MESURES ET ANALYSES STATISTIQUES DE DONNÉES

MESURES ET ANALYSES STATISTIQUES DE DONNÉES
Probabilités
Master Génie des Systèmes Industriels, mentions ACCIE et RIM
Université du Littoral - Côte d’Opale, La Citadelle
Laurent SMOCH
(smoc[email protected])
Septembre 2012
Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées Joseph Liouville
Université du Littoral, zone universitaire de la Mi-Voix, bâtiment H. Poincarré
50, rue F. Buisson, BP 699, F-62228 Calais cedex

Table des matières
1 Le dénombrement 1
1.1 Notations ............................................... 1
1.1.1 Préliminaires ......................................... 1
1.1.2 Ensembleproduit....................................... 1
1.1.3 Notationfactorielle...................................... 2
1.2 Ledénombrement........................................... 2
1.2.1 Ensembleproduit....................................... 2
1.2.2 Nombre d’applications d’un ensemble Ede cardinal pdans un ensemble Fde cardinal n2
1.2.3 Parties d’un ensemble et cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.4 Arrangements......................................... 5
1.2.5 Permutations ......................................... 5
1.2.6 Combinaisons......................................... 6
1.2.7 Combinaisons avec répétition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.8 Modèle fondamental : schéma d’urne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Exercices ............................................... 8
2 La probabilité 13
2.1 Levocabulaire ............................................ 13
2.1.1 Expérience aléatoire et univers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.2 Evénements.......................................... 13
2.1.3 Propriétés de P(Ω) ...................................... 13
2.1.4 Opérations sur les événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Probabilité .............................................. 14
2.2.1 Axiomedeprobabilité .................................... 14
2.2.2 Conséquences......................................... 15
2.3 Ensemblesprobabilisés........................................ 15
2.3.1 Ensembles finis probabilisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.2 Ensembles infinis dénombrables probabilisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Probabilitéconditionnelle ...................................... 17
2.4.1 Définition ........................................... 17
2.4.2 Exemple............................................ 18
2.4.3 Indépendance en probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.4 LaformuledeBayes ..................................... 19
2.5 Exercices ............................................... 20
3 Les variables aléatoires réelles 23
3.1 Introduction-Exemple........................................ 23
3.2 Définitionsetpropriétés ....................................... 24
3.3 Types de variables aléatoires réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4.1 Définition ........................................... 26
3.4.2 Représentation graphique - Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
I

II TABLE DES MATIÈRES
3.4.3 Représentation graphique - Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.5 Fonction de répartition d’une variable aléatoire continue - Densité de probabilité . . . . . . . 29
3.5.1 Définition ........................................... 29
3.5.2 Interprétation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.5.3 Propriétés de la fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.5.4 Exemple............................................ 30
3.6 Moments d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.6.1 Espérance mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.6.2 Variablecentrée........................................ 32
3.6.3 Moments d’ordre k...................................... 32
3.6.4 Moments centrés d’ordre k.................................. 32
3.6.5 Varianceetécart-type .................................... 32
3.6.6 Momentsfactoriels...................................... 34
3.7 Exercices ............................................... 34
4 Lois de probabilités discrètes usuelles 41
4.1 LoietvariabledeBernoulli ..................................... 41
4.1.1 Définition ........................................... 41
4.1.2 Moments ........................................... 41
4.2 Loietvariablebinomiales ...................................... 42
4.2.1 Définition ........................................... 42
4.2.2 Moments ........................................... 42
4.2.3 Somme de deux variables binomiales indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2.4 Loi et variable fréquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3 Loi et variable multinomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3.1 Exemple............................................ 44
4.3.2 Loitrinomiale......................................... 44
4.3.3 Loimultinomiale ....................................... 45
4.4 Loi et variables hypergéométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.4.1 Définition ........................................... 45
4.4.2 Lesmoments ......................................... 46
4.4.3 Limite d’une variable hypergéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.5 LoietvariabledePoisson ...................................... 46
4.5.1 Définition ........................................... 47
4.5.2 Lesmoments ......................................... 47
4.5.3 Somme de deux variables de Poisson indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.5.4 Limite d’une variable binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.6 Loietvariablegéométriques..................................... 48
4.6.1 Définition ........................................... 48
4.6.2 Moments ........................................... 49
4.7 Exercices ............................................... 49
5 Lois de probabilités continues usuelles 55
5.1 Loietvariableuniformes....................................... 55
5.1.1 Définition ........................................... 55
5.1.2 Fonctionderépartition.................................... 55
5.1.3 Moments ........................................... 56
5.2 Laloiexponentielle.......................................... 57
5.2.1 Définition ........................................... 57
5.2.2 Fonctionderépartition.................................... 57
5.2.3 Lesmoments ......................................... 57
5.3 La loi de Laplace-Gauss ou loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

TABLE DES MATIÈRES III
5.3.1 Définition ........................................... 58
5.3.2 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.3.3 Lesmoments ......................................... 59
5.3.4 Variable normale centrée réduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.3.5 Fonctionderépartition.................................... 60
5.3.6 Tabledel’écartréduit .................................... 62
5.3.7 Exemples ........................................... 63
5.3.8 Remarques .......................................... 64
5.3.9 Relation entre la fonction de répartition et la densité de probabilité des loi normale et
loinormalecentréeréduite.................................. 64
5.3.10 Propriétés........................................... 64
5.3.11 Somme de deux variables normales indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.3.12 Approximation d’une loi binomiale par une loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3.13 Résumé sur les approximations de lois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.4 Loi et variable du χ2(Khi-deux)dePearson............................ 66
5.4.1 La distribution du χ2.................................... 66
5.4.2 Lesdonnéesduproblème .................................. 67
5.4.3 Ajustement d’une distribution observée à une distribution théorique . . . . . . . . . . 67
5.5 LoideStudent-Fischer........................................ 73
5.5.1 Définition ........................................... 73
5.5.2 Lescourbes.......................................... 74
5.5.3 Lesmoments ......................................... 74
5.5.4 Lestables........................................... 74
5.6 LoideFischer-Snedecor ....................................... 75
5.6.1 Définition ........................................... 75
5.6.2 Lescourbes.......................................... 76
5.6.3 Lesmoments ......................................... 76
5.6.4 Lestables........................................... 77
5.7 Exercices ............................................... 77

IV TABLE DES MATIÈRES