PCSI1Résumé - Probabilités discrètes finies 2016-2017
I - Expérience aléatoire et univers
∙Définition : on appelle univers l’ensemble des résultats possibles d’une expérience aléatoire.
Dans ce cours, l’univers Ωsera toujours fini (et non vide).
Exemple 1 : on lance successivement 2 fois une pièce de monnaie, alors Ω = {𝑃 𝑃, 𝑃 𝐹, 𝐹 𝑃, 𝐹 𝐹 }.
Exemple 2 : on lance un dé à 6 faces, on note le numéro apparent : Ω = {1,2,3,4,5,6}.
Exemple 3 : on lance 2 pièces simultanément, alors Ω = {𝑃 𝑃, 𝑃 𝐹, 𝐹 𝐹 }.
∙Définition : soit Ω = {𝜔1, 𝜔2, . . . , 𝜔𝑛}, un univers fini. On appelle
♥événement élémentaire : tout singleton de Ω. Les événements élémentaires sont donc
les {𝜔1},{𝜔2}, ..., {𝜔𝑛}.
♥événement : toute partie 𝐴de Ωi.e tout élément de 𝒫(Ω) (ensemble des parties de
Ω, donc ensemble des événements liés à l’expérience). Un événement est donc la réunion
d’événements élémentaires. Exemple : 𝐴={𝜔3, 𝜔7, 𝜔9}={𝜔3}∪{𝜔7}∪{𝜔9}.
♥événement impossible : l’ensemble vide ∅(événement qui n’est jamais réalisé).
♥événement certain : l’ensemble Ω(événement qui se réalise toujours).
Si 𝜔, événement élémentaire, est le résultat de l’expérience, on dit que 𝐴est réalisé si 𝜔∈𝐴.
Exemple 1 : l’événement 𝐴=«les deux faces sont distinctes» est 𝐴={𝑃 𝐹, 𝐹 𝑃 }.
Exemple 2 : l’événement 𝐴=«le numéro est pair» est 𝐴={2,4,6}.
Exemple 3 : l’événement 𝐴=«les deux faces sont distinctes» est 𝐴={𝑃 𝐹 }.
∙Définition : soit 𝐴et 𝐵, deux événements d’un univers Ω(donc 𝐴, 𝐵 ∈ 𝒫(Ω)). On définit
♥l’événement contraire de 𝐴: c’est «non 𝐴», noté 𝐴=le complémentaire de 𝐴dans Ω.
On a (𝜔∈𝐴)⇔(𝜔 /∈𝐴):𝐴est réalisé ssi 𝐴n’est pas réalisé. Bien entendu : (𝐴) = 𝐴.
♥l’événement «𝐴et 𝐵»: c’est l’intersection 𝐴∩𝐵.
On a : (𝜔∈𝐴∩𝐵)⇔(𝜔∈𝐴et 𝜔∈𝐵):𝐴∩𝐵est réalisé ssi 𝐴et 𝐵sont réalisés.
♥l’événement «𝐴ou 𝐵»: c’est l’union 𝐴∪𝐵.
On a : (𝜔∈𝐴∪𝐵)⇔(𝜔∈𝐴ou 𝜔∈𝐵):𝐴∪𝐵est réalisé ssi 𝐴ou 𝐵sont réalisés i.e si
l’un, au moins, des événements 𝐴ou 𝐵est réalisé.
∙Rappels : les lois de Morgan :
non(𝐴ou 𝐵) = (non 𝐴) et (non 𝐵) et non(𝐴et 𝐵) = (non 𝐴) ou (non 𝐵)
i.e 𝐴∪𝐵=𝐴∩𝐵et 𝐴∩𝐵=𝐴∪𝐵
On a aussi (distributivité de ∩sur ∪et de ∪sur ∩) :
𝐴∩(𝐵∪𝐶) = (𝐴∩𝐵)∪(𝐴∩𝐶)et 𝐴∪(𝐵∩𝐶) = (𝐴∪𝐵)∩(𝐴∪𝐶).
∙Définition : les deux événements 𝐴et 𝐵sont dits incompatibles s’ils ne peuvent être
réalisés au cours de la même expérience, autrement dit s’ils sont disjoints :𝐴∩𝐵=∅.
∙Définition : on appelle système complet d’événements d’un univers Ωtoute famille d’évé-
nements 𝐴1,𝐴2, ..., 𝐴𝑞deux à deux disjoints dont la réunion est Ω. Autrement dit si :
𝐴1∪𝐴2∪. . . ∪𝐴𝑞= Ω et pour 𝑖∕=𝑗:𝐴𝑖∩𝐴𝑗=∅.
Exemples :
–1/4– Lycée Faidherbe, Lille