Equations différentielles et stabilité

Universit´ e de Metz
Licence de Math´ematiques
5`eme semestre
Equations diff´ erentielles et stabilit´ e
par Ralph Chill
Laboratoire de Math´ematiques et Applications de Metz
Ann´ee 2006/07
1

Table
Chapitre 1. Premiers exemples d’´equations diff´erentielles 5
1. Notion d’´equation diff´erentielle 5
2. Equations diff´erentielles lin´eaires du premier ordre 7
3. Equations diff´erentielles du premier ordre `a variables s´epar´ees 8
4. L’´equation diff´erentielle y0=f(at+by+c
αt+βy+γ) 9
5. Champs de vecteurs 11
Chapitre 2. Les th´eor`emes de Peano et Cauchy-Lipschitz 15
1. Solutions ε-approch´ees et th´eor`eme de Peano 15
2. Le th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz 19
3. Solutions maximales 21
4. Sensibilit´e par rapport aux donn´ees 24
5. L’´equation diff´erentielle d’ordre m25
Chapitre 3. Equations diff´erentielles lin´eaires 27
1. L’´equation diff´erentielle du premier ordre. La fonction exponentielle 29
2. L’´equation diff´erentielle d’ordre m`a coefficients constants 33
3. Stabilit´e et instabilit´e. Premier th´eor`eme de Liapunov 36
4. D´eveloppement en s´eries enti`eres 40
Chapitre 4. Stabilit´e 43
1. Stabilit´e lin´earis´ee. Deuxi`eme th´eor`eme de Liapunov 44
2. Fonctions de Liapunov 45
Bibliographie 51
3

CHAPITRE 1
Premiers exemples d’´ equations diff´ erentielles
1. Notion d’´ equation diff´ erentielle
Soient n,m≥1, D⊆R1+mn un domaine (cad. ouvert et connexe) et f:D→Rn
une fonction continue.
Une ´equation diff´erentielle d’ordre m est une ´equation de la forme
(1.1) y(m)(t)=f(t,y(t),y0(t), ..., y(m−1)(t)),t∈I,
o`u I⊂Run intervalle et y:I→Rnest une fonction qui est mfois diff´erentiable.
Cette fonction yest l’inconnue et r´esoudre l’´equation differentielle (1.1) veut dire
trouver une fonction yqui est mfois diff´erentiable et qui v´erifie (1.1).
Si n≥2, alors la fonction yest `a valeurs vectorielles, y=(y1, . . . , yn) et f=
(f1,..., fn), et l’´equation (1.1) est en fait un syst`eme de n´equations diff´erentielles
scalaires. Au lieu de (1.1) on pourrait alors ´ecrire n´equations scalaires. Dans ce cas
le syst`eme (1.1) devient:
y(m)
1(t)=f1(t,y1(t),...,yn(t),y0
1(t),...,y0
n(t),...,y(m−1)
1(t), . . . , y(m−1)
n(t)),
y(m)
2(t)=f2(t,y1(t),...,yn(t),y0
1(t),...,y0
n(t),...,y(m−1)
1(t), . . . , y(m−1)
n(t)),
.
.
..
.
.
y(m)
n(t)=fn(t,y1(t),...,yn(t),y0
1(t),...,y0
n(t),...,y(m−1)
1(t), . . . , y(m−1)
n(t)).
Des fois, on va utiliser cette notation, mais pour la th´eorie abstraite la notation (1.1)
semble ˆetre plus facile.
Souvent une ´equation diff´erentielle est compl´ement´ee de conditions initiales et
elle est alors de la forme
(1.2) 
y(m)(t)=f(t,y(t),y0(t), ..., y(m−1)(t)),t∈I,
y(t0)=y0,
y0(t0)=y1,
···
y(m−1)(t0)=ym−1.
Ici, t0∈Iest un ’temps’ initial et y0,y1,...,ym−1∈Rnsont des donn´ees initiales.
On appelle (1.2) probl`eme `a donn´ees initiales ou probl`eme de Cauchy.
5