sujet

Calculatrices autorisées
Notations.
Dans tout le problème, n 2 N .
On note [j1; nj] l’ensemble des entiers k tels que 1
k
n.
On considère l’espace euclidien Rn rapporté à une base orthonormale B = (e1 ; : : : ; en ).
– Le produit scalaire des deux vecteurs x =
n
X
xi ei et y =
i=1
– kxk désigne la norme du vecteur x.
n
X
yi ei est noté (xjy) =
i=1
n
X
xi yi
i=1
– Soient X et Y les matrices de Mn;1 (R) des composantes de x et y dans B, le produit t XY
appartient à M1 (R) et son unique coe¢ cient est (xjy). On écrira (xjy) = t XY qui est le produit
scalaire canonique des matrices X et Y de Mn;1 (R).
Mn (R) désigne l’espace vectoriel réel des matrices carrées à n lignes.
L’écriture A = (ai;j ) signi…e que ai;j est le coe¢ cient de la ligne i et de la colonne j de la matrice A.
On note t A la matrice transposée de A et tr(A) la trace de la matrice carrée A.
Sn (R) désigne l’ensemble des matrices symétriques de Mn (R) .
Pour S 2 Sn (R), on note s l’endomorphisme symétrique de Rn de matrice S relativement à B .
Si x est le vecteur de Rn de matrice X relativement à B. On a t XSX = (xjs(x)).
Sn+ (R) désigne l’ensemble des matrices S symétriques positives de Mn (R) : 8X 2 Mn (R) , t XSX
0
Sn++ (R) désigne l’ensemble des matrices S symétriques dé…nies positives de Mn (R) : 8X 2 Mn (R) ,
X 6= 0 )t XSX > 0
Mn;1 (R) désigne l’espace vectoriel réel des matrices colonnes à n lignes.
O(n) désigne le groupe des matrices orthogonales de Mn (R).
On note diag( 1 ; : : : ; n ) la matrice diagonale de Mn (R) qui admet pour coe¢ cients diagonaux les
réels 1 ; : : : ; n dans cet ordre.
Objectifs.
Dans le problème, veut étudier quelques propriétés des éléments de Sn+ (R) et de Sn++ (R) et des endomorphismes symétriques associés.
Dans la première partie, on traite deux exemples et on démontre une propriété de compacité d’une partie
de Rn liée au signe des valeurs propres d’un endomorphime symétrique.
Dans les deux parties suivantes, on dé…nit les ensembles Sn+ et Sn++ et on démontre di¤érentes propriétés
de leurs éléments : caractérisation par le signe des valeurs propres, racine carrée, propriété de la trace.
Dans la dernière partie, on fait établir des inégalités véri…ées par les endomorphismes symétriques associés
aux matrices de Sn++ .
Les parties 3 et 4 sont indépendantes l’une de l’autre.
1. Etude de compacité.
L’espace euclidien Rn est rapporté à une base orthonormale B = (e1 ; : : : ; en ). Soit s un endomorphisme
symétrique de Rn . On considère l’ensemble = fx 2 Rn = (xjs(x)) = 1g.
I.1. Dans cette question, on suppose n = 2. On considère le plan euclidien muni du repère orthonormal
R = (O; e1 ; e2 ) où O est un point du plan. A tout vecteur x = x1 e1 + x2 e2 2 R2 , on associe le point
M du plan de coordonnées (x1 ; x2 ) dans le repère R. On note l’ensemble des points du plan ainsi
associés aux vecteurs de . Soit S la matrice de l’endomorphisme s relativement à la base B.
p
3
2
p
. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres
I.1.1. On suppose que S =
3 4
de S. Pour x = x1 e1 + x2 e2 2 R2 , calculer le produit scalaire (xjs(x)). Montrer que est une
ellipse. dont on donnera une équation réduite. Tracer cette ellipse dans le plan euclidien muni
du repère R.
p
3
1
I.1.2. On suppose que S = p
. Déterminer les valeurs propres de S. Déterminer l’ensemble
3 3
et tracer cet ensemble dans le plan euclidien muni du repère R.
I.2. On suppose n entier quelconque de N . On note 1 ; : : : ; n les n valeurs propres réelles (distinctes ou
confondues) de s, chaque valeur propre …gurant avec son ordre de multiplicité. On veut montrer que
est une partie compacte de Rn si et seulement si tous les i sont > 0. On ordonne les i dans l’ordre
n
croissant 1
n et on considère une base orthonormale ("1 ; : : : ; "n ) de R formée de vecteurs
propres de s avec 8i 2 [j1; nj]; s("i ) = i "i .
I.2.1. On suppose
1
> 0. Pour x =
n
X
i=1
Montrer que
n’est pas vide.
est une partie bornée de Rn .
– complément 5/2 : Montrer que
x 7! (xjs(x)) .
I.2.2. On suppose que
I.2.2.1 Montrer que
I.2.2.2 On supposes
xr = r"1 +
ai "i 2 Rn , calculer (xjs(x)). Montrer que
est une partie compacte de Rn . On pourra étudier l’application
est une partie bornée non vide de Rn .
n
1
1
0 est impossible.
0 et n > 0 et, pour tout r 2 R, on considère le vecteur dé…ni par
1r
2
"n .
n
Montrer que xr 2 . Calculer kxr k2 et déterminer sa limite quand r ! +1. En déduire une
contradiction avec l’hypothèse borné.
2. Racine carrée d’une matrice de Sn+ .
Soit S 2 Sn (R). On note 1 ; : : : ; n les n valeurs propres de S comptées autant de fois que leur ordre de
multiplicité. Soit (X1 ; : : : ; Xn ) une base orthonormale de Mn;1 (R) formée de vecteurs propres de S avec
8i 2 [j1; nj]; SXi = i Xi .
II.1. On veut montrer que S 2 Sn+ si et seulement si 8i 2 [j1; nj];
II.1.1. On suppose que S 2 Sn+ . Montrer que 8i 2 [j1; nj];
i
i
0.
0.
Sn+ .
II.1.2. On suppose que 8i 2 [j1; nj]; i 0. Montrer que S 2
On montre de même, et on admettra, qu’une matrice S 2 Sn (R) appartient à Sn++ si et seulement
si ses valeurs propres sont strictement positives.
II.1.3. On suppose que S 2 Sn++ et donc que 8i 2 [j1; nj];
S 1 2 Sn++ .
i
> 0. Montrer que S est inversible et que
II.2. On suppose que S 2 Sn+ .
p
p
2
II.2.1. Soient D = diag( 1 ; : : : ; n ) et = diag(
.
1; : : : ;
n ). Calculer
2
+
On suppose que N 2 Sn véri…e N = D. On note (C1 ; : : : ; Cn ) la base canonique de Mn;1 (R).
n
X
Soient Y =
yi Ci une matrice propre de N et 2 R+ tels que N Y = Y . Montrer que
i=1
p
8i 2 [j1; nj]; 2 yi = i yi puis yi =
.
i yi . En déduire N =
II.2.2. Soit U 2 O(n) telle que S = U D t U . Déterminer une matrice T 2 Sn+ telle que T 2 = S. Montrer
que T est unique.
p
On notera T = S l’unique matrice T 2 Sn+ telle que T 2 = S.
p
II.3. Une détermination de S. On suppose que S 2 Sn+ et que 1 ; : : : ; n sont les valeurs propres de S. On
note 0
1
p les valeurs propres distinctes de S. Pour k 2 [j1; pj], on dé…nit les polynômes
d’interpolation de Lagrange aux points 1 ; : : : ; p par :
8k 2 [1; pj]; 8a 2 R; Lk (a) =
p
Y
a
j=1
j6=k
k
j
j
II.3.1. Pour i 2 [j1; nj], calculer Lk (S)Xi en distinguant les cas k = i et k 6= i (on rappelle que les
Xi dé…nis au début de la partie 2 appartiennent à une base orthonormale de vecteurs propres de
S avec 8i 2 [j1; nj]; SXi = i Xi ).
p
II.3.2. Soit P le polynôme de degré
p 1, à coe¢ cients réels tel que 8k 2 [j1; pj]; P ( k ) =
k.
Exprimer P comme une combinaison linéaire
des
polynômes
L
.
Calculer
P
(S)X
et
en
déduire
k
i
p
que P (S) 2 Sn+ . Montrer que P (S) = S.
0
1
7
2
2
4
1 A. Montrer que S 2 S3+ .
II.3.3. En appliquant les questions précédentes, on prend S = @ 2
2
1 4
p
Exprimer S comme une combinaison des matrices S et I3 = diag(1; 1; 1).
3. Une propriété de la trace des matrices de Sn+ .
III.1. Soit S 2 Sn+ .
III.1.1. On considère la matrice = diag(
Montrer que tr( V ) tr( ).
1; : : : ;
n)
avec 8i 2 [j1; nj];
III.1.2. En déduire que pour tout U 2 O(n), on a tr(SU )
i
0. Soit V = (vi;j ) 2 O(n).
tr(S).
III.2. Réciproque de la propriété III.1. Soit A = (ai;j ) 2 Mn (R) telle que 8U 2 O(n); tr(AU )
veut montrer que A 2 Sn+ .
tr(A). On
III.2.1. Un lemme technique. Soient
p a; b; des réels. Montrer qu’il existe un réel ' indépendant de
que a cos( ) + b sin( ) = a2 + b2 sin( + ').
En déduire que l’inégalité “8 2 R; a cos( ) + b sin( ) a" entraîne b = 0.
tel
III.2.2. On considère l’espace euclidien Rn rapporté à la base orthonormale B = (e1 ; : : : ; en ). Pour p et
q entiers tels que 1 p < q n, on note le plan vectoriel de Rn engendré par les vecteurs ep
et eq . Soit u l’endomorphisme orthogonale de Rn telle que u induit sur le plan , orienté par la
base (ep ; eq ), la rotation d’angle et telle que u induit l’identité sur l’orthogonal de .
Ecrire la matrice U de u relativement à la base B. Calculer tr(AU ). En déduire que A 2 Sn (R).
III.2.3. D’après III.2.2 la matrice A est symétrique. On note l l’endomorphisme de Rn de matrice A relativement à la base orthonormale B. On considère une base orthonormale de Rn , V = (v1 ; : : : ; vn )
formée de vecteurs propres de l. Pour i 2 [j1; nj], on notera l(vi ) = i vi . On suppose qu’une
valeur propre de l est strictement négative et on ordonne la base V pour que 1 < 0. Soit u
l’isométrie de Rn dé…nie sur la base V par u(v1 ) = v1 et pour i 6= 1, u(vi ) = vi . En notant U
la matrice de u relativement à la base B, montrer que l’inégalité tr(AU ) tr(A) conduit à une
impossibilité et en déduire que A 2 Sn+ .
4. Des inégalités remarquables.
Soit S 2 Sn++ et soit T 2 Sn++ telles que T 2 = S. On note s et t les automorphismes de Rn de matrices S
et T relativement à la base orthonormale B. Soient s 1 et t 1 les applications réciproques de s et t. On
note 0 < 1
n les n valeurs propres de s.
IV.1. Soit x 2 Rn . Montrer l’inégalité
(1)
(t(x)jt 1 (x))2
(s(x)jx)(s 1 (x)jx)
A quelle condition sur x a-t-on égalité ?
IV.2. On considère le polynôme P dé…ni sur R par
8a 2 R; P (a) = a2
(
1
+
n )a
+
1 n
Pour chaque i 2 [j1; nj], déterminer le signe de P ( i ).
Soit v l’endomorphisme de Rn dé…ni par v = P (s) s 1 . Soit x 2 Rn , x 6= 0, tel que s(x) = i x.
Calculer v(x) et montrer que x est vecteur propre de v. En déduire que la matrice V de v relativement
à la base B véri…e V 2 Sn+ .
IV.3. Soit x un vecteur non nul de Rn . On considère le polynôme Q dé…ni sur R par :
8a 2 R; Q(a) = (s(x)jx)a2
(
1
+
n )kxk
2
a + (s 1 (x)jx)
1 n
Déterminer le signe de Q(0) et celui de Q(1). En déduire l’inégalité
(2)
(s(x)jx)(s 1 (x)jx)
(
1
4
+
2
n)
1 n
kxk4
IV.4. On suppose que 1 < n . Soient v1 et vn des vecteurs de norme 1 tels que s(v1 ) = 1 v1 et s(vn ) = n vn .
Soit x = v1 + vn . Calculer les produits scalaires (s(x)jx) et (s 1 (x)jx). Montrer que le vecteur x véri…e
l’égalité dans (2).