I - Expérience aléatoire et univers

PCSI1Résumé - Probabilités discrètes finies 2016-2017
I - Expérience aléatoire et univers
∙Définition : on appelle univers l’ensemble des résultats possibles d’une expérience aléatoire.
Dans ce cours, l’univers Ωsera toujours fini (et non vide).
Exemple 1 : on lance successivement 2 fois une pièce de monnaie, alors Ω = {𝑃 𝑃, 𝑃 𝐹, 𝐹 𝑃, 𝐹 𝐹 }.
Exemple 2 : on lance un dé à 6 faces, on note le numéro apparent : Ω = {1,2,3,4,5,6}.
Exemple 3 : on lance 2 pièces simultanément, alors Ω = {𝑃 𝑃, 𝑃 𝐹, 𝐹 𝐹 }.
∙Définition : soit Ω = {𝜔1, 𝜔2, . . . , 𝜔𝑛}, un univers fini. On appelle
♥événement élémentaire : tout singleton de Ω. Les événements élémentaires sont donc
les {𝜔1},{𝜔2}, ..., {𝜔𝑛}.
♥événement : toute partie 𝐴de Ωi.e tout élément de 𝒫(Ω) (ensemble des parties de
Ω, donc ensemble des événements liés à l’expérience). Un événement est donc la réunion
d’événements élémentaires. Exemple : 𝐴={𝜔3, 𝜔7, 𝜔9}={𝜔3}∪{𝜔7}∪{𝜔9}.
♥événement impossible : l’ensemble vide ∅(événement qui n’est jamais réalisé).
♥événement certain : l’ensemble Ω(événement qui se réalise toujours).
Si 𝜔, événement élémentaire, est le résultat de l’expérience, on dit que 𝐴est réalisé si 𝜔∈𝐴.
Exemple 1 : l’événement 𝐴=«les deux faces sont distinctes» est 𝐴={𝑃 𝐹, 𝐹 𝑃 }.
Exemple 2 : l’événement 𝐴=«le numéro est pair» est 𝐴={2,4,6}.
Exemple 3 : l’événement 𝐴=«les deux faces sont distinctes» est 𝐴={𝑃 𝐹 }.
∙Définition : soit 𝐴et 𝐵, deux événements d’un univers Ω(donc 𝐴, 𝐵 ∈ 𝒫(Ω)). On définit
♥l’événement contraire de 𝐴: c’est «non 𝐴», noté 𝐴=le complémentaire de 𝐴dans Ω.
On a (𝜔∈𝐴)⇔(𝜔 /∈𝐴):𝐴est réalisé ssi 𝐴n’est pas réalisé. Bien entendu : (𝐴) = 𝐴.
♥l’événement «𝐴et 𝐵»: c’est l’intersection 𝐴∩𝐵.
On a : (𝜔∈𝐴∩𝐵)⇔(𝜔∈𝐴et 𝜔∈𝐵):𝐴∩𝐵est réalisé ssi 𝐴et 𝐵sont réalisés.
♥l’événement «𝐴ou 𝐵»: c’est l’union 𝐴∪𝐵.
On a : (𝜔∈𝐴∪𝐵)⇔(𝜔∈𝐴ou 𝜔∈𝐵):𝐴∪𝐵est réalisé ssi 𝐴ou 𝐵sont réalisés i.e si
l’un, au moins, des événements 𝐴ou 𝐵est réalisé.
∙Rappels : les lois de Morgan :
non(𝐴ou 𝐵) = (non 𝐴) et (non 𝐵) et non(𝐴et 𝐵) = (non 𝐴) ou (non 𝐵)
i.e 𝐴∪𝐵=𝐴∩𝐵et 𝐴∩𝐵=𝐴∪𝐵
On a aussi (distributivité de ∩sur ∪et de ∪sur ∩) :
𝐴∩(𝐵∪𝐶) = (𝐴∩𝐵)∪(𝐴∩𝐶)et 𝐴∪(𝐵∩𝐶) = (𝐴∪𝐵)∩(𝐴∪𝐶).
∙Définition : les deux événements 𝐴et 𝐵sont dits incompatibles s’ils ne peuvent être
réalisés au cours de la même expérience, autrement dit s’ils sont disjoints :𝐴∩𝐵=∅.
∙Définition : on appelle système complet d’événements d’un univers Ωtoute famille d’évé-
nements 𝐴1,𝐴2, ..., 𝐴𝑞deux à deux disjoints dont la réunion est Ω. Autrement dit si :
𝐴1∪𝐴2∪. . . ∪𝐴𝑞= Ω et pour 𝑖∕=𝑗:𝐴𝑖∩𝐴𝑗=∅.
Exemples :
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♥pour tout événement 𝐴de Ω,𝐴et 𝐴forment un système complet d’événements de Ω.
En particulier : Ωet ∅.
♥les événements élémentaires {𝜔1},...,{𝜔𝑛}forment un système complet d’événements de
Ω.
♥si (𝐴1, 𝐴2, . . . , 𝐴𝑞)est un système complet d’événements : (𝐴1, 𝐴2, . . . , 𝐴𝑞,∅,...,∅)aussi.
II - Espaces probabilisés finis
Soit Ω = {𝜔1, 𝜔2, . . . , 𝜔𝑛}, un univers fini.
∙Définition : on appelle probabilité sur l’univers fini Ωtoute application ℙ:𝒫(Ω) →[0,1]
vérifiant
♥ℙ(Ω) = 1
♥pour tous les événements 𝐴et 𝐵incompatibles (i.e 𝐴∩𝐵=∅, parties disjointes), on a
ℙ(𝐴∪𝐵) = ℙ(𝐴) + ℙ(𝐵).
∙Définition : on appelle espace probabilisé fini tout couple (Ω,ℙ)forme d’un univers fini Ω
et d’une probabilité ℙsur Ω. Dans ce cas, pour tout événément 𝐴∈ 𝒫(Ω), le réel ℙ(𝐴), situé
dans l’intervalle [0,1], s’appelle la probabilité de l’événement 𝐴.
Dans ce cours, cette année : tous les espaces probabilisés seront finis.
∙Remarque importante : une probabilité ℙsur un univers Ω = {𝜔1, 𝜔2, . . . , 𝜔𝑛}est déter-
minée, de manière unique, par la donnée des probabilités de ses événements élémentaires. En
effet, soit l’événement 𝐴={𝛼1, 𝛼2, . . . , 𝛼𝑞}où chaque 𝛼𝑖est un événement élémentaire 𝜔𝑗, alors
ℙ(𝐴) = ℙ({𝛼1}∪{𝛼2} ∪ . . . {𝛼𝑞}) = ℙ({𝛼1}) + ℙ({𝛼2}) + ⋅ ⋅ ⋅ +ℙ({𝛼𝑞}).
∙Définition : une probabilité ℙsur l’univers Ω = {𝜔1, 𝜔2, . . . , 𝜔𝑛}est dite uniforme si chaque
événement élémentaire 𝜔𝑖possède la même probabilité. C’est donc équivalent à :
∀𝑖∈[[ 1 ; 𝑛]],ℙ({𝜔𝑖}) = 1
𝑛.
On parle également d’équiprobabilité.
Dans ce cas, pour tout événement 𝐴∈ 𝒫(Ω), on a :
ℙ(𝐴) = Card(𝐴)
Card(Ω) =nombre de cas favorables nombre de cas possibles .
∙Propriétés d’une probabilité : soit (Ω,ℙ), un espace probabilisé fini, et deux événements 𝐴
et 𝐵de Ω. On a :
♥ℙ(𝐴∪𝐵) = ℙ(𝐴) + ℙ(𝐵)−ℙ(𝐴∩𝐵).
♥ℙ(𝐴)=1−ℙ(𝐴)et ℙ(∅) = 0.
♥si 𝐴implique 𝐵i.e si 𝐴⊂𝐵, alors ℙ(𝐴)⩽ℙ(𝐵)(croissance).
Rappels : 𝐵= (𝐵∖𝐴)∪(𝐴∩𝐵)où (𝐵∖𝐴)et (𝐴∩𝐵)sont disjoints.
De même, 𝐴∪𝐵=𝐴∪(𝐵∖𝐴)où 𝐴et (𝐵∖𝐴)sont disjoints.
∙Remarque : si 𝐴1, 𝐴2, . . . , 𝐴𝑞sont des événements de Ωdeux à deux incompatibles i.e si
(𝑖∕=𝑗)⇒(𝐴𝑖∩𝐴𝑗=∅), alors ℙ(𝐴1∪𝐴2∪ ⋅ ⋅ ⋅ ∪ 𝐴𝑞) = ℙ(𝐴1) + ℙ(𝐴2) + ⋅ ⋅ ⋅ +ℙ(𝐴𝑞).
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Et si cette famille d’événements est un système complet d’événements de Ω, alors, en plus
ℙ(𝐴1) + ℙ(𝐴2) + ⋅ ⋅ ⋅ +ℙ(𝐴𝑞)=1.
III - Probabilités conditionnelles
Un exemple : on note le résultat d’un lancer de dé à 6faces. Ainsi : Ω = {1,2,3,4,5,6}.
Soit l’événement 𝐴= « le résultat est inférieur ou égal à 4 » = {1,2,3,4}, donc ℙ(𝐴) = 4
6, et
l’événement 𝐵= « le résultat est pair » = {2,4,6}, donc ℙ(𝐵) = 3
6. Supposons que l’on sache que
𝐵est réalisé : le résultat de l’expérience appartient donc à {2,4,6}, et sous cette hypothèse, 𝐴sera
réalisé ssi 𝜔∈ {2,4}, ce qui donne deux cas favorables (sur les trois) pour que 𝐴soit réalisé.
Ainsi, la probabilité que 𝐴soit réalisé sachant que 𝐵l’est est 2
3, ce qui correspond à ℙ(𝐴∩𝐵) ℙ(𝐵)=
2
6
3
6
.
Plus généralement, si un univers Ωest muni d’une probabilité uniforme, et 𝐵un événement réalisé
i.e ℙ(𝐵)>0, alors, pour calculer la probabilité d’un événement 𝐴sachant que 𝐵est réalisé, il parait
naturel de prendre 𝐵comme nouvel univers. Ainsi,
ℙ(𝐴sachant 𝐵) = Card(𝐴∩𝐵)
Card(𝐵)=Card(𝐴∩𝐵)/Card(Ω) Card(𝐵)/Card(Ω) =ℙ(𝐴∩𝐵) ℙ(𝐵).
On généralise cette notion pour une probabilité quelconque, et pas forcément uniforme.
Soit (Ω,ℙ), un espace probabilisé fini, et un événement 𝐵de probabilité non nulle : ℙ(𝐵)>0.
∙Définition : on appelle probabilité conditionnelle de 𝐴sachant 𝐵le réel ℙ𝐵(𝐴)(ou en-
core ℙ(𝐴∣𝐵)) défini par :
ℙ𝐵(𝐴) = ℙ(𝐴∣𝐵) = ℙ(𝐴∩𝐵)
ℙ(𝐵).
∙Propriété : l’application ℙ𝐵:
𝒫(Ω) −→ [0,1]
𝐴7−→ ℙ𝐵(𝐴) = ℙ(𝐴∩𝐵)
ℙ(𝐵)
définit une probabilité sur Ω.
En particulier : ℙ𝐵(Ω) = ℙ𝐵(𝐵)=1,ℙ𝐵(∅) = 0.
On a également, pour 𝐴1, 𝐴2∈ 𝒫(Ω) :ℙ𝐵(𝐴1∪𝐴2) = ℙ𝐵(𝐴1) + ℙ𝐵(𝐴2)−ℙ𝐵(𝐴1∩𝐴2).
∙Formule des probabilités composées : si 𝐴1, 𝐴2, . . . , 𝐴𝑛est une famille d’événements telle
que ℙ(𝐴1∩𝐴2∩ ⋅ ⋅ ⋅ ∩ 𝐴𝑛−1)>0, alors
ℙ(𝐴1∩ ⋅ ⋅ ⋅ ∩ 𝐴𝑛) = ℙ(𝐴1)×ℙ𝐴1(𝐴2)×ℙ𝐴1∩𝐴2(𝐴3)×ℙ𝐴1∩𝐴2∩𝐴3(𝐴4)× ⋅ ⋅ ⋅ × ℙ𝐴1∩⋅⋅⋅∩𝐴𝑛−1(𝐴𝑛).
Remarque : on applique naturellement cette formule sans le savoir, par exemple lorsqu’on
calcule, lors de 4 tirages sans remise dans un jeu de 32 cartes, la probabilité de tirer 4 coeurs.
∙Formule des probabilités totales : soit (𝐴1, 𝐴2, . . . , 𝐴𝑛)un système complet d’événe-
ments de probabilités non nulles. On a, pour tout événement 𝐵:
ℙ(𝐵) =
𝑛
∑
𝑖=1
ℙ(𝐴𝑖∩𝐵) =
𝑛
∑
𝑖=1
ℙ𝐴𝑖(𝐵)×ℙ(𝐴𝑖).
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La probabilité d’un événement 𝐵est donc la somme des probabilités de 𝐵sachant chaque 𝐴𝑖,
coefficientées par la probabilité que chacun de ces 𝐴𝑖se réalise.
∙Formule de Bayes (cas simple) :
si 𝐴et 𝐵sont deux événements de probabilités non nulles (ℙ(𝐴)>0et ℙ(𝐵)>0), alors
ℙ𝐵(𝐴) = ℙ𝐴(𝐵)×ℙ(𝐴)
ℙ(𝐵).
Elle peut se retrouver avec
ℙ(𝐴∩𝐵) = ℙ𝐵(𝐴)×ℙ(𝐵) = ℙ𝐴(𝐵)×ℙ(𝐴).
Intérêt de la formule de Bayes : elle permet de «remonter le temps» en donnant la probabilité
de 𝐴sachant 𝐵, où 𝐴précède 𝐵au lieu de le suivre. Ainsi, on calcule la probabilité d’une
cause possible connaissant le résultat de l’épreuve.
Formule de Bayes (cas général) : soit (𝐴1, 𝐴2, . . . , 𝐴𝑛)un système complet d’événements
de probabilités non nulles. On a, pour tout événement 𝐵de probabilité non nulle :
pour tout 𝑖0,ℙ𝐵(𝐴𝑖0) = ℙ(𝐴𝑖0∩𝐵)
ℙ(𝐵)=
ℙ𝐴𝑖0(𝐵)×ℙ(𝐴𝑖0)
ℙ(𝐵)=
ℙ𝐴𝑖0(𝐵)×ℙ(𝐴𝑖0)
𝑛
∑
𝑖=1
ℙ𝐴𝑖(𝐵)×ℙ(𝐴𝑖)
.
Un cas particulier : si on prend (𝐴, 𝐴)comme système complet (avec ℙ(𝐴)>0et ℙ(𝐴)>0),
alors
ℙ𝐵(𝐴) = ℙ(𝐴∩𝐵)
ℙ(𝐵)=ℙ𝐴(𝐵)×ℙ(𝐴)
ℙ𝐴(𝐵)×ℙ(𝐴) + ℙ𝐴(𝐵)×ℙ(𝐴).
IV - Evénements indépendants
Soit (Ω,ℙ), un espace probabilisé fini.
∙Définition : deux événements 𝐴et 𝐵sont dits indépendants (pour la probabilité ℙ) lorsque
ℙ(𝐴∩𝐵) = ℙ(𝐴)×ℙ(𝐵).
Caractérisation : on a les équivalences suivantes, lorsque 𝐴et 𝐵sont de probabilités non
nulles,
(𝐴et 𝐵sont indépendants) ⇔(ℙ𝐴(𝐵) = ℙ(𝐵)) ⇔(ℙ𝐵(𝐴) = ℙ(𝐴)) .
Propriétés : si 𝐴et 𝐵sont deux événements indépendants, alors 𝐴et 𝐵le sont aussi, tout
comme 𝐴et 𝐵, et de même pour 𝐴et 𝐵.
∙Définition : on dit que les 𝑛événements 𝐴1, 𝐴2, . . . , 𝐴𝑛sont mutuellement indépendants
si, pour toute famille finie d’indices 𝐽⊂ {1,2, . . . , 𝑛}, on a
ℙ(∩
𝑗∈𝐽
𝐴𝑗)=∏
𝑗∈𝐽
ℙ(𝐴𝑗).
Exemple : pour 𝑛= 3, les événements 𝐴1,𝐴2et 𝐴3sont mutuellements indépendants si
ℙ(𝐴1∩𝐴2) = ℙ(𝐴1)ℙ(𝐴2)et ℙ(𝐴1∩𝐴3) = ℙ(𝐴1)ℙ(𝐴3)et ℙ(𝐴2∩𝐴3) = ℙ(𝐴2)ℙ(𝐴3)
et ℙ(𝐴1∩𝐴2∩𝐴3) = ℙ(𝐴1)ℙ(𝐴2)ℙ(𝐴3).
∙Proposition : si les événements 𝐴1, 𝐴2, . . . , 𝐴𝑛sont mutuellement indépendants, alors ils
sonts deux à deux indépendants. MAIS la réciproque est fausse en général.
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