Decitre

2e
édition
COURS
EXERCICES CORRIGÉS
ALGÈBRE
CHRISTOPHE ANTONINI
ISBN : 978-2-8041-8170-3
PREALGE2
Conception graphique : Primo&Primo
9 782804 181703
www.deboeck.com
Christophe Antonini est professeur de mathématiques en classes préparatoires au lycée
Stanislas de Cannes.
Cet ouvrage développe le programme d’algèbre de deuxième année
des classes préparatoires scientifiques, de façon originale,
approfondie et fidèle.
•Le texte, rigoureux et pédagogique, permet à tous les étudiants de suivre pas
à pas les démonstrations. Des figures, ainsi que des algorithmes implémentés
en Python, facilitent la compréhension et l'assimilation des notions abordées.
•Des exercices, dont les corrigés sont très détaillés, permettent de vérifier
l’acquisition des points clés de chaque chapitre.
•L'auteur a pris soin de replacer les résultats présentés dans leur contexte
historique, des notices biographiques évoquent les faits marquants de la vie des
mathématiciens cités.
•Dans les parties « compléments », l'ouvrage aborde des théorèmes plus diffi-
ciles ou moins connus, destinés aux lecteurs souhaitant un approfondissement
des sujets classiques.
L’ouvrage intéressera également les candidats au CAPES et à l’agrégation.
+ Conforme au nouveau programme 2014
+ De nombreux exercices corrigés
+ Texte abondamment illustré
pour faciliter la compréhension
+ Tout en couleur
LES
+
Conforme
aux nouveaux
programmes 2013
COURS
EXERCICES CORRIGÉS
GILLES COSTANTINI
1re ANNÉE
MPSI / PCSI
<
ANALYSE
2
e
édition
COURS
EXERCICES CORRIGÉS
OLIVIER RODOT
<
MP-MP* 2eANNÉE
Conforme
au nouveau
programme 2014
Conforme
au nouveau
programme 2014
ANALYSE
MP-MP* 2eANNÉE
Conforme
au nouveau
programme 2014
MP-MP*
Conforme
au nouveau
programme 2014
ALGÈBRE
<Dans la
même
collection
dirigée par
Olivier Rodot
MPSI / PCSI
1re ANNÉE
NICOLAS BASBOIS
PIERRE ABBRUGIATI
COURS
EXERCICES CORRIGÉS
Conforme
aux nouveaux
programmes 2013
ALGÈBRE
CHRISTOPHE
ANTONINI
PREALGE2 ALGEBRE linéaire et bilinéaire - 17mm_Mise en page 1 31/07/2014 15:21 Page1

A vant-propos
Cet ouvrage traite d’algèbre générale, d’algèbre linéaire et bilinéaire, avec pour fil di-
recteur le nouveau programme des classes préparatoires MP-MP* qu’il suit scrupuleuse-
ment. L’auteur s’est efforcé de rédiger un traité autonome, accompagné d’applications,
d’exemples et d’exercices entièrement corrigés.
Afin d’être adapté au public d’aujourd’hui, l’ouvrage a essayé de trancher avec le style
parfois austère utilisé dans ce type d’ouvrage, en essayant autant que faire se peut d’in-
troduire avec beaucoup de soin les concepts, et d’en proposer de nombreuses applications.
Ce livre s’adresse également à tout étudiant de premier cycle, ou préparant des concours
d’enseignement. En outre, les chapitres sur lesquels le programme met l’accent comptent
en général une introduction historique, ou établissent le lien avec d’autres domaines scien-
tifiques. Plus généralement, l’ensemble du livre est émaillé d’indications historiques : no-
tices biographiques, datation de certains théorèmes.
Cette part belle faite à l’histoire des mathématiques est une spécificité de cette collection.
Enfin, l’auteur a tenu à illustrer différents résultats à l’aide d’algorithmes implémentés
sous Python 3.

Je commence naturellement par remercier Fabrice Chrétien, des éditions De Boeck, pour
m’avoir proposé de participer à ce projet. Mes remerciements vont également à Olivier
Rodot, directeur de la collection et auteur de l’ouvrage d’analyse de seconde année, pour
son soutien, ses conseils et critiques avisés et sa grande disponibilité, et pour avoir été le
premier à me contacter.
Je remercie très vivement Guillaume Euvrard et Guillaume Goron pour leur relecture.
J’ai une pensée pour l’ensemble de mes collègues de travail pour leur soutien amical.
Enfin, je remercie tout particulièrement mes collègues Nicolas Basbois et Pierre Abbru-
giati, auteurs de l’ouvrage d’algèbre de première année, pour toute l’aide qu’ils m’ont
apportée.
Christophe Antonini.

Table des m atières
1 Structures algébriques usuelles 7
1.1 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2 Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.3 Morphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.1.4 Sous-groupes engendrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.1.5 Le groupe Z/nZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.1.6 Ordre d’un groupe, ordre d’un élément . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.1.7 Le groupe symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.2 Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.2.2 Idéaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.2.3 Anneaux principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.2.4 L’anneau Z/nZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.2.5 L’anneau K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1.3 Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
1.4 Algèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.4.1 Polynômes dans une algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
1.4.2 Idéal annulateur et polynôme minimal . . . . . . . . . . . . . . . . 77
1.5 Exercices corrigés du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79