Leçon.

Chapitre 10 :
Équations.
I - Rappels de 5ème : « Tester » une égalité.
Activité
II- Résoudre une équation à une inconnue.
1) Propriétés des égalités.
Propriété :
On ne change pas une égalité lorsqu’on ajoute ou on soustrait un même nombre à chacun de ses
membres.
a, b, c désignent des nombres relatifs.
 Si a = b alors a + c = b + c.
 Si a = b alors a – c = b – c.
Exemples :
Résoudre les équations :
x + 7 = 15
x – 9 = –2
4=5+x
Propriété :
On ne change pas une égalité lorsqu’on multiplie ou on divise par un même nombre non nul chacun
de ses membres.
a, b, c désignent des nombres relatifs (c ≠ 0).

Si a = b alors ac = bc.
 Si a = b alors =
Exemples :
Résoudre les équations :
–3x = 15
8x = 40
–8x = –26
2) Résolution d’équations du premier degré à une inconnue.
Exemple 1 :
Résoudre l’équation :
3x – 7 = –5x + 17
Vérification (conseillée) :
Membre de gauche :
Membre de droite :
Donc l’égalité est bien vérifiée.
Exemple 2 : Résoudre l’équation :
4(2x + 7) + 6x = –2(9 – 4x)
III- Résolution de problèmes.
Exemple 1 :
Cinq personnes se partagent 1075 €.
Trouver la part de chacune sachant que la seconde a 27 € de plus que la première, que la troisième a 27 € de
plus que la seconde et ainsi de suite jusqu’à la cinquième.
On ne connaît la part d’aucune des personnes. Mais dès qu’on connaît la part d’une personne, on peut
trouver la part des autres.
Étape 1 : Choix de l’inconnue.
On appelle x la part de la première personne.
Étape 2 : Mise en équation du problème.
On traduit l’énoncé :
 part de la première personne : x
 part de la deuxième personne : x + 27
 part de la troisième personne : x + 27 + 27 soit x + 54
 part de la quatrième personne : x + 54 + 27 soit x + 81
 part de la cinquième personne : x + 81 + 27 soit x + 108
On a donc :
part de la 1ère + part de la 2ème + part de la 3ème + part de la 4ème + part de la 5ème  1075

 
 
  

x
x  27
x  54
x  81
x  108
x + x + 27 + x + 54 + x + 81 + x + 108 = 1075
x + x + x + x + x + 27 + 54 + 81 + 108  1075
5x + 270  1075
Étape 3 : Résolution de l’équation.
5x+ 270  1075
Étape 4 : Vérification du résultat.
On remplace x par la valeur trouvée.
5x + 270  5  161 + 270  1075
Étape 5 : Conclusion.
Les personnes ont respectivement : 161€; 188 € ; 215 € ; 242 € et 269 €.
On a bien 161 + 188 + 215 + 242 + 269 = 1075
Exemple 2 :
Sur la figure ci-dessous, dessinée à l'échelle, E est un point du segment [AB].
AED et BEC sont deux triangles rectangles. On veut construire la figure avec les dimensions réelles, de
telle façon que les triangles AED et BEC aient la même aire.
On pose AE = x cm.
Exprimons en fonction de x les aires des triangles AED et BEC.
A(AED) = 3x et A(BEC) = 14 - 2x
Quelle égalité doit vérifier x pour que ces 2 aires soient égales ?
A(AED) = A(BEC) donc 3x = 14 - 2x
3x = 14 - 2x
3x + 2x = 14 - 2x + 2x
5x = 14
x = 2,8
Vérification :
Premier membre : 3x = 3×2,8 = 8,4
Second membre : 14 – 2x = 14 - 2×2,8 = 14 – 5,6 = 8,4
Conclusion.
Pour que les 2 triangles aient la même aire, il faut que le segment [AE] mesure 2,8 cm.