Chap 6 Nombres complexes.doc

L’ensemble C des nombres complexes
Chapitre 6
Déf
z  C  z  x  iy avec i 2  1 , x et y nombres réels. C’est l’écriture algébrique de z .
x  iy  a  ib  x  a et y  b .
Elle est unique, c’est-à-dire que si x, y, a et b sont réels,
Déf
x  Ré (z ) , partie réelle de z et y  Im( z ) , partie imaginaire de z ; ce sont des nombres réels.
On dit parfois :
M est l’image de z ,
On l’écrit M (z ) .
z est l’affixe de M .
On l’écrit z  zM .
Déf ( x  iy )  ( x'iy ' )  ( x  x' )  ( y  y ' )i .
Noter que I milieu de A et B  z I  ( z A  z B ) / 2 .
( x  iy ).( x'iy ' )  ( xx' yy ' )  ( xy' yx' )i .
On peut noter que si x  IR , alors x  x  0i  C . On a donc IR  C .
Déf Si z  x  iy , le conjugué de z , noté z , est z  x  iy .
Noter que z z  x  iy ( x  iy )  x 2  (iy ) 2  x 2  i 2 y 2  x 2  y 2 .
Il est évident que z  z '  z  z ' . On peut prouver que z.z'  z.z' .
Bien sûr, z  z  2 Ré ( z ) , z  z  2i Im( z ) ,
z  z  z  IR et z   z  z imaginaire pur.
Soit ( E ) l’équation ax 2  bx  c  0 ( a, b et c réels) . Si   b 2  4ac  0 , ( E ) admet les solutions
conjuguées z1 

bi 
bi 
et z 2  z1 
. (preuve : comme en première avec i  
2a
2a

2
 )
z x
y
z z z'
z z'
  i . Si z '  x'iy '  0 ,  .  2
(bien défini).
a a
a
z' z' z' x  y 2
Règle : on obtient la forme algébrique de z / z' en multipliant et divisant par le conjugué du dénominateur.
Déf Si z  x  iy et a IR , a  0 ,
Déf
Si z  x  iy , z 

x 2  y 2  OM est le module de z .

Si z  0 , l’angle (orienté) u ; OM est « l’ » argument de z , noté arg( z ) .
Bien sûr z  z et arg( z )   arg( z ) .
Remarques : 1 ) z  x  IR  z 
Noter que z z  z .
2
x 2  x (valeur absolue de x ).
2 ) Si on a A( xA , y A ) et B( xB , yB ) , donc z A  xA  iy A et zB  xB  iy B , alors
2
zB  z A  ( xB  xA )  i( yB  y A ) donc z B  z A  ( xB  x A )   yB  y A   AB .
2
Si on a M (z ) avec z  0 (donc z  0) ,
Trigonométrie

x
y
z  x  iy  x 2  y 2 
i
2
 x2  y 2
x  y2


x
y
N
;
2
 x2  y2
x  y2


 où le point



 est sur le cercle trigonométrique (car


x N2  y N2  1 ).
De plus OM   ON avec   0 implique (OM ; ON )  0 donc
u ; ON   arg( z) et z  z cosarg( z)  i sin arg( z) .
Avec
  arg( z ) , à chercher …
z  z cos   i sin   .
Déf avec   arg( z ) , défini à k.2 près, z  z cos   i sin   , c’est la forme trigonométrique de z .
Notation pratique
i / 2
 i . Bien sûr, arg( ei )   et ei  1 .
: cos   i sin   ei . Ex : 3 / 2  i / 2  ei / 3 . e
Déf pour tout z  0 , on peut écrire z  z e
i
, c’est la forme exponentielle de z .
eia.eib = (cos a +i sin a)(cos b +i sin b) = (cos a.cos b - sin a.sin b)+i(cos a.sin b + sin a.cos b) = cos (a+b)+i
sin(a+b) = ei(a+b).
eiaeib  ei ( ab ) , obtenue avec les formules de première …permet de les retrouver.
a
Déf Soit V   un vecteur. L’affixe de V est z  a  ib . Bien sûr, zV 
V
b
a 2  b 2  V , c’est la norme
(= la longueur) de V . En posant V = OM , on a M ( a, b) d’où arg( z )  arg( zM )  (u, OM )  (u,V ) . (1)
V
Noter que 1 ) Si V  AB , alors z  ( xB  xA )  i( yB  y A )  zB  z A . On réécrit (1)…
V
2 ) Si z  zV et z'  z , alors z  z '  z
donc on voit z  z ' (parallélogramme).
W
V W
Noter que z  z'  z  z' (inégalité triangulaire : le plus court chemin entre deux points…est une droite)
i
i '
i (  ')
En posant   z ,  '  z ' ,   arg( z ) et  '  arg( z ' ) , on a zz '   e  ' e    ' e
d’où
zz '  z . z '
(*)
et arg( zz ' )  arg( z )  arg( z ' ) , à k.2 près.
(**)
On en déduit facilement par récurrence : pour tout entier n  0 z n  z et arg( z n )  n. arg( z ) .
n
On montre la première formule en posant H n  :
(en posant
zn  z
n
. H1  est vraie. Supposons H k  vraie, on a alors z k 1  z k .z  z k . z
z '  z k dans (*) 3lignes au-dessus )  z . z ( car H k  est vraie)  z
k
Bien sûr, la deuxième se montre avec (**) et arg( z n )  n. arg( z ) implique
k 1
, ce qui prouve que H k 1  est vraie.
( ei ) n  ein
On en déduirait aussi
z / z'  z / z' et arg( z / z ' )  arg( z )  arg( z ' ) en utilisant le fait que ( z / z ' ). z '  z ; d’où e ia / e ib  e i ( ab ) .
Géométrie avec les points A(a ) et B (b) , on a : 1 ) si r  0 z  a  r  AM  r  M (z ) est sur le cercle
de centre A , de rayon r .
2 ) z  a  z  b  AM  BM  M (z ) est sur la médiatrice de A et B .
3 ) Si A, M ( z ) et B sont distincts, z  a  /z  b IR  argz  a  argz  b vaut 0 ou   (u, AM )
 (u, BM ) vaut 0 ou   AM et BM colinéaires (avec Chasles)  A, M et B alignés (peu utile…).