Les polyn mes

PCSI1LES POLYNÔMES - résumé de cours 2016-2017
Dans tout ce chapitre, sauf précision contraire, 𝕂désigne le corps ℝou le corps ℂ.
But : définir les polynômes comme des objets «formels», ce qui permettra, en particulier, de manipuler
des quantités 𝑃(𝑥)avec un 𝑥qui peut être autre chose qu’un nombre.
Par exemple, avec le polynôme 𝑃=𝑃(𝑋) = 2𝑋2−5𝑋+ 3 = 2𝑋2−5𝑋1+ 3𝑋0et la matrice
𝑀=1 2
3 4 , on aura
𝑃(𝑀) = 2𝑀2−5𝑀+ 3I2= 2 1 2
3 4 2
−51 2
3 4 + 3 1 0 0 1 =12 10 15 27 .
Autre exemple, si 𝑓est un endomorphisme d’un espace vectoriel 𝐸:
𝑃(𝑓)=2𝑓2−5𝑓+ 3Id𝐸= 2𝑓∘𝑓−5𝑓+ 3Id𝐸.
I : «l’algèbre» 𝕂[𝑋]
1) Définition
Définition : on appelle polynôme à coefficients dans 𝕂toute quantité 𝑃de la forme
𝑃=𝑎0𝑋0+𝑎1𝑋1+𝑎2𝑋2+⋅⋅⋅ +𝑎𝑛−1𝑋𝑛−1+𝑎𝑛𝑋𝑛
ou tout simplement : 𝑃=𝑎0+𝑎1𝑋+𝑎2𝑋2+⋅⋅⋅ +𝑎𝑛−1𝑋𝑛−1+𝑎𝑛𝑋𝑛.
où 𝑛∈ℕet 𝑎0, 𝑎1, . . . , 𝑎𝑛, appelés coefficients du polynôme, sont des éléments du corps 𝕂. La
quantité 𝑋s’appelle l’indéterminée. On peut noter 𝑃=𝑃(𝑋).
L’ensemble de tous les polynômes à coefficients dans 𝕂est noté 𝕂[𝑋]. Si tous les coefficients 𝑎𝑘sont
nuls, on dit que le polynôme est le polynôme nul, noté 0𝕂[𝑋]ou ˜ 0ou tout simplement 0.
Notation : Si 𝑃=𝑎0+𝑎1𝑋+𝑎2𝑋2+⋅⋅⋅ +𝑎𝑛𝑋𝑛, on note 𝑃=
𝑛
𝑘=0
𝑎𝑘𝑋𝑘=
0⩽𝑘⩽𝑛
𝑎𝑘𝑋𝑘.
Par souci de simplification, on notera également 𝑃=
+∞
𝑘=0
𝑎𝑘𝑋𝑘voire 𝑃=
𝑘∈ℕ
𝑎𝑘𝑋𝑘ou encore
𝑃=
𝑘
𝑎𝑘𝑋𝑘=𝑎𝑘𝑋𝑘, en supposant que les termes 𝑎𝑘sont nuls à partir d’un certain
rang (i.e il existe 𝑛∈ℕtel que 𝑘 > 𝑛 ⇒𝑎𝑘= 0).
Remarque : ainsi tout polynôme à coefficients dans 𝕂peut être identifié à une suite nulle à partir
d’un certain rang (à valeurs dans 𝕂). En effet, on peut écrire 𝑃= (𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, . . .)en supposant 𝑎𝑘= 0
dès que 𝑘dépasse un certain entier (par exemple 𝑛), d’où 𝑃= (𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑛−1, 𝑎𝑛,0,0,0, . . . ).
Avec ces notations, 𝑃=𝑎0(1,0,0, . . .) + 𝑎1(0,1,0, . . .) + 𝑎2(0,0,1,0, . . .) + ⋅⋅⋅ +𝑎𝑛(0,...,0,1,0, . . .)
et ˜ 1 = 𝑋0= (1,0,0, . . .),𝑋=𝑋1= (0,1,0, . . .),𝑋2= (0,0,1,0, . . .),𝑋3= (0,0,0,1,0, . . .)etc...
Exemple : −3+5𝑋−12𝑋3+ 2𝑋6= (−3,5,0,−12,0,0,2,0,0,0, . . .).
Propriété : deux polynômes sont égaux si et seulement si tous leurs coefficients respectifs sont égaux .
Il est facile de prouver (voir le cours correspondant) que l’ensemble des suites nulles à partir d’un
certain rang est un sous-espace vectoriel de 𝕂ℕ(𝕂-espace vectoriel des suites à valeurs dans 𝕂).
Donc en définissant les opérations :
pour tous 𝑃=𝑎𝑖𝑋𝑖et 𝑄=𝑏𝑖𝑋𝑖de 𝕂[𝑋], et pour tout scalaire 𝜆∈𝕂,
𝑃+𝑄:= (𝑎𝑖+𝑏𝑖)𝑋𝑖et 𝜆.𝑃 := (𝜆.𝑎𝑖)𝑋𝑖,
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on peut affirmer (voir le cours correspondant)
Propriété :𝕂[𝑋]est un 𝕂-espace vectoriel, de vecteur nul ˜ 0 = 
𝑖
0𝑋𝑖= (0,0,0,0, . . .).
On peut également définir un produit interne sur 𝕂[𝑋].
Définition-proposition : soit (𝑎𝑖)𝑖⩾0et (𝑏𝑗)𝑗⩾0, deux suites à valeurs dans 𝕂.
On définit alors la suite (𝑐𝑘)𝑘⩾0par
𝑐𝑘=
𝑖+𝑗=𝑘
𝑎𝑖𝑏𝑗=
𝑘
𝑖=0
𝑎𝑖𝑏𝑘−𝑖=
𝑘
𝑗=0
𝑎𝑘−𝑗𝑏𝑗=𝑎0𝑏𝑘+𝑎1𝑏𝑘−1+ +𝑎2𝑏𝑘−2+⋅⋅⋅ +𝑎𝑖𝑏𝑘−𝑖+⋅⋅⋅ +𝑎𝑘−1𝑏1+𝑎𝑘𝑏0.
Ainsi : 𝑐0=𝑎0𝑏0,𝑐1=𝑎0𝑏1+𝑎1𝑏0,𝑐2=𝑎0𝑏2+𝑎1𝑏1+𝑎2𝑏0,𝑐3=𝑎0𝑏3+𝑎1𝑏2+𝑎2𝑏1+𝑎3𝑏0, etc...
Premier résultat : si (𝑎𝑖)𝑖⩾0et (𝑏𝑗)𝑗⩾0sont nulles à partir d’un certain rang, alors (𝑐𝑘)𝑘⩾0également.
Second résultat : par conséquent, si 𝑃=𝑎𝑖𝑋𝑖et 𝑄=𝑏𝑗𝑋𝑗sont des polynômes de 𝕂[𝑋], alors
𝑅=𝑐𝑘𝑋𝑘est aussi un polynôme. On le note 𝑅=𝑃×𝑄=𝑃 𝑄 (polynôme produit de 𝑃par 𝑄).
Preuve du premier résultat : en supposant (𝑖 > 𝑛 ⇒𝑎𝑖= 0) et (𝑗 > 𝑚 ⇒𝑏𝑗= 0), on vérifie
facilement que (𝑘 > 𝑛 +𝑚⇒𝑐𝑘= 0).
Remarque : cela correspond bien au produit usuel que l’on connait sur le produit de fonctions.
Par exemple, si 𝑃=𝑎0+𝑎1𝑋+𝑎2𝑋2et 𝑄=𝑏0+𝑏1𝑋, alors
𝑃 𝑄 = (𝑎0+𝑎1𝑋+𝑎2𝑋2)(𝑏0+𝑏1𝑋) = (𝑎0𝑏0)+(𝑎0𝑏1+𝑎1𝑏0)𝑋+ (𝑎1𝑏1+𝑎2𝑏0)𝑋2+ (𝑎2𝑏1)𝑋3,
ce qui peut encore s’écrire
𝑃 𝑄 = (𝑎0𝑏0)+(𝑎0𝑏1+𝑎1𝑏0)𝑋+ (𝑎0𝑏2+𝑎1𝑏1+𝑎2𝑏0)𝑋2+ (𝑎0𝑏3+𝑎1𝑏2+𝑎2𝑏1+𝑎3𝑏0)𝑋3
en prenant 𝑎3=𝑏2=𝑏3= 0.
A retenir : si 𝑃=
𝑝
𝑘=0
𝑎𝑘𝑋𝑘et 𝑄=
𝑞
𝑘=0
𝑏𝑘𝑋𝑘alors
𝑃×𝑄=𝑃 𝑄 =
𝑝+𝑞
𝑘=0
𝑐𝑘𝑋𝑘où 𝑐𝑘=
𝑘
𝑖=0
𝑎𝑖𝑏𝑘−𝑖=
𝑖+𝑗=𝑘
𝑎𝑖𝑏𝑗.
Ou plus simplement : 𝑎𝑘𝑋𝑘×𝑏𝑘𝑋𝑘=𝑐𝑘𝑋𝑘où 𝑐𝑘=
𝑘
𝑖=0
𝑎𝑖𝑏𝑘−𝑖.
On vérifie assez facilement les propriétés suivantes (admis ici).
Propriété : le produit de polynômes est une loi interne sur 𝕂[𝑋](on vient de le prouver) qui est
commutative (𝑃 𝑄 =𝑄𝑃 ), associative ((𝑃 𝑄)𝑅=𝑃(𝑄𝑅)), distributive sur l’addition à gauche et à
droite (𝑃(𝑄+𝑅) = 𝑃 𝑄 +𝑃 𝑅 et (𝑃+𝑄)𝑅=𝑃 𝑅 +𝑄𝑅), et 𝑋0×𝑃=𝑃×𝑋0=𝑃.
Conséquence : 𝕂[𝑋]a une structure d’anneau commutatif (HP), de neutres ˜ 0(pour la loi +) et
˜
1 = 𝑋0(pour la loi ×). On rappelle qu’on a déjà vu que 𝕂[𝑋]est un espace vectoriel. De plus, on
vérifie facilement, avec 𝜆∈𝕂:𝜆.(𝑃 𝑄) = (𝜆.𝑃 )𝑄=𝑃(𝜆.𝑄). On peut alors affirmer : (𝕂[𝑋],+,×, . )
est une algèbre (HP).
Composition : si 𝑃=
𝑘
𝑎𝑘𝑋𝑘et 𝑄=
𝑖
𝑏𝑖𝑋𝑖sont deux polynômes, on définit le polynôme
composé 𝑃∘𝑄par 𝑃∘𝑄=𝑃(𝑄) = 
𝑘
𝑎𝑘𝑄𝑘=
𝑘
𝑎𝑘
𝑖
𝑏𝑖𝑋𝑖𝑘 .
Exemple : si 𝑃= 2 −3𝑋+ 5𝑋2+ 7𝑋3et 𝑄= 1 −5𝑋+ 4𝑋2alors
𝑃∘𝑄= 2 −3𝑄+ 5𝑄2+ 7𝑄3= 2 −3(1 −5𝑋+ 4𝑋2) + 5(1 −5𝑋+ 4𝑋2)2+ 7(1 −5𝑋+ 4𝑋2)3.
Remarque : la composition de polynômes justifie l’écriture 𝑃=𝑃(𝑋)car 𝑃∘𝑋=𝑃!
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2) Degré d’un polynôme
Définition : soit 𝑃=𝑎𝑘𝑋𝑘∈𝕂[𝑋].
∙si 𝑃∕=˜ 0, on définit le degré de 𝑃par le plus grand entier 𝑖tel que 𝑎𝑖∕= 0, autrement dit
deg(𝑃) = max {𝑖∈ℕ∣𝑎𝑖∕= 0}.
∙si 𝑃=˜ 0, on pose (convention) : deg(˜ 0) = −∞ .
Attention : si 𝑃=𝑎𝑘𝑋𝑘est un polynôme constant (i.e 𝑘⩾1⇒𝑎𝑘= 0 donc 𝑃=𝑎0), alors son
degré deg(𝑃)vaut −∞ ou 0selon que 𝑃est constant nul ou constant non nul (𝑎0= 0 ou 𝑎0∕= 0).
Définition : si deg(𝑃) = 𝑛∈ℕ, alors 𝑃=𝑎𝑛𝑋𝑛+⋅⋅⋅+𝑎1𝑋+𝑎0, avec 𝑎𝑛∕= 0. Le coefficient 𝑎𝑛
s’appelle le coefficient dominant du polynôme 𝑃. Si 𝑎𝑛= 1, on dit que le polynôme est unitaire.
On prend les conventions, pour tout entier 𝑛∈ℕ:
(−∞)< 𝑛,(−∞)+(−∞) = −∞ et (−∞) + 𝑛=−∞.
Propriétés : pour tous 𝑃et 𝑄dans 𝕂[𝑋],
∙deg(𝑃+𝑄)⩽max(deg(𝑃),deg(𝑄))
Si deg(𝑃)∕=deg(𝑄), alors on a l’égalité des degrés : deg(𝑃+𝑄) = max(deg(𝑃),deg(𝑄)).
∙deg(𝑃×𝑄) = deg(𝑃) + deg(𝑄)
Preuve : en cours.
Remarque : pour la composition de polynômes (avec une définition s’inspirant de la composition de
fonctions), les formules sont plus compliquées. En effet, pour tout 𝑃∈𝕂[𝑋], on a ˜ 0∘𝑃=˜ 0mais
𝑃∘˜ 0 = 𝑃(0), donc deg(˜ 0∘𝑃) = −∞ et deg(𝑃∘˜ 0) = −∞ ou 0, selon que 0est racine de 𝑃ou non.
Même problème si 𝑃est constant...
Dans le cas où 𝑄n’est pas constant (deg(𝑄)⩾1), on a tout de même deg(𝑃∘𝑄) = deg(𝑃)×deg(𝑄).
Remarque : on a, pour 𝑘∈ℕet deg(𝑃)⩾0, deg(𝑃𝑘) = 𝑘×deg(𝑃).
Définition : pour tout entier 𝑛∈ℕ, on définit l’ensemble 𝕂𝑛[𝑋]des polynômes à coefficients
dans 𝕂et de degré inférieur ou égal à𝑛. Ainsi 𝕂𝑛[𝑋] = {𝑃∈𝕂[𝑋]∣deg(𝑃)⩽𝑛}.
On verra plus tard que cet ensemble 𝕂𝑛[𝑋]est un sous-espace vectoriel du 𝕂-espace vectoriel 𝕂[𝑋].
On peut aussi remarquer que 𝕂𝑛[𝑋]est l’ensemble des polynômes de la forme 𝑎0+𝑎1𝑋+⋅⋅⋅𝑎𝑛𝑋𝑛(i.e)
𝑎0𝑋0+𝑎1𝑋1+⋅⋅⋅𝑎𝑛𝑋𝑛(où les 𝑎𝑘sont éventuellement nuls) : c’est donc l’ensemble des combinaisons
linéaires des «vecteurs» 𝑋0, 𝑋1, . . . , 𝑋𝑛. On a :
𝕂𝑛[𝑋] = vect(𝑋0, 𝑋1, . . . , 𝑋𝑛) = vect (𝑋𝑘)0⩽𝑘⩽𝑛.
On dit que 𝕂𝑛[𝑋]est l’espace vectoriel engendré par la famille (𝑋0, 𝑋1, . . . , 𝑋𝑛).
Attention : 𝕂𝑛[𝑋]n’est pas stable par produit dès que 𝑛⩾1(donc n’est pas un anneau ni par
conséquent une algèbre (HP)), contrairement à 𝕂[𝑋] = vect (𝑋𝑘)𝑘∈ℕ.
3) Divisibilité dans 𝕂[𝑋]
Définition : Soit deux polynômes 𝐴et 𝐵dans 𝕂[𝑋].
On dit que 𝐴divise 𝐵s’il existe un polynôme 𝐶dans 𝕂[𝑋]tel que 𝐵=𝐴×𝐶.
On dit aussi que 𝐵est un multiple de 𝐴ou encore que 𝐴est un diviseur de 𝐵, et on notera parfois
«𝐴∣𝐵» lorsque 𝐴divise 𝐵.
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Exemples : dans ℝ[𝑋],(𝑋2+𝑋+ 1) divise 𝑋3−1car 𝑋3−1 = (𝑋2+𝑋+ 1)(𝑋−1).
Dans ℂ[𝑋],(𝑋−𝑖)divise 𝑋2+ 1 car 𝑋2+ 1 = (𝑋−𝑖)(𝑋+𝑖).
Proposition : dans 𝕂[𝑋], on a l’équivalence
(𝑃×𝑄=˜ 0)⇔(𝑃=˜ 0ou 𝑄=˜ 0) .
Conséquence : tout élément non nul de 𝕂[𝑋]est régulier. Ceci signifie :
si 𝑃∕=˜ 0alors on a l’implication : (𝑃×𝑄=𝑃×𝑅)⇒(𝑄=𝑅).
Exemple : dans ℝ[𝑋], si (𝑋−1)(𝑋−2)𝑄(𝑋) = (𝑋−1)(𝑋−2)𝑅(𝑋)alors 𝑄(𝑋) = 𝑅(𝑋), car le
polynôme 𝑃(𝑋)=(𝑋−1)(𝑋−2) est de degré 2donc n’est pas le polynôme nul, 𝑃∕=˜ 0, mais admet
tout de même des racines réelles (il s’annule en 𝑥= 1 et 𝑥= 2). On rappelle :
(𝑃∕=˜ 0)⇔non(∀𝑥∈𝕂,𝑃(𝑥) = 0)⇔(∃𝑥∈𝕂,𝑃(𝑥)∕= 0).
ATTENTION : seuls les polynômes constants (et différents de ˜ 0) sont inversibles i.e possède un
inverse dans 𝕂[𝑋](le faire). Pourtant, tous les polynômes (différents de ˜ 0) sont réguliers dans 𝕂[𝑋]!
4) Division euclidienne dans 𝕂[𝑋]
Théorème : pour tout couple de polynômes (𝐴, 𝐵)∈𝕂[𝑋]2tel que 𝐵∕=˜ 0, il existe un, et un
seul couple de polynômes (𝑄, 𝑅)∈𝕂[𝑋]2vérifiant
𝐴=𝐵×𝑄+𝑅
et
deg(𝑅)<deg(𝐵)
.
Les polynômes 𝑄et 𝑅s’appellent respectivement le quotient et le reste dans la division eucli-
dienne du polynôme 𝐴par le polynôme 𝐵∕= 0.
Preuve : on prouve d’abord l’unicité (facile) puis l’existence (plus délicat).
Unicité : supposons qu’il existe deux couples (𝑄1, 𝑅1)et (𝑄2, 𝑅2)dans 𝕂[𝑋]2vérifiant
𝐴=𝐵×𝑄1+𝑅1
𝐴=𝐵×𝑄2+𝑅2
et deg(𝑅1)<deg(𝐵)
deg(𝑅2)<deg(𝐵).
Des égalités on déduit, par soustraction : 𝑅1−𝑅2=𝐵×(𝑄2−𝑄1). D’où en passant aux dégrés :
deg(𝑅1−𝑅2) = deg(𝐵×(𝑄2−𝑄1)) = deg(𝐵) + deg(𝑄2−𝑄1).
Mais, d’autre part, avec les inégalités sur les degrés, on déduit :
deg(𝑅1−𝑅2)⩽max(deg(𝑅1),deg(𝑅2)) <deg(𝐵), d’où deg(𝑅1−𝑅2)<deg(𝐵).
Avec le premier résultat établi, on en déduit deg(𝑅1−𝑅2) = deg(𝐵) + deg(𝑄2−𝑄1)<deg(𝐵), ce
qui n’est possible que si deg(𝑄2−𝑄1)<0, (i.e) deg(𝑄2−𝑄1) = −∞, ce qui implique 𝑄2−𝑄1= 0
donc 𝑄1=𝑄2. En reportant dans les égalités précédentes, on en déduit aussi 𝑅1=𝑅2, ce qui prouve
l’unicité du couple (𝑄, 𝑅)dans la division euclidienne.
Existence :
1er cas : si 𝐴= 0. C’est évident, car on peut écrire 0 = 𝐵×0 + 0 avec deg(0) = −∞ <deg(𝐵)(on
rappelle que 𝐵∕= 0 donc 0⩽deg(𝐵)). Ainsi (𝑄, 𝑅) = (0,0) est une solution au problème.
2nd cas : si 𝐴∕= 0. On sépare selon que 𝐵est constant ou non.
∙1er sous-cas : si 𝐵est un polynôme constant. On a donc 𝐵=𝜆∈𝕂∗.
On peut écrire 𝐴=𝜆×(1
𝜆.𝐴)+0 (car 𝜆∕= 0). En posant (𝑄, 𝑅)=(1 𝜆.𝐴, 0), on a l’égalité
recherchée avec l’inégalité sur les degrés deg(𝑅) = −∞ <deg(𝐵)=0. Là encore, l’existence
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du couple est prouvée.
∙2nd sous-cas : si 𝐵n’est pas un polynôme constant. Dans ce cas, on a 𝑝=deg(𝐵)⩾1.
Pour prouver l’existence du couple (𝑄, 𝑅), on s’inspire de la méthode pratique de calcul effectif
du quotient et du reste. On va travailler par récurrence forte sur le degré 𝑛du polynôme 𝐴,
le polynôme 𝐵étant fixé et de degré 𝑝⩾1.
Posons la proposition (𝐻𝑛): « pour tout polynôme 𝐴de degré 𝑛, il existe un couple (𝑄, 𝑅)de
polynômes vérifiant 𝐴=𝐵×𝑄+𝑅et deg(𝑅)<deg(𝐵)».
♥Initialisation : si 𝐴est de degré 0, 𝐴est une constante non nulle, on écrit 𝐴=𝐵×0 + 𝐴,
et en posant (𝑄, 𝑅) = (0, 𝐴), on a l’égalité avec deg(𝑅) = deg(𝐴)=0< 𝑝 =deg(𝐵)(car
désormais 𝐵n’est pas constant). D’où l’existence du couple dans ce cas, et (𝐻0)est vraie.
♥Hérédité : supposons (𝐻0),(𝐻1),...,(𝐻𝑛)vraies pour un certain entier 𝑛⩾0. On veut
prouver que, sous ces hypothèses, (𝐻𝑛+1)est vraie ? Soit 𝐴, un polynôme quelconque de
degré 𝑛+ 1. On peut donc l’écrire 𝐴=𝑎𝑛+1𝑋𝑛+1 +𝑎𝑛𝑋𝑛+⋅⋅⋅+𝑎1𝑋1+𝑎0avec 𝑎𝑛+1 ∕= 0.
Ecrivons le polynôme 𝐵sous la forme 𝐵=𝑏𝑝𝑋𝑝+⋅⋅⋅+𝑏1𝑋1+𝑏0avec 𝑏𝑝∕= 0 (et 𝑝⩾1).
1ère possibilité : 𝑛+ 1 < 𝑝.
En écrivant 𝐴=𝐵×0 + 𝐴, avec l’hypothèse deg(𝐴) = 𝑛+ 1 < 𝑝 =deg(𝐵), le couple
(𝑄, 𝑅) = (0, 𝐴)est une solution. Donc (𝐻𝑛+1)est vraie dans ce cas.
2nde possibilité : 𝑛+ 1 ⩾𝑝.
Le rapport des termes dominants de 𝐴et 𝐵est 𝑎𝑛+1
𝑏𝑝𝑋𝑛+1−𝑝.
On définit le polynôme 𝐴1=𝐴−𝑎𝑛+1
𝑏𝑝𝑋𝑛+1−𝑝×𝐵. On développe :
𝐴1=𝑎𝑛+1𝑋𝑛+1 +𝑎𝑛𝑋𝑛+⋅⋅⋅ +𝑎0−𝑎𝑛+1
𝑏𝑝𝑋𝑛+1−𝑝×(𝑏𝑝𝑋𝑝+⋅⋅⋅ +𝑏1𝑋1+𝑏0), puis
𝐴1=𝑎𝑛+1𝑋𝑛+1 +𝑎𝑛𝑋𝑛+⋅⋅⋅ +𝑎0−(𝑎𝑛+1𝑋𝑛+1 +⋅⋅⋅ +𝑎𝑛+1𝑏0
𝑏𝑝𝑋𝑛+1−𝑝).
On simplifie, et 𝐴1est donc de la forme 𝐴1=𝛼𝑛𝑋𝑛+𝛼𝑛−1𝑋𝑛−1+⋅⋅⋅𝛼1𝑋1+𝛼0.
Le degré de 𝐴1est donc inférieur ou égal à 𝑛: deg(𝐴1)⩽𝑛
Par hypothèse de récurrence forte, on est assuré de l’existence d’un couple de polynômes
(𝑄1, 𝑅1)tels que 𝐴1=𝐵×𝑄1+𝑅1avec deg(𝑅1)<deg(𝐵).
Mais on se souvient de : 𝐴=𝐴1+𝑎𝑛+1
𝑏𝑝𝑋𝑛+1−𝑝×𝐵. On reporte l’expression de 𝐴1, on en
tire 𝐴=𝐵×𝑄1+𝑅1+𝑎𝑛+1
𝑏𝑝𝑋𝑛+1−𝑝×𝐵=𝐵×(𝑄1+𝑎𝑛+1 𝑏𝑝𝑋𝑛+1−𝑝) + 𝑅1.
On pose (𝑄, 𝑅) = (𝑄1+𝑎𝑛+1
𝑏𝑝𝑋𝑛+1−𝑝, 𝑅1): ce couple vérifie bien 𝐴=𝐵×𝑄+𝑅avec
deg(𝑅) = deg(𝑅1)<deg(𝐵)! Donc (𝐻𝑛+1)est vraie, d’où l’hérédité.
♥Conclusion : par récurrence forte on a prouvé que (𝐻𝑛)est vraie pour tout entier 𝑛⩾0.
Remarque : lorsque deg(𝐴)<deg(𝐵), l’écriture 𝐴= 0 ×𝐵+𝐴permet d’affirmer que le quotient
dans la division de 𝐴par 𝐵est 0, le reste étant 𝐴.
Proposition : soit 𝐴et 𝐵, deux polynômes de 𝕂[𝑋], avec 𝐵∕= 0. on a l’équivalence :
(𝐴est divisible par 𝐵) ssi (le reste de la division euclidienne de 𝐴par 𝐵est nul) .
5) Formules à connaître
Si 𝐴et 𝐵sont des polynômes, et 𝑛un entier naturel :
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