Espaces vectoriels (cours)

PCSI1résumé de cours - STRUCTURE D’ESPACE VECTORIEL 2016-2017
But : on veut généraliser la structure de l’ensemble des vecteurs du plan à d’autres ensembles
(par exemple, des ensembles de fonctions, de suites, de matrices, ...) ceci afin de pouvoir utiliser des
outils géométriques sur ces ensembles (calculs, équations, produit scalaire, projection, norme, ...). On
observe que sur −→ 𝒫(ensemble des vecteurs du plan), on dispose d’une loi de composition interne +
qui permet d’additionner les vecteurs. Cette loi +fait de −→ 𝒫un groupe abélien, de neutre le vecteur
nul ⃗ 0. De plus, on écrit, par exemple : ⃗𝑢+⃗𝑢 = 2⃗𝑢, ou encore √3⃗𝑢. Il faut donc pouvoir donner un sens
à "réel «fois» vecteur", que l’on peut noter 2.⃗𝑢,√3.⃗𝑢 : l’opération «.» est appelée loi de composition
externe de ℝsur −→ 𝒫.
ATTENTION : dans tout ce chapitre, 𝕂désigne le corps ℝou le corps ℂ(plus rarement le corps
ℚ). Ce corps 𝕂est donc muni de ses deux lois de compositions internes (LCI) usuelles, l’addition +
et la multiplication ×, de neutres respectifs 0et 1.
I. ESPACES VECTORIELS
1) Définition d’un espace vectoriel
Définition : soit 𝐸, un ensemble non vide muni d’une loi de composition interne (LCI) notée
«+», et d’une loi de composition externe (LCE) notée «.» .
On rappelle que cela signifie que «+» est une application de 𝐸×𝐸vers 𝐸qui, à tout couple (⃗𝑥, ⃗𝑦)
d’éléments de 𝐸associe un élément de 𝐸noté ⃗𝑥 +⃗𝑦, i.e «+» : 𝐸×𝐸−→ 𝐸
(⃗𝑥, ⃗𝑦)7−→ ⃗𝑥 +⃗𝑦 .
De même, on rappelle que «.» est une application de 𝕂×𝐸vers 𝐸qui, à tout couple (𝜆, ⃗𝑥), où 𝜆∈𝕂
et ⃗𝑥 ∈𝐸, associe un élément de 𝐸noté 𝜆.⃗𝑥, i.e «.» : 𝕂×𝐸−→ 𝐸
(𝜆, ⃗𝑥)7−→ 𝜆.⃗𝑥 .
On dit que 𝐸, muni de la LCI +et de la LCE . est un espace vectoriel sur le corps 𝕂, ou encore
(𝐸, +, .)est un 𝕂- espace vectoriel (entre nous : 𝕂-ev) s’il vérifie les propriétés suivantes :
1. (𝐸, +) est un groupe abélien (i.e commutatif), de neutre noté ⃗ 0𝐸ou ⃗ 0(le vecteur nul).
On rappelle que cela signifie :
∙pour tous ⃗𝑥, ⃗𝑦 ∈𝐸:⃗𝑥 +⃗𝑦 existe et appartient à 𝐸(LCI)
∙pour tous ⃗𝑥, ⃗𝑦, ⃗𝑧 ∈𝐸:(⃗𝑥 +⃗𝑦) + ⃗𝑧 =⃗𝑥 + (⃗𝑦 +⃗𝑧)(associativité de +)
∙il existe dans 𝐸un élément neutre pour la loi +, i.e il existe un élément noté ⃗ 0𝐸∈𝐸tel que,
pour tout ⃗𝑥 ∈𝐸,⃗ 0𝐸+⃗𝑥 =⃗𝑥 +⃗ 0𝐸=⃗𝑥.
∙pour tout ⃗𝑥 ∈𝐸, il existe un élément ⃗ 𝑥′dans 𝐸vérifiant ⃗𝑥 +⃗ 𝑥′=⃗ 𝑥′+⃗𝑥 =⃗ 0𝐸. On dit que ⃗ 𝑥′
est le symétrique de ⃗𝑥 pour la loi +, et on note −⃗𝑥 := ⃗ 𝑥′, d’où ⃗𝑥 + (−⃗𝑥) = (−⃗𝑥) + ⃗𝑥 =⃗ 0𝐸.
∙pour tous ⃗𝑥, ⃗𝑦 ∈𝐸:⃗𝑥 +⃗𝑦 =⃗𝑦 +⃗𝑥 (commutativité de +)
2. La loi externe vérifie : pour tous ⃗𝑥, ⃗𝑦 dans 𝐸et pour tous 𝜆, 𝜇 dans 𝕂:
(a) 1.⃗𝑥 =⃗𝑥
(b) 𝜆.(⃗𝑥 +⃗𝑦) = (𝜆.⃗𝑥)+(𝜆.⃗𝑦)
(c) (𝜆+𝜇).⃗𝑥 = (𝜆.⃗𝑥)+(𝜇.⃗𝑥)
(d) 𝜆.(𝜇.⃗𝑥) = (𝜆×𝜇).⃗𝑥
Définition : si 𝐸est un 𝕂-ev, les éléments de 𝐸sont appelés des vecteurs, et ceux du corps 𝕂des
scalaires.
Premiers exemples : il est clair, qu’avec ces définitions, l’ensemble −→ 𝒫des vecteurs du plan, muni
de l’addition des vecteurs vue au collège et de la multiplication "naturelle" d’un vecteur par un réel,
est un espace vectoriel sur ℝ(un ℝ-ev), dont le vecteur nul est le vecteur noté usuellement ⃗ 0!
–1/12– Lycée Faidherbe, Lille

PCSI1résumé de cours - STRUCTURE D’ESPACE VECTORIEL 2016-2017
De même, l’ensemble −→ ℰdes vecteurs de l’espace est lui aussi un ℝ-ev.
Exemples intéressants :
1. L’ensemble des réels (ℝ,+) est un groupe abélien : on peut également le munir d’une loi externe
«.» sur lui même, où en réalité cette multiplication correspond à la loi (interne) multiplication
×usuelle dans ℝ. On vérifie sans problème que ℝest alors un ℝ-espace vectoriel , de vecteur
nul le nombre 0 !
2. De même, on vérifie que ℂest un ℂ-espace vectoriel .
3. Intéressant : (ℂ,+) est un groupe abélien, et on peut le munir d’une loi multiplication externe
«.» avec ℝ. En effet, si 𝜆∈ℝet 𝑧∈ℂ, l’élément 𝜆.𝑧 := 𝜆×𝑧existe et appartient à ℂ!
Puis on vérifie aisément que ℂest aussi un ℝ-espace vectoriel .
On verra plus tard que la structure de ℂest différente selon qu’on le considère comme un ℝ-ev
ou comme un ℂ-ev.
Remarque : par contre, ℝne peut pas être considéré comme un ℂ-espace vectoriel, puisque la
multiplication 𝜆.𝑥 d’un complexe 𝜆∈ℂpar un réel 𝑥∈ℝn’est pas, en général, un réel.
2)Propriétés dans un espace vectoriel
Conséquences des règles de calculs :
Soit (𝐸, +, .), un 𝕂-espace vectoriel, de vecteur nul ⃗ 0𝐸. On a les propriétés suivantes :
1. Pour tous ⃗𝑎,⃗ 𝑏,⃗𝑐 ∈𝐸:(⃗𝑎 +⃗ 𝑏=⃗𝑎 +⃗𝑐)⇒(⃗ 𝑏=⃗𝑐)et (⃗𝑎 +⃗ 𝑏=⃗𝑎)⇒(⃗ 𝑏=⃗ 0𝐸).
2. Pour tout ⃗𝑥 ∈𝐸:0.⃗𝑥 =⃗ 0𝐸
3. Pour tout 𝜆∈𝕂:𝜆.⃗ 0𝐸=⃗ 0𝐸
4. Pour tout ⃗𝑥 ∈𝐸et tout 𝜆∈𝕂, on l’équivalence : (𝜆.⃗𝑥 =⃗ 0𝐸)⇔(𝜆= 0 ou ⃗𝑥 =⃗ 0𝐸)
5. Pour tout ⃗𝑥 ∈𝐸et tout 𝜆∈𝕂:(−𝜆).⃗𝑥 =𝜆.(−⃗𝑥) = −(𝜆.⃗𝑥)et (−𝜆).(−⃗𝑥) = 𝜆.⃗𝑥
6. En définissant la soustraction sur 𝐸par ⃗𝑎 −⃗ 𝑏:= ⃗𝑎 + (−⃗ 𝑏), on obtient
pour tous 𝜆, 𝜇 ∈𝕂, pour tous ⃗𝑥, ⃗𝑦 ∈𝐸:𝜆.(⃗𝑥 −⃗𝑦) = 𝜆.⃗𝑥 −𝜆.⃗𝑦 et (𝜆−𝜇).⃗𝑥 =𝜆.⃗𝑥 −𝜇.⃗𝑥
Preuve :
1. On rappelle que dans un groupe, tout élément possède un symétrique, donc est régulier :
autrement dit, ceci signifie que dans le groupe (𝐸, +), si on a ⃗𝑎 +⃗ 𝑏=⃗𝑎 +⃗𝑐, on peut en déduire
(−⃗𝑎)+(⃗𝑎 +⃗ 𝑏) = (−⃗𝑎)+(⃗𝑎 +⃗𝑐)d’où ⃗ 𝑏=⃗𝑐.
En particulier, si ⃗𝑎 +⃗ 𝑏=⃗𝑎 i.e ⃗𝑎 +⃗ 𝑏=⃗𝑎 +⃗ 0𝐸, alors ⃗ 𝑏=⃗ 0𝐸.
2. Ainsi, comme 1.⃗𝑥 =⃗𝑥 et 1 = 1 + 0, on déduit (1 + 0).⃗𝑥 =⃗𝑥. Mais d’après les propriétés de
distributivité (cf (c)), cela peut encore s’écrire 1.⃗𝑥 + 0.⃗𝑥 =⃗𝑥, autrement dit ⃗𝑥 + 0.⃗𝑥 =⃗𝑥, d’où
par régularité : 0.⃗𝑥 =⃗ 0𝐸.
3. De même, sachant ⃗ 0𝐸+⃗ 0𝐸=⃗ 0𝐸(élément neutre du groupe (𝐸, +)), on a : 𝜆.⃗ 0𝐸=𝜆.(⃗ 0𝐸+⃗ 0𝐸),
d’où en distribuant : 𝜆.⃗ 0𝐸=𝜆.⃗ 0𝐸+𝜆.⃗ 0𝐸. Puis, par régularité : 𝜆.⃗ 0𝐸=⃗ 0𝐸.
4. Le sens (⇐)est immédiat : ceci a été démontré dans les deux propriétés précédentes.
Réciproquement, pour le sens (⇒): supposons donc que 𝜆.⃗𝑥 =⃗ 0𝐸.
Soit 𝜆= 0, et alors c’est un des deux cas cherchés.
Soit 𝜆∕= 0, alors le scalaire 1
𝜆existe. D’après l’égalité 𝜆.⃗𝑥 =⃗
0𝐸, on peut écrire : 1
𝜆.(𝜆.⃗𝑥) = 1 𝜆.⃗
0𝐸.
Mais, d’après les propriétés du 𝕂-ev 𝐸:1
𝜆.(𝜆.⃗𝑥)=(1 𝜆×𝜆).⃗𝑥 i.e 1 𝜆.(𝜆.⃗𝑥) = 1.⃗𝑥, donc, toujours
–2/12– Lycée Faidherbe, Lille

PCSI1résumé de cours - STRUCTURE D’ESPACE VECTORIEL 2016-2017
d’après les propriétés de l’ev : 1
𝜆.(𝜆.⃗𝑥) = ⃗𝑥.
Pour finir, on a donc ⃗𝑥 =1
𝜆.⃗
0𝐸avec 1
𝜆.⃗
0𝐸=⃗ 0𝐸d’après le sens direct ! D’où ⃗𝑥 =⃗ 0𝐸: CQFD !
5. Avec les propriétés connues dans un ev : (−𝜆).⃗𝑥 +𝜆.⃗𝑥 = (−𝜆+𝜆).⃗𝑥 = 0.⃗𝑥 =⃗ 0𝐸. Donc
(−𝜆).⃗𝑥 +𝜆.⃗𝑥 =⃗ 0𝐸, ce qui signifie que (−𝜆).⃗𝑥 est l’opposé de 𝜆.⃗𝑥 dans le groupe abélien (𝐸, +),
ce qui s’écrit : (−𝜆).⃗𝑥 =−(𝜆.⃗𝑥).
Les autres relations se démontrent de la même façon (preuves laissées au lecteur...).
6. Par définition : 𝜆.(⃗𝑥 −⃗𝑦) = 𝜆.(⃗𝑥 + (−⃗𝑦)), puis par propriétés (distributivité et ci-dessus) :
𝜆.(⃗𝑥 −⃗𝑦) = 𝜆.⃗𝑥 +𝜆.(−⃗𝑦) = 𝜆.⃗𝑥 + (−(𝜆.⃗𝑦)), donc par définition : 𝜆.(⃗𝑥 −⃗𝑦) = 𝜆.⃗𝑥 −𝜆.⃗𝑦.
L’autre relation se démontre de la même façon (preuve laissée au lecteur...).
3) Exemples classiques d’espaces vectoriels
1. Sur 𝐸=ℝ2, l’ensemble des couples de réels (𝑟1, 𝑟2), on définit la LCI «+» et la LCE «.» par :
(𝑥1, 𝑥2)+(𝑦1, 𝑦2) := (𝑥1+𝑦1, 𝑥2+𝑦2)et 𝜆.(𝑥1, 𝑥2) := (𝜆𝑥1, 𝜆𝑥2)pour 𝜆∈ℝ.
On sait que (ℝ2,+) est un groupe abélien, de neutre ⃗ 0ℝ2= (0,0), que l’opposé d’un élément
⃗𝑥 = (𝑥1, 𝑥2)est l’élément −⃗𝑥 = (−𝑥1,−𝑥2).
On vérifie aisément les 4 règles demandées sur la loi externe «.» :
(a) 1.⃗𝑥 = 1.(𝑥1, 𝑥2) = (1 ×𝑥1,1×𝑥2) = (𝑥1, 𝑥2) = ⃗𝑥, i.e 1.⃗𝑥 =⃗𝑥 !
(b) 𝜆.(⃗𝑥 +⃗𝑦) = 𝜆.((𝑥1, 𝑥2)+(𝑦1, 𝑦2)) = 𝜆.(𝑥1+𝑦1, 𝑥2+𝑦2)=(𝜆×(𝑥1+𝑦1), 𝜆 ×(𝑥2+𝑦2)) =
(𝜆𝑥1+𝜆𝑦1, 𝜆𝑥2+𝜆𝑦2) = (𝜆𝑥1, 𝜆𝑥2)+(𝜆𝑦1, 𝜆𝑦2) = 𝜆.(𝑥1, 𝑥2) + 𝜆.(𝑦1, 𝑦2) = 𝜆.⃗𝑥 +𝜆.⃗𝑦 !
(c) (𝜆+𝜇).⃗𝑥 = (𝜆+𝜇).(𝑥1, 𝑥2) = ((𝜆+𝜇)×𝑥1,(𝜆+𝜇)×𝑥2)=(𝜆𝑥1+𝜇𝑥1, 𝜆𝑥2+𝜇𝑥2) =
(𝜆𝑥1, 𝜆𝑥2)+(𝜇𝑥1, 𝜇𝑥2) = 𝜆.(𝑥1, 𝑥2) + 𝜇.(𝑥1, 𝑥2) = 𝜆.⃗𝑥 +𝜇.⃗𝑥 !
(d) 𝜆.(𝜇.⃗𝑥) = 𝜆.(𝜇.(𝑥1, 𝑥2)) = 𝜆.(𝜇×𝑥1, 𝜇 ×𝑥2) = (𝜆×𝜇×𝑥1, 𝜆 ×𝜇×𝑥2) =
(𝜆×𝜇).(𝑥1, 𝑥2)=(𝜆×𝜇).⃗𝑥 !
Conclusion : (ℝ2,+, .)est un ℝ-espace vectoriel, de vecteur nul ⃗ 0ℝ2= (0,0) .
2. De même, sur 𝐸=ℝ3, l’ensemble des triplets de réels (𝑟1, 𝑟2, 𝑟3), on définit la LCI «+» et la
LCE «.» par :
(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3)+(𝑦1, 𝑦2, 𝑦3) := (𝑥1+𝑦1, 𝑥2+𝑦2, 𝑥3+𝑦3)et 𝜆.(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) := (𝜆𝑥1, 𝜆𝑥2, 𝜆𝑥3)pour 𝜆∈ℝ.
On vérifie de la même façon que : (ℝ3,+, .)est un ℝ-espace vectoriel, de vecteur nul ⃗
0ℝ3= (0,0,0) .
3. Plus généralement, pour tout entier 𝑛⩾1, sur 𝐸=ℝ𝑛, l’ensemble des n-uplets de réels
(𝑟1, 𝑟2, . . . , 𝑟𝑛), on définit la LCI «+» et la LCE «.» par :
(𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛)+(𝑦1, 𝑦2, . . . , 𝑦𝑛) := (𝑥1+𝑦1, 𝑥2+𝑦2, . . . , 𝑥𝑛+𝑦𝑛)
et
𝜆.(𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛) := (𝜆𝑥1, 𝜆𝑥2, . . . , 𝜆𝑥𝑛)pour 𝜆∈ℝ.
On vérifie que : (ℝ𝑛,+, .)est un ℝ-espace vectoriel, de vecteur nul ⃗ 0ℝ𝑛= (0,0,...,0) .
4. Encore plus généralement, avec 𝕂=ℝou ℂ:
(𝕂𝑛,+, .)est un 𝕂-espace vectoriel, de vecteur nul ⃗ 0𝕂𝑛= (0,0,...,0) .
Remarque : ainsi, ℂ2, l’ensemble des couples de complexes (𝑧1, 𝑧2)est un ℂ-espace vectoriel
pour la loi externe suivante ℂ×ℂ2−→ ℂ2
(𝜆, (𝑧1, 𝑧2)) 7−→ 𝜆.(𝑧1, 𝑧2) := (𝜆×𝑧1, 𝜆 ×𝑧2).
MAIS on peut aussi considérer ℂ2en tant que ℝ-espace vectoriel pour la loi externe suivante
ℝ×ℂ2−→ ℂ2
(𝜆, (𝑧1, 𝑧2)) 7−→ 𝜆.(𝑧1, 𝑧2) := (𝜆×𝑧1, 𝜆 ×𝑧2).
–3/12– Lycée Faidherbe, Lille

PCSI1résumé de cours - STRUCTURE D’ESPACE VECTORIEL 2016-2017
On verra plus tard que la structure de ℂ2, et plus généralement celle de ℂ𝑛, est différente selon
qu’on le considère en tant que ℝ-espace vectoriel ou ℂ-espace vectoriel.
5. Espace vectoriel produit
Soit 𝐸et 𝐹, deux 𝕂-espaces vectoriels de neutres respectifs ⃗ 0𝐸et ⃗ 0𝐹.
Sur l’ensemble produit 𝐸×𝐹=(⃗𝑒, ⃗ 𝑓)∣⃗𝑒 ∈𝐸et ⃗ 𝑓∈𝐹(produit cartésien de 𝐸par 𝐹),
ensemble des couples de vecteurs (⃗𝑒, ⃗ 𝑓)où ⃗𝑒 ∈𝐸et ⃗ 𝑓∈𝐹, on définit une LCI «+» par :
(⃗𝑒, ⃗ 𝑓)+(⃗ 𝑒′,⃗ 𝑓′) := (⃗𝑒 +⃗ 𝑒′,⃗ 𝑓+⃗ 𝑓′)
et une loi externe «.» par :
𝜆.(⃗𝑒, ⃗ 𝑓) := (𝜆.⃗𝑒, 𝜆. ⃗ 𝑓)
On vérifie sans difficulté que, muni de ces lois :
𝐸×𝐹est un 𝕂-espace vectoriel, de vecteur nul ⃗ 0𝐸×𝐹= (⃗ 0𝐸,⃗ 0𝐹).
Remarque : puisque ℝ2=ℝ×ℝ, et que ℝest un ℝ-ev, on retrouve le fait que ℝ2est un ℝ-ev !
De même, on retrouve ℂ2est un ℂ-ev, mais également ℂ2est un ℝ-ev.
Attention : on peut aussi en déduire que ℝ2×ℝest un ℝ-ev. Mais, formellement, ℝ2×ℝ∕=ℝ3!!!
En effet, les éléments de ℝ3sont de la forme (𝑟1, 𝑟2, 𝑟3)(liste de 3 réels), alors que ceux de ℝ2×ℝ
sont de la forme ((𝑟1, 𝑟2), 𝑟3)(liste d’un couple de 2 réels et d’un réel) !
Autre application : l’ensemble −→ 𝒫des vecteurs du plan est un ℝ-ev, l’ensemble des réels ℝest
aussi un ℝ-ev, donc l’ensemble produit −→ 𝒫 × ℝest un ℝ-ev, de vecteur nul ⃗ 0−→
𝒫 ×ℝ= (⃗
0,0) :
cet ensemble −→ 𝒫 × ℝest l’ensemble des vecteurs massiques (⃗𝑣, 𝑚)(couple constitué d’un vec-
teur ⃗𝑣 et d’un poids 𝑚), espace possédant une structure intéressante pour effectuer des calculs
barycentriques.
6. Ensembles de fonctions
Soit 𝐸, un 𝕂-espace vectoriel, et Ω, un ensemble QUELCONQUE ! On rappelle qu’on note
𝒜(Ω, 𝐸) = 𝐸Ω=l’ensemble des applications 𝑓: Ω →𝐸(définies sur Ωet à valeurs dans l’ev E) .
On munit cet ensemble 𝒜(Ω, 𝐸)de la LCI «+» et de la LCE «.» définies par :
∙pour tous 𝑓, 𝑔 ∈ 𝒜(Ω, 𝐸):𝑓+𝑔est la fonction 𝑓+𝑔:Ω−→ 𝐸
𝑥7−→ 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)
Autrement dit, 𝑓+𝑔est définie par : ∀𝑥∈Ω,(𝑓+𝑔)(𝑥) := 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)
∙pour tout 𝜆∈𝕂, pour tout 𝑓∈ 𝒜(Ω, 𝐸):𝜆.𝑓 est la fonction 𝜆.𝑓 :Ω−→ 𝐸
𝑥7−→ 𝜆.𝑓(𝑥)
Autrement dit, 𝜆.𝑓 est définie par : ∀𝑥∈Ω,(𝜆.𝑓)(𝑥) := 𝜆.𝑓(𝑥)
On vérifie que, muni de ces deux lois,
𝒜(Ω, 𝐸) = {𝑓: Ω →𝐸}est un 𝕂-espace vectoriel, de vecteur nul ˜ 0
où ˜ 0désigne ici la fonction constante nulle sur l’ensemble Ωi.e : ∀𝑥∈Ω,˜ 0(𝑥) = ⃗ 0𝐸.
Preuve : la démonstration est longue et fastidieuse, mais élémentaire.
Par exemple, vérifions la propriété : 𝜆.(𝑓+𝑔) = 𝜆.𝑓 +𝜆.𝑔. Comme il s’agit de prouver une
égalité de deux fonctions, cela revient à prouver qu’elles coincident en tout point de l’ensemble
de départ. Autrement dit, on doit vérifier : ∀𝑥∈Ω,(𝜆.(𝑓+𝑔))(𝑥) = (𝜆.𝑓 +𝜆.𝑔)(𝑥)?
Or, pour tout 𝑥∈Ω:(𝜆.(𝑓+𝑔))(𝑥) = 𝜆.((𝑓+𝑔)(𝑥)) par définition de la LCE .sur 𝒜(Ω, 𝐸).
Mais (𝑓+𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)par définition de la LCI +sur 𝒜(Ω, 𝐸).
On a donc (𝜆.(𝑓+𝑔))(𝑥) = 𝜆.(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)), ce qui donne (𝜆.(𝑓+𝑔))(𝑥) = 𝜆.𝑓(𝑥) + 𝜆.𝑔(𝑥)par
distributivité dans l’ev 𝐸(en effet, 𝑓(𝑥)et 𝑔(𝑥)sont des éléments/vecteurs de l’ev 𝐸).
Puis (𝜆.(𝑓+𝑔))(𝑥) = 𝜆.𝑓(𝑥) + 𝜆.𝑔(𝑥) = (𝜆.𝑓 +𝜆.𝑔)(𝑥)par définition de la LCI +sur 𝒜(Ω, 𝐸).
CQFD !
–4/12– Lycée Faidherbe, Lille

PCSI1résumé de cours - STRUCTURE D’ESPACE VECTORIEL 2016-2017
CONSÉQUENCE : de cet exemple général d’espace vectoriel de fonctions, on en tire plein
d’exemples d’espaces vectoriels particuliers et intéressants pour nous ! En détail :
∙Si Ωest un ensemble quelconque, alors ℝΩ, l’ensemble des applications de l’ensemble
Ω, à valeurs réelles, est un ℝ-espace vectoriel.
l’ensemble 𝒜(Ω,ℝ) = ℝΩest un ℝ-espace vectoriel
où 𝒜(Ω,ℝ)= l’ensemble des fonctions 𝑓: Ω →ℝ.
De même, ℂΩest un ℂ-espace vectoriel (et aussi un ℝ-espace vectoriel !).
Pour rire : l’application 𝒩qui, à chaque éléve 𝑒de la PCSI1associe sa note 𝒩(𝑒)obtenue
au dernier DS, est un vecteur ! En effet, c’est un élément de l’espace vectoriel 𝒜(PCSI1,ℝ)
des fonctions à valeurs réelles définies sur l’ensemble Ω = PCSI1...
∙Si 𝐼est une partie de ℝ(par exemple un intervalle de ℝ, ou même 𝐼=ℝsi on veut !), alors
l’ensemble 𝒜(𝐼, ℝ) = ℝ𝐼est un ℝ-espace vectoriel, de vecteur nul la fonction ˜ 0
où 𝒜(𝐼, ℝ)= l’ensemble des fonctions 𝑓:𝐼→ℝ,˜ 0= fonction constante nulle sur 𝐼.
Exemple :
l’ensemble 𝒜(ℝ,ℝ) = ℝℝdes fonctions de la variable réelle et à valeurs réelles est un ℝ-ev .
Or, cos ∈ℝℝ,exp ∈ℝℝ, Idℝ∈ℝℝ(où Idℝ:ℝ−→ ℝ
𝑥7−→ Idℝ(𝑥) = 𝑥,fonction identité sur
ℝ), donc les fonctions cos,exp, Idℝsont des vecteurs, en tant qu’éléments de l’espace
vectoriel ℝℝ!
∙En prenant 𝐼=ℕdans l’exemple précédent, on obtient
l’ensemble 𝒜(ℕ,ℝ) = ℝℕest un ℝ-espace vectoriel, de vecteur nul la suite ˜ 0
où 𝒜(ℕ,ℝ) = ℝ𝑁= l’ensemble des suites à valeurs réelles 𝑢:ℕ−→ ℝ
𝑛7−→ 𝑢(𝑛) = 𝑢𝑛
et ˜ 0=suite constante nulle (∀𝑛∈ℕ,˜ 0𝑛= 0).
∙Bien entendu, l’ensemble 𝒜(ℕ,ℂ) = ℂ𝑁= l’ensemble des suites à valeurs complexes
est un ℂ-espace vectoriel, mais peut aussi être considéré comme un ℝ-espace vectoriel.
7. Ensembles de polynômes
L’ensemble 𝕂[𝑋]des polynômes à coefficients dans 𝕂est un 𝕂-espace vectoriel , de vecteur nul
˜
0, le polynôme nul !
8. Ensembles de matrices
L’ensemble ℳ𝑛,𝑝(𝕂)des matrices à 𝑛lignes, 𝑝colonnes et à coefficients dans 𝕂, est un 𝕂-ev ,
de vecteur nul 𝑂𝑛,𝑝, la matrice nulle (𝑛lignes, 𝑝colonnes).
En effet, on peut voir toute matrice 𝑀de l’ensemble ℳ𝑛,𝑝(𝕂)comme une application de
{1, . . . , 𝑛} × {1, . . . , 𝑝}=𝐼×𝐽vers 𝕂qui, à chaque (𝑖, 𝑗)∈𝐼×𝐽associe son image 𝑀[𝑖, 𝑗].
Donc ℳ𝑛,𝑝(𝕂) = 𝒜(𝐼×𝐽, 𝕂)est bien un 𝕂-ev.
Cas particuliers : l’ensemble ℳ𝑛(𝕂)des matrices carrées à 𝑛lignes est un 𝕂-espace vectoriel,
de même que ℳ𝑛,1(𝕂), l’ensemble des matrices colonnes à 𝑛lignes, et ℳ1,𝑝(𝕂)l’ensemble des
matrices lignes à 𝑝colonnes.
II. SOUS-ESPACES VECTORIELS
On a remarqué qu’il est souvent long et fastidieux de vérifier qu’un ensemble possède une struc-
ture d’espace vectoriel (vérifier que c’est bien un groupe abélien pour la loi +, puis vérifier les 4
–5/12– Lycée Faidherbe, Lille