Cours 1

Nombres complexes
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Titre
Description
Remarques
Définition-Rappel
2
z ; z a ib où a et b sont des nombres réels .
On rappelle que .
a s'appelle la partie réelle de z, on note a e(z).
b est sa partie imaginaire , on note b Im(z).
Rappelons que z est si et seule
i1
réel Im(z) 0ment si .
ziest si et semaginaire
22
e(z) 0
nul e(z) Im(
ulement .
z est si et seulement si .
Pour tout complexe z a ib non nul on
z) 0
a:
11 a ib .
bza ib a
On peut appliquer
cette formule
directement sans
passer par
l’expression
conjuguée.
Conjugué d’un
nombre
complexe
Le conjugué du nombre complexe z=a+ib est le nombre complexe noté
z a ib
22
On a z x iy et z x iy entraine que
z z 2x et z z 2iy. On a zz x y .
z est réel si, et seulement si
zz
z est imaginaire si, et seulement si
zz
.
Représentation
géométrique
d’un nombre
complexe
Pour tout point M(x,y), on peut associer d’une façon unique un seul
nombre complexe z=x+iy. z s’appelle l’affixe de M. M est l’image de z. On
note zM = x+iy ou encore M(z).
M(z) et M’(
z
) sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses (axe des
réels).(l’axe des ordonnées s’appelle l’axe des imaginaires)
M(z) et M’(-z) sont symétriques par rapport à l’origine du repère.
AB
I
BA
AB
a
bu
On rappelle que si alors
L'affixe du
I est le milieu du segment AB
zz
z2
AB z z z
u( )
vecteur est
L'affixe du vecteur e asbtzi

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Théorème
u
v
u
v
u et v sont deux vecteurs non nuls du plan, on a:
est u et v sont .
es
zréel colinéaires
z
zimaginaires orthogont u e auxt v s
zont .
Module d’un
nombre
complexe
On munit le plan complexe du repère orthonormé (O,u,v)
.
Soit M d’affixe z =x+iy.
Le module de z est le réel positif noté |z| définie par
22
z x iy x y   
22
xy,Remarquons que M x y et par suite OM 
et donc on en déduit que |z|=OM.
Pour tous points A et B du plan on a :
BA
AB z z
Propriétés
Pour tous nombres complexes z et z’ on a :
n
n
2
z 0 z 0
z z z
z.z' z . z'
11
; z 0
zz
z
z; z' 0
z' z'
z z' z z'
z z ; n
1
z z.z et z 1 z.z 1 z .
z
Argument d’un
nombre
complexe
On suppose que le plan est muni d’un repère orthonormé
(O,u,v)
.
Soit M d’affixe z x iy, non nul et soit
x rcos
Posons r OM (donc r z ). On a , il en découle que
y rsin
z x iy r(cos isi
une mesure de l'angle (u,OM).
s'appelle l'argument de
n ).
.
r(cos isin ) est l'écriture
t
z
rig onométrique de z

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22
xy
On a cos et sin
rr
et r z x y .
Propriétés
Formule
d’Abraham
De Moivre
z
Soit z un nombre complexe non nul et soit un argument de z. On a:
arg( z) arg(z) 2k ; k .
arg( ) arg(z) 2k ; k .
arg( .z) arg(z) 2k ; k , si est
et arg( .z) arg(z) 2k ; k , si e
positif
négatst .
arg(z.z') ar
if
g
n
(z) arg(z') 2k ; k .
arg( ) arg(z) 2k ; k .
z
arg( ) arg(z) arg(z') 2k ; k .
z'
arg(z ) n.arg(z) 2k ; n et k .
1
z
nn
z r co
Si z r
s(n
(cos isin ) alors pour tout n on a:
.
C'est la formule de Moi
) isin(n )
vre.
BA
DC
BA
(u,AB) arg(z z ) 2k ; k
zz
(AB,CD) arg 2k ; k
zz
.
.
Abraham de
Moivre
Abraham de Moivre
en 1736
Naissance 26 mai 1667
Vitry-le-François (France)
Décès 27 novembre 1754 (à 87 ans)
Londres (Angleterre)
Domicile Angleterre
Nationalité Français
Champs Mathématiques
Institutions Royal Society
Diplôme Académie de Saumur
Renommé pour Formule de Stirling
Théorème de Moivre-Laplace
Formule de Moivre
Ecriture
exponentielle
d’un nombre
complexe
ii
i0 i
22
i( 2k ) i
i i i i i( )
i( )
i
i
2
Pour tout réel , on note le nombre complexe .
Il en découle que:
e 1 e i e i e 1 .
Pour t
e cos isin
out réel et tout entier k on a e e .
e 1 e e e e .
Remarquons aussi que e eie
i( )
2
i
t e e .i
M
y
x
O
u
v
r

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Propriétés
i ' i( ')
i
i
i
i( ')
i'
i n in
Soient deux réels et '. On a
e .e e
1e
e
ee
e
(e ) e ; n .
Théorème et
définition
i
i
Tout nombre complexe z, s'écrit sous la forme
z re , où r z et arg(z) 2
L'écriture est appelée
non nul
z re écriture exponentielle de z
Formules d’Euler
ii
ii
e e 2cos
e e 2isin
Leonhard Euler ( audio), né le 15
avril 1707 à Bâle (Suisse) et mort à 76 ans
le 18 septembre 1783 à Saint-
Pétersbourg (Empire russe)1, est
un mathématicien et physicien suisse, qui
passa la plus grande partie de sa vie
en Russie et en Allemagne. Il était
notamment membre de l'Académie royale
des sciences de Prusse à Berlin.
M
((
O
r

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Les racines
nièmes d’un
nombre
complexe
i
ii
22
01
Recherche des racines carrées d'un nombre complexe u :
Si u possède une écriture trigonométrique remarquable
donc u re avec r est un réel positif, dans ce cas
les racines carrées de u sont u re et u re .
Si u a ib (en général)
2 2 2 2
22
alors pour trouver lesracines carrées
de u, il faut résoudre le système suivant:
x y a ib a b
x y a
2xy b
 Soit
i
a re
; r est un réel positif et
est un réel. Soit n un entier
naturel non nul. Les racines nièmes de
sont les solutions de l’équation
dans
n,za
2k
i( )
nnn
k
Ce sont les .z re ; 0 k n 1
 Les racines nièmes de l’unité sont les solutions de l’équation
dans
n,u1
2ik
n
k
Ce so u e ; 0nt le .n1sk
Vous pouvez voir des
exemples traités dans
les vidéos (cours
complexe)
Exercice :
Solution :
1/ Déterminer les racines cubiques de a=
2( 1 i)
2/ Mettre ces solutions sous forme algébrique.
3/ En déduire les valeurs de
11 11
cos( ) et de sin( ).
12 12
1/
3
2(1 ) 2 2, arg(2(1 ) , 3
4
      r i i n
. Les racines
cubiques de a sont les
32k
4
i( )
333
k
z 2 2e ; 0 k 2
.
11 19
4 4 4
0 1 2
2 , 2 , 2  
i i i
z e z e z e
2/
022
z 2( i )
22
=1+i
3 3 3
k
k0 0
z
z z ( ) 1
z
donc
2ik
k3
0
ze ; 0 k 2 d'où
z