sujet

Calculatrices autorisées
Notations.
Dans tout le problème, n2N.
On note [j1; nj]l’ensemble des entiers ktels que 1kn.
On considère l’espace euclidien Rnrapporté à une base orthonormale B= (e1; : : : ; en).
–Le produit scalaire des deux vecteurs x=
n
X
i=1
xieiet y=
n
X
i=1
yieiest noté (xjy) =
n
X
i=1
xiyi
–kxkdésigne la norme du vecteur x.
–Soient Xet Yles matrices de Mn;1(R)des composantes de xet ydans B, le produit tXY
appartient à M1(R)et son unique coe¢ cient est (xjy). On écrira (xjy) =tXY qui est le produit
scalaire canonique des matrices Xet Yde Mn;1(R).
 Mn(R)désigne l’espace vectoriel réel des matrices carrées à nlignes.
L’écriture A= (ai;j )signi…e que ai;j est le coe¢ cient de la ligne iet de la colonne jde la matrice A.
On note tAla matrice transposée de Aet tr(A)la trace de la matrice carrée A.
Sn(R)désigne l’ensemble des matrices symétriques de Mn(R).
Pour S2Sn(R), on note sl’endomorphisme symétrique de Rnde matrice Srelativement à B.
Si xest le vecteur de Rnde matrice Xrelativement à B. On a tXSX = (xjs(x)).
S+
n(R)désigne l’ensemble des matrices Ssymétriques positives de Mn(R):8X2 Mn(R),tXSX 0
S++
n(R)désigne l’ensemble des matrices Ssymétriques dé…nies positives de Mn(R):8X2 Mn(R),
X6= 0 )tXSX > 0
 Mn;1(R)désigne l’espace vectoriel réel des matrices colonnes à nlignes.
O(n)désigne le groupe des matrices orthogonales de Mn(R).
On note diag(1; : : : ; n)la matrice diagonale de Mn(R)qui admet pour coe¢ cients diagonaux les
réels 1; : : : ; ndans cet ordre.
Objectifs.
Dans le problème, veut étudier quelques propriétés des éléments de S+
n(R)et de S++ n(R)et des endomor-
phismes symétriques associés.
Dans la première partie, on traite deux exemples et on démontre une propriété de compacité d’une partie
de Rnliée au signe des valeurs propres d’un endomorphime symétrique.
Dans les deux parties suivantes, on dé…nit les ensembles S+
net S++ net on démontre di¤érentes propriétés
de leurs éléments : caractérisation par le signe des valeurs propres, racine carrée, propriété de la trace.
Dans la dernière partie, on fait établir des inégalités véri…ées par les endomorphismessymétriques associés
aux matrices de S++
n.
Les parties 3 et 4 sont indépendantes l’une de l’autre.

1. Etude de compacité.
L’espace euclidien Rnest rapporté à une base orthonormale B= (e1; : : : ; en). Soit sun endomorphisme
symétrique de Rn. On considère l’ensemble  = fx2Rn=(xjs(x)) = 1g.
I.1. Dans cette question, on suppose n= 2. On considère le plan euclidien muni du repère orthonormal
R= (O; e1; e2)où Oest un point du plan. A tout vecteur x=x1e1+x2e22R2, on associe le point
Mdu plan de coordonnées (x1; x2)dans le repère R. On note l’ensemble des points du plan ainsi
associés aux vecteurs de . Soit Sla matrice de l’endomorphisme srelativement à la base B.
I.1.1. On suppose que S=2p3
p3 4 . Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres
de S. Pour x=x1e1+x2e22R2, calculer le produit scalaire (xjs(x)). Montrer que est une
ellipse. dont on donnera une équation réduite. Tracer cette ellipse dans le plan euclidien muni
du repère R.
I.1.2. On suppose que S=1p3
p3 3 . Déterminer les valeurs propres de S. Déterminer l’ensemble
et tracer cet ensemble dans le plan euclidien muni du repère R.
I.2. On suppose nentier quelconque de N. On note 1; : : : ; nles nvaleurs propres réelles (distinctes ou
confondues) de s, chaque valeur propre …gurant avec son ordre de multiplicité. On veut montrer que
est une partie compacte de Rnsi et seulement si tous les isont >0. On ordonne les idans l’ordre
croissant 1   net on considère une base orthonormale ("1; : : : ; "n)de Rnformée de vecteurs
propres de savec 8i2[j1; nj]; s("i) = i"i.
I.2.1. On suppose 1>0. Pour x=
n
X
i=1
ai"i2Rn, calculer (xjs(x)). Montrer que n’est pas vide.
Montrer que est une partie bornée de Rn.
–complément 5/2 : Montrer que est une partie compacte de Rn. On pourra étudier l’application
x7! (xjs(x)) .
I.2.2. On suppose que est une partie bornée non vide de Rn.
I.2.2.1 Montrer que n0est impossible.
I.2.2.2 On suppose 10et n>0et, pour tout r2R, on considère le vecteur dé…ni par
xr=r"1+s11r2
n
"n.
Montrer que xr2. Calculer kxrk2et déterminer sa limite quand r!+1. En déduire une
contradiction avec l’hypothèse borné.
2. Racine carrée d’une matrice de S+
n.
Soit S2Sn(R). On note 1; : : : ; nles nvaleurs propres de Scomptées autant de fois que leur ordre de
multiplicité. Soit (X1; : : : ; Xn)une base orthonormale de Mn;1(R)formée de vecteurs propres de Savec
8i2[j1; nj]; SXi=iXi.
II.1. On veut montrer que S2S+
nsi et seulement si 8i2[j1; nj]; i0.
II.1.1. On suppose que S2S+
n. Montrer que 8i2[j1; nj]; i0.
II.1.2. On suppose que 8i2[j1; nj]; i0. Montrer que S2S+
n.
On montre de même, et on admettra, qu’une matrice S2Sn(R)appartient à S++
nsi et seulement
si ses valeurs propres sont strictement positives.
2

II.1.3. On suppose que S2S++
net donc que 8i2[j1; nj]; i>0. Montrer que Sest inversible et que
S12S++
n.
II.2. On suppose que S2S+
n.
II.2.1. Soient D= diag(1; : : : ; n)et  = diag(p1;:::;pn). Calculer 2.
On suppose que N2S+
nvéri…e N2=D. On note (C1; : : : ; Cn)la base canonique de Mn;1(R).
Soient Y=
n
X
i=1
yiCiune matrice propre de Net 2R+tels que NY =Y . Montrer que
8i2[j1; nj]; 2yi=iyipuis yi=piyi. En déduire N= .
II.2.2. Soit U2O(n)telle que S=UD tU. Déterminer une matrice T2S+
ntelle que T2=S. Montrer
que Test unique.
On notera T=pSl’unique matrice T2S+
ntelle que T2=S.
II.3. Une détermination de pS. On suppose que S2S+
net que 1; : : : ; nsont les valeurs propres de S. On
note 01   ples valeurs propres distinctes de S. Pour k2[j1; pj], on dé…nit les polynômes
d’interpolation de Lagrange aux points 1; : : : ; ppar :
8k2[1; pj];8a2R; Lk(a) =
p
Y
j=1
j6=k
aj
kj
II.3.1. Pour i2[j1; nj], calculer Lk(S)Xien distinguant les cas k=iet k6=i(on rappelle que les
Xidé…nis au début de la partie 2appartiennent à une base orthonormale de vecteurs propres de
Savec 8i2[j1; nj]; SXi=iXi).
II.3.2. Soit Ple polynôme de degré p1, à coe¢ cients réels tel que 8k2[j1; pj]; P (k) = pk.
Exprimer Pcomme une combinaison linéaire des polynômes Lk. Calculer P(S)Xiet en déduire
que P(S)2S+
n. Montrer que P(S) = pS.
II.3.3. En appliquant les questions précédentes, on prend S=0
@
7 2 2
2 4 1
21 4 1
A. Montrer que S2S+
3.
Exprimer pScomme une combinaison des matrices Set I3= diag(1;1;1).
3. Une propriété de la trace des matrices de S+
n.
III.1. Soit S2S+
n.
III.1.1. On considère la matrice = diag(1; : : : ; n)avec 8i2[j1; nj]; i0. Soit V= (vi;j )2O(n).
Montrer que tr(V )tr().
III.1.2. En déduire que pour tout U2O(n), on a tr(SU)tr(S).
III.2. Réciproque de la propriété III.1. Soit A= (ai;j )2 Mn(R)telle que 8U2O(n);tr(AU)tr(A). On
veut montrer que A2S+
n.
III.2.1. Un lemme technique. Soient a; b;  des réels. Montrer qu’il existe un réel 'indépendant de tel
que acos() + bsin() = pa2+b2sin(+').
En déduire que l’inégalité “82R; a cos() + bsin()a" entraîne b= 0.
III.2.2. On considère l’espace euclidien Rnrapporté à la base orthonormale B= (e1; : : : ; en). Pour pet
qentiers tels que 1p < q n, on note le plan vectoriel de Rnengendré par les vecteurs ep
et eq. Soit ul’endomorphisme orthogonale de Rntelle que uinduit sur le plan , orienté par la
base (ep; eq), la rotation d’angle et telle que uinduit l’identité sur l’orthogonal de .
Ecrire la matrice Ude urelativement à la base B. Calculer tr(AU). En déduire que A2Sn(R).
3

III.2.3. D’après III.2.2 la matrice Aest symétrique. On note ll’endomorphisme de Rnde matrice Arel-
ativement à la base orthonormale B. On considère une base orthonormale de Rn,V= (v1; : : : ; vn)
formée de vecteurs propres de l. Pour i2[j1; nj], on notera l(vi) = ivi. On suppose qu’une
valeur propre de lest strictement négative et on ordonne la base Vpour que 1<0. Soit u
l’isométrie de Rndé…nie sur la base Vpar u(v1) = v1et pour i6= 1,u(vi) = vi. En notant U
la matrice de urelativement à la base B, montrer que l’inégalité tr(AU)tr(A)conduit à une
impossibilité et en déduire que A2S+
n.
4. Des inégalités remarquables.
Soit S2S++
net soit T2S++ ntelles que T2=S. On note set tles automorphismes de Rnde matrices S
et Trelativement à la base orthonormale B. Soient s1et t1les applications réciproques de set t. On
note 0< 1   nles nvaleurs propres de s.
IV.1. Soit x2Rn. Montrer l’inégalité
(1) (t(x)jt1(x))2(s(x)jx)(s1(x)jx)
A quelle condition sur xa-t-on égalité ?
IV.2. On considère le polynôme Pdé…ni sur Rpar
8a2R; P (a) = a2(1+n)a+1n
Pour chaque i2[j1; nj], déterminer le signe de P(i).
Soit vl’endomorphisme de Rndé…ni par v=P(s)s1. Soit x2Rn,x6= 0, tel que s(x) = ix.
Calculer v(x)et montrer que xest vecteur propre de v. En déduire que la matrice Vde vrelativement
à la base Bvéri…e V2S+
n.
IV.3. Soit xun vecteur non nul de Rn. On considère le polynôme Qdé…ni sur Rpar :
8a2R; Q(a) = (s(x)jx)a2(1+n)kxk2a+ (s1(x)jx)1n
Déterminer le signe de Q(0) et celui de Q(1). En déduire l’inégalité
(2) (s(x)jx)(s1(x)jx)(1+n)2
41nkxk4
IV.4. On suppose que 1< n. Soient v1et vndes vecteurs de norme 1tels que s(v1) = 1v1et s(vn) = nvn.
Soit x=v1+vn. Calculer les produits scalaires (s(x)jx)et (s1(x)jx). Montrer que le vecteur xvéri…e
l’égalité dans (2).
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