Cours 1

Nombres complexes
Titre
Définition-Rappel
Cours
Description
  z ; z  a  ib où a et b sont des nombres réels.
Remarques
On rappelle que i2  1.
 a s'appelle la partie réelle de z , on note a  e(z).
b est sa partie imaginaire , on note b  Im(z).
 Rappelons que z est réel si et seulement si Im(z)  0.
z est imaginaire si et seulement e(z)  0.
z est nul si et seulement si e(z)  Im(z)  0.
 Pour tout complexe z  a  ib non nul on a:
On peut appliquer
cette formule
directement sans
passer par
l’expression
conjuguée.
1
1
a  ib

 2
.
z a  ib a  b2
Conjugué d’un
nombre
complexe
 Le conjugué du nombre complexe
z  a  ib

On a z  x  iy et z  x  iy
entraine que
z  z  2x et z  z  2iy. On a zz  x2  y2 .
z
Représentation
géométrique
d’un nombre
complexe
z=a+ib est le nombre complexe noté
est réel si, et seulement si z  z
z est imaginaire si, et seulement si z  z .
 Pour tout point M(x,y), on peut associer d’une façon unique un seul
nombre complexe z=x+iy. z s’appelle l’affixe de M. M est l’image de z. On
note zM = x+iy ou encore M(z).
 M(z) et M’( z ) sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses
(axe des
réels).(l’axe des ordonnées s’appelle l’axe des imaginaires)
M(z) et M’(-z) sont symétriques par rapport à l’origine du repère.
On rappelle que si I est le milieu du segment  AB alors
z A  zB
2
 L'affixe du vecteur AB est z AB  zB  z A
zI 
 L'affixe du vecteur u(ba ) est zu  a  ib
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Nombres complexes
Théorème
u et v sont deux vecteurs non nuls du plan, on a:
z
 u est réel  u et v sont colinéaires.
zv

Module d’un
nombre
complexe
Cours
zu
est imaginaires  u et v sont orthogonaux.
zv
On munit le plan complexe du repère orthonormé (O,u,v) .
Soit M d’affixe z =x+iy.
Le module de z est le réel positif noté |z| définie par
z  x  iy  x2  y2
Remarquons que M  x, y  et par suite OM 
x 2  y2
et donc on en déduit que |z|=OM.
Pour tous points A et B du plan on a :
AB  zB  z A
Propriétés
Pour tous nombres complexes z et z’ on a :
 z 0z0
 z  z  z
 z.z'  z . z'

1 1
 ; z0
z z

z
z
 ; z'  0
z' z'
 z  z'  z  z'
 zn  z ; n 
n

1
2
 z  z.z et z  1  z.z  1  z  .
z
Argument d’un
nombre
complexe
On suppose que le plan est muni d’un repère orthonormé (O,u,v) .
Soit M d’affixe z  x  iy, non nul et soit  une mesure de l'angle (u,OM).
x  rcos 
Posons r  OM (donc r  z ). On a 
, il en découle que
y  rsin 
z  x  iy  r(cos   isin ).
  s'appelle l'argument de z.
 r(cos   isin ) est l'écriture
trigonométrique de z
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Nombres complexes
Cours
y
x
y
et sin  
r
r
2
2
et r  z  x  y .
r
On a cos  
Propriétés
M
v
O

x
u
Soit z un nombre complexe non nul et soit  un argument de z. On a:
 arg(z)    arg(z)  2k ; k  .
 arg(z)   arg(z)  2k ; k  .
 arg(.z)  arg(z)  2k ; k  , si  est positif
et arg(.z)    arg(z)  2k ; k  , si  est négatif.
 arg(z.z')  arg(z)  arg(z')  2k ; k  .
1
 arg( )   arg(z)  2k ; k  .
z
z
 arg( )  arg(z)  arg(z')  2k ; k  .
z'
 arg(zn )  n.arg(z)  2k ; n  et k  .
Abraham de Moivre
en 1736
Naissance 26 mai 1667
Vitry-le-François (France)
 Si z  r(cos   isin ) alors pour tout n 
Formule
d’Abraham
De Moivre
on a:
z  r  cos(n)  isin(n).
n
Abraham de
Moivre
n
Décès 27 novembre 1754 (à 87 ans)
Londres (Angleterre)
Domicile Angleterre
Nationalité Français
C'est la formule de Moivre.
Champs Mathématiques
Institutions Royal Society
 (u,AB)  arg(zB  z A )  2k; k  .
Diplôme Académie de Saumur
 z z 
 (AB,CD)  arg  D C   2k; k  .
 zB  z A 
Ecriture
exponentielle
d’un nombre
complexe
Théorème de Moivre-Laplace
Formule de Moivre
Pour tout réel  , on note ei le nombre complexe cos   isin .
Il en découle que :
 ei0  1
i

 e2  i
i

 e 2  i
 ei   1 .
Pour tout réel  et tout entier k on a ei( 2k)  ei .
 ei  1
 ei  e i
Remarquons aussi que
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Renommé pour Formule de Stirling
 ei  ei( ) .
ie  e
i

i(   )
2

i(   )
2
et  ie  e
i
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.
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Nombres complexes
Propriétés
Théorème et
définition
Cours
Soient deux réels  et  '. On a
 ei .e'  ei(')
1
 i  e i
e
ei
 i'  ei(')
e
 (ei )n  ein ; n  .
Tout nombre complexe non nul z, s'écrit sous la forme
z  rei , où r  z et arg(z)   2
L'écriture z  rei est appelée écriture exponentielle de z
r
M
 ((
O
Formules d’Euler
ei  ei  2cos 
ei  ei  2isin 
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Leonhard Euler (
audio), né le 15
avril 1707 à Bâle (Suisse) et mort à 76 ans
le 18 septembre 1783 à SaintPétersbourg (Empire russe)1, est
un mathématicien et physicien suisse, qui
passa la plus grande partie de sa vie
en Russie et en Allemagne. Il était
notamment membre de l'Académie royale
des sciences de Prusse à Berlin.
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Nombres complexes
Les racines
nièmes d’un
nombre
complexe
Cours
 Re cherche des racines carrées d 'un nombre complexe u :
Si u possède une écriture trigonométrique remarquable
donc u  rei avec r est un réel positif , dans ce cas
les racines carrées de u sont u 0  re
i

2
i
Vous pouvez voir des
exemples traités dans
les vidéos (cours
complexe)

et u1   re 2 .
Si u  a  ib (en général) alors pour trouver les racines carrées
de u, il faut résoudre le système suivant :
 x 2  y 2  a  ib  a 2  b 2

2
2
x  y  a
2xy  b

 Soit a  rei ; r est un réel positif et  est un réel. Soit n un entier
naturel non nul. Les racines nièmes de  sont les solutions de l’équation
dans
zn  a ,
 2k
i( 
)
n n
z k  n re
Ce sont les
; 0  k  n  1.
 Les racines nièmes de l’unité sont les solutions de l’équation
dans
u n  1,
Ce sont les
Exercice :
uk  e
2ik
n
; 0  k  n  1.
1/ Déterminer les racines cubiques de a= 2(1  i)
2/ Mettre ces solutions sous forme algébrique.
3/ En déduire les valeurs de cos(
Solution :
11
11
) et de sin(
).
12
12
1/ r  2(1  i )  2 2 ,   arg(2(1  i ) 
cubiques de a sont les z k  3 2 2e
i

z0  2e 4 ,
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z1  2e
i
11
4
2/ z0  2(
2
2
i
) =1+i
2
2
z3k  z30  (
zk 3
)  1 donc
z0
,
3
2k
i( 4 
)
3
3
3
, n  3 . Les racines
4
; 0k2 .
z2  2e
i
19
4
2ik
zk
e 3 ; 0k2
z0
d 'où
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Nombres complexes
z k  z0e
Cours
2ik
3
 z0  z0
K=0
2
3
1
3
1  3 1  3
 (1  i)(  i ) 
i
2
2
2
2
4
3
1
3
1  3 1  3
 (1  i)(  i ) 
i
2
2
2
2
i
K=1  z1  z0e
i
K=2  z 2  z0e
3/ z1  2(cos
11
11
1  3 1  3
 i sin
)
et donc par
i
12
12
2
2
identification on a :
11  6  2
)
12
4
= cos(
Résolution dans
de
l’équation
az2  bz  c  0
a0
et
11
6 2
.
sin(
)
12
4
 a, b et c sont trois nombres complexes tels que a  0.
L 'équation az 2  bz  c  0 , admet dans , deux solutions définies par
b  
b  
z' 
et z '' 
où  est une racine carrée du déscri min ant
2a
2a
  b 2  4ac.
 Si z ' et z '' sont les solutions de l 'équation az 2  bz  c  0; a  0, alors
b
c
az 2  bz  c  a(z  z ')(z  z '') , S  z ' z"   et P  z '.z"  .
a
a
Equations de
degré  3
a 0 , a1 , a 2 ,..., a n sont des nombres complexes tels que a n  0 et n  3.
Soit P(z)  a n z  a n 1z
n
n 1
 ...  a1z  a 0 .
Si z 0 est un zéro de P alors P(z)  (z  z 0 ).Q(z) où Q(z) est de la forme
b n 1z n 1  b n 2 z n 2  ...  b1z  b0 et ( b n 1  a n ); b0 , b1 , b 2 ,..., b n 1 sont des nombres
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exemples traités dans
les vidéos (cours
complexe)
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