1 + 2 1 p - ISFEC Jacques Sevin

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Master 1 : 2ème semestre : EC 9A : éléments de mathématique – 6h cours et TP - TD - JA
CH 5 : LES QUATRE OPERATIONS : ADDITIONS ET SOUSTRACTIONS
1. On ne considère que des entiers naturels
a) Montrer que la somme des trois entiers consécutif est un multiple de trois
b) Soit N un nombre somme de quatre entiers consécutifs Montrer que N - 2 est multiple de quatre.
Avec quelle condition sur N la réciproque est-elle vraie ?
c) La somme de 51 nombres entiers consécutifs est 1785, quels sont ces nombres ?
 p  1

 2 
(on rappelle que pour tout entier p, on a 1+ 2 + 3 + …..+ p = p 
2. La calculatrice n’est pas autorisée.
Voici un exemple de la manière qu’avaient les Egyptiens de multiplier deux nombres entre eux :
25
35
12
70
6
140
3
280
1
560
875
25 x 35 = 875
On convient d’appeler colonne de gauche la colonne des nombres : 25 – 12 – 6 – 3 – 1 -> 5 lignes
On convient d’appeler colonne de droite la colonne des nombres : 35 – 70 – 140 – 280 – 560
a) En utilisant le procédé d’égyptien, calculer 186 x 31
b) Justifier, à partir de 25 x 35, la validité de l’algorithme de calcul des Egyptiens.
c) Construire un exemple de multiplications à deux nombres, exemple dans lequel la colonne de gauche comporte 8
lignes et où l’on barre toutes les lignes, sauf la dernière.
3. Au réfectoire, les élèves emplissent les tables complètes de 8 élèves au fur et à mesure qu’ils se présentent.
a) Au premier service, 171 élèves sont déjà installés. Combien peut-on encore en accueillir sans occuper une
nouvelle table ?
b) Au deuxième service, 246 élèves sont accueillis dont Nathalie et ses trois meilleures amies qui décident d’entrer
les dernières.
Sont-elles sûres d’être à la même table ? Justifier la réponse.
4. a) Trouver tous les entiers naturels compris entre 100 et 200 qui dans la division euclidienne par 42 donnent un
reste égal à 8.
b) Dans la division euclidienne d’un entier naturel a par 42, le quotient q et le reste 8.
- Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne par 42 de a+28, puis de a+40
- quels sont les entiers naturels x pour lesquels le quotient de la division euclidienne par 42 de
a+ x est q+1 ?
5. Dans la division euclidienne d’un entier naturel a par un entier naturel b, le quotient est 42 et le reste 8.
- quelle est la plus petite valeur possible de a ?
- déterminer a et b pour que le reste de la division de a+ » par b soit égal à 0.
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6. Le but de cet exercice est de déterminer un nombre entier a.
Ce nombre s'écrit avec 4 chiffres, il est supérieur à 7000, il est multiple de 45, il est impair et le chiffre des milliers est
le double de celui des centaines.
Quel est ce nombre?
7. On choisit un nombre entier de 3 chiffres, par exemple N = 321. On forme un autre nombre entier avec les mêmes
chiffres, par exemple P = 231.
On calcule la différence entre ces deux nombres, ici 321 - 231 = 90.
Le résultat est un multiple de 9.
a) Vérifier que, pour un autre nombre entier à 3 chiffres, cette suite de calculs donne aussi comme résultat un
multiple de 9.
b) Justifier en général ce résultat.
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CORRECTION : CH 5 : LES QUATRE OPERATIONS : ADDITIONS ET SOUSTRACTIONS
1. a)
b)
n ; n+1 ; n+ 2 sont 3 entiers consécutifs.
S = n + n + 1 + n + 2 = 3n + 3 = 3(n + 1)
C’est bien un multiple de 3
N = n + n + 1 + n + 2 + n + 3 = 4n + 6
N – 2 = 4n + 6 – 2 = 4n + 4 = 4(n+1)
C’est bien un multiple de 4
Pour trouver la réciproque de cette propriété, il faut pouvoir répondre à la question suivante :
Si N-2 est un multiple de 4, quelle condition vérifie N pour qu’il soit la somme de 4 entiers consécutifs ?
On a N – 2 = 4k d’où N = 4k+2 = 2(2k+1)
Si N est la somme de 4 entiers consécutifs alors d’après b) N = 4n+6 = 2(2n+3)
Donc 2(2n+3) = 2(2k+1)
Et
n = k-1
Pour que n soit entier k  1 et donc N = 4k + 2 = 6
 si N-2 est un multiple de 4 et si N est supérieur ou égal à 6 alors N est la somme de 4 entiers consécutifs.
c) 1785 : 51 = 35
x + (x+1) + (x+2) + …..+(x+50)= 51x + (50x51) :2 = 51x + 1275 = 1785
51x = 510
x = 10
2. a) Dans la colonne de gauche, on divise chaque terme par 2 et on garde la partie entière. Dans la colonne de
droite, on multiplie chaque terme par 2. Ensuite on supprime toutes les lignes dont le terme de la colonne de gauche
est pair.
186
31
93
62
46
124
23
248
11
496
5
992
2
1984
1
3968
5766
b) Un problème intervient quand le terme dont on prend la moitié est impair puisque l’on ne conserve que le
quotient entier dans la division par 2.
25 x 35
= (2x12 +1)x 35
= 2x12x35 + 35
=12x70 + 35
= (2x6)x 70 + 35
= 6x140 +35
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= (2x3)x 140 + 35
= 3x280 + 35
= (2x280+280) + 35
= 3x280+280+35
= 1x560 + 280 + 35
= 560+ 280+ 35
= 875
Ce sont les écritures équivalentes que l’on peut avoir en utilisant les propriétés de la multiplication et de la
distributivité de la multiplication sur l’addition.
c) Il suffit que l’un des termes multiplicateurs soit une puissance de 2 et pour 8 lignes : 27 = 128
128 x 31=
128
31
64
62
32
124
16
248
8
496
4
992
2
1984
1
3968
3968
 128 x 31 = 3968
3. a) Il faut effectuer des divisions euclidiennes par 8.
171 = 8 x 21 + 3
Les 171 élèves se répartissent en 21 tables complètes et une 22ème qui contient 3 personnes.
b)
4. a)
246 = 8 x 30 + 6 => 30 tables complètes + une table de 6
Elles sont 3+1=4 donc elles pourront occuper la même table.
100 < x < 200
q le quotient de la division x = 42 q + 8
x = 42 q + 8
si q = 1 x = 50
q = 2 x = 92
q = 3 x = 134
q = 4 x = 176
q = 5 x = 218
ne convient pas
ne convient pas
convient
convient
ne convient pas
Les nombres compris entre 100 et 200, entiers, dans la division euclidienne par 42 donnent un reste égal à 8 sont
134 et 176
b)
a= 42q + 8
a+ 28 = 42q + 8 + 28
a+ 28 = 42 q + 36
36 < 42
4
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La division euclidienne par 42 de a + 28 est de quotient q et de reste 36
a+ 40 = 42q + 8 + 40
a + 40 = 42q + 48
Ce n’est pas une égalité qui traduit la division euclidienne de a + 40 par 42
a+ 40 = 42q + 48 = 42q + 42 + 6 = 42(q+1) + 6
Dans la division euclidienne de a + 40 par 42 le quotient est q+1 et le reste est 6
a + x = 42 q + 8 + x
Le quotient est q+1 si 8 + x est supérieur ou égal à 42 et inférieur à 2 x 42 (sinon le quotient serait (q+2)
Donc
4 2  8  x8 4
3 4  x7 6
5.
a= 42b + 8 ; 8 < b
La plus petite valeur de a est obtenue pour la plus petite valeur de b soit 9 (8<9)
a = 48 x 9 + 8
a+ 3 = 42 b + 8 + 3
42 b + 11 si le reste est nul alors b = 11
a = 42 x 11 + 8 = 470
6. Soit n le nombre cherché.
n = mcdu

n est multiple de 45, donc multiple de 5 ; u est égal à 0 ou 5, mais comme n est impair, u = 5. n est supérieur
à 7000, donc m = 7, 8 ou 9
Mais m est le double de c, donc: m = 8 et c = 4

n est multiple de 45 donc de 9, donc la somme de ses chiffres est multiple de 9, soit:
m + c + d + u multiple de 9
8 + 4 + d + 5 multiple de 9
17 + d multiple de 9
Il en résulte immédiatement: d = 1. Le nombre cherché est donc n = 8415.
7. a) Soit le nombre n = 379 et p = 937.
On a : 937 - 379 = 558.
La somme des chiffres de 558 est un multiple de 9, donc 558 est un multiple de 9.
b) Démontrons ce résultat dans le cas général.
Soit N = cdu. Il y a cinq autres nombres entiers qui s'écrivent avec les chiffres c, d et u.
N1 = cud;
N2 = duc,
N3 = dcu ;
N4 = udc;
N5=ucd.
On a :
N-N1 = cdu -cud= du- ud
(d - u) x 10 + (u - d) = (d - u) x (l 0 - 1)
9 x (d - u).
De la même manière, on trouve
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N- N2
= cdu -duc= (100c+ l0d +u) - (100d+ 10u +c)
= 1 00c - 1 00d + 10d - 10u + u - c
= 99c - 90d - 9u
= 9 (11c - 10d - u).
N – N3 = cdu - dcu = 1 00c - 1 00d + 10d – 10c + u - u = 90c - 90d
= 90 x (c - d).
N – N4 = cdu - udc = 1 00c - 1 00u + 10d - 10d + u - c
= 99C - 99u = 99 x (c - u).
N – N5 = cdu – ucd = 1 00c - 1 00u + 10d - 10c + u - d
= 90c - 99u + 9d
= 9 (10c + d - 11 u).
Ces différences sont toutes des multiples de 9.
À noter que, en fonction (les valeurs c, ci et u certaines de ces différences peuvent être négatives.
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