Endomorphismes commutant avec les translations On note B = (1, X ,..., X n ) la base canonique de ℝ n [X ] . Partie I On considère une suites de réels deux à deux distincts : (an )n∈ℕ . Pour n ∈ ℕ∗ , on note M n la matrice carrée d’ordre n + 1 dont l’élément d’indice (i , j ) est a nj −−1i +1 . a 0n a1n ⋯ ann n − 1 a1n −1 ⋯ ann−1 Autrement dit : M n = a 0 ⋮ ⋮ ⋮ 1 1 ⋯ 1 On pose Vn son déterminant que nous allons calculer maintenant : 1. a 0n a1n a 0n −1 a1n−1 On introduit la fonction f : ℝ → ℝ définie par : f (x ) = ⋮ ⋮ a0 a1 1 1 ⋯ ann−1 x n ⋯ ann−−11 x n−1 ⋮ ⋮ . ⋯ an −1 x ⋯ 1 1 1.a Justifier que f est une fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à n . Exprimer le coefficient λ de x n dans f (x ) à l’aide de l’un des termes de la suite (Vn )n∈ℕ . 1.b Justifier que a 0 ,a1 ,...,an−1 sont racines de f . 1.c En déduire que ∀x ∈ ℝ , f (x ) = λ∏ (x −ak ) . n −1 k =0 1.d ∗ Conclure : ∀n ∈ ℕ ,Vn = ∏ (ai −a j ) . 0≤i <j ≤n 2. On considère n + 1 nombres réels deux à deux distincts : a 0 ,a1 ,...,an et on considère la famille de polynômes : C = (Pk )0≤k ≤n où Pk = (X + ak )n . 2.a Former la matrice représentative de la famille C relative à la base B . 2.b Etablir que C est une base de ℝ n [X ] . Partie II On désigne par n un entier naturel non nul. 1. Pour tout h ∈ ℝ , on définit une application Th en posant pour tout P ∈ ℝ n [X ] : Th (P ) = P (X + h ) . 1.a Justifier que Th est un endomorphisme de ℝ n [X ] . 1.b Quel en est le déterminant ? On désire déterminer l’ensemble E formée des endomorphismes ϕ de ℝ n [X ] satisfaisant la propriété : ∀h ∈ ℝ, ϕ Th = Th ϕ . 2. Montrer que E est un sous-espace vectoriel et un sous-anneau algèbre de L( ℝ n [X ]) . 3. On note D l’endomorphisme de dérivation dans ℝ n [X ] i.e. l’application D : ℝ n [X ] → ℝ n [X ] définie par D : P ֏ P ′ . 3.a Etablir que D ∈ E . 3.b Justifier que ∀k ∈ {0,1,..., n } , D k ∈ E . 3.c Etablir que la famille (D k )0≤k ≤n est libre. 4. Soit θ : E → ℝ n [X ] définie par θ (ϕ ) = ϕ (X n ) . 4.a 4.b 4.c 5. Montrer que θ est une application linéaire. Etablir que θ est injective. Déterminer la dimension de E . Donner une base de E .