Espaces vectoriels (r sum )

PCSI1
ESPACE VECTORIEL - ce qu’il faut retenir
2016-2017
Les espaces vectoriels à connaître - 𝕂 désigne le corps ℝ ou le corps ℂ
∙ ℝ, ℝ2 , ℝ3 et plus généralement ℝ𝑛 (avec 𝑛 ∈ ℕ∗ ) sont des ℝ-espaces vectoriels.
∙ ℂ, ℂ2 , ℂ3 et plus généralement ℂ𝑛 (avec 𝑛 ∈ ℕ∗ ) sont des ℂ-espaces vectoriels (mais aussi des ℝ-espaces
vectoriels).
∙ Si 𝐸 et 𝐸 ′ sont des 𝕂-espaces vectoriels, alors leur produit cartésien 𝐸 × 𝐸 ′ est aussi un 𝕂-espace
vectoriel. Cela reste vrai pour un produit de plusieurs espaces vectoriels.
∙ Si Ω est un ensemble quelconque et 𝐸 un 𝕂-espace vectoriel, alors
𝒜(Ω, 𝐸) = 𝐸 Ω , l’ensemble des applications de Ω vers 𝐸, est un 𝕂-espace vectoriel.
∙ Si 𝐼 est une partie de ℝ, alors 𝒜(𝐼, ℝ) = ℝ𝐼 est un ℝ-espace vectoriel.
∙ ℝℕ = 𝒜(ℕ, ℝ), l’ensemble des suites à valeurs réelles, est un ℝ-espace vectoriel.
∙ ℂℕ = 𝒜(ℕ, ℂ), l’ensemble des suites à valeurs complexes, est un ℂ-espace vectoriel (et aussi un ℝ-espace
vectoriel).
∙ 𝕂[𝑋], l’ensemble des polynômes à coefficients dans 𝕂, est un 𝕂-espace vectoriel.
∙ ℳ𝑛,𝑝 (𝕂), l’ensemble des matrices à 𝑛 lignes, 𝑝 colonnes, coefficients dans 𝕂, est un 𝕂-espace vectoriel.
Sous-espaces vectoriels
∙ Pour montrer que 𝐹 est un 𝕂-espace vectoriel, on démontre que c’est un sous-espace vectoriel d’un
𝕂-espace vectoriel 𝐸 (connu).
∙ Pour prouver que 𝐹 est un sous-espace vectoriel de 𝐸, on montre :
♥ 𝐹 est inclus dans 𝐸 (i.e 𝐹 ⊂ 𝐸 : souvent immédiat, mais pas toujours)
♥ 𝐹 contient ⃗0𝐸 , le vecteur nul de 𝐸
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
♥ 𝐹 est stable par combinaison linéaire :
pour tout (𝜆, 𝜇) ∈ 𝕂2 , pour tout (⃗𝑎, ⃗𝑏) ∈ 𝐹 2 , on montre ⃗𝑐 = 𝜆⃗𝑎 + 𝜇⃗𝑏 est dans 𝐹 .
Si ⃗𝑢 est un vecteur de 𝐸, vect(⃗𝑢), l’ensemble des vecteurs colinéaires à ⃗𝑢, est un sev de 𝐸.
Si ⃗𝑢 ∕= ⃗0, on dit que vect(⃗𝑢) est la droite vectorielle engendrée par ⃗𝑢.
Si ⃗𝑢 et ⃗𝑣 sont des vecteurs de 𝐸, vect(⃗𝑢, ⃗𝑣 ), l’ensemble des combinaisons linéaires de ⃗𝑢 et de ⃗𝑣 , est un
sev de 𝐸. Si ⃗𝑢 et ⃗𝑣 ne sont pas colinéaires, vect(⃗𝑢, ⃗𝑣 ) est le plan vectoriel engendré par (⃗𝑢, ⃗𝑣 ).
Remarque : on a la caractérisation
(⃗𝑢 et ⃗𝑣 ne sont pas colinéaires i.e (⃗𝑢, ⃗𝑣 ) libre) ⇔ (pour (𝑎, 𝑏) ∈ 𝕂2 : 𝑎⃗𝑢 + 𝑏⃗𝑣 = ⃗0 ⇒ 𝑎 = 𝑏 = 0).
L’ensemble des solutions d’une équation linéaire homogène ou d’un système d’équations linéaires homogènes à 𝑛 inconnues et à coefficients dans 𝕂, est un sev de 𝕂𝑛 .
𝒞(𝐼, ℝ), l’ensemble des fonctions continues sur 𝐼 et à valeurs dans ℝ, est un sev de 𝒜(𝐼, ℝ).
𝒟(𝐼, ℝ), l’ensemble des fonctions dérivables sur 𝐼 et à valeurs dans ℝ, est un sev de 𝒜(𝐼, ℝ).
𝒞 𝑛 (𝐼, ℝ), l’ensemble des fonctions de classe 𝐶 𝑛 sur 𝐼 et à valeurs dans ℝ, est un sev de 𝒜(𝐼, ℝ).
𝒟𝑛 (𝐼, ℝ), l’ensemble des fonctions 𝑛 fois dérivables sur 𝐼 et à valeurs dans ℝ, est un sev de 𝒜(𝐼, ℝ).
𝒞 ∞ (𝐼, ℝ), l’ensemble des fonctions de classe 𝐶 ∞ sur 𝐼 et à valeurs dans ℝ, est un sev de 𝒜(𝐼, ℝ).
L’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire et homogène («sans second membre»)
est un 𝕂-espace vectoriel.
ℬ(ℕ, ℝ), l’ensemble des suites réelles et bornées, est un sev de ℝℕ .
𝕂𝑛 [𝑋], l’ensemble des polynômes de degrés inférieurs ou égaux à 𝑛 et à coefficients dans 𝕂, est un
sev de 𝕂[𝑋].
(
)
Remarque : 𝕂𝑛 [𝑋] = vect(1, 𝑋, 𝑋 2 , 𝑋 3 , . . . , 𝑋 𝑛 ) = vect (𝑋 𝑘 )0⩽𝑘⩽𝑛 , ensemble des combinaisons
linéaires des monômes 1 = 𝑋 0 , 𝑋 = 𝑋 1 , 𝑋 2 , ..., 𝑋 𝑛 .
Intersection de sous-espaces vectoriels
L’intersection de plusieurs sous-espaces vectoriels de l’ev 𝐸 est encore un sous-espace vectoriel de 𝐸.
Remarque : c’est faux en général pour la réunion.
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Lycée Faidherbe, Lille
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ESPACE VECTORIEL - ce qu’il faut retenir
2016-2017
Sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs
Si ⃗𝑣1 , ⃗𝑣2 , ..., ⃗𝑣𝑝 sont 𝑝 vecteurs d’un 𝕂-ev 𝐸, alors
vect(⃗𝑣1 , ⃗𝑣2 , . . . , ⃗𝑣𝑝 ) est un sev de 𝐸,
où vect(⃗𝑣1 , ⃗𝑣2 , . . . , ⃗𝑣𝑝 ) est l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires des vecteurs ⃗𝑣1 , ⃗𝑣2 , ..., ⃗𝑣𝑝 .
La famille (⃗𝑣1 , ⃗𝑣2 , . . . , ⃗𝑣𝑝 ) forme un système générateur du sev 𝐹 = vect(⃗𝑣1 , ⃗𝑣2 , . . . , ⃗𝑣𝑝 ).
Exemples :
∙ 𝕂𝑛 = vect(⃗𝑒1 , ⃗𝑒2 , . . . , ⃗𝑒𝑛 ) où ⃗𝑒𝑖 = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) (le 1 est en 𝑖ème position).
∙ 𝕂𝑛 [𝑋] = vect(1, 𝑋, 𝑋 2 , 𝑋 3 , . . . , 𝑋 𝑛 ).
(
)
∙ ℳ𝑛,𝑝 (𝕂) = vect (𝐸𝑖,𝑗 )1⩽𝑖⩽𝑛, 1⩽𝑗⩽𝑝 où 𝐸𝑖,𝑗 matrice remplie de 0 sauf un 1 en ligne 𝑖, colonne 𝑗.
Somme de deux sous-espaces vectoriels
Si 𝐹 et 𝐺 sont deux sous-espaces vectoriels de 𝐸, alors
la somme 𝐹 + 𝐺 est encore un sous-espace vectoriel de 𝐸,
où 𝐹 + 𝐺 est l’ensemble de toutes les sommes possibles d’un vecteur de 𝐹 et d’un vecteur de 𝐺.
Caractérisation : pour tout vecteur ⃗𝑥 de 𝐸,
(⃗𝑥 ∈ 𝐹 + 𝐺) ⇔ (il existe un 𝑓⃗ dans 𝐹 et un ⃗𝑔 dans 𝐺 tels que ⃗𝑥 = 𝑓⃗ + ⃗𝑔 ).
Remarque : vect(⃗𝑎1 , . . . , ⃗𝑎𝑝 ) + vect(⃗𝑏1 , . . . , ⃗𝑏𝑞 ) = vect(⃗𝑎1 , . . . , ⃗𝑎𝑝 , ⃗𝑏1 , . . . , ⃗𝑏𝑞 ).
Somme directe de deux sous-espaces vectoriels
Si 𝐹 et 𝐺 sont deux sous-espaces vectoriels de 𝐸, on dit que leur somme 𝐹 + 𝐺 est directe lorsque, pour
tout vecteur ⃗𝑥 de 𝐹 + 𝐺, la décomposition ⃗𝑥 = 𝑓⃗ + ⃗𝑔 , où 𝑓⃗ ∈ 𝐹 et ⃗𝑔 ∈ 𝐺, est unique. Dans ce cas, on note
la somme 𝐹 ⊕ 𝐺.
Première caractérisation : la somme 𝐹 + 𝐺 est directe si et seulement si
pour tout 𝑓⃗ ∈ 𝐹 et ⃗𝑔 ∈ 𝐺 : si 𝑓⃗ + ⃗𝑔 = ⃗0 alors 𝑓⃗ = ⃗𝑔 = ⃗0.
Seconde caractérisation : la somme 𝐹 + 𝐺 est directe si et seulement si 𝐹 ∩ 𝐺 = {⃗0}.
Sous-espaces vectoriels supplémentaires d’un espace vectoriel
On dit que les deux sous-espaces vectoriels 𝐹 et 𝐺 de l’espace 𝐸 sont supplémentaires dans 𝐸 lorsque
leur somme 𝐹 + 𝐺 est directe et égale à 𝐸. Dans ce cas, on peut noter 𝐹 ⊕ 𝐺 = 𝐸.
On a donc : (𝐹 et 𝐺 supplémentaires dans 𝐸) ⇔ (𝐹 + 𝐺 = 𝐸 et 𝐹 ∩ 𝐺 = {⃗0}).
Autre présentation : 𝐹 et 𝐺 sont supplémentaires dans 𝐸 si et seulement si tout vecteur de 𝐸 peut d’écrire,
et de manière unique, comme la somme d’un vecteur de 𝐹 et d’un vecteur de 𝐺.
Méthode : pour prouver que 𝐹 et 𝐺 sont des sev supplémentaires de 𝐸, il suffit :
∙ de vérifier que 𝐹 et 𝐺 sont bien des sev de 𝐸 (c’est le minimum...souvent immédiat, mais pas toujours !).
∙ Analyse : on suppose, pour un vecteur ⃗𝑥 de 𝐸, qu’il existe un 𝑓⃗ dans 𝐹 et un ⃗𝑔 dans 𝐺 tels que ⃗𝑥 = 𝑓⃗+⃗𝑔 .
On essaie alors d’exprimer ces vecteurs 𝑓⃗ et ⃗𝑔 uniquement à l’aide de ⃗𝑥. On trouve normalement une
écriture unique, ce qui prouve l’unicité de la décomposition (SI elle existe...).
∙ Synthèse : pour tout ⃗𝑥 de 𝐸, on définit 𝑓⃗ et ⃗𝑔 en fonction de ⃗𝑥 comme trouvé lors de la partie analyse, on
vérifie que 𝑓⃗ + ⃗𝑔 = ⃗𝑥, que 𝑓⃗ est bien dans 𝐹 et ⃗𝑔 dans 𝐺, ce qui prouve l’existence de la décomposition.
∙ on conclut la preuve en expliquant qu’on vient de prouver, par analyse-synthèse, que tout vecteur ⃗𝑥
de 𝐸 peut s’écrire, et d’une seule façon, comme somme d’un vecteur de 𝐹 et d’un vecteur de 𝐺. On a
prouvé 𝐹 et 𝐺 sont des sev supplémentaires de 𝐸 : 𝐸 = 𝐹 ⊕ 𝐺.
Autre méthode : si la décomposition ⃗𝑥 = 𝑓⃗ + ⃗𝑔 est évidente (ça arrive !) pour tout ⃗𝑥 ∈ 𝐸, il suffit alors de
prouver 𝐹 ∩ 𝐺 = {⃗0}, ce qui revient à montrer : (⃗𝑥 ∈ 𝐹 ∩ 𝐺) ⇒ (⃗𝑥 = ⃗0).
Définition : si 𝐹 et 𝐺 sont deux sev supplémentaires dans 𝐸 alors, pour tout vecteur ⃗𝑥 ∈ 𝐸, il existe un
unique vecteur ⃗𝑥𝐹 ∈ 𝐹 et un unique vecteur ⃗𝑥𝐺 ∈ 𝐺 tels que ⃗𝑥 = ⃗𝑥𝐹 + ⃗𝑥𝐺 .
𝐸 −→ 𝐸
L’application 𝑝 :
est appelée projecteur sur 𝐹 parallèlement à 𝐺.
⃗𝑥 7−→ 𝑝(⃗𝑥) = ⃗𝑥𝐹
On dit aussi : 𝑝 est le projecteur de base 𝐹 et de direction 𝐺 (où 𝐸 = 𝐹 ⊕ 𝐺).
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