Interrogation n 2, durée 1h

Université François Rabelais de Tours
Laboratoire de Mathématiques et Physique Théorique
Interrogation n◦2, durée 1h
UE 6-3 Algèbre
Semestre 6
Les trois exercices sont indépendants. La notation tiendra compte de la clarté de la rédaction. Toute affirmation doit être justifiée. Le barème est indicatif.
Exercice 1. (2 points) Soit E un K-espace vectoriel. Soit B = (e1 , . . . , en ) une base de E et B ∗ =
(e∗1 , . . . , e∗n ) sa base duale.
1) Compléter :
∀x ∈ E, x =
n
X
et
. . . ei
∀ϕ ∈ E ∗ , ϕ =
n
X
. . . e∗i .
i=1
i=1
2) On suppose que E = R2 [X]. Pour tout a ∈ R on pose
ϕa :
R2 [X] −→
R
.
P
7−→ P (a)
(a) Montrer que B ∗ = (ϕ0 , ϕ1 , ϕ2 ) est une base de E ∗ .
(b) Déterminer la base préduale de B ∗ .
(c) Déterminer λ0 , λ1 , λ2 tels que ψ = λ0 ϕ0 + λ1 ϕ1 + λ2 ϕ2 où ψ ∈ E ∗ est définie par ψ(P ) = P ′ (1).
Exercice 2. (6 points) Soit E un K-espace vectoriel et soit u ∈ L (E). On rappelle que t u est définie
par :
t
u : E ∗ −→ E ∗
.
f 7−→ f ◦ u
1) Soit D ⊂ E ∗ . Montrer que D◦ = {x ∈ E | hϕ, xi = 0, ∀ϕ ∈ D} est un s.e.v de E.
On supposera dorénavant que D est un sous-espace vectoriel de E ∗ .
2) Montrer que dim D◦ = dim(E) − dim D.
[ On commencera par compléter une base de D en une base de E ∗ .]
3) Donner une base de D◦ lorsque E = R4 et D = Vect(e∗1 − e∗2 , e∗2 − e∗3 ).
4) On suppose que D est stable par t u. Montrer que D◦ est stable par u.
5) On suppose qu’il existe un s.e.v G de E ∗ , stable par t u et tel que E ∗ = D ⊕ G.
(a) Montrer que E = D◦ ⊕ G◦ .
(b) Soient B une base de E telle que B = (e1 , . . . , ep , ep+1 , . . . , en ).
{z
}
| {z } |
base de D◦
base de G◦
Donner la forme de la matrice de u dans la base B.
Exercice 3. (2 points) Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Soit u ∈ L (E) et soit B =
(e1 , . . . , en ) une base de E telle que la matrice de u dans B est triangulaire supérieure. Déterminer une
base de E ∗ telle que t u soit triangulaire supérieure.
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