sujet

Les calculatrices sont interdites
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N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il la signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a
été amené à prendre.
****
Objectifs, notations et définitions
Les objectifs de ce problème sont les suivants :
- étendre la notion d’exponentielle à une matrice sans faire appel aux séries, mais par analogie
avec l’introduction de la fonction réelle de variable réelle :
comme solution du problème
de Cauchy :
.
- établir quelques propriétés de cette exponentielle.
- résoudre dans
une équation différentielle du type
que l’on rencontre en particulier
en mécanique du solide.
"# $ $ $ " %& $ $
( + ,
) * , . "# $ 3 /
1 )* / )*
/ 4 5 6/
! ! ! Soit l’ensemble des entiers naturels,
et pour dans ,
.
Si est un entier supérieur ou égal à 1, on note
le -espace vectoriel des matrices carrées
d’ordre à coefficients dans et
le -espace vectoriel des matrices colonnes à lignes
à coefficients dans .
est la matrice identité dont les coefficients sont donnés par le symbole de
Kronecker défini par
si
si
Pour
$ '
/0
0 1 ) * && 22 *) 22 -
appartenant à
,
désigne la matrice transposée de
/ / )*
,
,
désigne
et on appelle comatrice de la matrice dont le coefficient de la
le cofacteur de l’élément
ème
colonne est
ligne et de la
. Cette matrice sera notée
.
ème
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2
7 89 < :
; 7 8 9 > < ? @BA < =
C ; D < E : F G ; H IG 7 F G ; H H J K 8 K L
89 J K 9 K L
:
M
<
< C
<
; D < E G : M H F G ; H I: F G ; H M G ; H O : G ; H M F G ; H
:
Lorsque les coefficients
de sont des fonctions de définies sur un intervalle de , on
rappelle que est dérivable sur si et seulement si toutes les fonctions
sont dérivables
sur et qu’alors :
<
N L GA H
On pourra utiliser sans le redémontrer que le produit de deux applications
, dérivables sur , est dérivable sur et que :
PARTIE I
dans
donnée par :
a) Calculer
.
b) Calculer la matrice produit
.
c) Déterminer le polynôme caractéristique
de .
d) Calculer
, puis la matrice
.
I.2 Soit
,
et la matrice déduite de
la ème colonne de par la colonne formée des coefficients
.
m
de
\]
PIQRT?? XT
SV
?
V
U
Z
Y
?
W
X U ? [W
^ _` P
PZa b c d eP f g P
g
G
<
h
O
P
H
G
i
<
h
?
P
H
f
G
P
H
N
L
:IG 7 : 8 9 H D L G A H G j J E j o k E o l l l E j L H D A M j J E j k E l l l E j L
:
L
n
o
p
^ _ ` M0I J j : 9
C G q E m H D r k E no pL 7 o s : o 9 IG ^ _ ` : H t s 9
L J so o
C G q E u H D r k E no Lp 7 : 8 IG ^ _ ` : H t s 8
L J
I.1 Soit la matrice
P
et
a) Montrer que
en remplaçant
.
b) En déduire les égalités :
.
c) Montrer de même les égalités :
.
d) En déduire les formules :
:0a v b c d e: w IG ^ _ ` : H < L v b c d e: w a :0IG ^ _ ` : H < L
G x 8 9 H JJ KK 98 KK LL
yk
N L GA H
Y zDA
x Gz H
{
y E~ JElll E~ € z
N o A L G ^ A _ H` x G z H I{ G z H
o
|
}
D
r
~
o
no p € z ~ I

‚
E
Y
E
l
l
l
E
|
ƒ
~
I

U
U
U
et
I.3 a) Soit
une famille de
x 89 G z H
z0D}A
polynômes à coefficients complexes, tous de degré
inférieur ou égal à . Pour
, on note
la matrice de
de terme général
.
Montrer par récurrence sur l’ordre de la matrice qu’il existe un polynôme à coefficients complexes,
de degré inférieur ou égal à tel que pour tout appartenant à ,
.
b) Soit
et
des matrices de
telles que pour tout
,
. Montrer que pour tout
dans
,
.
3
I.4 Pour tout
„…†

–
–
’˜™
–
•
—
‡ ˆ „ ‰ Š‹ Œ  Ž˜ œ ˆ  œ  ž ž „ ž ‘ œ ’ ‰
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› œ ›  › ’ Ÿ – – ’ ˆ † ‰
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¢£¤  › ˜– – Š ™™ ˜– ‘ ’ œ ¡ ¥
 ›  ›› ’ ŸŸ  ŠŠ ™ ’ ‘‘ ’’
… ¦ ’Ÿ
“”

, on pose
caractéristique de .
a) Montrer qu’il existe
et on note
matrices
dans
le polynôme
telles que :
b) En utilisant les questions I.2 et I.3, établir les égalités matricielles suivantes :

c) En déduire que le polynôme caractéristique
teur de .
de la matrice
est un polynôme annula-
œ œžžž œ
0… }’ ˆ † ‰ §  § ¨ § ’ ž ž žBž ž ž
†
ª««« § ®­
± ²²²
ª««« ¯ ± ²²²
­
«««¬ ¯ § ¨°­
²²² œ ´ ˜ ««¬ ­ ²²
© Š ­ ¯
­
Š
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³
³
­
¯
­
­œ · œ ž ž ž œ § ’œ – – ­
º
Ÿ

—
º
¹
‡  Š‘ ’ ¡ ¥ … µ ¶ š ¸ ‡ – Š  ˆ § ‘ ’ ‰
 ˆ § ’ ‘ ’ ‰ ‡ ’ Š­
‡
´ » © ´ œ ´ ´˜
ˆ ¼ ‰ Š ˆ ¼ ‰œ ˆ ­ ´ ‰ Š
´
½
¾
´

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#
’
À
ˆ
†
‰
¼

Á
¿
ˆ
¼
‰
ˆ
Â
Ã
ˆ
¼
‰
‰

Ä ÃÄ ’
ˆ¼ ‰
PARTIE II
Soit
,
introduit les matrices suivantes :
ses valeurs propres dans
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
non nécessairement distinctes. On
..
.
et
II.1 a) Montrer que commute avec chaque matrice
b) Montrer que
.
II.2 On rappelle que le problème de Cauchy
admet une unique solution
santes de
.
.
. On notera
les compo-
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4
Å Æ Ç ÈÉ Ê Ë Ì Æ Í ÎÏ Ê Ì Æ Í Ê Ì Ð Í ÎÑ Ò
Ê
ÒÛÜÝ Þ ß Ü Ü È Ô Ò Ì Õ Í
Ê Ö× ÈØ Ù Ô Ò Ì Õ Í É Æ ÚØ Ù Ì Æ Í à
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Ü
Ü
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ä
Å Æ Ç ÈÉ Ê ÖË Ì Æ Í Î ÛÜ Ý Þ ß Ì Æ Í â ã à à ß Ò Ì Æ Í ã Ò à Ò
ÊÖ ÊÖ
ÌÓ Í Ìç Í
Å Æ Ç ÈÉ Ê Ë Ì Æ Í ÎÊ Ì Æ Í Ï Ê Ì Ð Í ÎÑ Ò
×
È
Ø
Ù
Ì
Õ
Í
É
Æ
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Ú
Ù
Ê
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Í
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È Ô Ò ÌÕ Í
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Æ Ì Ó Í ê éÌ Æ Í ÊÎ0Ö Ê Ö Ì Ø Æ Í é Ì Æ Í
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Ê Ö Æ Ê Ö Ì Æ Í Îë ì Ö
ÌÊ Ö ç Ì Í Ó Í Îë Ö
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Þ
Å Æ Ç ÈÉ ð Ë Ì Æ Í ÎÏ ð Ì Æ Í ð Ì Ð Í Îð ñ É ð ñ Ç Ô Ò ï Ì Õ Í
ð Ì Æ Í Îë ì Ö ð ñ
On considère alors le nouveau problème de Cauchy suivant :
et
où la fonction inconnue
est une application dérivable de
a) Soit
dans
ÌÓ Í
.
. Montrer que :
En déduire que
est solution du problème .
b) Montrer que
est aussi solution du problème
ci-dessous :
et
Ìç Í
c) Soit
. Montrer que la fonction est constante
égale à . En déduire que pour tout
,
est inversible et donner son inverse.
d) Soit une solution du problème
et la fonction de dans
définie pour
tout réel par
. Montrer que la fonction est constante et en déduire que le
problème
admet
pour unique solution.
e) Montrer que
est aussi l’unique solution du problème .
Désormais, on note pour tout réel :
. La matrice
est appelée exponentielle de la matrice . Cette notation et cette définition seront justifiées par les diverses propriétés
étudiées dans la suite du problème.
II.3 A l’aide de l’algorithme décrit dans les questions précédentes, déterminer explicitement les
coefficients de
, où
est la matrice donnée à la question I.1.
II.4 Soit le problème de Cauchy dans
donné par :
et
Montrer que sa solution est donnée par
Ï ò
Æ
.
PARTIE III
Ö
ë
ì
ÆÆ Ô Ï ë Ò ì Ö Ì Õ Íë ì ëó ì ó Ï ò Î ò Ï
Ï
III.1 Montrer que pour tout réel, la matrice
est un polynôme en .
III.2 Soit et deux matrices de
telles que
.
a) Montrer que pour tout réel, et
commutent.
et
commutent.
b) Montrer que pour tout réel,
5
ô0õ ö÷ øBù#ú û ü ý þ ÿ ÷ ø õ ö÷ ø#ù#ú û ü ý þ ÿ ÷ ø ÷ ù# ú û ü ý ù ú ûü ý
ÿ
ÿ c) Montrer que les fonctions
et
vérifient une même équation différentielle et en déduire
III.3 On considère les matrices
.
et
.
et
. Quelle conclusion en tirez-vous ?
Calculer , ,
III.4 Soit dans
.
, on a pour tout réel :
a) Montrer que si est une matrice inversible de
b) Montrer que pour tout réel :
.
PARTIE IV
ö
ö ö " û# þ $ þ% ý
ö
û þ ö! þ ý
ö
&'
&
( ÿ ) öþ * &ÿ " + & & û ý & '
û, ý
*
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ÿ
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- ûÿ ý - '
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( ÿ ) öþ * - ÿ - - û ý - '
û. ý
*
÷
!
û
2
3
4
ÿ
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÷
5
6
2
ÿ
ý
0
/
1 1
û. ý
ö
7
8
'
7
;
;
÷
9: ;
<=
8
'
8
On se place désormais dans l’espace vectoriel euclidien orienté
muni de son produit scalaire
canonique.
est la base canonique de
et
est un vecteur unitaire de .
Soit un vecteur de
et l’application de dans
solution du problème de Cauchy :
et
IV.1 Si
et
sont les matrices colonnes respectives des coordonnées de
base , montrer que le problème
s’écrit encore :
et
dans la
et
où
est une matrice que l’on précisera.
IV.2 Déterminer le polynôme caractéristique de et montrer que
.
IV.3 Montrer que
et donner l’expression de la solution du
problème .
IV.4 On note et respectivement les endomorphismes de
canoniquement associés aux
matrices et
.
a) Montrer qu’il existe une base orthonormale
telle que la matrice de dans cette base
soit :
b) Déterminer l’image par
phisme .
c) Calculer
.
de la base
, puis caractériser géométriquement l’endomor-
Fin de l’énoncé