cz - suites d`entiers

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CZ - SUITES D’ENTIERS
Généralités
Dans tout ce qui suit K désigne un anneau commutatif et unitaire. Nous prendrons souvent des sousanneaux de C (donc contenant Z), et en particulier Z lui-même, mais parfois aussi Z/pZ .
Nous noterons :
ℓ(K) l’ensemble des suites à coefficients dans K.
ℓ00 (K) le sous-ensemble de ℓ(K) formé des suites nulles à partir d’un certain rang.
ℓ(i) (K) le sous-ensemble de ℓ(K) formé des suites dont le i−ème terme est nul.
Lorsque K est un sous-anneau de C, à toute suite a = (an )n≥0 de ℓ(K), on associe deux séries formelles
ϕ(a) et Φ(a), que l’on pourra considérer comme des séries entières si le rayon de convergence n’est pas
nul,
∞
X
an z n .
la fonction caractéristique géométrique : ϕ(a)(z) =
n=0
∞
X
la fonction caractéristique exponentielle : Φ(a)(z) =
n=0
an n
z .
n!
L’application a 7→ ϕ(a) est alors une application bijective de ℓ(K) sur l’ensemble K[[z]] des séries
formelles à coefficients dans K.
L’application a 7→ Φ(a) est une application bijective de ℓ(K) sur l’ensemble K∗ [[z]] des séries formelles
f telles que, pour tout entier n ≥ 0, le nombre f (n) (0) soit dans K.
Les ensembles K[[z]] et K∗ [[z]] sont des K−algèbres, et, en particulier
!
!
! ∞
n
∞
∞
X
X
X
X
ak bn−k z n ,
bn z n =
an z n
n=0
n=0
n=0
k=0
et
∞
X
an
n=0
n!
z
n
!
∞
X
bn
n=0
n!
z
n
!
∞
X
1
=
n!
n=0
n X
n
k=0
k
ak bn−k
On remarque que si a est la suite constante égale à 1, on a
ϕ(a)(z) =
1
1−z
et Φ(a)(z) = ez .
!
zn .
CZ 2
On remarque également que K[[z]] est inclus dans K∗ [[z]], puisque l’on peut écrire
∞
X
an z n =
∞
X
n!an
n=0
n=0
n!
zn .
Si P est un polynôme, on notera P (D) l’opérateur différentiel associé à P .
Produits dans ℓ(K)
En plus des opérations usuelles de somme et de multiplication par un nombre de K qui font de ℓ(K)
un K−module, on peut définir trois produits :
a • b = (an ) • (bn ) =
a ⋆ b = (an ) ⋆ (bn ) =
n
X
ak bn−k
k=0
n X
k=0
!
,
n
ak bn−k
k
!
,
a × b = (an ) × (bn ) = (an bn ) .
Muni de l’un de ces trois produits, l’ensemble ℓ(K) est alors une K−algèbre, et en particulier, si K est
un sous-anneau de C,
a 7→ ϕ(a) est un isomorphisme de ℓ(K), muni du produit •, sur K[[z]],
a 7→ Φ(a) est un isomorphisme de ℓ(K), muni du produit ⋆, sur K∗ [[z]].
Nous allons étudier les éléments inversibles selon le produit utilisé.
Nous noterons 1l la suite dont tous les termes sont nuls sauf le premier qui vaut 1.
Produit •
Proposition 1
Un élément a est inversible si et seulement si a0 est inversible dans K.
Ecrire que a • b = 1l, signifie que
et que pour tout n ≥ 1,
a0 b0 = 1
n
X
ak bn−k = 0 .
k=0
La première équation signifie que a0 est inversible dans K.
CZ 3
Réciproquement, si a0 est inversible dans K, et si b0 est son inverse, on définit par récurrence une suite
de K en posant, si n ≥ 1,
n
X
bn = −b0
ak bn−k ,
k=1
Mais alors, en multipliant par a0 ,
a0 bn = −
puis
n
X
n
X
ak bn−k ,
k=1
ak bn−k = 0 .
k=0
Il en résulte que b est dans ℓ(K) et que a • b = 1l.
En particulier, si K = Z, la condition s’écrit a0 = ±1 et b0 = a0 .
Produit ⋆
Proposition 2 Un élément a est inversible si et seulement si si a0 est inversible dans K.
Ecrire que a ⋆ b = 1l, signifie que
a0 b0 = 1
et que pour tout n ≥ 1,
n X
n
k=0
k
ak bn−k = 0 .
Le raisonnement est le même que dans le cas précédent. La suite inverse est définie en posant, si n ≥ 1,
n X
n
bn = −b0
ak bn−k ,
k
k=1
où b0 est l’inverse de a0 .
La remarque est la même dans le cas de Z.
Produit ×
Proposition 3 L’élément unité est la suite constante égale à 1, et un élément a est inversible si
et seulement si ses coefficients sont inversibles.
Dans le cas de Z, l’inverse de a est égal à lui-même.
CZ 4
Composition dans ℓ(Z)
Dans cette partie on suppose que K est l’anneau Z.
Nous allons étudier maintenant d’autres opérations résultant de la composition des séries formelles. De
manière générale, si l’on a deux séries formelles (à coefficients réels),
f (z) =
∞
X
an z n
et g(z) =
n=0
∞
X
bn z n ,
n=0
la composée f ◦ g(z) a un sens dans les deux cas suivants (voir BZ) :
1) f est un polynôme,
2)
b0 = g(0) = 0.
donc si f et g sont les fonctions caractéristiques des suites a et b respectivement, il faut déjà que l’on
se trouve dans l’un des deux cas suivants :
1) a appartient à ℓ00 (Z),
2) b appartient à ℓ(0) (Z).
On va regarder ce qu’il en est du résultat, suivant la fonction caractéristique utilisée.
Théorème 1
Si f et g appartiennent à Z∗ [[z]] et si g(0) = 0, alors f ◦ g appartient à Z∗ [[z]].
Ceci résulte du fait que (f ◦ g)(k) s’écrit comme somme de séries formelles du type
(f (i) ◦ g)g(e1 ) · · · g(ep ) ,
où i est compris entre 1 et k, et e1 , . . . , ep sont des entiers non nuls tels que
e1 + · · · + ep = k ,
ce qui se démontre facilement par récurrence. Comme par hypothèse
f (i) ◦ g(0) = f (i) (0)
est entier, ainsi que les nombres g(ej ) (0), on en déduit que les nombres (f ◦ g)(k) sont entiers, et donc
que f ◦ g appartient à Z∗ [[z]].
Cela permet de définir une opération a b dans ℓ(Z) lorsque a est dans ℓ(Z) et b dans ℓ(0) (Z).
CZ 5
Corollaire 1 Si g appartient à Z∗ [[z]] et si g(0) = 0, alors, pour tout nombre entier r ≥ 1, la
série formelle gr /r! appartient à Z∗ [[z]]. De plus, si
g(z) =
∞
X
bn
n=1
alors
zn
,
n!
∞
zn
gr (z) X
Pn,r (b1 , · · · , bn ) ,
=
r!
n!
n=r
où Pn,r (z1 , · · · , zn ) est un polynôme à coefficients entiers indépendant de g.
Cela résulte du théorème en prenant f (z) = z r /r!. Le coefficient d’ordre n de cette série entière s’exprime alors comme polynôme à coefficients entiers en les variables (b1 , · · · , bn ).
Par contre si f et g sont dans Z∗ [[z]], et si f est un polynôme, alors f ◦ g n’est pas nécessairement dans
Z∗ [[z]]. Par exemple, si l’on prend f (z) = z r /r!, et g(z) = 1, alors f ◦ g(z) = 1/r! n’est pas entier.
Théorème 2
a un sens.
Si f et g appartiennent à Z[[z]] alors f ◦ g appartient à Z[[z]] lorsque la composée
Les coefficients de f ◦ g s’expriment comme sommes finies de produits de coefficients de f et de g et
tous ces nombres sont entiers.
Cela permet de définir une opération a ◦ b dans ℓ(Z) lorsque a est dans ℓ(Z) et b dans ℓ(0) (Z), ou
lorsque a est dans ℓ00 (Z) et b dans ℓ(Z).
Opérateurs dans ℓ(K)
On peut définir deux opérateurs de translation dans ℓ(K) : si a = (an )n≥0 ,
Td (a) = (0, a0 , a1 , . . . , an , . . .) et Tg (a) = (an+1 )n≥0 .
On remarque que ℓ00 (K) est stable par ces opérateurs.
On a donc
Tg ◦ Td = Idℓ(K) ,
mais
Td ◦ Tg (a) = a − a0 1l .
Lorsque K est un sous-anneau de C, on a pour les fonctions indicatrices :
CZ 6
ϕ(Tg (a)) =
∞
X
an+1 z n =
n=0
Φ(Tg (a)) =
ϕ(a) − ϕ(a)(0)
z
et ϕ(Td (a)) =
∞
X
an−1 z n = zϕ(a) ,
n=1
∞
X
∞
X
an+1 n
an−1 n
z = D(Φ(a)) et Φ(Td (a)) =
z = I(Φ(a)) ,
n!
n!
n=0
n=1
où D est l’opérateur de dérivation et I l’opérateur de primitivation avec constante nulle dans l’ensemble
des séries formelles.
On obtient en particulier que, pour j ≥ 1,
(1)
ϕ(Tgj (a)) =
∞
X
an+j z n =
ϕ(a) −
j−1
X
ak z k
k=0
zj
n=0
.
On peut aussi définir l’opérateur de sommation
n
X
σ(a) =
k=0
ak
!
=
n≥0
∞
X
Tdk (a) ,
k=0
et l’opérateur de différenciation
δ(a) = (a0 , a1 − a0 , · · · , an − an−1 , · · · ) = a − Td (a) .
Ce sont des applications bijectives de ℓ(K) dans ℓ(K) réciproques l’une de l’autre, et ℓ00 (K) est stable
par δ (mais pas par σ).
On peut regarder les fonctions indicatrices lorsque K est un sous-anneau de C :
ϕ(σ(a)) =
n
∞
X
X
n=0
ϕ(δ(a)) = a0 +
∞
X
k=0
ak
!
zn =
1
ϕ(a) ,
1−z
(an − an−1 )z n = (1 − z)ϕ(a) .
n=1
On a aussi
Φ(δ(a)) = Φ(a) − I(Φ(a)) .
Enfin, puisque σ(a) = b équivaut à δ(b) = a, en résolvant l’équation
Φ(b) − I(Φ(b)) = Φ(a) ,
qui équivaut au système
Φ(b)′ − Φ(b) = Φ(a)′
,
Φ(b)(0) = Φ(a)(0)
CZ 7
on obtient alors la relation
Φ(σ(a)) = Φ(a) + ez I(e−z Φ(a)) .
Suites récurrentes linéaires (Voir aussi AR)
Soit Q le polynôme unitaire de K[z]
Q(z) = z r − γr−1 z r−1 − · · · − γ0 .
On note ℓ(Q)(K), l’ensemble des suites à coefficients dans K vérifiant, pour tout n ≥ 0,
an+r = γr−1 an+r−1 + · · · + γ0 an .
C’est un espace vectoriel ou un module, suivant les cas.
Remarques
1) Dire qu’une suite vérifie la relation de récurrence à partir d’un certain rang m revient à dire que
a appartient à ℓ(z m Q)(K) : une suite récurrente linéaire à partir d’un certain rang est donc une suite
récurrente linéaire.
2) Dans ℓ(Q)(C) peuvent exister des suites à coefficients entiers, même si Q n’est pas à coefficients
entiers. Par exemple, si Q(z) = z 2 − 2z − 21 , l’ensemble ℓ(Q)(C) contient les suites constantes.
Fonctions caractéristiques d’une suite récurrente linéaire
Théorème 3 Soit a dans ℓ(K), où K est un sous-anneau de C. Les propriétés suivantes sont
équivalentes :
(i) il existe Q unitaire dans K[z] tel que a soit dans ℓ(Q)(K).
S
(ii) il existe R et S dans K[z], tels que R(0) = 1 et ϕ(a) = .
R
La propriété (i) se traduit par la relation
Tgr (a) = γr−1 Tgr−1 (a) + · · · + γ0 a ,
et donc pour la fonction caractéristique
ϕ(Tgr (a)) = γr−1 ϕ(Tgr−1 (a)) + · · · + γ0 ϕ(a) .
CZ 8
Alors, en multipliant par z r , et en utilisant la relation (1), on obtient
!
j−1
r−1
r−1
X
X
X
ak z k + γ0 ϕ(a)z r .
γj z r−j ϕ(a) −
ak z k =
ϕ(a) −
j=1
k=0
k=0
Si l’on pose
S(z) =
r−1
X
k=0
et
ak z k −
j−1
r−1 X
X
γj ak z r−j+k ,
j=1 k=0
R(z) = 1 − γr−1 z − · · · − γ0 z r = z r Q(1/z) ,
On a bien R(0) = 1 et
ϕ(a) =
S(z)
,
R(z)
ϕ(a) =
S(z)
,
R(z)
avec R et S à coefficients dans K.
Réciproquement, si l’on a (ii), on a donc
avec R(0) = 1 et S et R polynômes à coefficients dans K.
Appelons r le degré de R. Les racines complexes de R ne sont pas nulles : on les notes 1/λi . En
décomposant la fraction en éléments simples sur C, on peut écrire
s
X
S(z)
Ti (z)
f (z) =
= T (z) +
,
R(z)
(z − 1/λi )ni
i=1
où T est un polynôme de degré t et Ti un polynôme de degré strictement inférieur à l’ordre de multiplicité ni de 1/λi . On a donc
s
f (z) =
X (−λi )ni Ti (z)
S(z)
= T (z) +
.
R(z)
(1 − λi z)ni
i=1
On utilise le développement en série entière,
∞
X
1
=
Qp (k)z k ,
p
(1 − z)
k=0
où l’on a posé
Qp (X) =
Notons également
(X + 1) · · · (X + p − 1)
.
(p − 1)!
Ti (z) =
nX
i −1
j=0
γi,j z j .
CZ 9
Alors
Ti (z)
=
(1 − λi z)ni
et
f (z) = T (z) +
∞
X
n=0
∞ X
s
X
n=0 i=1
En posant
Pi (X) =




nX
i −1
j=0

γi,j Qni (n − j)λin−j  z n ,

nX
i −1
j=0
(−1)ni λini −j γi,j Qni (n − j) λni z n .
nX
i −1
j=0
(−1)ni λini −j γi,j Qni (X − j) ,
on obtient un polynôme de degré au plus ni − 1, et
f (z) = T (z) +
∞ X
s
X
Pi (n)λni z n .
n=0 i=1
A partir d’un rang n > t, on a donc
an =
s
X
Pi (n)λni ,
i=1
et la suite est récurrente linéaire à partir d’un certain rang, donc elle est récurrente linéaire. Si l’on
pose
s
Y
(z − λi )ni = z r+t R(1/z) ,
Q(z) = z t
i=1
la fonction f est l’image par ϕ d’une suite de ℓ(Q)(C), et comme R est à coefficients dans K, il en est
de même de Q.
Théorème 4 Soit a dans ℓ(K), où K est un sous-anneau de C. Les propriétés suivantes sont
équivalentes :
(i) il existe Q unitaire dans K[z] tel que a soit dans ℓ(Q)(K).
(ii) Φ(a) se trouve dans Ker Q(D).
Si (i) a lieu, cela s’écrit
Tg(r) (a) = γr−1 Tgr−1 (a) + · · · + γ0 a ,
et donc pour la fonction caractéristique
Φ(Tg(r) (a)) = γr−1 Φ(Tgr−1 (a)) + · · · + γ0 Φ(a) .
Ceci équivaut à
Dr (Φ(a)) = γr−1 D r−1 (Φ(a)) + · · · + γ0 Φ(a) ,
et signifie que Φ(a) appartient à Ker Q(D).
CZ 10
Stabilité des suites récurrentes linéaires
Théorème 5 L’ensemble des suites récurrentes linéaires dont le polynôme caractéristique est à
coefficients dans le sous-anneau K de C est stable par les opérations +, ×, •, ⋆, et, lorsque cela a
un sens, par ◦.
Soit a et b des suites récurrentes linéaires de polynômes caractéristiques respectifs Q et R, avec
Q(z) =
q
Y
(z − αi )qi
et R(z) =
r
Y
(z − βj )rj ,
j=1
i=1
et telles que
S
U
et ϕ(b) = ,
T
V
où Q, R, sont à coefficients dans K et unitaires, S, T , U , V , à coefficients dans K avec T (0) = V (0) = 1.
ϕ(a) =
On a alors
an =
q
X
Qi (n)αni
et bn =
i=1
q
X
Rj (n)βjn ,
j=1
où Qi est un polynôme à coefficients complexes de degré strictement inférieur à qi et Rj est un polynôme à coefficients complexes de degré strictement inférieur à rj .
Somme +
On a,
SV + T U
,
TV
où SV + T U et T V sont des polynômes à coefficients dans K avec
ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b) =
(T V )(0) = T (0)V (0) = 1 .
Donc a + b est une suite récurrente linéaire.
De même
SU
,
TV
où SU et T V sont des polynômes à coefficients dans K avec
ϕ(a • b) = ϕ(a) ϕ(b) =
(T V )(0) = T (0)V (0) = 1 .
Donc a • b est une suite récurrente linéaire.
CZ 11
Produit ×
On obtient
q X
r
X
an bn =
Pi (n)Qj (n)(αi βj )n ,
i=1 j=1
et Pi Qj est un polynôme à coefficients complexes de degré strictement inférieur à qi + rj . Alors a × b
est une suite récurrente linéaire dont un polynôme caractéristique est
S(z) =
q Y
r
Y
(z − αi βj )qi +rj .
i=1 j=1
Si Q et R sont à coefficients dans K et unitaires, alors les coefficients de S qui sont, au signe près
les expressions symétriques des racines de S, s’expriment algébriquement en fonction des expressions
symétriques des racines de Q et R, donc des coefficients de Q et de R. Il en résulte que S est à coefficients dans K et unitaire.
Produit ⋆
La stabilité vient du fait que, si Φ(a) et Φ(b) sont deux fonctions telles que
Q(D)(Φ(a)) = 0 et R(Φ(b))(g) = 0 ,
alors S(D)(Φ(a)Φ(b)) est nul lorsque S est le polynôme résultant de Q et de R.
En effet, dire que Q(D)(Φ(a)) = 0 signifie que
Φ(a)(z) =
s
X
Qi (z)eλi z ,
i=1
où les λi , pour 1 ≤ i ≤ q sont les racines de Q, et Qi est un polynôme de degré strictement inférieur à
l’ordre de multiplicité qi de λi .
De même, dire que Q(S)(Φ(b)) = 0 signifie que
Φ(b)(z) =
t
X
Rj (z)eµj z ,
j=1
où les µj , pour 1 ≤ j ≤ r sont les racines de R, et Rj est un polynôme de degré strictement inférieur
à l’ordre de multiplicité rj de µj . Alors
Φ(a)(z)Φ(b)(z) =
q X
r
X
Qi (z)Rj (z)e(λi +µj )z ,
i=1 j=1
et a ⋆ b appartient au noyau de S(D), où
q X
r
X
(z − (λi + µj ))ni +mj ,
S(z) =
i=1 j=1
CZ 12
qui est le polynôme résultant de Q et R et qui est à coefficients dans K et unitaire, en utilisant le même
argument que ci-dessus pour ×.
Produit ◦
1) Si b0 = 0, on a U = zW . Notons
T =
t
X
ti z
i
et S =
s
X
si z i ,
i=0
i=0
avec t0 = 1. Alors
s
X
zW
V
i
zW
si
i=0
V =
ϕ(a ◦ b) =
.
t
zW
X
zW i
T◦
ti
V
V
S◦
i=0
Si s ≥ t, on multiplie le numérateur et le dénominateur par V t , ce qui donne
s
X
si (zW )i V t−i
i=0
ϕ(a ◦ b) =
t
X
.
i
ti (zW ) V
t−i
i=0
Si s ≤ t, on multiplie le numérateur et le dénominateur par V s , ce qui donne
ϕ(a ◦ b) =
s
X
si (zW )i V s−i
i=0
t
X
.
i
ti (zW ) V
s−i
i=0
Dans les deux cas, le numérateur et le dénominateur sont des polynômes à coefficients dans K, et le
dénominateur vaut 1 en 0.
2) Si a est dans ℓ00 (K), alors ϕ(a) = S, donc
s
X
U
si
=
ϕ(a ◦ b) = S ◦
V
i=0
U
V
i
,
et, en réduisant au même dénominateur,
ϕ(a ◦ b) =
s
X
si (U )i V s−i
i=0
Vs
.
Le numérateur et le dénominateur sont des polynômes à coefficients dans K, et le dénominateur vaut
1 en 0.
CZ 13
Suites périodiques
Notons P(K) l’ensemble des suites périodiques dont les termes sont dans K.
Les éléments de P(K) sont donc constitués des suites (an ) pour lesquelles il existe un rang ρ, et une
période s, tels que, si i ≥ ρ,
ai+s = ai .
Une suite périodique est donc une suite récurrente linéaire.
On a alors, si i ≥ ρ, et r ∈ N
ai+rs = ai .
On notera ν(a) la (plus petite) période de a. Elle divise toutes les périodes de a.
Si a et b sont dans P(K), il en est de même de a + b, et de a × b, et la période de ces deux suites divise
le PPCM des périodes de a et de b. Enfin si λ est dans P(K), il en est de même de λa, et si λ 6= 0,
les suites a et λa ont même période. Il en résulte que P(K) est une algèbre pour les lois précédentes,
admettant ℓ00 (K) comme idéal. Cette algèbre est stable par les opérateurs de translation, et
ν(Tg (a)) = ν(Td (a)) = ν(a) .
En particulier a appartient à P(K) si et seulement si Tg (a) ou Td (a) s’y trouve.
n+ν(a)
Si a est un élément de P(K), la suite de terme général
X
ak est stationnaire. Nous noterons ξ(a)
k=n+1
la limite de cette suite qui est la somme des termes d’une période. Alors à partir d’un certain rang
n+rν(a)
X
ak = rξ(a) .
k=n+1
On a également
ξ(Tg (a)) = ξ(Td (a)) = ξ(a) .
Notons εs la suite de P(K) dont tous les termes sont nuls sauf ceux de rang multiple de s qui sont
égaux à 1. On a donc ν(εs ) = s.
On peut caractériser les éléments de P(K) de la manière suivante :
Théorème 6
Les éléments a de P(K) sont les suites qui s’écrivent sous la forme
a=b+
s−1
X
γk Tdk (εs ) ,
k=0
où b appartient à ℓ00 (K), et les nombres γk sont dans K. Alors s est une période de a.
CZ 14
Si la suite a est dans P(K), il existe une rang ρ et une période s tels que, si i ≥ ρ, et r ∈ N
ai+rs = ai .
Soit p entier tel que ps ≥ ρ. Pour k compris entre 0 et s − 1, posons
γk = ak+ps .
Alors, si j ≥ ps, il existe n entier tel que j = ns + t avec n ≥ p, et 0 ≤ t ≤ s − 1. Donc, si l’on pose
b=a−
on obtient
bj = aj −
s−1
X
k=0
s−1
X
γk Tdk (εs ) ,
k=0
γk Tdk (εs )j = aj − γt = aj − aps+t .
Mais alors, puisque la suite a est de période s à partir de ps,
aj = at+ns = at+ps .
Donc bj = 0. Il en résulte que b appartient à ℓ00 (K).
Réciproquement, si a s’écrit sous la forme
a=b+
s−1
X
γk Tdk (εs ) ,
k=0
avec b dans ℓ00 (K) et γk dans K, elle s’écrit comme combinaison linéaire de suites de période s et d’une
suite de ℓ00 (K) : c’est donc une suite de période s, et la période de a divise s.
On peut caractériser les éléments de P(K) à l’aide de certaines suites extraites.
Théorème 7 Si a appartient à P(K), alors, quels que soient r et s entiers (s 6= 0), la suite
(ar+sn )n≥0 s’y trouve aussi.
Réciproquement, s’il existe j ≥ 1 tel que, quel que soit r vérifiant 0 ≤ r ≤ j − 1, la suite (ar+jn )n≥0
soit dans P(K), alors a s’y trouve aussi.
Si a appartient à P(K), on a, pour n assez grand,
ar+s(n+ν(a)) = ar+sn+sν(a) = ar+sn ,
et la suite (ar+sn )n≥0 se trouve dans P(K).
CZ 15
Réciproquement, si 0 ≤ r ≤ j − 1, posons
b(r) = (ar+jn )n≥0 ,
et soit s le PPCM des nombres ν(b(r)), pour 0 ≤ r ≤ j − 1. C’est une période commune à toutes les
suites b(r). Soit n un entier. En divisant n par j, il existe t entier, et r compris entre 0 et j − 1 tels que
n = r + tj .
donc, pour n assez grand
an+sj = ar+(t+s)j = b(r)t+s = b(r)t = ar+tj = an .
Il en résulte que a est dans P(K), et que ν(a) divise sj.
Opérateurs δ et σ
Etudions l’effet des opérateurs δ et σ. On a le théorème suivant :
Théorème 8 l’application δ est une bijection de P(K) sur ξ −1 (0). L’application réciproque est
la restriction de σ à ξ −1 (0). De plus, pour tout a de P(K)
ν(a) = ν(δ(a)) ,
et pour tout b de ξ −1 (0),
ν(b) = ν(σ(b)) .
Si a appartient à P(K), il en est de même de Td (a), donc de
δ(a) = a − Td (a) .
De plus, puisque,
ν(a) = ν(Td (a)) ,
le nombre ν(δ(a)) divise ν(a).
Par ailleurs, si b = δ(a) = (bn ), on a, à partir d’un certain rang,
k+ν(a)
X
n=k+1
k+ν(a)
bk =
X
(ak − ak−1 ) = ak+ν(a) − ak = 0 .
n=k+1
Comme ν(a) est un multiple de ν(δ(a)), c’est-à-dire
ν(a) = rν(δ(a)) ,
CZ 16
on a
k+ν(a)
0=
X
bk = rξ(δ(a)) ,
n=k+1
et donc ξ(δ(a)) est nul.
Réciproquement, soit b dans ξ −1 (0), et a = σ(b). On a
n+ν(b)
X
an+ν(b) − an =
bk ,
k=n+1
donc à partir d’un certain rang
an+ν(b) − an = ξ(b) = 0 .
Il en résulte que σ(b) appartient à P(K), et que ν(σ(b)) divise ν(b).
Ceci montre que δ est une bijection de P(K) sur ξ −1 (0), d’application réciproque σ.
Enfin, ν(a) = ν(σ ◦ δ(a)) divise ν(δ(a)) qui divise ν(a). On a donc l’égalité
ν(a) = ν(δ(a)) .
Fonctions caractéristiques des suites périodiques
On suppose ici que K est un sous-anneau de C.
Cherchons tout d’abord les fonctions caractéristiques de la suite εs .
ϕ(εs ) =
∞
X
z ns =
n=0
et donc
ϕ(Tdr (εs ))
=z
r
∞
X
z ns =
n=0
D’autre part
Φ(εs ) =
et de manière générale
Φ(Tdr (εs )) =
1
,
1 − zs
zr
,
1 − zs
∞
X
z ns
,
(ns)!
n=0
∞
X
n=0
z r+ns
.
(r + ns)!
CZ 17
On remarquera en particulier que cette fonction est solution de l’équation différentielle linéaire
y (s) = y ,
dont le polynôme caractéristique X s − 1 a pour racines les racines s−ième de l’unité. Si l’on pose
k
λs = e2iπ/s , les fonctions y sont des combinaisons linéaires à coefficients complexes des fonctions eiλs z ,
pour 1 ≤ k ≤ s − 1.
On a alors le résultat suivant :
Théorème 9 Un élément a de ℓ(K) est périodique si et seulement si sa fonction caractéristique
géométrique est de la forme
Q(z)
z 7→ ϕ(a)(z) =
,
1 − zs
où Q appartient à C[z].
Alors s est une période de a, et Q un polynôme de K[z].
Si a est périodique, on l’écrit
a=b+
s−1
X
γk Tdk (εs ) ,
k=0
on a immédiatement
ϕ(a) = ϕ(b) +
s−1
X
γk ϕ(Tdk (εs )) ,
k=0
puis,
ϕ(a)(z) = ϕ(b)(z) +
s−1
X
γk
k=0
zk
.
1 − zs
Comme ϕ(b) est un polynôme de K[z], on obtient immédiatement en réduisant au même dénominateur
ϕ(a)(z) =
Q(z)
,
1 − zs
où Q est un polynôme de K[z].
Réciproquement, si a appartenant à ℓ(K), est telle que
ϕ(a)(z) =
Q(z)
,
1 − zs
où Q est un polynôme de C[z], on obtient en divisant Q(z) par 1 − z s ,
Q(z) = (1 − z s )U (z) + V (z) ,
CZ 18
où
V (z) =
s−1
X
ak z k .
k=0
Alors
ϕ(a)(z) = U (z) +
s−1
X
ak
k=0
Mais ceci est la fonction génératrice de la suite
a=b+
s−1
X
zk
.
1 − zs
ak Tdk (εs ) ,
k=0
où b appartient à ℓ00 . On en déduit que a est périodique et que sa période divise s. Les nombres ak
sont alors des coefficients de la suite a donc se trouvent dans K, et Q appartient à K[z].
Théorème 10 Un élément a de ℓ(K) est périodique si et seulement si sa fonction caractéristique
exponentielle est solution d’une l’équation différentielle linéaire de la forme
y (m+s) = y (s) .
Alors s est une période de a.
Dire qu’une suite est périodique signifie que, à partir d’un certain rang m
as+k = ak ,
et donc, quel que soit n
as+n+m = an+m .
Cela signifie que a se trouve dans ℓ(Q)(K), où
Q(z) = z m+s − z s .
Donc pour les fonctions caractéristiques exponentielles
Φ(a)(m+s) = Φ(a)(s) .
CZ 19
Suites d’entiers à classes périodiques
Soit p est un nombre entier supérieur ou égal à 2.
Si a est un nombre entier nous noterons ȧ la classe de a dans l’anneau Z/pZ , et de même pour une
suite d’entiers a = (an )n≥0 nous noterons ȧ = (ȧn )n≥0 la suite des classes modulo p dans ℓ(Z/pZ ).
L’application qui à a associe ȧ est une application surjective de ℓ(Z) sur ℓ(Z/pZ ), et, puisque les différentes lois et les différents opérateurs définis sur ℓ(Z) le sont par des opérations algébriques à partir
des coefficients des suites, ces opérations passent donc aux classes.
Si a = (an )n≥0 , on notera ∆p (a) la suite dont les termes sont les représentant des termes de ȧ appartenant à {0, . . . , p − 1}.
De manière évidente
˙ p (a) = ȧ .
∆
Nous dirons qu’une suite d’entiers est périodique modulo p, si la suite de ses classes modulo p est
périodique. Nous noterons Lp l’ensemble de ces suites, c’est-à-dire
Lp = {a ∈ ℓ(Z) | ∆p (a) ∈ P(Z)} = {a ∈ ℓ(Z) | ȧ ∈ P Z/pZ } .
Nous dirons qu’une suite d’entiers est à classes périodiques si elle est à périodique modulo p pour
tout p ≥ 2. Nous noterons L∞ l’ensemble de ces suites, c’est-à-dire
L∞ =
\
Lp .
p≥2
Nous allons étudier la stabilité de ces sous-espaces par les lois et les opérateurs définis sur ℓ(Z). La
stabilité par addition et la stabilité pour la loi × résultent des mêmes propriétés pour les suites périodiques. Les ensembles Lp sont des Z−algèbres pour ces lois, et ils sont bien sûr stables par translation
à gauche et à droite.
Exemples de suites d’entiers à classes périodiques
L’ensemble L∞ contient bien sûr P(Z). Il contient la suite (n)n≥0 et de manière générale les suites
(P (n))n≥0 où P est un polynôme à coefficients entiers.
L’ensemble contient également les suites (an )n≥0 où a est entier. En effet, comme l’ensemble des valeurs
prises par la suite est fini, il existe q et s tels que
ȧs+q = ȧq ,
donc, si n ≥ q, en multipliant par ȧn−q ,
ȧs+n = ȧn ,
CZ 20
ce qui montre que la suite est s−périodique.
L’ensemble L∞ contient également (n!)n≥0 , dont la suite des classes est nulle à partir d’un certain rang.
Exemples de suites d’entiers qui ne sont pas à classes périodiques
Donnons un premier exemple de suite qui n’est pas dans L∞ .
Soit (an ) la suite dont tous les termes sont nuls, sauf ceux de rang n(n + 1)/2 qui valent 1. Cette suite
n’est pas identiquement nulle et, quel que soit n, elle comporte un bloc de zéros de longueur n. Elle
n’est donc pas périodique, et aucune de ses classes modulo p ne l’est non plus.
Donnons maintenant un exemple moins évident.
Théorème 11
Pour tout nombre p premier impair la suite (
2n
n )n≥0
n’est pas dans Lp .
Pour noter les classes d’équivalence des coefficients binomiaux, nous reprendrons la notation
n
p
Cn =
.
p
On utilise la propriétés des coefficients binomiaux suivante (voir BD) :
soit p un nombre premier impair et s un nombre entier naturel non nul, alors
pour tout entier b tel que 1 ≤ b ≤ ps − 1.
ps
b
est divisible par p,
Posons ps = 2t + 1. On montre alors facilement par récurrence sur r que, si 0 ≤ r ≤ 2t − 1, on a
1̇
si b = r ou b = 2t + 1
b
.
Ċ2t+1+r =
0̇
si r + 1 ≤ b ≤ 2t
En particulier, si r + 1 = 2t, on obtient
1̇
b
Ċ4t =
0̇
si b = 2t − 1 ou b = 2t + 1
.
si b = 2t
On en déduit
2t+1
Ċ2t
4t+1 = Ċ4t+1 = 1̇ ,
puis
Ċ2t+1
4t+2 = 2̇ .
Par ailleurs, en prenant b = n et r = 2n − 2t − 1, à condition que t + 1 ≤ n ≤ 2t, on obtient Ċn2n = 0̇,
et finalement
0̇
si t + 1 ≤ n ≤ 2t
n
.
Ċ2n =
2̇
si n = 2t + 1 = ps
CZ 21
La suite (Ċn2n )n≥0 n’est donc pas identiquement nulle. Par ailleurs, quel que soit s, elle contient toujours
un bloc de t = (ps − 1)/2 zéros, ce qui lui interdit d’être périodique.
Par contre, comme
2n
n
=2
2n−1
,
n
Remarque : si |z| < 1/4, on a
Corollaire 2
dans Lp .
la suite (
2n
n )n≥0
appartient à L2 .
∞ X
2n n
1
.
z =√
n
1 − 4z
n=0
Pour tout nombre p premier impair la suite des nombres de Catalan n’est pas
Puisque 2n + 1 et n + 1 sont étrangers, il résulte de la relation
2n + 1
2n
(n + 1)
= (2n + 1)
,
n+1
n
que n + 1 divise 2n
n . On pose
2n
an =
n
n+1
,
on obtient ainsi les nombres de Catalan. Si p est premier impair, étudions la suite extraite (apn )n≥0 .
Si aps était divisible par p, il en serait de même de
D’autre part, si
2ps ps ,
ce qui n’est pas le cas. Donc ȧps n’est pas nul.
ps + 1
≤ pn ≤ ps − 1 ,
2
le nombre 2np
np est divisible par p. Comme pn + 1 et p sont étrangers, le nombre anp sera aussi divisible
par p, et sa classe est nulle.
La suite (ȧpn )n≥0 contient des blocs de zéros aussi grands que l’on veut, mais contient aussi des termes
non nuls aussi grands que l’on veut : elle n’est donc pas périodique. Alors la suite des nombres de
Catalan n’est pas dans Lp .
Opérateurs δ et σ
Théorème 12
Les opérateurs δ et σ sont des bijections réciproques de Lp sur lui-même.
CZ 22
On a toujours
δ(a) = a − Td (a) ,
d’où la stabilité par δ.
Soit a dans Lp , alors ∆p (a) est dans P(Z), et se décompose sous la forme
∆p (a) = b +
i−1
X
γk Tdk (εi ) ,
k=0
où les γk sont entiers, et b est dans ℓ00 . Donc par linéarité de σ, et en raison de la stabilité par Td , il
suffit d’étudier σ(b) et σ(εi ).
Or σ(b) est une suite stationnaire. Elle appartient donc à P(Z), avec ν(σ(b)) = 1.
Par ailleurs, si ki ≤ n ≤ (k + 1)i − 1, on a
(σ(εi ))n = k + 1 .
Alors σ(εi ) appartient à P(Z) et a une période égale à ip.
Il en résulte que σ(a) est dans Lp . Mais on a toujours
σ ◦ δ(a) = δ ◦ σ(a) = a ,
ce qui montre que δ et σ sont des bijections réciproques de Lp sur lui-même.
Remarque : ce résultat n’est pas en contradiction avec ke théorème 8, car pour tout élément de Lp
il existe une période dont la somme des éléments est nulle modulo p.
Corollaire 3 Si a appartient à Lp , pour tout entier j ≥ 0 la suite (an+j − an )n≥0 appartient
aussi à Lp .
Réciproquement, s’il existe un entier j ≥ 0 tel que la suite (an+j − an )n≥0 appartienne à Lp , alors
a est dans Lp .
On a
b = (an+j − an )n≥0 = Tgj (a) − a .
Donc b appartient à Lp si a est dans Lp .
Réciproquement, si b appartient à Lp , posons
b(s) = (ajn+s )n≥0 .
Si n ≥ 1, on a
δ(b(s))n = ajn+s − aj(n−1)+s = bj(n−1)+s ,
CZ 23
donc
Tg ◦ δ(b(s))n = bjn+s .
Comme b appartient à Lp , il en résulte que la suite (bjn+s )n est dans Lp . Alors δ(b(s)), puis b(s) sont
dans Lp pour tout s, ce qui, d’après le théorème 7 montre que a appartient à Lp .
Corollaire 4
La suite C(r) = (
n+r r )n≥0
est dans L∞ .
La démonstration se fait par récurrence. La suite C(0) est constante donc périodique et, pour tout p,
appartient à Lp . Par ailleurs
δ(C(r)) =
n+r
(n − 1) + r
−
= C(r − 1) .
r
r
n≥0
Donc
C(r) = σ(C(r − 1)) ,
Si C(r − 1) est dans Lp , il en est de même de C(r).
Le théorème de récurrence
Théorème 13 Soit Q un polynôme de Z[z1 , . . . , zr , zr+1 , . . . , zr+s ], et v(1), . . . , v(s) dans Lp .
Soit a dans ℓ(Z), vérifiant, pour n ≥ 0, la relation
ȧn+r = Q̇(ȧn+r−1 , . . . , ȧn , v̇(1)n , . . . , v̇(s)n ) .
Alors a appartient à Lp .
Cette situation a lieu en particulier, si a est une suite de ℓ(R) définie par la donnée de a0 , . . . , ar
entiers, et vérifiant, pour n ≥ 0, la relation
an+r = Q(an+r−1 , . . . , an , v(1)n , . . . , v(s)n ) .
Soit t une période commune aux suites v̇(1),. . . ,v̇(s), et m un rang à partir duquel elles sont toutes
périodiques. Posons
Un = (ȧnt , ȧnt+1 , . . . , ȧnt+r−1 ) .
Pour nt + r − 1 ≥ m, la suite Un est une suite de (Z/pZ )r . Comme cet ensemble est fini, il existe deux
entiers n0 et u, tels que
Un0 +u = Un0 .
CZ 24
On montre alors par récurrence sur k que, si k ≥ 0,
ȧn0 t+k = ȧ(n0 +u)t+k .
C’est vrai pour k compris entre 0 et r − 1. Si c’est vrai jusqu’au rang k, on a
ȧ(n0 +u)t+k+1 = Q̇(ȧ(n0 +u)t+k , . . . , ȧ(n0 +u)t+k+1−r , v̇(1)(n0 +u)t+k+1−r , . . . , v̇(s)(n0 +u)t+k+1−r )
= Q̇(ȧn0 t+k , . . . , ȧn0 t+k+1−r , v̇(1)n0 t+k+1−r , . . . , v̇(s)n0 t+k+1−r )
= ȧn0 t+k+1 .
Alors la suite (ȧn0 t+n )n≥0 appartient à P(Z/pZ ), donc a est dans Lp .
Conséquences
1) On retrouve en particulier que les suites arithmétiques et géométriques sont dans Lp , puisque, si r
et a0 sont entiers, elles vérifient les relations de récurrence
an+1 = an + r
ou
an+1 = ran ,
et donc
an+1 = Q(an )
avec respectivement
Q(z1 ) = z1 + r
et Q(z1 ) = rz1 .
2) De manière générale, si b est dans Lp , alors les suites (b0 + · · · + bn ) et (b0 · · · bn ) sont dans Lp ,
puisqu’elles vérifient respectivement
an+1 = an + bn+1
et an+1 = an · bn+1 ,
c’est-à-dire
an+1 = Q(an , v(1)n ) ,
avec respectivement
Q(z1 , z2 ) = z1 + z2
et Q(z1 , z2 ) = z1 z2 ,
pour lesquelles on a pris
v(1) = Tg (b) .
3) Les suites récurrentes linéaires de ℓ(Q)(Z), où Q est un polynôme unitaire à coefficients entiers sont
dans Lp , et en particulier les suites de Fibonacci, et de Lucas, qui vérifient
an+2 = an+1 + an .
4) Si R appartient à Z[z], les suites vérifiant
an+1 = R(n)an ,
sont dans Lp , en écrivant
an+1 = Q(an , v(1)) ,
CZ 25
où
Q(z1 , z2 ) = z1 z2
et v(1) = (R(n)) .
Par contre le résultat précédent est faux si R est une fraction rationnelle à coefficients entiers, comme
le montre l’exemple de la suite des nombres de Catalan qui vérifie
an+1 =
2(2n + 1)
an ,
n+2
qui n’est pas dans Lp si p est premier impair.
5) Donnons un autre exemple de suites de Lp : les suites
∞ X
k=0
n
ku + v
!
.
n≥0
On utilise le fait, que, pour une série entière, (voir CF),
f (z) =
∞
X
ak z k ,
k=0
on peut écrire
∞
X
aku+v z
ku+v
u−1
1 X −sv
γ f (γ s z) ,
=
u
s=0
k=0
où γ est une racine primitive u−ième de l’unité. En appliquant à
n
f (z) = (1 + z) =
∞ X
n
k=0
k
zk ,
on trouve, pour z = 1
∞ X
k=0
n
ku + v
=
u−1
1 X −sv
γ (1 + γ s )n ,
u
s=0
cette suite appartient donc à ℓ(Q)(Z), où Q est le polynôme unitaire à coefficients entiers défini par
Q=
u−1
Y
s=0
s
(z − (1 + γ )) =
u−1
Y
s=0
((z − 1) − γ s ) = (z − 1)u − 1 .
La suite est donc dans Lp .
Stabilité par • et inverse
Théorème 14
L’ensemble Lp est stable pour la loi •.
CZ 26
Soit a et b dans Lp . Les suites ∆p (a) et ∆p (b) sont dans P(Z) alors la suite ∆p (a) • ∆p (b) est une
suite récurrente linéaire et appartient à Lp et il en est de même de a • b.
Théorème 15
Un élément a de Lp a un inverse dans Lp si et seulement si |a0 | = 1.
La condition |a0 | = 1 est nécessaire et suffisante pour avoir l’existence d’un inverse dans ℓ(Z). Il reste
à montrer que si elle est vérifiée, l’inverse appartient à Lp .
Comme a possède un inverse b si et seulement si −a possède un inverse, on peut supposer a0 = 1.
Alors ∆p (a) possède aussi un inverse, et, si
ϕ(∆p (a)) =
avec
S(z)
,
1 − zr
ϕ(∆p (a))(0) = a0 = S(0) = 1 ,
on obtient
ϕ(∆p (a)−1 ) =
1 − zr
,
S(z)
avec S(0) = 1. Il en résulte que c = ∆p (a)−1 est récurrente linéaire, et donc que ċ appartient à
P(Z/pZ ).
Mais b et c vérifient les relations
bn = −
n
X
ak bn−k
k=1
et
cn = −
n
X
ak cn−k ,
k=1
avec b0 = c0 = 1. Alors par récurrence, on en déduit que, pour tout n
ḃn = ċn ,
donc ḃ appartient à P(Z/pZ ), et b est dans Lp .
Stabilité par ⋆ et inverse
Théorème 16
L’ensemble Lp est stable pour la loi ⋆.
Si a et b sont dans Lp , alors ∆p (a) et ∆p (b) sont périodiques, donc sont des suites récurrentes linéaires.
Alors ∆p (a) ⋆ ∆p (b) est récurrente linéaire et appartient à Lp et il en est de même de a ⋆ b.
CZ 27
Théorème 17
Un élément a de Lp a un inverse dans Lp si et seulement si |a0 | = 1.
La condition |a0 | = 1 est nécessaire et suffisante pour avoir l’existence d’un inverse dans ℓ(Z). Il reste
à montrer que si elle est vérifiée, l’inverse appartient à Lp .
On suppose de nouveau que a0 = 1. Alors la suite 1l −a a son premier terme nul et
Φ
(1l −a)r (z)
r!
où Pn,r (a1 , . . . , an ) est entier.
=
∞
X
Pn,r (a1 , . . . , an )
n=r
zn
,
n!
Comme 1l −a appartient à Lp , il en est de même de (1l −a)r , et la suite (r!Pn,r (a1 , . . . , an )) appartient
à Lp . Mais
∞ X
∞
∞
X
X
zn
1
r!Pn,t (a1 , . . . , an )
Φ(1l −a)r (z) =
,
(z) =
Φ
a
n!
n=r
r=0
r=0
Alors, si
∞
X
1
zn
Φ
cn
,
(z) =
a
n!
n=0
on obtient
cn =
n
X
r!Pn,r (a1 , . . . , an ) .
p−1
X
r!Ṗn,r (a1 , · · · , an ) .
r=0
Mais alors
ċn =
r=0
Cette suite est somme d’un nombre fini de suites périodiques. Il en résulte qu’elle est périodique. Donc
c appartient à Lp .
Quelques applications des théorèmes précédents
– La suite des nombres d’Euler est dans Lp puisqu’elle a comme fonction caractéristique exponentielle
Φ(a) =
1
,
ch z
et que ch z est la fonction caractéristique d’une suite périodique.
– La suite des nombres de Lionnais est dans Lp puisqu’elle a comme fonction caractéristique exponentielle
1
,
Φ(a) =
2 − ez
CZ 28
et que 2 − ez est la fonction caractéristique d’une suite périodique.
– La suite (σnk )n≥0 des nombres de Stirling de deuxième espèce est dans Lp . Elle a pour fonction
caractéristique géométrique
zk
,
ϕ(a) =
(1 − z) · · · (1 − kz)
(inverse du polynôme (1 − z) · · · (1 − kz).
– La suite (
n
k )n≥0
est dans Lp . Elle a pour fonction caractéristique exponentielle
Φ(a) = ez
zk
.
k!
(Stabilité par produit).
Stabilité par la composition ◦
Théorème 18
Si a et b sont dans Lp , avec b0 = 0, ou a dans ℓ00 (Z), alors a ◦ b est dans Lp .
Les suites ∆p (a) et ∆p (b) sont périodiques donc récurrentes linéaires, donc ∆p (a) ◦ ∆p (b) également.
Alors ∆p (a) ◦ ∆p (b) appartient à Lp , donc a ◦ b également.
Malheureusement, la stabilité ne passe pas à la fonction réciproque. Si a est la suite de Lp telle que
ϕ(a) =
∞
X
z 2n+1 =
n=0
z
,
1 − z2
la fonction réciproque s’obtient en résolvant l’équation
ϕ(a)(z) = ζ ,
soit
ζz 2 + z − ζ = 0 .
La solution nulle en zéro, vaut
z = g(ζ) =
−1 +
p
1 + 4ζ 2
,
2ζ
qui se développe en série entière sous la forme
g(ζ) =
∞
X
(−1)n
n=0
2n
2n+1
n
n+1
ζ
.
CZ 29
Mais les coefficients sont, au signe près, les nombres de Catalan, et on a vu que ces nombres n’appartiennent pas à Lp , lorsque p est un nombre premier impair.
Un autre théorème de récurrence
Théorème 19 Soit a dans ℓ(Z), et pour tout k ≥ 0, soit L(k) dans ℓ(Z), et b(k) dans Lp . On
suppose que L(0) appartient à Lp et que, quels que soient les entiers k ≥ 1 et n ≥ 0, on a
L̇(k)n = ȧk L̇(k)n−1 + ḃ(k)n L̇(k − 1)n−1 .
Alors, pour tout k ≥ 0, la suite L(k) appartient à Lp .
On démontre la propriété par récurrence sur k. Elle est vraie par hypothèse si k = 0. Supposons qu’elle
soit vraie à l’ordre k − 1, où k ≥ 1. Posons
u(k) = b(k) × Td (L(k − 1)) ,
et définissons la suite v(k) par
v(k)n = ank ,
(avec la convention a0k = 1).
Toutes ces suites sont dans Lp . Alors
w(k) = u(k) • v(k)
appartient à Lp . Mais
w(k)0 = u(k)0 v(k)0 = b(k)0 Td (L(k − 1))0 v(k)0 = 0 ,
et, si n ≥ 1,
w(k)n =
n
X
u(k)r v(k)n−r =
n
X
u(k)r v(k)n−r .
r=1
r=0
Alors
ẇ(k)n =
n
X
u̇(k)r v̇(k)n−r
r=1
=
n
X
r=1
ḃ(k)r L̇(k − 1)r−1 ȧkn−r ,
CZ 30
et, en utilisant la relation vérifiée par les suites L(k), on obtient
ẇ(k)n =
n
X
r=1
=
n
X
r=1
(L̇(k)r − ȧk L̇(k)r−1 )ȧkn−r
(L̇(k)r ȧkn−r − L̇(k)r−1 ȧn−r+1
.
k
Alors il résulte du procédé télescopique que
ẇ(k)n = L̇(k)n − L̇(k)0 ȧnk ,
et finalement
L̇(k)n = ẇ(k)n + L̇(k)0 ȧnk ,
donc
L̇(k) = ẇ(k) + L̇(k)0 v̇(k) .
Il en résulte que la suite L̇(k) appartient à P(Z/pZ ), et donc que L(k) appartient à Lp .
On retrouve en particulier que les suites ( nk )n≥0 et (σnk )n≥0 qui vérifient les relations
n
n−1
n−1
k−1
k
=
+
et σnk = kσn−1
+ σn−1
,
k
k
k−1
sont dans L∞ .
Le résultat suivant redonne le théorème précédent dans le cas des suites récurrentes linéaires :
Théorème 20 Soit a dans ℓ(Z), et pour tout k ≥ 0, soit L(k) dans ℓ(Z), et b(k) dans P(Z). On
suppose que L(0) appartient à P(Z), et que, quels que soient les entiers k ≥ 1 et n ≥ 0, on a la
relation
L(k)n = ak L(k)n−1 + b(k)n L(k − 1)n−1 .
Alors, pour tout k ≥ 0, la suite L(k) est récurrente linéaire.
En calculant la fonction caractéristique géométrique, on a
∞
X
n=1
L(k)n z n =
∞
X
n=1
ak L(k)n−1 z n +
∞
X
k=1
Soit
ϕ(L(k))(z) − L(k)0 = ak zϕ(L(k))(z) + z
b(k)n L(k − 1)n−1 z n .
∞
X
k=1
b(k)n L(k − 1)n−1 z n−1 .
CZ 31
On montre la propriété désirée par récurrence sur k. C’est vrai pour k = 0 par hypothèse. Supposons
que ce soit vrai à l’ordre k − 1. Alors la suite Tg (b(k)) × L(k − 1) est récurrente linéaire, et
z
∞
X
k=1
b(k)n L(k − 1)n−1 z n−1 = zϕ(Tg (b(k)) × L(k − 1)) =
zR(z)
,
S(z)
où R et S sont des polynômes à coefficients entiers et S(0) = 1. Alors
ϕ(L(k))(z)(1 − ak z) = L(k)0 +
d’où
ϕ(L(k))(z) =
zR(z)
,
S(z)
L(k)0 S(z) + zR(z)
.
(1 − ak z)S(z)
Cette fonction est le quotient de deux polynômes à coefficients entiers et le dénominateur vaut 1 si
z = 0. Il en résulte que L(k) est une suite récurrente linéaire.
D’autres exemples d’éléments de L∞
Théorème 21 Soit Q dans C[z] prenant des valeurs entières sur les entiers. Alors la suite (Q(n))n≥0
est dans L∞ .
Remarque : si deg Q = q, il suffit que que Q(0),. . . , Q(q) soient entiers.
Posons
Γk (z) =
On a
z(z − 1) · · · (z − k + 1)
.
k!
n
Γk (n) =
.
k
Les polynômes Γk forment une base de C[z]. Alors, si l’on écrit
Q(z) =
q
X
γk Γk (z) ,
k=0
on a en particulier, si 0 ≤ r ≤ q,
Q(r) =
q
X
γk Γk (r) =
k=0
k=0
et donc
Q(r) =
r
X
r−1
X
k=0
r
γk
,
k
r
γk
+ γr .
k
CZ 32
On en déduit par récurrence sur r que les γr sont entiers.
Pour montrer le résultat, il suffit de prouver que, pour tout entier k, la suite (Γk (n))n≥0 est dans L∞ ,
ce qui se fait par récurrence sur k.
Comme Γ0 (n) = 1, la suite est constante et la propriété est vraie à l’ordre 1.
Supposons la vraie à l’ordre k − 1. On vérifie facilement que, si k ≥ 1,
Γk (z + 1) − Γk (z) = Γk−1 (z) .
Alors
δ((Γk (n))n≥0 ) = (Γk−1 (n))n≥0 .
Donc, δ((Γk (n))n≥0 ), puis (Γk (n))n≥0 sont dans L∞ .
Remarque : si Q appartient à C[z] et conserve les entiers, alors, si a et b sont des entiers, l’égalité
ȧ = ḃ, n’implique pas Q̇(a) = Q̇(b). Par exemple, si l’on prend Q(z) = Γ2 (z), et p = 2, on a 1̇ = 3̇,
mais
Q̇(1) = 0̇ 6= 3̇ = Q̇(3) .
On peut alors trouver une suite a = (an )n≥0 de Lp telle que Q(a) = (Q(an ))n≥0 n’appartienne pas à
Lp . Si l’on prend
a = (1, 3, 1, 3, 3, 1, 3, 3, 3, 1, . . .) ,
la suite ∆2 (a) est constante. Par contre
∆2 (Q(a)) = (0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, . . .) ,
et cette suite n’est pas périodique.
Corollaire 5
est dans L∞ .
Si a est une suite constante, et si b appartient à ℓ00 (Z), avec b0 = 0, alors a b
On a
Φ(a) = γez
et Φ(b) =
r
X
bk
k=0
donc
Φ(a b) = γ
Il suffit donc d’étudier la fonction
eλz
k /k!
=
r
Y
ebk z
k /k!
k=0
∞
X
λn z kn
,
n!(k!)n
n=0
.
zk
,
k!
CZ 33
lorsque λ est entier. On écrit
eλz
k /k!
=
∞
X
λn (kn)! z kn
.
n!(k!)n (kn)!
n=0
et on pose
Ln (k) =
λn (kn)!
.
n!(k!)n
On montre, par récurrence sur k, que la suite (Ln (k))n≥0 est dans L∞ .
C’est vrai si k = 1, car
Ln (1) = λn .
Supposons la propriété vraie à l’ordre n. On vérifie facilement la relation
Ln+1 (k) = λ
(kn + k − 1) · · · (kn + 1)
Ln (k) = Γk−1 (nk + k − 1) Ln (k) ,
(k − 1)!
Alors la suite (Γk−1 (nk + k − 1))n≥0 ) étant dans L∞ , il résulte du théorème fondamental de récurrence
que la suite (Ln (k))n≥0 s’y trouve aussi. La propriété est donc vraie à l’ordre k.
Périodes des restes d’une suite
La suite L = (Ln )n≥0 est fixée dans ce paragraphe. Si L appartient à Lp , notons π(p) la période de la
suite des restes modulo p.
Théorème 22
divise π(q).
Si p divise q, et si L appartient à Lq , alors elle appartient aussi à Lp , et π(p)
Si l’on écrit
Ln = qσn + τn ,
où (τn ) est π(q)−périodique, on a aussi, puisque p divise q,
Ln ≡ τ n
(mod p) .
Donc L appartient à Lp et π(q) est une période pour la suite des reste modulo p, donc π(p) divise π(q).
Théorème 23 Si L appartient à Lpi quels que soient les nombres entiers p1 , . . . pm , alors L
appartient à LPPCM(p1 ,...,pm ) et
π(PPCM(p1 , . . . , pm )) = PPCM(π(p1 ), . . . , π(pm )) .
CZ 34
On montre tout d’abord cette propriété pour deux nombres p1 et p2 .
Il résulte du théorème précédent, puisque p1 et p2 divisent PPCM(p1 , p2 ), que π(p1 ) et π(p2 ) divisent
π(PPCM(p1 , p2 )), donc que, PPCM(π(p1 ), π(p2 )) divise π(PPCM(p1 , p2 )).
Inversement, si l’on a,
Ln = σn p 1 + s n = τ n p 2 + t n ,
où (sn ) est π(p1 )− périodique et (tn ) est π(p2 )− périodique, il existe λ1 et λ2 étrangers, tels que
PPCM(p1 , p2 ) = λ1 p1 = λ2 p2 ,
et d’après le théorème de Bézout, il existe µ1 et µ2 tels que
λ1 µ 1 + λ2 µ 2 = 1 .
Alors
λ1 µ1 Ln = λ1 µ1 σn p1 + λ1 µ1 sn = PPCM(p1 , p2 )µ1 σn + λ1 µ1 sn ,
et
λ2 µ2 Ln = λ2 µ2 τn p2 + λ2 µ2 tn = PPCM(p1 , p2 )µ2 τn + λ2 µ2 tn ,
donc en sommant
Ln = PPCM(p1 , p2 )(µ1 σn + µ2 τn ) + λ1 µ1 sn + λ2 µ2 tn ,
Alors
L n ≡ λ1 µ 1 s n + λ2 µ 2 t n
(mod PPCM(p1 , p2 )) .
En particulier, si
δ = PPCM(π(p1 ), π(p2 )) = ν1 π(p1 ) = ν2 π(p2 ) ,
on a, modulo PPCM(p1 , p2 ),
Ln+δ ≡ λ1 µ1 sn+δ + λ2 µ2 tn+δ
≡ λ1 µ1 sn+ν1π(p1 ) + λ2 µ2 tn+ν2 π(p2 )
et donc à partir d’un certain rang
Ln+δ ≡ λ1 µ1 sn + λ2 µ2 tn
(mod PPCM(p1 , p2 )) ,
soit
Ln+δ ≡ Ln
(mod PPCM(p1 , p2 )) ,
ce qui montre que la suite des classes modulo PPCM(p1 , p2 ) est δ périodique. Donc π(PPCM(p1 , p2 ))
divise
δ = PPCM(π(p1 ), π(p2 )) .
CZ 35
On a donc égalité et la propriété est donc démontrée à l’ordre 2. On montre ensuite le résultat par
récurrence, en utilisant le fait que
PPCM(p1 , . . . , pm−1 , pm ) = PPCM(PPCM(p1 , . . . , pm−1 ), pm ) .
Supposons la formule vraie à l’ordre m − 1, où m ≥ 3. Alors
π(PPCM(p1 , . . . , pm−1 )) = PPCM(π(p1 ), . . . , π(pm−1 )) .
Donc
π(PPCM(p1 , . . . , pm−1 , pm )) = π(PPCM(PPCM(p1 , . . . , pm−1 ), pm )) ,
mais en utilisant la propriété à l’ordre 2
π(PPCM(PPCM(p1 , . . . , pm−1 ), pm )) = PPCM(π(PPCM(p1 , . . . , pm−1 )), π(pm )) .
puis, avec l’hypothèse de récurrence
π(PPCM(PPCM(p1 , . . . , pm−1 ), pm )) = PPCM(PPCM(π(p1 ), . . . , π(pm−1 )), π(pm )) .
Finalement
π(PPCM(p1 , . . . , pm−1 , pm )) = PPCM(π(p1 ), . . . , π(pm−1 ), π(pm )) ,
ce qui donne la formule à l’ordre m.
Corollaire 6
Si p se décompose en facteurs premiers sous-la forme
p = pr11 · · · prmm ,
et si L appartient à Lpri pour 1 ≤ i ≤ m, alors L appartient à Lp et
i
π(p) = PPCM(π(pr11 ), . . . π(prmm )) .
Corollaire 7 La suite L appartient L∞ si et seulement si elle appartient à Lpm pour tout
nombre premier p et pour tout entier m ≥ 1. Donc La fonction π est complètement déterminée sur
les puissances des nombres premiers.
Remarquons que si la suite des reste modulo p est périodique, la suite des restes modulo p2 ne l’est
pas nécessairement. Par exemple, la suite
L = (0, p, 0, 0, p, 0, 0, 0, p, . . .) ,
CZ 36
est périodique modulo p, mais pas modulo p2 .
Si la suite est périodique modulo p et modulo p2 , la période π(p) divise π(p2 ), mais on n’a pas nécessairement égalité. Par exemple, la suite
L = (0, p, 0, p, . . .) ,
est de période 2 modulo p2 et de période 1 modulo p.
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