interrogation ecrite n°1 - PCSI

NOM :
Prénom :
Classe :
INTERROGATION ECRITE N°12
NOTE OBTENUE
/ 20
Appréciations :
I – Un point matériel M glisse sans frottement sur un support entre un point A, d’altitude
z A = 3, 4 m , et un point B, d’altitude z B = 1, 2 m . On néglige la vitesse initiale de M
devant celle atteinte en B . Déterminer la vitesse v de M en B .
II - On étudie le mouvement de particules chargées soumises à un champ
r
magnétostatique uniforme B 0 .On envisage le cas, important en pratique, où le
r
r
vecteur-vitesse initial v 0 est perpendiculaire au champ magnétique B 0 .
On choisit l’origine O au niveau de la position initiale de la particule, l’axe Oz
r
suivant la direction du champ magnétique B 0 , l’axe Ox suivant la direction du
r
vecteur-vitesse initial v 0 .
On néglige le poids de la particule par rapport à la force de Lorentz.
r
qB 0
r
r
dv
1°) Montrer que
=
vy u x - v x u y ) .
(
dt
m
qB 0
2°) On note wc =
. Montrer que wc a la dimension de l'inverse d'un temps.
m
On nomme wc est appelée pulsation cyclotron.
3°) Montrer que le mouvement de la particule chargée s’effectue dans un plan orthogonal au
champ magnétique.
4°) Montrer que
dv
d vx
- wcvy = 0 et y + wcvx = 0 .
dt
dt
Pour résoudre ce système d'équations couplées, on va utiliser la variable complexe
V = v x + j vy .
5°) En combinant les équations (1 ) et (2 ) , montrer que
dV
+ j wcV = 0 . En déduire
dt
vx = v 0 cos ( wct ) et vy = - v 0 sin ( wct ).
6°) Montrer que x (t ) =
v0
v
sin ( wct ) et y (t ) = 0 éëcos ( wct ) - 1 ù
û.
wc
wc
7°) Déterminer l'équation de la trajectoire. Retrouver ainsi que la trajectoire est circulaire,
æ
çè
de centre C çç 0, -
ö
v0 ÷
v0
÷
et
de
rayon
. Représenter les trajectoires possibles.
R
=
÷
wc ÷
wc
ø
III - On considère un fil de longueur l accroché en un point
O , fixe dans le référentiel d’étude supposé galiléen, auquel est
suspendu un point matériel M libre de se déplacer dans un
plan vertical passant par O . À l’aide du théorème du moment
cinétique, déterminer l’équation du mouvement de M .