Chap 6 Nombres complexes.doc

Chapitre 6 L’ensemble
C
des nombres complexes
Déf
iyxzCz 
avec
1
2i
,
x
et
y
nombres réels. C’est l’écriture algébrique de
z
.
Elle est unique, c’est-à-dire que si
ayx ,,
et
b
sont réels,
axibaiyx
et
by 
.
Déf
)(zRéx
, partie réelle de
z
et
)Im(zy 
, partie imaginaire de
z
; ce sont des nombres réels.
On dit parfois :
M
est l’image de
z
,
On l’écrit
)(zM
.
z
est l’affixe de
M
.
On l’écrit
M
zz 
.
Déf
iyyxxiyxiyx)'()'()''()( 
. Noter que I milieu de A et B
2/)( BAI zzz 
.
iyxxyyyxxiyxiyx)''()''()'').(( 
.
On peut noter que si
IRx
, alors
Cixx  0
. On a donc
CIR 
.
Déf Si
iyxz 
, le conjugué de
z
, noté
z
, est
iyxz 
.
Noter que
.)()( 2222222 yxyixiyxiyxiyxzz 
Il est évident que
'' zzzz 
. On peut prouver que
'.'. zzzz 
.
Bien sûr,
)(2 zRézz 
,
)Im(2 zizz 
,
IRzzz 
et
zzz 
imaginaire pur.
Soit ( E ) l’équation
0
2 cbxax
(
ba,
et
c
réels) . Si
04
2 acb
, ( E ) admet les solutions
conjuguées
a
ib
z2
1
et
a
ib
zz 2
12
. (preuve : comme en première avec
 2 i
)
Déf Si
iyxz 
et
IRa
,
0a
,
a
y
i
a
x
a
z
. Si
0'''  iyxz
,
''
.
'' z
z
z
z
z
z
22 'yx zz
(bien défini).
Règle : on obtient la forme algébrique de
'/ zz
en multipliant et divisant par le conjugué du dénominateur.
Déf Si
iyxz 
,
OMyxz  22
est le module de
z
.
Si
0z
, l’angle (orienté)
OMu;
est « l’ » argument de
z
, noté
)arg(z
.
Bien sûr
zz 
et
)arg()arg( zz 
. Noter que
2
zzz 
.
Remarques : 1 )
 IRxz
xxz  2
(valeur absolue de
x
).
2 ) Si on a
),( AA yxA
et
),( BB yxB
, donc
AAA iyxz 
et
BBB iyxz 
, alors
)()( ABABAB yyixxzz 
donc
AByyxxzz ABABAB  2
2
)(
.

Trigonométrie Si on a
)(zM
avec
0z
(donc
)0z
,
 2222
22
yx
y
i
yx
x
yxiyxz
où le point
 2222 ;yx
y
yx
x
N
est sur le cercle trigonométrique (car
1
22  NN yx
).
De plus
ONOM
avec
0
implique
0);( ONOM
donc
)arg(; zONu
et
)arg(sin)arg(cos zizzz 
.
Avec
)arg(z
, à chercher …
sincos izz 
.
Déf avec
)arg(z
, défini à
2.k
près,
sincos izz 
, c’est la forme trigonométrique de
z
.
Notation pratique :
i
ei  sincos
. Ex :
3/
2/2/3
i
ei 
.
iei
2/
. Bien sûr,
)arg( i e
et
1
i
e
.
Déf pour tout
0z
, on peut écrire
i
ezz 
, c’est la forme exponentielle de
z
.
eia.eib = (cos a +i sin a)(cos b +i sin b) = (cos a.cos b - sin a.sin b)+i(cos a.sin b + sin a.cos b) = cos (a+b)+i
sin(a+b) = ei(a+b).
)( baiibia eee 
, obtenue avec les formules de première …permet de les retrouver.
Déf Soit
b
a
V
un vecteur. L’affixe de
V
est
ibazV
. Bien sûr,
VbazV 22
, c’est la norme
(= la longueur) de
V
. En posant
V
=
OM
, on a
),( baM
d’où
),()arg()arg( OMuzz M
V
),( Vu
. (1)
Noter que 1 ) Si
ABV
, alors
ABABAB
Vzzyyixxz  )()(
. On réécrit (1)…
2 ) Si
V
zz 
et
W
zz '
, alors
WV
zzz   '
donc on voit
'zz 
(parallélogramme).
Noter que
'' zzzz 
(inégalité triangulaire : le plus court chemin entre deux points…est une droite)
En posant
z
,
'' z
,
)arg(z
et
)'arg(' z
, on a
 ' ''
ii eezz
)'(
'
i
e
d’où
'.' zzzz 
(*) et
)'arg()arg()'arg( zzzz 
, à
2.k
près. (**)
On en déduit facilement par récurrence : pour tout entier
0n
n
nzz 
et
)arg(.)arg( znzn
.
On montre la première formule en posant
n
H
:
n
nzz 
.
1
H
est vraie. Supposons
k
H
vraie, on a alors
zzz kk .
1
zzk.
(en posant
k
zz '
dans (*) 3lignes au-dessus )
zz k.
( car
k
H
est vraie)
1
k z
, ce qui prouve que
1k
H
est vraie.
Bien sûr, la deuxième se montre avec (**) et
)arg(.)arg( znzn
implique
inni ee )(
On en déduirait aussi
'/'/ zzzz 
et
)'arg()arg()'/arg( zzzz 
en utilisant le fait que
zzzz ').'/(
; d’où
)(
/baiibia eee 
.
Géométrie avec les points
)(aA
et
)(bB
, on a : 1 ) si
0r
 raz
 rAM
)(zM
est sur le cercle
de centre
A
, de rayon
r
. 2 )
 bzaz
 BMAM
)(zM
est sur la médiatrice de
A
et
B
.
3 ) Si
BetzMA )(,
sont distincts,
 IRbzaz /
ouvautbzaz 0argarg
),( AMu
),( BMu
BMetAMouvaut  0
colinéaires (avec Chasles)
BetMA,
alignés (peu utile…).