cz - suites d`entiers

CZ - SUITES D’ENTIERS
Généralités
Dans tout ce qui suit Kdésigne un anneau commutatif et unitaire. Nous prendrons souvent des sous-
anneaux de C(donc contenant Z), et en particulier Zlui-même, mais parfois aussi Z/pZ.
Nous noterons :
ℓ(K)l’ensemble des suites à coefficients dans K.
ℓ00(K)le sous-ensemble de ℓ(K)formé des suites nulles à partir d’un certain rang.
ℓ(i)(K)le sous-ensemble de ℓ(K)formé des suites dont le i−ème terme est nul.
Lorsque Kest un sous-anneau de C, à toute suite a= (an)n≥0de ℓ(K), on associe deux séries formelles
ϕ(a)et Φ(a), que l’on pourra considérer comme des séries entières si le rayon de convergence n’est pas
nul,
la fonction caractéristique géométrique : ϕ(a)(z) =
∞
X
n=0
anzn.
la fonction caractéristique exponentielle : Φ(a)(z) =
∞
X
n=0
an
n!zn.
L’application a7→ ϕ(a)est alors une application bijective de ℓ(K)sur l’ensemble K[[z]] des séries
formelles à coefficients dans K.
L’application a7→ Φ(a)est une application bijective de ℓ(K)sur l’ensemble K∗[[z]] des séries formelles
ftelles que, pour tout entier n≥0, le nombre f(n)(0) soit dans K.
Les ensembles K[[z]] et K∗[[z]] sont des K−algèbres, et, en particulier
∞
X
n=0
anzn! ∞
X
n=0
bnzn!=
∞
X
n=0 n
X
k=0
akbn−k!zn,
et
∞
X
n=0
an
n!zn! ∞
X
n=0
bn
n!zn!=
∞
X
n=0
1
n! n
X
k=0 n
kakbn−k!zn.
On remarque que si aest la suite constante égale à 1, on a
ϕ(a)(z) = 1
1−zet Φ(a)(z) = ez.

CZ 2
On remarque également que K[[z]] est inclus dans K∗[[z]], puisque l’on peut écrire
∞
X
n=0
anzn=
∞
X
n=0
n!an
n!zn.
Si Pest un polynôme, on notera P(D)l’opérateur différentiel associé à P.
Produits dans ℓ(K)
En plus des opérations usuelles de somme et de multiplication par un nombre de Kqui font de ℓ(K)
un K−module, on peut définir trois produits :
a•b= (an)•(bn) = n
X
k=0
akbn−k!,
a ⋆ b = (an)⋆(bn) = n
X
k=0 n
kakbn−k!,
a×b= (an)×(bn) = (anbn).
Muni de l’un de ces trois produits, l’ensemble ℓ(K)est alors une K−algèbre, et en particulier, si Kest
un sous-anneau de C,
a7→ ϕ(a)est un isomorphisme de ℓ(K), muni du produit •, sur K[[z]],
a7→ Φ(a)est un isomorphisme de ℓ(K), muni du produit ⋆, sur K∗[[z]].
Nous allons étudier les éléments inversibles selon le produit utilisé.
Nous noterons 1l la suite dont tous les termes sont nuls sauf le premier qui vaut 1.
Produit •
Proposition 1 Un élément aest inversible si et seulement si a0est inversible dans K.
Ecrire que a•b= 1l, signifie que
a0b0= 1
et que pour tout n≥1,n
X
k=0
akbn−k= 0 .
La première équation signifie que a0est inversible dans K.

CZ 3
Réciproquement, si a0est inversible dans K, et si b0est son inverse, on définit par récurrence une suite
de Ken posant, si n≥1,
bn=−b0
n
X
k=1
akbn−k,
Mais alors, en multipliant par a0,
a0bn=−
n
X
k=1
akbn−k,
puis n
X
k=0
akbn−k= 0 .
Il en résulte que best dans ℓ(K)et que a•b= 1l.
En particulier, si K=Z, la condition s’écrit a0=±1et b0=a0.
Produit ⋆
Proposition 2 Un élément aest inversible si et seulement si si a0est inversible dans K.
Ecrire que a ⋆ b = 1l, signifie que
a0b0= 1
et que pour tout n≥1,n
X
k=0 n
kakbn−k= 0 .
Le raisonnement est le même que dans le cas précédent. La suite inverse est définie en posant, si n≥1,
bn=−b0
n
X
k=1 n
kakbn−k,
où b0est l’inverse de a0.
La remarque est la même dans le cas de Z.
Produit ×
Proposition 3 L’élément unité est la suite constante égale à 1, et un élément aest inversible si
et seulement si ses coefficients sont inversibles.
Dans le cas de Z, l’inverse de aest égal à lui-même.

CZ 4
Composition dans ℓ(Z)
Dans cette partie on suppose que Kest l’anneau Z.
Nous allons étudier maintenant d’autres opérations résultant de la composition des séries formelles. De
manière générale, si l’on a deux séries formelles (à coefficients réels),
f(z) =
∞
X
n=0
anznet g(z) =
∞
X
n=0
bnzn,
la composée f◦g(z)a un sens dans les deux cas suivants (voir BZ) :
1) fest un polynôme,
2) b0=g(0) = 0.
donc si fet gsont les fonctions caractéristiques des suites aet brespectivement, il faut déjà que l’on
se trouve dans l’un des deux cas suivants :
1) aappartient à ℓ00(Z),
2) bappartient à ℓ(0)(Z).
On va regarder ce qu’il en est du résultat, suivant la fonction caractéristique utilisée.
Théorème 1 Si fet gappartiennent à Z∗[[z]] et si g(0) = 0, alors f◦gappartient à Z∗[[z]].
Ceci résulte du fait que (f◦g)(k)s’écrit comme somme de séries formelles du type
(f(i)◦g)g(e1)···g(ep),
où iest compris entre 1 et k, et e1,...,epsont des entiers non nuls tels que
e1+···+ep=k ,
ce qui se démontre facilement par récurrence. Comme par hypothèse
f(i)◦g(0) = f(i)(0)
est entier, ainsi que les nombres g(ej)(0), on en déduit que les nombres (f◦g)(k)sont entiers, et donc
que f◦gappartient à Z∗[[z]].
Cela permet de définir une opération abdans ℓ(Z)lorsque aest dans ℓ(Z)et bdans ℓ(0)(Z).

CZ 5
Corollaire 1 Si gappartient à Z∗[[z]] et si g(0) = 0, alors, pour tout nombre entier r≥1, la
série formelle gr/r!appartient à Z∗[[z]]. De plus, si
g(z) =
∞
X
n=1
bn
zn
n!,
alors
gr(z)
r!=
∞
X
n=r
Pn,r(b1,···, bn)zn
n!,
où Pn,r(z1,···, zn)est un polynôme à coefficients entiers indépendant de g.
Cela résulte du théorème en prenant f(z) = zr/r!. Le coefficient d’ordre nde cette série entière s’ex-
prime alors comme polynôme à coefficients entiers en les variables (b1,···, bn).
Par contre si fet gsont dans Z∗[[z]], et si fest un polynôme, alors f◦gn’est pas nécessairement dans
Z∗[[z]]. Par exemple, si l’on prend f(z) = zr/r!, et g(z) = 1, alors f◦g(z) = 1/r!n’est pas entier.
Théorème 2 Si fet gappartiennent à Z[[z]] alors f◦gappartient à Z[[z]] lorsque la composée
a un sens.
Les coefficients de f◦gs’expriment comme sommes finies de produits de coefficients de fet de get
tous ces nombres sont entiers.
Cela permet de définir une opération a◦bdans ℓ(Z)lorsque aest dans ℓ(Z)et bdans ℓ(0)(Z), ou
lorsque aest dans ℓ00(Z)et bdans ℓ(Z).
Opérateurs dans ℓ(K)
On peut définir deux opérateurs de translation dans ℓ(K): si a= (an)n≥0,
Td(a) = (0, a0, a1,...,an,...) et Tg(a) = (an+1)n≥0.
On remarque que ℓ00(K)est stable par ces opérateurs.
On a donc
Tg◦Td= Idℓ(K),
mais
Td◦Tg(a) = a−a01l .
Lorsque Kest un sous-anneau de C, on a pour les fonctions indicatrices :