Ch4 : Écriture fractionnaire 5e Objectifs • Ramener une division dont le diviseur est décimal à une division dont le diviseur est entier. • Reconnaître, dans des cas simples, si un nombre entier positif est multiple ou diviseur d’un autre nombre entier positif. 1 • Utiliser l’écriture fractionnaire comme expression d’une proportion, d’une fréquence. • Utiliser sur des exemples numériques des égalités du type ac = ab . bc Multiples et diviseurs Définition (Multiple, diviseur) Soient a et b deux nombres entiers positifs. Lorsque le reste de la division de a par b est égal à zéro, on dit que a est un multiple de b, ou que b est un diviseur de a, ou encore que a est divisible par b. Exemple : 15 est un multiple de 3 car 15 = 3 × 5. Autrement dit, 3 est un diviseur de 15, ou 15 est divisible par 3. 17 n’est pas un multiple de 3, car 17 = 3 × 5 + 2. Règle (Critères de divisibilité) Pour savoir si un nombre donné est divisible par 2, 3, 5, 9 ou 10, on utilise les critères suivants : • Un nombre sera divisible par 2 s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8. • Un nombre sera divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3. • Un nombre sera divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5. • Un nombre sera divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9. Exemple : Le nombre 1380 – est divisible par 2, car il se termine par le chiffre 0. – est divisible par 3, car 1 + 3 + 8 + 0 = 12 qui est un multiple de 3. – est divisible par 5, car il se termine par le chiffre 0. – n’est pas divisible par 9, car 1 + 3 + 8 + 0 = 12 qui n’est pas un multiple de 9. 2 Fraction et proportion Règle À une fraction a a , on fait correspondre le quotient a ÷ b : = a ÷ b. b b 2 Exemple : = 2 ÷ 5 = 0, 4. 5 3 = 3 ÷ 7 ≈ 0, 428 471 · · ·. 7 Définition (Fraction) Une fraction indique quelle partie d’un tout on doit prendre. 2 Exemple : Une tarte pèse 600 grammes. Combien pèse de la tarte ? 5 600 × 2 ÷ 5 = 240 g. 3 Simplification Règle Si on multiplie ou divise le numérateur et le dénominateur d’une fraction par un même nombre non nul, on obtient a×k a . une fraction égale à la fraction initiale : = b b×k Exemple : 2×2 2 4 = = . 6 3×2 3 Pour simplifier au maximum une fraction, on applique la règle précédente afin d’obtenir le numérateur et le dénominateur les plus simples possible. On obtient alors une fraction irréductible. Ch4 : Écriture fractionnaire 4 a. 5e Comparaison de fractions Comparaison de fractions ayant le même dénominateur Règle Pour comparer deux fractions ayant le même dénominateur, il suffit de comparer les numérateurs : la fraction ayant le plus grand numérateur est la plus grande. 4 3 < . 5 5 3 4 Remarque : < peut s’interpréter en disant que 3 parts d’un gâteau coupé en 5 valent moins que 4 parts de ce gâteau. 5 5 Exemple : b. Comparaison de fractions ayant le même numérateur Règle Pour comparer deux fractions ayant le même numérateur, il suffit de comparer les dénominateurs : la fraction ayant le plus grand dénominateur est la plus petite. Exemple : c. 4 4 > . 5 6 Comparaison à 1 Règle Une fraction dont le numérateur est plus petit que le dénominateur est une fraction inférieure à 1. Exemple : d. 4 <1 ; 5 8 > 1. 7 Comparaison de fractions de dénominateurs multiples Règle Pour comparer deux fractions n’ayant pas le même dénominateur, on modifie l’écriture des fractions pour qu’elles aient le même dénominateur. 2 7 Exemple : Comparer et : 3 12 2 2×4 8 8 7 2 7 On remarque que = = . Comme > , on obtient alors que > . 3 3×4 12 12 12 3 12 5 Division dont le diviseur est décimal Règle Pour effectuer une division dont le diviseur est décimal, on multiplie le numérateur et le dénominateur par 10, 100 ou 1000 . . .afin que le dénominateur soit entier. Exemple : Pour calculer 254 ÷ 2, 31, on écrit : 254 254 × 100 25400 254 ÷ 2, 31 = = = = 25400 ÷ 231. 2, 31 2, 31 × 100 231