interrogation ecrite n°1 - PCSI

INTERROGATION ECRITE N°12
I – Un point matériel M glisse sans frottement sur un support entre un point A, d’altitude
A3,4 mz=
, et un point B, d’altitude
B1,2 mz=
. On néglige la vitesse initiale de
M
devant celle atteinte en
B
. Déterminer la vitesse
v
de
M
en
B
.
II - On étudie le mouvement de particules chargées soumises à un champ
magnétostatique uniforme
0
B
r
.On envisage le cas, important en pratique, où le
vecteur-vitesse initial
0
v
r
est perpendiculaire au champ magnétique
0
B
r
.
On choisit l’origine
O
au niveau de la position initiale de la particule, l’axe
Oz
suivant la direction du champ magnétique
0
B
r
, l’axe
Ox
suivant la direction du
vecteur-vitesse initial
0
v
r
.
On néglige le poids de la particule par rapport à la force de Lorentz.
1°) Montrer que
( )
0
d
dy x x y
qB
vv u v u
tm
=-
rrr
.
2°) On note
0
cqB
m
w=
. Montrer que
c
w
a la dimension de l'inverse d'un temps.
On nomme
c
w
est appelée pulsation cyclotron.
3°) Montrer que le mouvement de la particule chargée s’effectue dans un plan orthogonal au
champ magnétique.
4°) Montrer que
c
d0
dxy
vv
tw-=
et
c
d0
dyx
vv
tw+=
.
Pour résoudre ce système d'équations couplées, on va utiliser la variable complexe
j
xy
V v v=+
.
5°) En combinant les équations
( )
1
et
( )
2
, montrer que
c
dj0
d
VV
tw+=
. En déduire
( )
0c
cos
x
v v tw=
et
( )
0c
sin
y
v v tw=-
.
6°) Montrer que
( ) ( )
0c
csin
v
x t tw
w
=
et
( ) ( )
0c
ccos 1
v
y t tw
wéù
=-
ëû
.
7°) Déterminer l'équation de la trajectoire. Retrouver ainsi que la trajectoire est circulaire,
de centre
0
c
C 0, v
w
æö
÷
ç÷
-
ç÷
ç÷
ç
èø
et de rayon
0
c
v
Rw =
. Représenter les trajectoires possibles.
NOM : NOTE OBTENUE / 20
Prénom :
Classe :
Appréciations :

III - On considère un fil de longueur
l
accroché en un point
O
, fixe dans le référentiel d’étude supposé galiléen, auquel est
suspendu un point matériel
M
libre de se déplacer dans un
plan vertical passant par
O
. À l’aide du théorème du moment
cinétique, déterminer l’équation du mouvement de
M
.