ECS 922. Convergence et approximation de lois

ECS 922. Convergence et approximation de lois
I Convergence en probabilit´e
1. In´egalit´e de Markov
Th´eor`eme :
Si Xest une variable al´eatoire discr`ete ou `a densit´e qui admet un moment d’ordre 2, alors :
∀ε > 0, P (|X|>ε)6E(X2)
ε2
Id´ee de la d´emonstration :
Cas d’une variable discr`ete :X(Ω) = {xi/i ∈I}o`u Iest un intervalle de Z.
Posons J={i∈I/ |xi|>ε}et remarquons que P(|X|>ε) = X
i∈J
P(X=xi).
E(X2) = X
i∈I
x2
iP(X=xi)>X
i∈J
x2
iP(X=xi)>X
i∈J
ε2P(X=xi) = ε2P(|X|>ε)
d’o`u l’in´egalit´e de Markov.
Cas d’une variable `a densit´e : Soit fune densit´e de X.
E(X2) = Z+∞
−∞
t2f(t) dt=Z−ε
−∞
t2f(t) dt+Z+ε
−ε
t2f(t) dt+Z+∞
ε
t2f(t) dt
donc E(X2)>Z−ε
−∞
t2f(t) dt+Z+∞
ε
t2f(t) dt>Z−ε
−∞
ε2f(t) dt+Z+∞
ε
ε2f(t) dt
ou encore E(X2)>ε2P¡(X6−ε)∪(X>ε)¢=ε2P(|X|>ε)
d’o`u l’in´egalit´e de Markov.
2. In´egalit´e de Bienaym´e-Tchebychev
Th´eor`eme :
Si Xest une variable al´eatoire qui admet une variance :
∀ε > 0, P (|X−E(X)|>ε)6V(X)
ε2
ou encore:
∀ε > 0, P (|X−E(X)|< ε)>1−V(X)
ε2
Id´ee de la d´emonstration : On obtient la premi`ere in´egalit´e en appliquant l’in´egalit´e de Markov
`a la variable al´eatoire X−E(X). La seconde s’en d´eduit par passage `a l’´ev´enement contraire.
3. Convergence en probabilit´e
D´efinition :
Soit (Xn)n>1une suite de variables al´eatoires sur (Ω,A, P ) et Xune variable al´eatoire sur
(Ω,A, P ).
On dit que la suite (Xn) converge en probabilit´e vers Xet on note Xn−→
PXsi :
∀ε > 0,lim
n→+∞P(|Xn−X|>ε) = 0
4. Loi faible des grands nombres.
Proposition : (Loi faible des grands nombres.)

Soit (Xn)n∈Nune suite de variables al´eatoires ind´ependantes admettant toutes une mˆeme
esp´erance met une mˆeme variance σ2. Alors, la suite (Xn) d´efinie par Xn=1
n
n
X
i=1
Xiconverge
en probabilit´e vers la variable certaine ´egale `a m.
Autrement dit : ∀ε > 0 lim
n→+∞P(m−ε61
n
n
X
i=1
Xi6m+ε) = 1
Id´ee de la d´emonstration : On applique l’in´egalit´e de Bienaym´e-Tchebychev `a la variable al´eatoire
Xndont l’esp´erance est met la variance 1
nσ2.
Exemple important: Si les Xisuivent la loi de Bernoulli de param`etre pet sont ind´ependantes,
on a:
lim
n→∞ Pﯯ¯¯
1
n
n
X
i=1
Xi−p¯¯¯¯¯ 6ε!= 1
ce qui justifie la notion intuitive de probabilit´e : hhla probabilit´e d’un ´ev´enement est la limite de
sa fr´equence lorsque l’on r´ep`ete ind´efiniment l’exp´erience al´eatoire ii .
II Convergence en loi.
1. D´efinition et caract´erisations
On va noter syst´ematiquement FTla fonction de r´epartition d’une variable al´eatoire T.
D´efinition : On dit qu’une suite (Xn) de variables al´eatoires converge en loi vers une variable
al´eatoire Xsi:
pour tout r´eel xen lequel FXest continue, lim
n→∞ FXn(x) = FX(x)
Th´eor`eme : La suite (Xn)n∈N∗converge en loi vers Xsi et seulement si: quel que soit l’intervalle
Ide Rdont chacune des bornes finies est un point de continuit´e de FX,
lim
n→+∞P(Xn∈I) = P(X∈I)
Corollaire(Convergence en loi d’une suite de variables al´eatoires `a valeurs dans N.)
Soit (Xn) une suite de variables al´eatoires `a valeurs dans N(ceci signifie que, pour tout entier
naturel n,Xn(Ω) ⊂N).
Soit Xune variable al´eatoire `a valeurs dans N.
La suite (Xn) converge en loi vers Xsi et seulement si
∀k∈Nlim
n→∞ P(Xn=k) = P(X=k)
2. Convergence de la loi binomiale vers la loi de Poisson.
Proposition : Soit λ∈R∗
+. Soit (Xn)n>λ une suite de variables al´eatoires telles que Xn→
B(n, λ/n). Alors, la suite (Xn) converge en loi vers une variable al´eatoire Xsuivant la loi P(λ).
Remarque : Xnet Xont mˆeme esp´erance.
Id´ee de la d´emonstration : L’essentiel est de ne pas perdre de vue que λet ksont fixes et que
c’est nqui tend vers l’infini. Pour tout entier naturel k, on a pour tout n>k:
P(Xn=k) = ¡n
k¢µλ
n¶kµ1−λ n¶n−k
=λk
k!
n(n−1) . . . (n−k+ 1)
nk
1
(1 −λ
n)kµ1−λ
n¶n
mais n(n−1) . . . (n−k+ 1) ∼
n→∞ nk
et lim
n→∞(1 −λ
n)k) = 1 et ln µµ1−λ n¶n¶=nln(1 −λ n)∼
n→∞ n(−λ
n) = −λ
donc lim
n→∞ P(Xn=k) = e−λλk
k!, ce qu’il fallait d´emontrer.
Application `a l’approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson.
On consid`ere que si n>30, p60.1 et np < 15, on peut faire l’approximation de la loi B(n, p)
par la loi P(np).
2

Ceci signifie que si X → B(n, p), et si Y → P(np), on a, pour tout entier naturel k:
P(X=k)'P(Y=k).
3. Exercice : Convergence de la loi hyperg´eom´etrique vers la loi binomiale.
Proposition : Soit p∈]0,1[ et n∈N∗. Soit (Ni) une suite strictement croissante d’entiers naturels
telle que : ∀i∈NNi.p ∈N.
Soit (Xi) une suite de variables al´eatoires telles que, pour tout i:Xi→ H(Ni, n, p)
Alors, la suite (Xi) converge en loi vers une variable al´eatoire Xsuivant la loi B(n, p).
Remarque : Xnet Xont mˆeme esp´erance.
Id´ee de la d´emonstration : Mˆeme principe que la pr´ec´edente. Soit kun entier naturel. Notons N
au lieu de Ni.P(Xi=k) = ³N p
k´³N q n−k´
³N
n´s’´ecrit aussi:
P(Xi=k) = n!
k!(n−k)!
˙
((Np)(Np −1) ···(N p −k+ 1)][(Nq)(Nq −1) ···(Nq −n+k+ 1)]
N(N−1) ···(N−n+ 1)
qui a pour limite ¡n
k¢pkqn−k.
Application `a l’approximation d’une loi hyperg´eom´etrique par une loi binomiale.
On consid`ere que si N>10n, on peut faire l’approximation de la loi H(N, n, p) par la loi B(n, p).
Ceci signifie que si X → H(N, n, p), et si Y → B(n, p), on a, pour tout entier naturel k:
P(X=k)'P(Y=k).
4. Th´eor`eme de la limite centr´ee.
Th´eor`eme : (admis)
Si (Xn) est une suite de variables al´eatoires ind´ependantes et de mˆeme loi de probabilit´e qui
admettent une esp´erance et une variance, alors la variable centr´ee r´eduite S∗
nassoci´ee `a
Sn=
n
X
k=1
Xk
converge en loi vers une variable suivant la loi normale centr´ee r´eduite.
Cela signifie que, si a < b : lim
n→+∞P(a6S∗
n6b) = Zb
a
1
√2πexp(−t2
2) dt.
5. Exercice : Convergence de la loi binomiale vers la loi normale
Proposition : Soit p∈]0,1[, fix´e. Soit (Sn)n∈N∗une suite de variables al´eatoires telle que, pour
tout entier naturel n,Sn→ B(n, p). Alors, la suite (S∗
n) des variables centr´ees r´eduites associ´ees
aux Snconverge en loi vers une variable suivant la loi normale centr´ee r´eduite.
Id´ee de la d´emonstration : Consid´erons une suite (Xn) de variables ind´ependantes sur (Ω,B, P )
suivant toutes la loi de Bernoulli de param`etre p.Sn=X1+··· +Xnv´erifie les hypoth`eses de
ce th´eor`eme et on peut appliquer `a la suite (Xn) le th´eor`eme de la limite centr´ee, qui donne la
conclusion.
Application `a l’approximation de loi binomiale par la loi normale.
On consid`ere que si n>30, np >15 et npq > 5, on peut faire l’approximation de la loi B(n, p)
par la loi N(np, npq). Plus pr´ecis´ement, si X → B(n, p) et Y → N(np, npq),
P(X=k)'
P(k−0.5< Y 6k+ 0.5) si k∈[[1, n −1]]
P(Y60.5) si k= 0
P(Y > n −0.5) si k=n
Remarque : Xet Yont mˆeme esp´erance et mˆeme variance.
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