Espaces vectoriels (r sum )

PCSI1ESPACE VECTORIEL - ce qu’il faut retenir 2016-2017
Les espaces vectoriels à connaître - 𝕂désigne le corps ℝou le corps ℂ
∙ℝ,ℝ2,ℝ3et plus généralement ℝ𝑛(avec 𝑛∈ℕ∗) sont des ℝ-espaces vectoriels.
∙ℂ,ℂ2,ℂ3et plus généralement ℂ𝑛(avec 𝑛∈ℕ∗) sont des ℂ-espaces vectoriels (mais aussi des ℝ-espaces
vectoriels).
∙Si 𝐸et 𝐸′sont des 𝕂-espaces vectoriels, alors leur produit cartésien 𝐸×𝐸′est aussi un 𝕂-espace
vectoriel. Cela reste vrai pour un produit de plusieurs espaces vectoriels.
∙Si Ωest un ensemble quelconque et 𝐸un 𝕂-espace vectoriel, alors
𝒜(Ω, 𝐸) = 𝐸Ω, l’ensemble des applications de Ωvers 𝐸, est un 𝕂-espace vectoriel.
∙Si 𝐼est une partie de ℝ, alors 𝒜(𝐼, ℝ) = ℝ𝐼est un ℝ-espace vectoriel.
∙ℝℕ=𝒜(ℕ,ℝ), l’ensemble des suites à valeurs réelles, est un ℝ-espace vectoriel.
∙ℂℕ=𝒜(ℕ,ℂ), l’ensemble des suites à valeurs complexes, est un ℂ-espace vectoriel (et aussi un ℝ-espace
vectoriel).
∙𝕂[𝑋], l’ensemble des polynômes à coefficients dans 𝕂, est un 𝕂-espace vectoriel.
∙ ℳ𝑛,𝑝(𝕂), l’ensemble des matrices à 𝑛lignes, 𝑝colonnes, coefficients dans 𝕂, est un 𝕂-espace vectoriel.
Sous-espaces vectoriels
∙Pour montrer que 𝐹est un 𝕂-espace vectoriel, on démontre que c’est un sous-espace vectoriel d’un
𝕂-espace vectoriel 𝐸(connu).
∙Pour prouver que 𝐹est un sous-espace vectoriel de 𝐸, on montre :
♥𝐹est inclus dans 𝐸(i.e 𝐹⊂𝐸: souvent immédiat, mais pas toujours)
♥𝐹contient ⃗ 0𝐸, le vecteur nul de 𝐸
♥𝐹est stable par combinaison linéaire :
pour tout (𝜆, 𝜇)∈𝕂2, pour tout (⃗𝑎,⃗ 𝑏)∈𝐹2, on montre ⃗𝑐 =𝜆⃗𝑎 +𝜇⃗ 𝑏est dans 𝐹.
∙Si ⃗𝑢 est un vecteur de 𝐸, vect(⃗𝑢), l’ensemble des vecteurs colinéaires à ⃗𝑢, est un sev de 𝐸.
Si ⃗𝑢 ∕=⃗ 0, on dit que vect(⃗𝑢)est la droite vectorielle engendrée par ⃗𝑢.
∙Si ⃗𝑢 et ⃗𝑣 sont des vecteurs de 𝐸, vect(⃗𝑢, ⃗𝑣), l’ensemble des combinaisons linéaires de ⃗𝑢 et de ⃗𝑣, est un
sev de 𝐸. Si ⃗𝑢 et ⃗𝑣 ne sont pas colinéaires, vect(⃗𝑢, ⃗𝑣)est le plan vectoriel engendré par (⃗𝑢, ⃗𝑣).
Remarque : on a la caractérisation
(⃗𝑢 et ⃗𝑣 ne sont pas colinéaires i.e (⃗𝑢, ⃗𝑣)libre) ⇔(pour (𝑎, 𝑏)∈𝕂2:𝑎⃗𝑢 +𝑏⃗𝑣 =⃗ 0⇒𝑎=𝑏= 0).
∙L’ensemble des solutions d’une équation linéaire homogène ou d’un système d’équations linéaires ho-
mogènes à 𝑛inconnues et à coefficients dans 𝕂, est un sev de 𝕂𝑛.
∙ 𝒞(𝐼, ℝ), l’ensemble des fonctions continues sur 𝐼et à valeurs dans ℝ, est un sev de 𝒜(𝐼, ℝ).
𝒟(𝐼, ℝ), l’ensemble des fonctions dérivables sur 𝐼et à valeurs dans ℝ, est un sev de 𝒜(𝐼, ℝ).
𝒞𝑛(𝐼, ℝ), l’ensemble des fonctions de classe 𝐶𝑛sur 𝐼et à valeurs dans ℝ, est un sev de 𝒜(𝐼, ℝ).
𝒟𝑛(𝐼, ℝ), l’ensemble des fonctions 𝑛fois dérivables sur 𝐼et à valeurs dans ℝ, est un sev de 𝒜(𝐼, ℝ).
𝒞∞(𝐼, ℝ), l’ensemble des fonctions de classe 𝐶∞sur 𝐼et à valeurs dans ℝ, est un sev de 𝒜(𝐼, ℝ).
∙L’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire et homogène («sans second membre»)
est un 𝕂-espace vectoriel.
∙ ℬ(ℕ,ℝ), l’ensemble des suites réelles et bornées, est un sev de ℝℕ.
∙𝕂𝑛[𝑋], l’ensemble des polynômes de degrés inférieurs ou égaux à𝑛et à coefficients dans 𝕂, est un
sev de 𝕂[𝑋].
Remarque : 𝕂𝑛[𝑋] = vect(1, 𝑋, 𝑋2, 𝑋3, . . . , 𝑋𝑛) = vect ((𝑋𝑘)0⩽𝑘⩽𝑛), ensemble des combinaisons
linéaires des monômes 1 = 𝑋0,𝑋=𝑋1,𝑋2, ..., 𝑋𝑛.
Intersection de sous-espaces vectoriels
L’intersection de plusieurs sous-espaces vectoriels de l’ev 𝐸est encore un sous-espace vectoriel de 𝐸.
Remarque : c’est faux en général pour la réunion.
–1/2– Lycée Faidherbe, Lille

PCSI1ESPACE VECTORIEL - ce qu’il faut retenir 2016-2017
Sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs
Si ⃗𝑣1,⃗𝑣2, ..., ⃗𝑣𝑝sont 𝑝vecteurs d’un 𝕂-ev 𝐸, alors
vect(⃗𝑣1, ⃗𝑣2, . . . , ⃗𝑣𝑝)est un sev de 𝐸,
où vect(⃗𝑣1, ⃗𝑣2, . . . , ⃗𝑣𝑝)est l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires des vecteurs ⃗𝑣1,⃗𝑣2, ..., ⃗𝑣𝑝.
La famille (⃗𝑣1, ⃗𝑣2, . . . , ⃗𝑣𝑝)forme un système générateur du sev 𝐹=vect(⃗𝑣1, ⃗𝑣2, . . . , ⃗𝑣𝑝).
Exemples :
∙𝕂𝑛=vect(⃗𝑒1, ⃗𝑒2, . . . , ⃗𝑒𝑛)où ⃗𝑒𝑖= (0,...,0,1,0,...,0) (le 1est en 𝑖ème position).
∙𝕂𝑛[𝑋] = vect(1, 𝑋, 𝑋2, 𝑋3, . . . , 𝑋𝑛).
∙ ℳ𝑛,𝑝(𝕂) = vect ((𝐸𝑖,𝑗 )1⩽𝑖⩽𝑛, 1⩽𝑗⩽𝑝)où 𝐸𝑖,𝑗 matrice remplie de 0sauf un 1en ligne 𝑖, colonne 𝑗.
Somme de deux sous-espaces vectoriels
Si 𝐹et 𝐺sont deux sous-espaces vectoriels de 𝐸, alors
la somme 𝐹+𝐺est encore un sous-espace vectoriel de 𝐸,
où 𝐹+𝐺est l’ensemble de toutes les sommes possibles d’un vecteur de 𝐹et d’un vecteur de 𝐺.
Caractérisation : pour tout vecteur ⃗𝑥 de 𝐸,
(⃗𝑥 ∈𝐹+𝐺)⇔(il existe un ⃗ 𝑓dans 𝐹et un ⃗𝑔 dans 𝐺tels que ⃗𝑥 =⃗ 𝑓+⃗𝑔).
Remarque : vect(⃗𝑎1, . . . ,⃗𝑎𝑝) + vect(⃗ 𝑏1,...,⃗ 𝑏𝑞) = vect(⃗𝑎1, . . . ,⃗𝑎𝑝,⃗ 𝑏1,...,⃗ 𝑏𝑞).
Somme directe de deux sous-espaces vectoriels
Si 𝐹et 𝐺sont deux sous-espaces vectoriels de 𝐸, on dit que leur somme 𝐹+𝐺est directe lorsque, pour
tout vecteur ⃗𝑥 de 𝐹+𝐺, la décomposition ⃗𝑥 =⃗ 𝑓+⃗𝑔, où ⃗ 𝑓∈𝐹et ⃗𝑔 ∈𝐺, est unique. Dans ce cas, on note
la somme 𝐹⊕𝐺.
Première caractérisation : la somme 𝐹+𝐺est directe si et seulement si
pour tout ⃗ 𝑓∈𝐹et ⃗𝑔 ∈𝐺: si ⃗ 𝑓+⃗𝑔 =⃗ 0alors ⃗ 𝑓=⃗𝑔 =⃗ 0.
Seconde caractérisation : la somme 𝐹+𝐺est directe si et seulement si 𝐹∩𝐺={⃗ 0}.
Sous-espaces vectoriels supplémentaires d’un espace vectoriel
On dit que les deux sous-espaces vectoriels 𝐹et 𝐺de l’espace 𝐸sont supplémentaires dans 𝐸lorsque
leur somme 𝐹+𝐺est directe et égale à 𝐸. Dans ce cas, on peut noter 𝐹⊕𝐺=𝐸.
On a donc : (𝐹et 𝐺supplémentaires dans 𝐸)⇔(𝐹+𝐺=𝐸et 𝐹∩𝐺={⃗ 0}).
Autre présentation : 𝐹et 𝐺sont supplémentaires dans 𝐸si et seulement si tout vecteur de 𝐸peut d’écrire,
et de manière unique, comme la somme d’un vecteur de 𝐹et d’un vecteur de 𝐺.
Méthode : pour prouver que 𝐹et 𝐺sont des sev supplémentaires de 𝐸, il suffit :
∙de vérifier que 𝐹et 𝐺sont bien des sev de 𝐸(c’est le minimum...souvent immédiat, mais pas toujours !).
∙Analyse : on suppose, pour un vecteur ⃗𝑥 de 𝐸, qu’il existe un ⃗ 𝑓dans 𝐹et un ⃗𝑔 dans 𝐺tels que ⃗𝑥 =⃗ 𝑓+⃗𝑔.
On essaie alors d’exprimer ces vecteurs ⃗ 𝑓et ⃗𝑔 uniquement à l’aide de ⃗𝑥. On trouve normalement une
écriture unique, ce qui prouve l’unicité de la décomposition (SI elle existe...).
∙Synthèse : pour tout ⃗𝑥 de 𝐸, on définit ⃗ 𝑓et ⃗𝑔 en fonction de ⃗𝑥 comme trouvé lors de la partie analyse, on
vérifie que ⃗ 𝑓+⃗𝑔 =⃗𝑥, que ⃗ 𝑓est bien dans 𝐹et ⃗𝑔 dans 𝐺, ce qui prouve l’existence de la décomposition.
∙on conclut la preuve en expliquant qu’on vient de prouver, par analyse-synthèse, que tout vecteur ⃗𝑥
de 𝐸peut s’écrire, et d’une seule façon, comme somme d’un vecteur de 𝐹et d’un vecteur de 𝐺. On a
prouvé 𝐹et 𝐺sont des sev supplémentaires de 𝐸:𝐸=𝐹⊕𝐺.
Autre méthode : si la décomposition ⃗𝑥 =⃗ 𝑓+⃗𝑔 est évidente (ça arrive !) pour tout ⃗𝑥 ∈𝐸, il suffit alors de
prouver 𝐹∩𝐺={⃗ 0}, ce qui revient à montrer : (⃗𝑥 ∈𝐹∩𝐺)⇒(⃗𝑥 =⃗ 0).
Définition : si 𝐹et 𝐺sont deux sev supplémentaires dans 𝐸alors, pour tout vecteur ⃗𝑥 ∈𝐸, il existe un
unique vecteur ⃗𝑥𝐹∈𝐹et un unique vecteur ⃗𝑥𝐺∈𝐺tels que ⃗𝑥 =⃗𝑥𝐹+⃗𝑥𝐺.
L’application 𝑝:𝐸−→ 𝐸
⃗𝑥 7−→ 𝑝(⃗𝑥) = ⃗𝑥𝐹est appelée projecteur sur 𝐹parallèlement à 𝐺.
On dit aussi : 𝑝est le projecteur de base 𝐹et de direction 𝐺(où 𝐸=𝐹⊕𝐺).
–2/2– Lycée Faidherbe, Lille