corrigé

MINESPONT96
I1)
a)Letableau devariationsdef(t)=t:e¡t,vuf0(t)=(1¡t):e¡t,estlesuivant:
t¡10 1 +1
f0+1+0¡
f¡1 % 0%1=e&0
Onen d¶eduitladiscussionsuivant¸2R¤
+parbijectionmonotonesurchaqueintervalledemonotonie, lafonction¶etant
continue:
²si¸>1=e:pasdesolutionµa l'¶equationf(t)=¸;
²si¸=1=e:une etuneseulesolution®=1(>¸);
²si0<¸<1=e:deuxsolutions(positives)®<1<¯.Pourplacer¸on¶etudief(¸)=¸e¡¸<¸,doncd'aprµesle
tableau devariation¸<®ou¸>¯.Or¸<1donc¸<®<1<¯.
b)
²Lafonctiong:t!¸:eteststrictementcroissante(¸>0)lasuite(un)estdoncmonotone.
²Deplus,commelafonctiongestcontinue, lasuitenepeutconvergerqueversun point¯xedeg,µa savoir®(ou¯si
¸·1=e).
²En¯n, lesensdevariationsdelasuite(un)estdonn¶eparlesignedeg(u0)¡u0=¸eu0¡u0=e¡u0(¸¡f(u0)) ,c'estle
m^emeque celuide¸¡f(u0),donn¶eparletableau devariationsdu a).D'oµuladiscussion:
{Si¸>1=elasuite(un)estcroissante etil n'yapasdepoint¯xe: lasuitedivergente(vers+1).
{Si¸=1=e, lasuite(un)estcroissante,1estleseulpoint¯xe,et]¡1;1]estun intervallestableparg.Donc:
¤siu0>1lasuite eststrictementcroissantedivergente(vers+1);
¤siu0=1lasuite estconstante(etconvergente)devaleur1;
¤siu0<1lasuite estcroissante etmajor¶ee,donc convergeverslaseulelimitepossible1.
{Si¸<1=eil yadeuxpoints¯xes®et¯pourg, lesintervalles]¡1;®];[®;¯];[¯;+1[sontstablesparg,(un)y
¶etantrespectivementcroissante,d¶ecroissante etcroissante.Donc:
¤-siu0>¯lasuite eststrictementcroissantedivergente(vers+1);
¤-siu0=¯ouu0=®lasuite estconstante(etconvergente)devaleur¯ou®respectivement;
¤-si®<u0<¯lasuite estd¶ecroissante etminor¶ee,donc convergeverslepoint¯xe®;
¤-siu0<®lasuite estcroissante etmajor¶ee donc convergevers®.
c)Lasuitevnest toujours>0,onad'aprµeslaformuledeStirling
vn»¸n(l+n)n
¡n
e¢np2¼n=(¸e)nµ1+l
n¶n1
p2¼n
orln³¡1+l
n¢n´=nln¡1+l n¢»l
vn»exp(l) p2¼n(¸e)n<< (¸e)n
Comme¸e<1,onalasuiteµa termespositifs(vn)estn¶egligeabledevantletermeg¶en¶erald'unes¶erieµa termepositif.
Pvnconverge
on peutaussiutiliserle critµereded'Alembertlas¶erie¶etantµa termes strictementpositifs:
vn+1
vn
=¸
n+1µ¸+n+1 ¸+n¶n
(¸+n+1):
Or:µ¸+n+1
¸+n¶n
=expµnlnµ¸+n+1
¸+n¶¶=expnlnµ1+1 ¸+n¶
etln³1+1
¸+n´»+11 ¸+n.Onen d¶eduitquelim³vn+1 vn´=¸e<1.Pard'Alembert,onadonclaconvergence delas¶erie
8¸2]0;1=e[
I-2)
a)Par r¶ecurrence surn2N,on d¶emontreque"f(n)(x)=¸nf(x+n)etquef2Cn(R;C)":

²sin=0,f(x)=f(x)estcontinuesurR
²sin=1,festd¶erivable etf0(x)=¸f(x+1)pard¶e¯nition defetdonc commefestcontinuesurRf0estcontinue
surRdoncfestC1surR
²Sif(n)(x)=¸nf(x+n)etquef2Cn(R;C)alorscommefestd¶erivablef(n)l'estet
f(n+1)(x)=³f(n)´0 (x)=¸nf0(x+n)=¸n(¸f(x+n+1)) =¸n+1f(x+n+1)
Onadonc8n,f2Cn(R;C)doncf2C1(R;C)etf(n)(x)=¸nf(x+n)
b)parl'absurde:sifestun polyn^omededegr¶ed6=0,alorsf0estdedegr¶ed¡1etf(x+1estdedegr¶ed:absurde
leseulpolyn^ome estlepolyn^omenul
c)f(x)=eaxestdansE(¸)sietseulementsiaeax=¸:ea(x+1),doncsietseulementsi¸=ae¡a.D'oµu,d'aprµes1)a):
-si¸>1=e,pasdefonctions;
-si¸=1=e,unefonction,µa savoirf(x)=ex;
-si¸<1=e,deuxfonctions,x!e®xetx!e¯x .
I-3)
a)PetQsontcontinuesd¶erivablesparpropri¶et¶esdespartiesr¶eellesetimaginaires.Sif2E(¸),onapourtoutx
r¶eel : P0(x)+iQ0(x)=¸P(x+1)+i¸Q(x+1)etparunicit¶edespartiesr¶eellesetimaginaires.P0(x)=¸P(x+1)et
Q0(x)=¸Q(x+1) (ene®et¸estr¶eel)
f2E(¸))(P2E(¸)etQ2E(¸))
b)sig(x)=f(x¡a)
g0(x)=(f(x¡a))0=f0(x¡a)=¸f(x¡a+1)=¸g(x+1)
c)L'application d¶erivationestlin¶eairedoncpard¶erivation deE
f"(x)=¸f0(x+1)
f2E(¸))f02E(¸)
d)Soit,pourf2E(¸),FuneprimitivedefsurR.Edonne:f(x)=f0(x¡1)
¸car¸6=0.Sionint¶egre cetterelationon
obtient
9K2C,8x2R,F(x)=f(x¡1)
¸+K
FestalorsdansE(¸)sietseulementsi
F(x)=¸F0(x+1)
soitf(x¡1)
¸+K=¸f0(x) ¸
Cequi¶equivautµaK=0.Onadoncuneuniquesolutionau problµeme
F(x)=f(x¡1)
¸
I-4)
a1)Parcompositiongestcontinued¶erivablesurR.Onag0(x)=¡f0(¡x)=¡f(¡x+1),enappliquantEau point¡x.
Onvoitdoncqueg0(x)=g(x+1)sietseulementsi8x2R¡f(¡x+1)=f(¡x¡1),soitencore commex¡>t=(1¡x)
estbijectivesurR
8t2R¡f(t)=f(t+2)
c'estµa diresietseulementsifv¶eri¯eR.
a2)Lafonction nulle¶etantsolution¶evidenteonvachercheruniquementlesfonctionsnon nulles:
Deplus, les¶equationsRetEimpliquent,pard¶erivation deE:
f00 (x)=¸2:f(x+2)=¡¸2:f(x):
Les solutionsde cette¶equation di®¶erentiellesontdelaformef(x)=a:cos(¸x)+b:sin(¸x),avec aetbconstantescomplexes
, l'uneaumoins¶etantnon nul.
maisce n'estpasune¶equivalence il fautv¶eri¯er:
Le calculestdirectestassez p¶enible,maison peutremarquerqueRimpliquequef(t+4)=f(t)donc4estp¶eriodedela
fonction.Or
f(x+4)=a:cos(¸x+4¸)+b:sin(¸x+4¸)
2

4¸estdoncunep¶eriodedelafonction non nullef:¸estun multiplede2¼donc¸=K¼
2,2N¤car¸>0.
Rdonnealors:
fv¶eri¯eR,8x2Ra:cos(¸x+K¼)+b:sin(¸x+K¼)=¡a:cos(¸x)¡b:sin(¸x)
,8x2R(¡1)Kacos(¸x)+(¡1)Kasin(¸x)=¡a:cos(¸x)¡b:sin(¸x)
doncKestimpair:¸=¼=2+k:¼;k2N
Edonnealors:
fv¶eri¯eE,8x2R,¡¸asin(¸x)+¸bcos(¸x)=¸acos(¸x+¸)+¸bsin(¸x+¸)
,8x2R,¡asin(¸x)+bcos(¸x)=acos(¸x+¸)+bsin(¸x+¸)
,8x2R,¡asin(¸x)+bcos(¸x)=a(¡1)k+1sin(¸x)+(¡1)kcos(¸x)
Donckestpair.
Conclusion,½si¸6=¼=2[2¼]alorsf=0estlaseulesolution
si¸=¼=2[2¼]alorsf2Vect(x¡>cos(¸x);x¡>sin(¸x))
b)Sifestunefonction paire,ouimpaire,deE(¸),alors, lafonctiongci-dessusestaussidansE(¸),doncfestune
fonction non nullev¶eri¯antEetR.donc¸=¼=2[2¼]
R¶eciproquement,si¸=¼=2[2¼],alorslafonctionx!cos¸xestdansE(¸)etpaire,etlafonctionx!sin¸xestdansE(
¸)etimpaire.
il existedes solutionspairesnon nulles ssi¸=¼=2[2¼]
il existedes solutionsimpairesnon nulles ssi¸=¼=2[2¼]
danslesdeuxcasl'ensembleobtenu estbienunsousespace vectorielcommeintersection dedeuxsousespacesvectoriels.
II.
a)OnvautiliserlarelationduI2:f(n)(x)=¸nf(x+n).
²EtudesurR+:sif[0;1]estnulle,f(n)
[0;1]estnulleaussi, doncfestnullesur[n;n+1] . Comme c'estvraipourtoutentier
n,festnullesurR+.
²EtudesurR¡:f0(x)=¸f(x+1)etf[0;1]=0impliquequef0estnullesur[¡1;0] , doncfyestconstante,doncnulle
puisquef(0)=0.
Etpar r¶ecurrence:sif[¡n;¡n+1]=0,f0estnullesur[¡(n+1);¡n] , doncfestconstantesurce segmentelleyest
nullepuisquef(¡n)=0.
Ainsi, par r¶ecurrence,festnullesurR¡,doncsurRtoutentier.
sif2E(¸)etf[0;1]=0 alorsf=0surR
b)sansproblµeme:f2C1(R;C)d'aprµesI2etlarestriction d'unefonctionC1estC1.Etparpd¶erivations successives
deE,f(p+1)(x)=¸f(p)(x+1)estvraiepourtoutx2R,doncpourtoutx=k2Zf(p+1)(k)=¸f(p)(k+1)
c)
unicit¶e:ellevientdea).Ene®et,sig0admetdeuxprolongementsf1etf2dansE(¸),alorsf1¡f2estunefonction deE(
¸)dontlarestrictionµa [0;1]estnulle,doncf1=f2surR.
existence :
²SurR+:On utilisef(n)(x)=¸nf(x+n)pourd¶e¯nirfsur[n;n+1]:
On d¶e¯nitfsur[n;n+1]parf(x+n)=1
¸ng(n)
0(x),puis surR+enfaisantvarierndansN.Ilyaun problµemede
d¶e¯nitionenp2N¤oµufestd¶e¯nideuxfois:sur[p¡1;p]par1
¸p¡1g(p¡1)
0(1)etsur[p;p+1]1
¸pg(p)
0(0):orparP0,ona
1
¸pg(p)
0(0)=1
¸p¡1g(p¡1)
0(1)
Parcetted¶e¯nition,festd¶erivablesurtoutintervalle]n;n+1[ , avec desprolongementsdef0µa droite etµa gauchedes
pointsentiers:
f0
d(n)=1
¸ng(n+1)
0(0);f0 g(n)=1
¸n¡1g(n)
0(1):
ParP0,cesdeuxprolongements sont¶egaux,donc,d'aprµesleth¶eorµemedu prolongementdelad¶eriv¶ee,festC1surR+.
Deplus, larelationf0(x)=¸:f(x+1)yestvraiepard¶e¯nition.
8x¸0,f(x)=¸¡E(x)g0(x¡E(x))
3

²SurR¡:Commesur[¡1;0]onveutf0(x)=¸g0(x+1)etf(0)=g0(0),on d¶e¯nitfsurcetintervalleparf(x)=Rx
0
¸g0(t+1)dt+g0(0),ce quiestbien unefonctioncontinue etd¶erivablesur[¡1;0] .
Deplus,ona ainsi, parP0,f0
g(0)=¸g0(1)=g0 0(0)=f0
d(0)etdoncfestd¶erivable en0.
Onraisonnealorspar r¶ecurrence surn¸1:
sifestd¶e¯nie etv¶eri¯eEsur[¡n;+1[on d¶e¯nitfsur[¡(n+1);¡n]parf(x)=Rx
¡n¸f(t+1)dt+f(¡n).
Lµa encore,festbiencontinue etd¶erivablesur[¡n¡1;¡n]
etcommef0
g(¡n)=¸f(¡n+1)=f0
d(¡n) (puisquefestsuppos¶ee v¶eri¯erEen¡n),festd¶erivable en¡n,doncsur
[¡n¡1;+1[
Doncfestd¶e¯nie,continue,d¶erivablesurR¡.
d)ÃestC1parcomposition detellesfonctions(d¶enominateursnon nuls).Deplus,ona
Ã0(x)=1¡2x
x2(1¡x)2¢e
¡1
x(1¡x):
Sion poseX=1
x(1¡x),onaqueX!+1lorsquextend vers0+ou1¡,etonaparcomposition delimites:
Ã0(x)»X¡>+1§X2e¡X!0:
Parth¶eorµemedu prolongementdelad¶eriv¶ee,onen d¶eduitqueÃestC1sur[0;1] .
L'existence d'unefonctionf2E(¸)prolongeantÃestdonn¶ee parlea),puisque,commetouteslesd¶eriv¶eesdeÃsontnulles
en0eten1,Ãv¶eri¯e clairementP0.
Non,fn'estpasdesigne constant,puisqueÃ0n'estpasdesigne constantsur]0;1[doncfn'estpasdesigne constantsur
]1;2[ .
4