de G
et G′ respectivement.
Exemple
Soient (G, ∗) un groupe, H un sous-groupe de G et g un élément de H.
e = g −1 ∗ H ∗ g, montrons que H
e est un sous-groupe 33 de G.
On considère alors H
31. Il suffit de multiplier à droite par x′ .
32. cf. N. Basbois et P. Abbrugiati, Algèbre première année, De Boeck (2013).
e est obtenu par conjugaison de g sur H.
33. On dit que H
1.1
Groupes
27
Soit l’application
ρ :
G −→ G
x
7−→ g −1 ∗ x ∗ g
Vérifions que ρ est un endomorphisme 34 du groupe G. On a (notamment par associativité) 35
∀(x, y) ∈ G2 ,
ρ(x) ∗ ρ(y) =
=
g −1 ∗ x ∗ g ∗ g −1 ∗ y ∗ g
g −1 ∗ x ∗ g ∗ g −1 ∗ y ∗ g
| {z }
=e
=
g
−1
∗ (x ∗ e) ∗ y ∗ g
=
g −1 ∗ (x ∗ y) ∗ g
=
ρ(x ∗ y).
Il suffit alors de constater que
e = ρ(H)
H
e est un sous-groupe de G.
pour conclure que H
Proposition 14
Soient (G, ∗) et (G ′ , .) deux groupes et f un morphisme de groupes de (G, ∗) vers
(G ′ , .). On suppose G fini.
Alors le cardinal 36 du groupe G est le produit des cardinaux de Ker(f ) et de Im(f ) :
Card(G) = Card Ker(f ) · Card Im(f )
Démonstration
Étant donné g ′ ∈ Im(g), on note Ag′ = f −1 {g ′ } .
Or il existe g0 ∈ G tel que g ′ = f (g0 ). On a alors 37 Ag′ = g0 ∗ Ker(f ).
34. Il s’agit même d’un automorphisme de G, le lecteur pourra aisément vérifier que x 7−→ g ∗ x ∗ g −1
est la réciproque de ρ.
35. On remarquera que pour démontrer que ρ(x ∗ y) = ρ(x)∗ ρ(y), il est plus simple de partir du second
membre.
36. On parlera également d’ordre du groupe G.
37. Comme dans la preuve du deuxième point de la proposition 12, on a
f (x) = g ′ = f (g0 ) ⇐⇒ f (g0−1 ∗ x) = e′ ⇐⇒ g0−1 ∗ x ∈ Ker(f ) ⇐⇒ x ∈ g0 ∗ Ker(f ).
28
Chapitre 1. Structures algébriques usuelles
Comme l’application x 7−→ g0 ∗ x est bijective 38 de G dans lui-même, on en déduit
Card Ag′ = Card Ker(g) .
Or il est évident que l’on peut partitionner G en
G=
G
Ag′ ,
g′ ∈Im(g)
d’où en calculant le cardinal
Card(G)
=
X
Card Ag′
X
Card Ker(g)
g′ ∈Im(g)
=
g′ ∈Im(g)
= Card Im(g) · Card Ker(g) .
Remarques
1. Ce résultat est lié au théorème du rang ; en effet, si E est un espace vectoriel sur un
dim(E)
corps fini K et si dim(E) est finie, alors Card(E) = Card(K)
. Le théorème
du rang équivaudrait au résultat ci-dessus après passage au logarithme 39 .
2. Cette proposition implique au passage que Card Ker(f ) divise Card(G), ce qui
sera généralisé à tout sous-groupe de G, dans le théorème 1 40 page 35.
1.1.4
Sous-groupes engendrés
Définition 10
Soit A une partie d’un groupe (G, ∗). On appelle sous-groupe engendré par A le plus
petit 41 sous-groupe de G contenant A.
38.
39.
40.
41.
Le lecteur vérifiera aisément que y 7−→ g0−1 y en est la réciproque.
Et après division par ln(Card(K)).
Le lecteur pourra noter quelques similitudes entre les deux démonstrations.
Au sens de l’inclusion.
1.1
Groupes
29
Proposition 15
Soit x un élément d’un groupe (G, ∗). Alors le sous-groupe de G engendré par x est
l’ensemble noté (x) défini par
(x) = xn , n ∈ Z .
Démonstration
Soit H un sous-groupe de G contenant x.
Alors H contient x ∗ x = x2 . On déduit de même que H contient x ∗ x2 = x3 et une
récurrence simple permet d’en déduire que pour tout n ∈ N, xn ∈ H.
−1
De plus, on sait 42 que ∀n ∈ N, x−n = xn
∈ H, ce qui prouve que H contient
forcément l’ensemble noté (x).
Par ailleurs, l’application
ϕ :
(Z, +)
n
−→
7−→
(G, ∗)
xn
vérifie ∀(n, m) ∈ Z2 , ϕ(n + m) = ϕ(n) ∗ ϕ(m).
Ainsi, ϕ est un morphisme de groupes et son image (x) est un sous-groupe 43 de G.
Ainsi, tout sous-groupe de G contenant x contient (x), et (x) est lui-même un sous-groupe
de G contenant x. C’est donc bien le plus petit. Ce qui précède permet de conclure que
(x) est bien le plus petit sous-groupe de G contenant x.
Remarque
Ce résultat se généralise.
Si A est une partie d’un groupe (G, ∗), alors le sous-groupe de G engendré par A est 44
n
o
{e} ∪ xn1 1 ∗ xn2 2 ∗ · · · ∗ xnk k ; k ∈ N∗ , (x1 , x2 , ..., xk ) ∈ Ak , (n1 , n2 , ..., nk ) ∈ Zk .
42. Car un sous-groupe est stable par inversion.
43. Grâce à la proposition 12 (p. 25).
44. Le singleton {e} est ajouté uniquement pour parer au cas particulier où A serait vide.
30
1.1.5
Chapitre 1. Structures algébriques usuelles
Le groupe Z/nZ
Définition 11
Soit B l’ensemble des booléens. On appelle relation d’équivalence sur un ensemble E
toute application 45
R :
E2
(x, y)
−→ B
7−→ xRy
qui est :
1. réflexive : ∀x ∈ E, xRx ;
2. symétrique : ∀(x, y) ∈ E 2 , xRy ⇐⇒ yRx ;
3. transitive : ∀(x, y, z) ∈ E 3 , (xRy et yRz) =⇒ xRz.
Définition 12
Soit E un ensemble muni d’une relation d’équivalence R.
Si x ∈ E, on appelle classe d’équivalence de x (sous-entendu pour la relation R) et
l’on note x, ou cl(x), l’ensemble des éléments équivalents à x :
x = cl(x) = y ∈ E, xRy .
Tout élément 46 y de x, c’est-à-dire tout élément y de E tel que xRy est un représentant de x.
Enfin, l’ensemble des classes d’équivalences de E est appelé ensemble quotient, on le
note
E/R = x, x ∈ E .
Proposition 16
Soit E un ensemble muni d’une relation d’équivalence R.
L’ensemble des classes d’équivalences de E forme une partition de E.
45. Pour (x, y) ∈ E 2 , on écrit xRy pour signifier que le booléen xRy est vrai.
46. On notera que tout naturellement, grâce à la réflexivité, x est un représentant de x.
1.1
Groupes
31
Démonstration
Soit x ∈ E.
[
x′ .
E=
[
Puisque x ∈ x par réflexivité, on a x ∈
On en déduit E ⊂
[
x′ .
x′ ∈E
x′ ∈E
L’autre inclusion est immédiate 47 , d’où
x′ .
x′ ∈E
Il reste à montrer que les ensembles x sont égaux ou disjoints.
Soient x et x′ dans E tels que x ∩ x′ 6= ∅.
En notant y ∈ x ∩ x′ , on a xRy et x′ Ry donc par transitivité xRx′ .
On en déduit alors aisément x = x′ par double inclusion.
Remarque
Réciproquement, si l’on se donne une partition (Ai )i∈I d’un ensemble E, alors la relation
R définie par
∀(x, y) ∈ E 2 ,
xRy ⇐⇒
∃i ∈ I : (x, y) ∈ A2i
est une relation d’équivalence, dont les classes d’équivalences sont les Ai .
En d’autres termes, se donner une relation d’équivalence sur E équivaut à se donner une
partition de E.
Définition 13
Soit n ∈ N∗ . Pour x et y dans Z, on dit que x est congru à y modulo n, que l’on note
x ≡ y [n]
ou parfois x ≡ y (mod n)
si x − y est divisible par n, c’est-à-dire si
∃k ∈ Z : x − y = kn.
47. Car chaque x′ est une partie de E.
32
Chapitre 1. Structures algébriques usuelles
Remarque
On pourrait considérer n ∈ Z.
Mais si n = 0, la relation est simplement l’égalité.
Et dans le cas n < 0, la congruence modulo n équivaut à la congruence modulo −n.
C’est pourquoi seul le cas n > 0 (c’est-à-dire n ∈ N∗ ) a été retenu ci-dessus.
Proposition 17
Soit n ∈ N∗ .
La relation « être congru modulo n » est une relation d’équivalence sur Z.
Démonstration
Nous vérifions les trois points dans l’ordre de la définition 11.
1. Réflexivité : soit x ∈ Z. Alors n divise x − x = 0 (il suffit de prendre k = 0), donc
x ≡ x [n].
2. Symétrie : soit (x, y) ∈ Z2 . Supposons x ≡ y [n].
Alors il existe k ∈ Z tel que x − y = kn.
En posant k ′ = −k ∈ Z, on a y − x = k ′ n, donc y ≡ x [n].
En échangeant les rôle de x et y, on a aussi y ≡ x [n] ⇒ x ≡ y [n], d’où finalement
x ≡ y [n] ⇐⇒ y ≡ x [n]
3. Transitivité : soit (x, y, z) ∈ Z3 . On suppose x ≡ y [n] et y ≡ z [n].
Ainsi, il existe k1 et k2 dans Z tels que x − y = k1 n et y − z = k2 n.
On note k = k1 + k2 ∈ Z. En additionnant les deux égalités précédentes, on a
x − z = kn, soit x ≡ z [n].
Définition 14
Soit n ∈ N∗ .
On note Z/nZ l’ensemble quotient de Z par la relation de congruence modulo n.
1.1
Groupes
33
Proposition 18
L’application
2
Z/nZ
−→ Z/nZ
(x, y) 7−→ x + y = x + y
définit une loi de composition interne dans Z/nZ.
Démonstration
Il faut vérifier que le résultat est indépendant des représentants choisis 48 .
Soient donc x, x′ et y, y ′ dans Z tels que x = x′ et y = y ′ , c’est-à-dire tels que
x ≡ x′ [n]
et
x ≡ x′ [n].
Il faut montrer que x + y ≡ x′ + y ′ [n].
Par hypothèse, il existe k1 et k2 dans Z tels que
x − x′ = k1 n
et
y − y ′ = k2 n.
On note k = k1 + k2 ∈ Z.
En additionnant les égalités précédentes, on obtient (x + y) − (x′ + y ′ ) = kn, on a donc
bien
x + y ≡ x′ + y ′ [n],
c’est-à-dire
x + y = x′ + y ′ .
Proposition 19
(Z/nZ, +) est un groupe 49 commutatif à n éléments 50 .
Démonstration
Le fait que 0 ∈ Z est un élément neutre pour + implique sans difficulté que
∀x ∈ Z, x + 0 = x + 0 = x,
48. On dit parfois que la relation d’équivalence modulo n est compatible avec l’addition.
49. La loi + est celle qui a été définie dans la proposition 18.
50. On dira que (Z/nZ, +) est d’ordre n.
34
Chapitre 1. Structures algébriques usuelles
et de même pour 0 + x.
Ainsi, 0 est élément neutre de Z/nZ pour la loi +.
On montrerait de même l’associativité, la commutativité, et l’existence d’un opposé (−x
est l’opposé de x).
Enfin, il est aisé de voir que Z/nZ possède exactement n éléments, et que l’on peut par
exemple écrire
1.1.6
Z/nZ = 0, 1, ..., n − 1 .
Ordre d’un groupe, ordre d’un élément
Définition 15
Soient (G, ∗) un groupe fini et x un élément de G.
1. On appelle ordre du groupe G le cardinal de G.
2. On appelle ordre de x l’ordre du sous-groupe (x) engendré par x.
Proposition 20
L’ordre d de x est également défini par d = inf{k ∈ N∗ , xk = e}.
Démonstration
Introduisons le morphisme de groupes ϕ :
(Z, +) −→ (G, .) .
n 7−→ xn
Si G est fini, ϕ ne peut pas prendre une infinité de valeurs, donc ne peut être injectif.
On a donc Ker(ϕ) qui est un sous-groupe de (Z, +), non réduit à {0}.
Il existe donc n0 ∈ N, n0 > 1, tel que Ker(ϕ) = n0 Z.
Si l’on reprend la preuve de la proposition 8, on sait que n0 est le plus petit élément
strictement positif de Ker(ϕ), c’est-à-dire le plus petit élément k de N∗ tel que
ϕ(k) = xk = e,
donc n0 = d, défini dans la proposition.
Puisque ϕ est n0 = d-périodique,
(x) = Im(ϕ) = ϕ(0), ϕ(1), ..., ϕ(d − 1) ,
1.1
Groupes
35
d’où Card(x) 6 d.
Par ailleurs, les éléments ϕ(0), . . ., ϕ(d − 1) sont deux à deux distincts 51 .
On conclut que (x) = ϕ(0), ϕ(1), ..., ϕ(d − 1) est de cardinal Card (x) = d.
Proposition 21
Si d est l’ordre d’un élément x d’un groupe (G, ∗), alors xn = e équivaut à d divise n.
Démonstration
On utilise le morphisme précédemment défini ϕ, alors xn = e équivaut à n ∈ Ker(ϕ) = dZ,
qui équivaut bien à d divise n.
Théorème 1 (Lagrange 52 (1771) 53,54 )
Soit H un sous-groupe d’un groupe fini (G, .).
Alors l’ordre de H divise l’ordre de G.
Démonstration
Pour g ∈ G, on note gH = {g.h, h ∈ H}.
Montrons que ces ensembles sont soit disjoints, soient égaux.
Soient donc g1 , g2 ∈ G, montrons que g1 H ∩ g2 H = ∅ ou g1 H = g2 H.
Supposons g1 H ∩ g2 H 6= ∅. Ainsi, il existe g0 ∈ g1 H ∩ g2 H.
Comme g0 ∈ g1 H, il existe h1 ∈ H tel que g0 = g1 h1 .
De même, il existe h2 ∈ H tel que g0 = g2 h2 .
−1
On peut alors écrire g2 = g0 h−1
2 = g 1 h1 h2 .
On peut en déduire g2 H ⊂ g1 H.
En effet, soit g ∈ g2 H. Ainsi, il existe h ∈ H tel que g = g2 h.
Alors g = g1 h1 h−1
h ∈ g1 H, et l’inclusion est démontrée.
| {z2 }
∈H
−1
De même, en partant de g1 = g0 h−1
1 = g2 h2 h1 on arrive à prouver g1 H ⊂ g2 H.
51. Sinon il existe 0 6 a < b 6 d − 1 tel que ϕ(b) = ϕ(a), et alors b − a ∈ Ker(ϕ), d’où b − a multiple
de n0 = d, ce qui est absurde puisque 0 < b − a < d.
52. Voir notice biographique page 148.
53. Initialement publié dans les Nouveaux mémoires de l’Académie royale des sciences et belles-lettres
de Berlin (1771), pp. 138-254, réédité dans les Œuvres de Lagrange, tome 3, Paris (1869), pp. 369 et
suivantes.
54. La preuve de Lagrange, antérieure à la définition formelle des groupes, concernait les sous-groupes
de Sn , dont il parvint à démontrer qu’ils divisent Card(Sn ) = n!.
36
Chapitre 1. Structures algébriques usuelles
Finalement, on aboutit à g1 H = g2 H.
Ainsi, les ensembles gH sont bien disjoints ou égaux.
Comme tout élément g ∈ G vérifie g ∈ gH (il suffit de prendre h = e ∈ H), on en déduit
qu’il existe g1 , ..., gk : k éléments de G tels que g1 H, ..., gk H forment une partition de G,
c’est-à-dire : G = g1 H ∪ ... ∪ gk H et les gi H sont deux à deux distincts.
Ce résultat se note G =
k
G
(gi H).
i=1
On en déduit alors Card(G) = Card(g1 H) + · · · + Card(gk H).
Or si l’on fixe g ∈ G, on a Card(gH) = Card(H) puisque l’application
H
h
−→ gH
7−→ gh
est bijective.
On arrive ainsi à Card(G) = k.Card(H).
On peut bien conclure que Card(H) divise Card(G).
Corollaire 1
Soit x un élément d’un groupe fini G et N = Card(G) l’ordre de G. Alors
1. l’ordre de x divise l’ordre de G ;
2. xN = e.
Démonstration
Il suffit d’appliquer le théorème précédent à H = (x), sous-groupe de G engendré par x.
Il existe une autre preuve, suggérée par le programme officiel, et qui est plus courte
(et qui n’utilise pas le théorème précédent), mais qui n’est valable que dans le cas d’un
groupe commutatif.
On note N = Card(G) et g1 , ..., gN les N éléments deux à deux distincts de G.
On fixe également x ∈ G.
On calcule
P =
N
Y
k=1
gk =
Y
g∈G
g,
1.1
Groupes
37
le produit des N éléments de G.
Comme g 7−→ gx est une bijection de G dans G, on peut écrire
P =
Y
g∈G
xg = (xg1 ) · · · (xgN ).
Par commutativité, on réécrit
P = x · · · x.(g1 · · · gN ) = xN P.
Il suffit de multiplier cette égalité par P −1 (dans un groupe, tout élément est inversible)
pour en déduire xN = e.
Par la proposition 21, on en déduit que l’ordre de x divise N = Card(G).
Définition 16
On dit qu’un groupe est monogène s’il existe x0 ∈ G tel que G = (x0 ).
Proposition 22
Soit G un groupe monogène. Alors deux cas se présentent :
1. Si G est infini, alors G est isomorphe à Z.
2. Si G est d’ordre fini n, alors G est isomorphe à Z/nZ.
Démonstration
Le groupe G étant monogène, il existe x0 ∈ G tel que G = (x0 ) = x0 k , k ∈ Z .
1. Supposons G infini.
On considère l’application ϕ :
Z −→ G
k 7−→ x0 k
Il est clair que ϕ est un morphisme de groupes de (Z, +) dans (G, ∗).
Le fait que x0 engendre G signifie que ϕ est surjectif.
Il reste à démontrer l’injectivité de ϕ. Il s’agit de vérifier 55 que Ker(ϕ) ⊂ {0}.
Soit donc n0 ∈ Ker(ϕ), c’est-à-dire n0 ∈ Z tel que ϕ(n0 ) = xn0 = e.
Quitte à remplacer n0 par −n0 , on peut supposer n0 > 0.
Supposons n0 > 0.
55. D’après la proposition 12 (p. 25).
38
Chapitre 1. Structures algébriques usuelles
Pour tout élément n de Z, on effectue la division euclidienne de n par n0 .
Il existe alors (q, r) ∈ Z2 tels que n = n0 q + r et 0 6 r < n0 .
Et on a ϕ(n) = x0 n0 q+r = (x0 n0 )q ∗ x0 r = eq ∗ x0 r = x0 r .
Ainsi, G = Im(ϕ) ⊂ {x0 , x1 , ..., xn0 −1 }, ce qui contredit le fait que G est infini.
Nous pouvons donc affirmer que n0 = 0, et par suite Ker(ϕ) ⊂ {0}, donc ϕ est bien
injectif et réalise ainsi un isomorphisme de groupes de (Z, +) dans (G, ∗).
2. Supposons G fini, notons n le cardinal de G.
′
On sait que si n divise k − k ′ , alors xk = xk .
′
Ainsi, dans Z/nZ, si k = k ′ , on peut noter ψ(k) = x0 k = x0 k = ψ(k ′ ).
On arrive donc à définir une application 56 sur Z/nZ.
On sait que ∀g ∈ G, ∃k ∈ Z tel que g = ψ(k), donc ψ est surjective.
′
′
Les égalités x0 k+k = x0 k .x0 k « passent à la classe » et font que ψ est un morphisme
de groupes.
Enfin, l’application ψ étant surjective entre deux ensembles de même cardinal fini,
elle est bijective et donc ψ est un isomorphisme de groupes.
Exemple
Soit n ∈ N∗ .
On rappelle que Un = z ∈ C, z n = 1 = e2ikπ/n , k ∈ Z .
Le groupe (Un , .) est isomorphe à (Z/nZ, +).
En effet, si l’on note ω = e2iπ/n , alors
(Z/nZ, +) −→ Un
x
7−→ ω x = e2ixπ/n
réalise un isomorphisme.
Il faut notamment vérifier que cette application est bien définie : si x = x′ alors il existe
k ∈ Z tel que x′ = x + kn.
On a alors
2ix′ π
2ixπ
′
=
+ 2ikπ, et comme k ∈ Z, e2ikπ = 1 et ainsi e2ixπ/n = e2ix π/n .
n
n
Mais il est inutile de prouver quoi que ce soit, puisque Un est un groupe monogène d’ordre
n engendré par ω.
56. La valeur de ψ(k) dépend de k mais pas du choix de son représentant k.
1.1
Groupes
39
Remarque
La proposition se généralise ainsi : si ψ est un morphisme de (Z, +) dans un groupe
(G, ∗), alors :
• Si ψ est injectif, ψ réalise évidemment un isomorphisme de (Z, +) sur Im(ψ), ∗ .
• Si ψ n’est pas injectif, alors Ker(ψ) est un sous-groupe de (Z, +), donc il existe
n0 ∈ N∗ tel que Ker(ψ) = n0 Z.
On peut montrer que l’on peut définir
ψ′ :
Z/n0 Z −→ G
k
7−→ ψ ′ (k) = ψ(k)
ψ ′ réalise alors un isomorphisme de (Z/n0 Z, +) sur Im(ψ).
1.1.7
Le groupe symétrique
Le but de cette partie est l’étude du groupe symétrique, avec un objectif notable : la
définition d’un morphisme, appelé signature, qui trouvera une application capitale dans
la définition et le calcul des déterminants.
Définition 17
Soit n ∈ N∗ . On appelle groupe symétrique d’ordre n, et l’on note Sn , l’ensemble des
permutations de J1, nK, c’est-à-dire l’ensemble des bijections de J1, nK dans lui-même,
muni de la loi de composition.
Proposition 23
Le groupe (Sn , ◦) est d’ordre n!.
Plus généralement, si n > p, l’ensemble des injections d’un ensemble à p éléments
n!
dans un ensemble à n éléments a pour cardinal n(n − 1)...(n − p + 1) =
·
(n − p)!
Remarque
Le terme « d’ordre n » dans la définition du groupe symétrique est trompeur, puisque
l’ordre (c’est-à-dire le cardinal) de ce groupe est n! et pas n.
40
Chapitre 1. Structures algébriques usuelles
La figure d’Évariste Galois est mythique dans le monde
des mathématiques.
Entré au collège Louis-le-Grand en 1823, en classe de
quatrième a , il se distingue en classe de troisième ; mais il
commence à connaître une crise morale profonde. Son travail commence alors à se dégrader et après un début de
première médiocre, il doit retourner en seconde. Toutefois
il peut intégrer la classe de première année de mathémab
Évariste Galois tiques supérieures . Dès qu’il prend conscience de ses capacités, il entreprend la lecture des grands maîtres : Le(1811–1832)
gendre, Lagrange, Gauss. . . Il étudie les questions de résolutions algébriques des équations.
Il a pour but d’entrer à l’École polytechnique. Il s’y présente un an trop tôt, est refusé, ce qu’il trouve injuste. En 1829, il publie son premier Mémoire et présente un
premier travail à l’Académie des sciences par l’intermédiaire de Cauchy qui l’aurait perdu. C’est pour Évariste une seconde injustice. Il vivra son second échec au
concours d’entrée de Polytechnique comme une troisième injustice.
Galois réussit son entrée à l’École préparatoire c. Il y poursuit ses recherches et en
communique les résultats à l’Académie des sciences en 1830.
Joseph Fourier, secrétaire perpétuel de l’Académie emporte le manuscrit chez lui et
meurt sans avoir rendu son jugement. Le manuscrit n’ayant pas été retrouvé, Galois ne peut entrer en compétition. Il est renvoyé de l’École normale en décembre
1830 après avoir fait publier par un journal une critique sur l’attitude du directeur
de l’École. Ses recherches aboutissent à un mémoire sur les conditions de résolubilité
des équations par radicaux d .
C’est un militant actif, emprisonné à plusieurs reprises jusqu’à sa mort. En raison
de sa mauvaise santé, il lui est permis de sortir de prison. Il connaît un amour cruel
qui semble être à l’origine d’un duel inévitable.
Durant sa dernière nuit, il rédige une lettre, destinée à son ami Auguste Chevalier,
dans laquelle il résume ses découvertes. Évariste Galois meurt le 31 mai 1832 : il
n’avait pas encore 21 ans.
Ce n’est qu’en 1843 que le mathématicien Joseph Liouville a la volonté et la patience
de démêler ses travaux. Il parvient à les publier en 1846 dans sa revue e .
À partir de ce moment, les idées novatrices de Galois et leur puissance sont reconnues. Le concept phare introduit par Galois, celui de groupe, a profondément
influencé l’algèbre durant de nombreuses décennies.
a. Pour les éléments biographiques mentionnés ici et de nombreux autres, cf. le travail de P. Dupuy : la vie d’Évariste
Galois, annales scientifiques de l’E.N.S., 3ème série 13 (1896), pp. 197-266
b. Le programme du lycée de l’époque, menant au baccalauréat, était essentiellement littéraire. Il se concentrait en effet
sur les disciplines suivantes : langues anciennes, rhétorique, logique, morale, philosophie, sciences mathématiques,
physiques. Il était alors possible, sans avoir le baccalauréat, de suivre en parallèle les études correspondant aux classes
préparatoires scientifiques actuelles.
c. Nom de l’École normale de 1826 jusqu’à la Révolution de Juillet, date à laquelle l’École retrouve son appellation
originelle de 1794.
d. Journal de mathématiques pures et appliquées, tome 11 (1846), pp. 417-433. Le manuscrit est daté de 1831.
e. Œuvres mathématiques d’Évariste Galois, Journal de mathématiques pures et appliquées, tome 11 (1846), pp. 381-445.
1.1
Groupes
41
Démonstration
On note E = {x1 , x2 , x3 , ..., xp } un ensemble à p éléments. Pour définir une injection f
de E dans un ensemble F à n éléments :
• On choisit la valeur de f (x1 ) quelconque dans F , il y a donc n possibilités.
• On choisit la valeur de f (x2 ), qui doit être différente de f (x1 ), donc appartenir à
F \ f (x1 ) , il y a donc n − 1 possibilités.
• On choisit la valeur de f (x3 ), qui doit être différente de f (x1 ) et de f (x2 ), c’est-à
dire appartenir à F \ f (x1 ), f (x2 ) , il y a donc n − 2 possibilités.
• On continue ainsi de suite avec f (x4 ), . . ., f (xp−1 ).
• Enfin, on choisit la valeur de f (xp ) dans F \ f (x1 ), f (x2 ), ..., f (xp−1 ) , ce qui laisse
n − (p − 1) choix.
On arrive finalement bien à n(n − 1)(n − 2) · · · (n − p + 1) possibilités.
Dans le cas de Sn , on sait qu’une application entre deux ensembles de même cardinal fini
(n en l’occurrence) est bijective si et seulement si elle est injective, ce qui correspond à
prendre p = n dans le résultat précédent, et donne bien les n! éléments annoncés.
42
Chapitre 1. Structures algébriques usuelles
Certaines permutations jouent un rôle particulier. Il s’agit des cycles que l’on définit
ci-après.
Définition 18
Soient a1 , a2 , . . ., ap , p éléments deux à deux distincts de J1, nK.
On définit l’élément σ, que l’on note σ = (a1 a2 ... ap ), par



 σ(a1 ) = a2 ,



 σ(a2 ) = a3 ,




..

.

 σ(ap−1 ) = ap ,






σ(ap ) = a1



 et ∀x ∈ J1, nK\{a , a , ..., a }, σ(x) = x.
1 2
p
Un tel élément est appelé cycle de longueur p (ou p-cycle).
Les cycles de longueur 2 sont appelés transpositions.
Ainsi, si a, b sont deux éléments distincts de J1, nK, la transposition τ = (a b) est
définie par
τ (a) = b ; τ (b) = a et ∀x ∈ J1, nK\{a, b}, τ (x) = x.
Proposition 24
Si n > 3, alors Sn n’est pas commutatif.
Démonstration
En calculant séparément les images de 1, de 2, de 3 et de tout élément de J1, nK\{1, 2, 3}
on peut vérifier que
(1 2) ◦ (2 3) = (1 2 3)
et
(2 3) ◦ (1 2) = (1 3 2)
et ainsi 57 (1 2) ◦ (2 3) 6= (2 3) ◦ (1 2).
57. Le plus simple pour vérifier que ces 3-cycles sont différents est de montrer que l’image de 1 est 2
pour l’une et 3 pour l’autre.
En effet, un p-cycle peut s’écrire de p façons différentes, par exemple (1 2 3) = (2 3 1) = (3 1 2).
1.1
Groupes
43
Remarque
Il est évident que si E est un ensemble fini de cardinal Card(E) > 3 ou un ensemble
infini, alors de même (S(E), ◦) n’est pas commutatif
Proposition 25
Un p-cycle est un élément d’ordre p.
Démonstration
Soit un p-cycle σ = (a1 a2 ... ap ) avec a1 , . . ., ap p éléments deux à deux distincts de
J1, nK. Il faut montrer que σ 6= Id, . . ., σ p−1 6= Id et σ p = Id :
• L’image de a1 par σ est σ(a1 ) = a2 6= a1 , donc σ 6= Id.
• L’image de a1 par σ 2 est σ 2 (a1 ) = σ(a2 ) = a3 6= a1 , donc σ 2 6= Id.
• L’image de a1 par σ 3 est σ 3 (a1 ) = σ(a3 ) = a4 6= a1 , donc σ 3 6= Id.
• On continue ainsi de suite avec σ 4 , . . ., σ p−2 .
• L’image de a1 par σ p−1 est σ p−1 (a1 ) = σ(ap−1 ) = ap 6= a1 , donc σ p−1 6= Id.
• L’image de a1 par σ p est σ p (a1 ) = σ(ap ) = a1 , et on vérifie aisément que ∀i ∈ J1, pK,
σ p (ai ) = ai .
Enfin, puisque sur J1, nK\{a1 , ..., ap }, σ coïncide avec Id, il en est de même de σ p .
On peut ainsi affirmer que σ p = Id alors que σ 6= Id, . . ., σ p−1 6= Id.
Définition 19
Soit σ ∈ Sn . On appelle support de σ l’ensemble
x ∈ J1, nK, f (x) 6= x .
Remarque
Il est évident que le support d’un p-cycle σ = (a1 a2 ... ap ) avec a1 , . . ., ap p éléments
deux à deux distincts de J1, nK est {a1 , a2 , ..., ap }.
Enfin, le théorème suivant indique que les cycles, et même les transpositions, suffisent à
engendrer le groupe des permutations.
44
Chapitre 1. Structures algébriques usuelles
Théorème 2
On a les résultats suivants :
1. Toute permutation se décompose en produit de cycles de supports deux à deux
disjoints.
En outre, cette décomposition est unique (à l’ordre près)
2. Tout cycle de longueur p est la composée de p − 1 transpositions.
3. Toute élément de Sn est la composée d’au plus n − 1 transpositions.
Démonstration
1. Cette preuve est à retenir, car « constructiviste » : en suivant la méthode employée,
on peut concrètement obtenir la décomposition d’une permutation donnée.
D’ailleurs, un algorithme implémenté sous Python est présenté un peu plus loin
dans cet ouvrage.
Soit donc f ∈ Sn . Notons déjà que Sn étant d’ordre fini (N = n!), on sait que
f N = Id (en tout cas, f est d’ordre fini).
Soit x0 ∈ J1, nK.
On considère les images itérées de x0 par f : x0 , f (x0 ), f 2 (x0 ) = f f (x0 ) , en
poursuivant jusqu’à ce que l’on retombe pour la première fois sur x0 .
En d’autres termes, on considère p tel que f (x0 ), f 2 (x0 ), . . ., f p−1 (x0 ) soient différents de x0 , et que f p (x0 ) = x0 .
On pourra noter que l’ensemble des valeurs successives de x0 est appelé l’orbite de
x0 par f .
On définit alors le cycle cx0 = x0 f (x0 ) f 2 (x0 ) ... f p−1 (x0 ) .
Il est alors clair que f et cx0 coïncident sur x0 , f (x0 ), f 2 (x0 ), ..., f p−1 (x0 ) .
On considère alors c1 obtenu avec x0 = 1, puis cx1 obtenu avec x1 dans J1, nK
privé du support de c1 (en général, on prend le minimum de cet ensemble), puis
cx2 obtenu avec x2 dans J1, nK privé des supports de c1 et de cx1 , et ainsi de suite
jusqu’à épuisement total de l’ensemble J1, nK.
Alors f est la composée des cycles c1 , cx1 , cx2 , . . . obtenus.
S’il y a un ou plusieurs cycles de longueur 1 (qui correspondraient donc à des points
fixes de f ), on ne les écrit généralement pas 58 puisqu’un 1-cycle est l’identité.
58. C’est l’option qui a été choisie dans la procédure présentée.
1.1
Groupes
45
Quant à l’unicité de la décomposition, nous l’admettons.
2. Soit un p-cycle σ = (a1 a2 a3 ... ap−1 ap ).
Il est aisé de vérifier 59 que σ = (a1 a2 ) ◦ (a2 a3 ) ◦ · · · ◦ (ap−1 ap ).
3. Il suffit de combiner les deux points précédents.
Exemple
Dans S9 , on considère la permutation notée

1 2 3 4 5 6
f =
7 8 4 6 5 3
7 8
9
9 2
1

.
Cette écriture se lit par colonne et signifie f (1) = 7, f (2) = 8, . . ., f (9) = 1 sous un k
de la première ligne, il y a f (k) .
Les images successives de 1 sont
f
f
f
1 7−→ 7 7−→ 9 7−→ 1,
donc f coïncide avec le 3-cycle (1 7 9) sur l’ensemble 60 {1, 7, 9}.
Les images successives de 2 sont
f
f
2 7−→ 8 7−→ 2,
qui correspond au 2-cycle (c’est-à-dire à la transposition) (2 8).
Les images successives de 3 sont
f
f
f
3 7−→ 4 7−→ 6 7−→ 3,
qui correspond au 3-cycle (3 4 6).
Enfin, 5 est un point fixe (le 1-cycle (5) correspond à l’identité).
On peut donc écrire
f = (1 7 9) ◦ (2 8) ◦ (3 4 6),
ou éventuellement
f = (1 7 9) ◦ (2 8) ◦ (3 4 6) ◦ (5).
59. Il ne faut pas omettre de vérifier qu’il y a égalité sur J1, nK\{a1 , a2 , ..., ap }. Ce point est évident
car chaque permutation qui apparaît coïncide avec l’identité sur cet ensemble.
60. Cet ensemble des valeurs successives prises par les itérées de f en 1 s’appelle l’orbite de 1 par la
permutation f .
46
Chapitre 1. Structures algébriques usuelles
Si l’on veut passer aux transpositions, on sait que
(1 7 9) = (1 7) ◦ (7 9)
et
(3 4 6) = (3 4) ◦ (4 6),
d’où finalement
f = (1 7) ◦ (7 9) ◦ (2 8) ◦ (3 4) ◦ (4 6).
Passons à la programmation sous Python de ces décompositions.
Pour transmettre une permutation f , on envoie juste la liste [f (1), f (2), ..., f (n)], ce qui
correspond à la deuxième ligne de la notation introduite précédemment.
Algorithme 1 - Décompositions d’une permutation
def decompose_en_cycles(s) :
decomp=[ ]
atteints=[ ]
k=0
while k<len(s)-1 :
k=k+1
if not (k in atteints) :
cycle=[k]
atteints=atteints+[k]
suivant=s[k-1]
while suivant !=k :
cycle=cycle+[suivant]
atteints=atteints+[suivant]
suivant=s[suivant-1]
if len(cycle)>1 :
decomp=decomp+[cycle]
return(decomp)
Index
A
multilinéaire, 117
auto-adjoint (endomorphisme —), 448
Abel (notice biographique), 12
automorphisme
de groupes, 21
abélien (groupe —), 11
orthogonal, 403
adjoint d’un endomorphisme, 447
algèbre(s)
axe d’une rotation dans l’espace, 438
définition d’une —, 73
B
morphisme d’—, 74
algorithme
de calcul d’une signature, 50
de calcul de déterminant, 145
de calcul de l’indicatrice d’Euler, 66
de décomposition d’une permutation, 46
de décomposition primale d’un nombre, 65
de Gram-Schmidt, 392
du crible d’Eratosthène, 64
alternée (application —), 119
angle orienté (mesure d’un —), 418
anneau(x)
commutatif, 52
définition d’un —, 51
intègre, 53
inversibles d’un —, 52
morphisme d’—, 53
principal, 55, 67
base
antéduale, 184
coordonnées dans une — orthonormée, 379
définition d’une —, 99
directe, 156
duale, 179
indirecte, 156
orthonormée, 378, 474
produit scalaire dans une — orthonormée, 379
Bessel
fonction de —, 214
inégalité de —, 387, 479
notice biographique, 214
bidual, 182
bilinéaire (forme —), 340
pseudo- —, 51
C
annulateur
idéal —, 77
polynôme —, 77
antéduale (base —), 184
antisymétrique (application —), 119
application
alternée, 119
antisymétrique, 119
canonique (produit scalaire —), 343
caractéristique
d’un corps, 72
polynôme —, 234
Cauchy
inégalité de — -Schwarz, 359, 467
510
INDEX
notice biographique, 120
définition du — pour une application linéaire,
théorème de — -Lipschitz, 280
135
définition du — pour une famille, 125
Cayley
notice biographique, 223
théorème de — -Hamilton, 266
chinois (théorème des restes —), 60
classes d’équivalence, 30
cofacteur(s), 131
de Vandermonde, 141
définition du — d’une matrice carrée, 128
diagonale
déterminant d’une matrice —, 139
matrice à — strictement dominante, 172
matrice des —, 135
colonne propre, 225
diagonalisable
endomorphisme —, 242
matrice —, 242
comatrice, 135
combinaisons linéaires, 95
commutatif
diagonalisation
d’une projection, 243, 244, 256
anneau —, 52
groupe —, 11
composition (loi de — interne), 8
d’une symétrie, 243, 244, 256
théorème de — simultanée, 259
directe
congruence (relation de —), 31
base —, 156
conjugaison, 26
isométrie —, 412
convexité, 366
isométrie — de l’espace, 436
somme — de sous-espaces, 106
stricte, 366
coordonnée(s)
somme — orthogonale, 396, 472
d’un vecteur, 99
distingué (sous-groupe —), 81
dans une base orthonormée, 379
division vectorielle, 435
du produit vectoriel, 429
dominante (matrice à diagonale strictement —), 172
fonctions —, 99
double produit vectoriel, 434
dual(e)
corps
caractéristique d’un —, 72
base —, 179
définition d’un —, 69
espace — (algébrique), 175
gauche, 69
espace — (topologique), 175
crible d’Eratosthène (algorithme du —), 64
E
cycle(s)
décomposition en —, 44
définition d’un —, 42
cyclotomiques (polynômes —), 71
D
élément (ordre d’un —), 34
élément neutre d’un groupe, 8
éléments propres
d’un endomorphisme, 222
d’une matrice, 225
décomposition
endomorphisme
algorithme de — d’une permutation, 46
adjoint d’un —, 447
algorithme de — primale d’un nombre, 65
auto-adjoint, 448
d’une permutation, 44
de groupes, 21
définie
déterminant d’un —, 134
forme bilinéaire — positive, 340
diagonalisable, 242
forme sesquilinéaire — positive, 462
éléments propres d’un —, 222
déterminant
hermitien, 483
algorithme de calcul d’un —, 145
induit, 215
d’un endomorphisme, 134
orthogonal, 399
d’une matrice diagonale, 139
sous-espace propres d’un —, 222
d’une matrice triangulaire, 139
symétrique, 448
d’une transposée, 130
trace d’un —, 116
511
INDEX
valeur propre d’un —, 222
multilinéaire, 118
vecteurs propres d’un —, 222
engendré
sesquilinéaire, 462
forme linéaire
idéal —, 55
représentation d’une — dans un espace eucli-
sous-espace vectoriel —, 96
sous-groupe—, 28
dien, 397
Fréchet (théorème de Riesz- —), 459
ensemble quotient, 30
G
équivalence
classes d’—, 30
relation d’—, 30
Eratosthène (algorithme du crible d’—), 64
Galois (notice biographique), 40
gauche (corps —), 69
espace
de Hilbert, 339, 459
dual (algébrique), 175
génératrice (famille —), 96
Gershgorin
notice biographique, 305
dual (topologique), 175
théorème de —, 304
euclidien, 341
hermitien, 463
Gram
préhilbertien réel, 341
algorithme de — -Schmidt, 392
préhilbertien complexe, 463
notice biographique, 390
procédé de — -Schmidt, 389
euclidien(ne)
espace —, 341
norme —, 365
groupe(s)
abélien, 11
automorphisme de —, 21
Euler
algorithme de calcul de l’indicatrice d’—, 66
commutatif, 11
fonction indicatrice d’—, 59
définition d’un —, 8
théorème d’—, 60
des inversibles, 52
exponentielle de matrice, 270
des permutations, 12, 39
endomorphisme de —, 21
F
isomorphisme de —, 21
monogène, 37
morphisme de —, 21
famille
ordre d’un —, 27, 34
d’éléments d’un ensemble, 94
génératrice, 96
libre, 96
liée, 96
orthogonale, 373, 472
orthonormée, 376, 473
presque toute nulle, 94
totale, 389
orthogonal, 13, 18, 402, 406
sous- —, 16
sous- — distingué, 81
spécial linéaire, 18
spécial orthogonal, 18, 408
symétrique, 39
unitaire, 481
H
Fermat
notice biographique, 61
Fermat
petit théorème de —, 60
fonction(s)
coordonnées, 99
de Bessel, 214
indicatrice d’Euler, 59
fondamental (système — de solutions), 285, 292
Hadamard
lemme d’ —, 173
notice biographique, 174
Hamilton
notice biographique, 265
théorème de Cayley- —, 266
Hermite (polynômes de —), 358, 395
forme
bilinéaire, 340
hermitien(ne)
512
INDEX
endomorphisme, 483
espace —, 463
vectorielle, 412
isomorphisme de groupes, 21
forme sesquilinéaire —, 462
J
matrice —, 482
norme —, 469
Hilbert
espace de —, 339, 459
notice biographique, 342
hyperplan, 175
Jordan
notice biographique, 311
théorème de —, 309
K
I
Kronecker (symbole de —), 179
idéal
annulateur, 77
L
définition d’un —, 54
engendré, 55
principal, 55
identité(s)
Lagrange
identité de —, 435
de Lagrange, 435
notice biographique, 148
de polarisation, 369, 471
théorème d’interpolation de —, 147
du parallélogramme, 369, 471
théorème de —, 35
image d’un morphisme de groupes, 25
Laguerre (polynômes de —), 357, 395
indicatrice d’Euler
Legendre (polynômes de —), 356, 394
algorithme de calcul de l’—, 66
fonction —, 59
indices d’une famille, 94
indirecte
lemme
d’Hadamard, 173
des noyaux, 170
liée (famille —), 96
base —, 156
libre (famille —), 96
isométrie —, 412
linéaire(s)
isométrie — du plan, 421
induit
endomorphisme —, 215
produit scalaire —, 341
inégalité
de Bessel, 387, 479
combinaisons —, 95
groupe spécial —, 18
Lipschitz
notice biographique, 279
théorème de Cauchy- —, 280
loi de composition interne, 8
de Cauchy-Schwarz, 359, 467
M
de Minkowski, 363, 469
triangulaire, 363, 469
intègre (anneau —), 53
interne (loi de composition —), 8
matrice(s)
interpolation de Lagrange (théorème d’—), 147
à diagonale strictement dominante, 172
inverse dans un groupe, 9
des cofacteurs, 135
inversibles
diagonalisable, 242
d’un anneau, 52
éléments propres d’une —, 225
groupe des —, 52
exponentielle de —, 270
isométrie
hermitienne, 482
directe, 412
orthogonale, 405
directe de l’espace, 436
sous-espace propres d’une —, 225
indirecte, 412
trace d’une —, 114
indirecte du plan, 421
valeur propre d’une —, 225
513
INDEX
vecteurs propres d’une —, 225
mesure d’un angle orienté, 418
minimal (polynôme —), 77, 169
somme directe —, 396, 472
symétrie —, 480
orthogonales
matrices —, 405
Minkowski
inégalité de –, 363, 469
notice biographique, 364
parties —, 382
orthogonaux
mixte (produit —), 425
polynômes —, 393
modulo (relation —), 31
supplémentaires —, 385
monogène (groupe —), 37
vecteurs —, 370
orthonormalisation
morphisme
d’algèbre, 74
d’anneaux, 53
procédé d’ — de Gram-Schmidt, 389
orthonormée
de groupes, 21
base —, 378, 474
image d’un — de groupes, 25
coordonnées dans une base —, 379
noyau d’un — de groupes, 25
famille —, 376, 473
produit scalaire dans une base —, 379
multilinéaire
application —, 117
P
application — alternée, 119
application — antisymétrique, 119
forme —, 118
N
parallélogramme (identités du —), 369, 471
parties orthogonales, 382
permutation(s)
algorithme de décomposition d’une —, 46
définition d’une —, 39
norme
euclidienne, 365
groupe des, 12, 39
hermitienne, 469
signature d’une —, 48
normé (vecteur —), 376, 473
support d’une —, 43
polarisation (identités de —), 369, 471
noyau(x)
d’un morphisme de groupes, 25
lemme des —, 170
nulle (famille presque toute —), 94
polynôme(s)
annulateur, 77, 165
caractéristique, 234
cyclotomiques, 71
O
d’une matrice diagonale, 164
dans une algèbre, 74
de Hermite, 358, 395
opposé, 11
de Laguerre, 357, 395
orbite, 45
de Legendre, 356, 394
ordre
de Tchebychev, 357, 395, 499
d’un élément, 34
d’un groupe, 27, 34
d’une valeur propre, 246
orientation, 154, 156
orthogonal
automorphisme —, 403
endomorphisme, 399
groupe —, 13, 18, 402, 406
groupe spécial —, 18, 408
orthogonale
famille —, 373, 472
projection —, 385, 477
minimal, 77, 169
orthogonaux, 393
positive
forme bilinéaire définie —, 340
forme sesquilinéaire définie —, 462
préhilbertien
espace — complexe, 463
espace — réel, 341
presque tout nulle (famille —), 94
primale (algorithme de décomposition —), 65
principal
anneau —, 55, 67
514
INDEX
idéal —, 55
procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt, 389
théorème de — -Fréchet, 459
rotation
axe d’une — dans l’espace, 438
produit
mixte, 425
dans l’espace, 436
scalaire complexe, 462
dans le plan, 415
scalaire réel, 340
S
vectoriel, 427
produit scalaire
canonique, 343
dans une base orthonormée, 379
induit, 341
scalaire
produit — complexe, 462
produit — réel, 340
produit vectoriel
coordonnées du —, 429
double —, 434
projection
définition d’une —, 110
diagonalisation d’une —, 243, 244, 256
orthogonale, 385, 477
propre
Schmidt
algorithme de Gram- —, 392
notice biographique, 466
procédé de Gram- —, 389
Schrödinger
équation de —, 214
note biographique, 214
Schwarz
colonne —, 225
valeur — d’un endomorphisme, 222
valeur — d’une matrice, 225
vecteur — d’un endomorphisme, 222
vecteur — d’une matrice, 225
pseudo-anneau, 51
puissances des éléments dans un groupe, 15
Pythagore
inégalité de Cauchy- —, 359, 467
notice biographique, 362
semi-norme, 349
sesquilinéaire (forme —), 462
signature
algorithme de calcul d’une —, 50
d’une permutation, 48
simultanée (théorème de diagonalisation —), 259
notice biographique, 371
théorème de —, 371, 472
Q
quotient (ensembles —), 30
somme
de sous-espaces, 106
directe de sous-espaces, 106
directe orthogonale, 396, 472
sous-espace(s)
caractéristique, 306
propres d’un endomorphisme, 222, 225
R
stable, 215
supplémentaires, 109
vectoriel engendré, 96
réflexion, 412
sous-groupe(s)
réflexive (relation —), 30
définition d’un —, 16
relation
de (Z, +), 20
d’équivalence, 30
de congruence, 31
modulo, 31
réflexive, 30
symétrique, 30
transitive, 30
distingué, 81
engendré, 28
spécial
groupe — linéaire, 18
groupe — orthogonal, 18, 408
spectral
représentant, 30
théorème — (cas complexe), 483
restes (théorème des — chinois), 60
théorème — (cas matriciel complexe), 484
Riesz
théorème — (cas matriciel), 458
theorème de —, 397
théorème — (cas réel), 455
515
INDEX
stable (sous-espace —), 215
stricte (convexité —), 366
définition d’une —, 42
triangulaire
suite, 94
déterminant d’une matrice —, 139
supplémentaires
inégalité —, 363, 469
orthogonaux, 385
U
sous-espaces —, 109
support d’une permutation, 43
symbole de Kronecker, 179
symétrie
diagonalisation d’une —, 243, 244, 256
orthogonale, 480
unitaire
groupe —, 481
vecteur —, 376, 473
symétrique
V
endomorphisme —, 448
forme bilinéaire —, 340
groupe —, 39
relation —, 30
système fondamental de solutions, 285, 292
valeur propre
d’un endomorphisme, 222
d’une matrice, 225
ordre d’une —, 246
T
Tchebychev (polynômes de —), 357, 395, 499
théorème
d’Euler, 60
d’interpolation de Lagrange, 147
de Cauchy-Lipschitz, 280
de Cayley-Hamilton, 266
de décomposition des permutations, 44
de diagonalisation simultanée, 259
de Gershgorin, 304
de Jordan, 309
de Lagrange, 35
de Pythagore, 371, 472
Vandermonde
déterminant de —, 141
notice biographique, 141
vecteur(s)
normé, 376, 473
orthogonaux, 370
propre d’un endomorphisme, 222
propre d’une matrice, 225
unitaire, 376, 473
vectoriel
coordonnées du produit —, 429
double — produit, 434
produit —, 427
sous-espace — engendré, 96
vectorielle (division —), 435
de représentation des formes linéaires, 397
W
de Riesz, 397
de Riesz-Fréchet, 459
de Wedderburn, 69
des restes chinois, 60
petit — de Fermat, 60
spectral (cas complexe), 483
Wedderburn
notice biographique, 70
théorème de —, 69
spectral (cas matriciel complexe), 484
Weierstrass (notice biographique), 456
spectral (cas matriciel), 458
wronskien, 199, 277, 291, 314
spectral (cas réel), 455
totale (famille —), 389
trace
d’un endomorphisme, 116
d’une matrice, 114
transitive (relation —), 30
transposée d’une matrice (déterminant de la —), 130
transposition(s)
décomposition en —, 44
PREALGE2 ALGEBRE linéaire et bilinéaire - 17mm_Mise en page 1 31/07/2014 15:21 Page1
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