Pourcentages Pourcentage d’une partie par rapport à un tout

Première ES
Résumé de cours
Pourcentages
Pourcentage d’une partie par rapport à un tout
Soit A une partie d’un ensemble E. Si nE et nA sont respectivement les nombres d’éléments de E et de A, la
nA
proportion des éléments de A par rapport à E est le quotient p = .
nE
Exemple : Une classe de 30 élèves contient 18 filles. La proportion de filles dans la classe est p =
Comme p =
18
.
30
6
60
= 0,6 =
, la proportion de filles dans la classe est de 60%.
10
100
Pourcentage d’évolution
Définitions : Une grandeur évolue d’une valeur Q1 à une valeur Q2.
Q2 – Q1

Le rapport
s’appelle le taux d’évolution (ou la variation relative) de Q1 à Q2.
Q1
Q2 – Q1
t

Soit t le nombre tel que
=
.
Q1
100
On dit t% est le pourcentage d’évolution de Q1 à Q2. (On dit aussi le taux d’évolution de Q1 à Q2.)
Exemple : Soit Q1 = 120 et Q2 = 96. Le taux d’évolution entre Q1 et Q2 est :
Q2 – Q1 96 – 120
20
=
= -0,2 = .
Q1
120
100
Le pourcentage de diminution est de 20%.
Propriétés :
Augmenter une quantité Q de t%, c’est lui ajouter Q
t

100
Augmenter de t% une quantité, c’est multiplier cette quantité par le nombre 1 +
t
.
100
t
Diminuer une quantité Q de t%, c’est lui enlever Q

100
Diminuer de t% une quantité, c’est multiplier cette quantité par le nombre 1 –
t
.
100
Evolutions successives
Propriété : Soit une quantité qui subit une évolution relative de taux t1% puis une évolution relative de taux
t1  
t2 

t2%, alors cette quantité est multipliée par 1 +
  1 +
.
100 
100

Exemple : Si une quantité augmente de 10% puis diminue de 20%, alors cette quantité est multipliée par
10  
20 
12

1 +
 1  = 1,10,8 = 0,88 = 1 –
.
100  100
100

Une augmentation de 10% suivie d’une diminution de 20% correspond à une diminution de 12%.
Evolutions réciproques
Propriété : Q1 et Q2 sont deux valeurs d’une même grandeur.
On définit deux évolutions réciproques : celle de Q1 à Q2 et celle de Q2 à Q1.
On désigne par t% le taux d’évolution de Q1 à Q2 et par t’% celui de Q2 à Q1.
t  
t' 

On a alors : 1 +
1 +
 = 1.
On dit que t’% est le taux réciproque du taux t%.
100 
100

Indices
Définition : Soit Q1 et Q2 deux valeurs d’une même grandeur.
Définir l’ «indice base 100 de cette grandeur correspondant à la valeur Q1 » c’est associer à Q1 la valeur I1 =
100 et à Q2 la valeur I2 telles que I1 et I2 sont proportionnelles à Q1 et Q2.
Exemple : Le tableau ci-dessous donne l’évolution en milliards d’euros du revenu disponible brut des ménages en
France de 2000 à 2008.
Année
2000
2004
2008
Revenu
923,0
1089,4
1280,6
1
Première ES
Résumé de cours
Pour obtenir l’indice base 100 du revenu brut des ménages en 2000 pour l’année 2004, on effectue le calcul
1089,4
1280,6
100
 118,0.
Pour l’année 2008, l’indice est : 100
138,7.
923
923
Propriété : Les taux d’évolutions relatives pour la quantité Q et les taux d’évolutions relatives pour l’indice I
sont égaux.
Exemple : Le tableau ci-dessous donnant l’indice base 100 en 2000 du revenu disponible brut des ménages en
France, permet de lire le pourcentage d’augmentation de l’indice de 2000 à 2004.
Année
2000
2004
2008
Indice
100
118,0
138,7
C’est 18% et c’est aussi le pourcentage d’augmentation du revenu sur la même période.
De même le pourcentage d’augmentation de ce revenu entre 2000 et 2008 est 38,7%.
Second degré
Forme canonique d’un polynôme du second degré
Définition : La fonction qui à tout réel x associe ax² + bx + c, où a est un nombre non nul est une fonction
polynôme du second degré. Les réels a, b et c sont les coefficients de ce polynôme.
Définition : Le réel b² - 4ac, noté , est appelé discriminant du polynôme ax² + bx + c.
Propriété : Pour tout polynôme ax² + bx + c, il existe deux réels  et  tels que : ax² + bx + c = a(x - )² + .
a(x - )² +  est la forme canonique du polynôme ax² + bx + c.
b ² 
b


On montre que  = et  = - .
Le polynôme s’écrit alors : f(x) = ax +  - .
 2a 4a
2a
4a
Exemple :
Soit f(x) = -2x² + 8x + 10.
Les coefficients sont a = -2 , b = 8 et c = 10 ; donc  = 8² - 4(-2)10 = 64 + 80 = 144
b
8
144
D’où :  = == 2 et  = = 18.
La forme canonique de f est donc : f(x) = -2(x - 2)² + 18.
2a
-4
-8
Résolution de l’équation du second degré ax² + bx + c = 0
Propriété : Le signe du discriminant  permet de déterminer le nombre de solutions de l’équation ax² + bx + c =
0, où a est un réel différent de 0.

Si  > 0, l’équation du second degré a deux solutions distinctes : x1 =

Si  = 0, l’équation du second degré a une seule solution : x0 = -

Si  < 0, l’équation du second degré n’a pas de solution réelle.
-b - 
-b + 
et x2 =
.
2a
2a
b
.
2a
Exemples : Soit l’équation 2x² + 4x – 6 = 0. Le discriminant est  = 4² - 42(-6) = 16 + 48 = 64 = 8²
-4 – 8
-4 + 8
Comme  > 0, l’équation admet deux solutions distinctes : x1 =
= -3 et x2 =
= 1.
4
4
Soit l’équation 3x² + x + 1 = 0. Le discriminant est  = 1² - 431 = 1 – 12 = -11.
Comme  < 0, l’équation n’a pas de solution réelle.
Factorisation d’un polynôme du second degré
Propriété : Soit le polynôme du second degré f(x) = ax² + bx + c, avec a différent de 0.
 Si  > 0 : f(x) = a(x – x1)(x – x2), où x1 et x2 sont les racines de ce polynôme.
 Si  = 0 : f(x) = a(x – x0)², où x0 est la racine double de ce polynôme.
 Si  < 0 : f(x) ne peut pas se factoriser en facteurs du premier degré.
Signe d’un polynôme du second degré
Propriété : Soit le polynôme f(x) = ax² + bx + c, avec a différent de 0.
 Si  > 0 : f(x) s’annule pour x = x1 et pour x = x2 (on suppose x1 < x2), alors :
- le signe de f(x) est le signe contraire de celui de a si x est compris entre les racines.
- le signe de f(x) est du signe de celui de a si x n’est pas compris entre les racines.
2
Première ES
x
ax² + bx + c


Résumé de cours
x1
-
Signe de a
0
x2
signe de (-a)
0
+
signe de a
Si  = 0, f(x) s’annule pour x = x0 : son signe est celui de a pour x  x0
Si  < 0, f(x) a le même signe que a pour tout réel x.
Exemple : Etudions le signe du polynôme 2x² + 4x – 6.
Les deux solutions de l’équation 2x² + 4x – 6 = 0 sont x1 = -3 et x2 = 1.
x
-
2x² + 4x - 6
-3
+
1
0
-
0
+
+
Représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré
Soit f la fonction définie sur  par f(x) = ax² + bx + c, où a est un réel non nul.
Propriété : Dans le plan rapporté à un repère, la représentation graphique de la fonction f définie par :
f(x) = ax² + bx + c (avec a réel non nul)
b
est une parabole dont le sommet S a pour coordonnées (; ), où  = et  = f().
2a
Cette parabole admet pour axe de symétrie la droite d’équation x = .
Six exemples de paraboles selon les signes de  et de a.
>0
=0
<0
>0
=0
<0
Formes de f(x)
>0
développée : f(x) = ax² + bx + c
canonique : f(x) = a(x - )² + 
factorisée : f(x) = a(x – x1)(x – x2)
Formes de f(x)
=0
développée : f(x) = ax² + bx + c
canonique : f(x) = a(x - )² + 
factorisée : f(x) = a(x – x0)²
Formes de f(x)
<0
développée : f(x) = ax² + bx + c
canonique : f(x) = a(x - )² + 
pas de forme factorisée
Fonctions numériques
Sens de variation d’une fonction
Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I de .
 f est croissante sur l’intervalle I si, pour tous réels a et b de l’intervalle I tels que a < b, on a f(a)  f(b).
 f est décroissante sur l’intervalle I si, pour tous réels a et b de l’intervalle I tels que a < b, on a f(a)  f(b).
Remarque : f est monotone sur un intervalle I si elle est croissante ou décroissante sur I.
Fonctions de référence
Propriété : Fonction affine f : x  ax + b
 Si a > 0, alors f est croissante
sur .
 Si a < 0, alors f est décroissante  Si a = 0, alors f est constante
sur .
sur .
3
Première ES
Résumé de cours
Propriété : Fonction carré f : x  x²
La fonction carré est décroissante sur ] -   ;0] et croissante sur [0 ; +  [.
Sa représentation graphique est une parabole symétrique par rapport à l’axe des
ordonnées
1
x
La fonction inverse est décroissante sur ] -   ;0[ et décroissante sur ]0 ; +  [.
Sa représentation graphique est une hyperbole symétrique par rapport à l’origine du
repère.
Propriété : Fonction inverse f : x 
Propriété : Fonction polynôme du second degré f : x  ax² + bx + c (a  0)
b
 Si a > 0, f est décroissante, puis croissante : elle admet un minimum en – .
2a
b
 Si a < 0, f est croissante, puis décroissante : elle admet un maximum en – .
2a
b
Sa représentation graphique est une parabole qui est symétrique par rapport à la droite d’équation x = - .
2a
Définition : La fonction f définie par f : x 
ax + b
avec c  0 est appelée fonction homographique.
cx + d
Fonction racine carrée
Définition : La fonction f définie par f : x  x est appelée fonction racine carrée.
Elle est définie sur l’intervalle [0 ; +  [.
Propriété : La fonction racine carrée est strictement croissante sur l’intervalle [0 ; +  [.
Fonction cube
Définition : La fonction f définie par f : x  x3 est appelée fonction cube. Elle est définie sur .
Propriété : La fonction cube est strictement croissante sur .
La courbe représentative de la fonction cube est symétrique par rapport à l’origine du repère.
Dérivation
Soit f une fonction définie sur un intervalle I,
sa représentation graphique dans un repère et A, le point de
 d’abscisse a.
Taux de variation
Définition : Le taux de variation de la fonction f entre a et b, avec a  b, est le quotient
Avec b = a + h et h  0, ce quotient s’écrit aussi r(h) =
f(b) – f(a)
.
b-a
f(a + h) – f(a)
.
h
Nombre dérivé
Supposons que pour des valeurs de h de plus en plus proches de zéro, (avec h  0), r(h) devient de plus en plus
proche d’un nombre fixé l.
On dit que l’on cherche la limite de r(h) quand h tend vers 0.
On écrit lim r(h) et on lit « limite de r(h) quand h tend vers 0 ».
h0
Définition : On dit alors que la fonction f est dérivable en a et que l est le nombre dérivé de f en a.
f(a+h) - f(a)
Ce nombre dérivé est noté f’(a) avec : f’(a) = lim
h
h0
Exemple : On considère la fonction f : x
 x² et a = 1.
Alors f(a + h) = f(1 + h) = (1 + h)² = 1 + 2h + h² et f(a) = f(1) = 1² = 1
f(a + h) – f(a) 1 + 2h + h² - 1 2h + h²
Donc
=
=
= 2 + h ; et f’(1) = lim (2 + h) = 2
h
h
h
h0
4
Première ES
Tangente en un point à une courbe
Résumé de cours
Graphiquement, lorsque h tend vers 0, le point B de

 se rapproche de A.
Le coefficient directeur de (AB) tend vers f’(a) lorsque B se rapproche de A.
Définition : Si f est dérivable en a, on appelle tangente en A à la courbe
la
droite qui passe par A et qui a pour coefficient directeur le nombre dérivé f’(a).
Equation de la tangente à
 au point d’abscisse a : y = f’(a)(x – a) + f(a)
Fonction dérivée
Définition : Si f est une fonction dérivable en tout point a d’un intervalle I, on dit que f est dérivable sur I.
La fonction qui, à chaque réel x de I, associe le nombre dérivé f’(x) de f en x est appelée fonction dérivée de f
et se note f’.
Exemple : Soit f la fonction définie sur  par f(x) = x².
Déterminons la fonction dérivée f’ de f si elle existe.
(a + h)² - a² a² + 2ah + h² - a² 2ah + h²
On étudie le rapport r(h) =
=
=
= 2a + h.
h
h
h
La limite de r(h) lorsque h tend vers 0 est 2a. Donc la fonction f est dérivable sur  et f’(a) = 2a.
La fonction dérivée f’ de f est donc définie par f’(x) = 2x pour tout x de .
Dérivée des fonctions usuelles
Type de fonction
Fonction dérivée
Fonctions affines définies sur 
f(x) = mx + p
f est dérivable sur .
et f’(x) = m
Fonctions puissances définies sur 
f(x) = xn avec n entier naturel non nul
Fonction inverse définie sur ]-  ;0[  ]0 ;+ [.
1
f(x) =
x
f est dérivable sur .
et f’(x) = nxn-1
Fonction racine carrée définie sur [0 ;+ [.
f est dérivable sur ]0 ; + [
1
et f’(x) =
2 x
f(x) =
x
f est dérivable sur ]-  ;0[  ]0 ;+ [ et f’(x) = -
1
x²
Dérivées et opérations
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I et k un nombre réel.
Propriétés :
 La somme u + v est dérivable sur I et (u + v)’ = u’ + v’.
 Le produit uv est une fonction dérivable sur I et (uv)’ = u’v + uv’.
 Le produit ku, est dérivable sur I et (ku)’ = ku’.
 Le carré de u²est dérivable sur I et (u²)’ = 2u’u.
1
v’
1 ’
 L’inverse de v avec v(x)  0 sur I, est dérivable sur I et   = .
v
 
v
v²
u
u ’ u’v – uv’
 Le quotient , avec v(x)  0 sur I, est dérivable sur I et   =
.
v 
v
v²
Exemples :
La fonction f définie sur  par f(x) = x² + 3x est la somme de deux fonctions u et v définies par u(x) = x² et
v(x) = 3x. u et v sont deux fonctions dérivables sur  avec u’(x) = 2x et v’(x) = 3.
Donc f est dérivable sur  et f’(x) = u’(x) + v’(x) = 2x + 3.
La fonction f définie sur  par f(x) = 2x(3x + 1) est le produit de deux fonctions u et v définies sur  par u(x) =
2x et v(x) = 3x + 1. u et v sont deux fonctions dérivables sur  avec u’(x) = 2 et v’(x) = 3.
Donc f est dérivable sur  et f’(x) = u’(x)v(x) + u(x)v’(x) = 2(3x + 1) + 2x3.
Soit f’(x) = 6x + 2 + 6x = 12x + 2
Soit f la fonction définie sur  par f(x) = 7x². f(x) est de la forme ku(x) avec k = 7 et u(x) = x².
5
Première ES
Résumé de cours
Donc f’(x) = ku’(x) = 72x = 14x.
Soit f la fonction définie sur  par f(x) = (x² + 1)². f(x) est de la forme (u(x))² avec u(x) = x² + 1.
Or u’(x) = 2x ; Donc f’(x) = 2u’(x)u(x) = 22x(x² + 1) = 4x(x² + 1)
1
1
; f(x) est de la forme
avec v(x) = 3x² + 4.
3x² + 4
(v(x))²
v'(x)
6x
Or v’(x) = 32x = 6x ; Donc f’(x) = =(v(x))²
(3x² + 4)²
Soit f la fonction définie sur  par f(x) =
Soit f la fonction définie sur I = ]-  ;-1[  ]-1 ; + [ par f(x) =
f(x) =
2x – 1
.
x+1
u(x)
u’(x)v(x) – u(x)v’(x)
avec u(x) = 2x – 1 et v(x) = x + 1. f est dérivable sur I et f’(x) =
v(x)
(v(x))²
Or u’(x) = 2 et v’(x) = 1 ; Donc f’(x) =
2(x + 1) – (2x – 1)1 2x + 2 – 2x + 1
3
=
=
(x + 1)²
(x + 1)²
(x + 1)²
Applications de la dérivation
Signe de la dérivée
Propriété :
Si f est croissante sur I, alors f’  0 sur I.
Si f est décroissante sur I, alors f’  0 sur I.
Si f est constante sur I, alors f’ = 0 sur I.
Propriété :
Si f’  0 sur I, alors f est croissante sur I.
Si f’  0 sur I ; alors f est décroissante sur I.
Si f’ = 0, alors f est constante sur I.
Exemple : Soit f la fonction définie sur  par f(x) = x² - 6x + 2.
f est dérivable sur  comme une fonction polynôme et f’(x) = 2x – 6.
f'(x) ≥ 0

2x – 6 ≥ 0

x≥3
f est donc décroissante sur ]- ;3] et croissante sur [3 ;+ [.
Tableau de variations de f :
x
Signe de f’
-
3
-
0
+
+
Variations
de f
-7
Extremum d’une fonction
Définitions
f admet un maximum sur I, atteint en c, signifie
que :
pour tout x de I, f(x)  f(c).
M = f(c) est le maximum de f sur I.
f admet un minimum sur I, atteint en d, signifie
que :
pour tout x de I, f(x)  f(d).
m = f(d) est le minimum de f sur I.
L’étude des variations de f permet de déterminer
ses extrema éventuels, c’est-à-dire de ses
maximums ou de ses minimums.
Extremum local et dérivée
Propriété : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et a appartenant à I.
Si f’ s’annule en changeant de signe en a, alors f admet un extremum local en a.
Suites numériques
Définition : Une suite u de nombres réels est une fonction dont la variable est un entier naturel.
L’image par u d’un entier naturel n est notée un et se lit « u indice n ». un est le terme général de la suite.
Modes de générations de suites
Définition : Une suite peut être définie :
 à partir d’une fonction f de la variable n : un = f(n).
6
Première ES

Résumé de cours
à partir d’une relation de récurrence : (un) est alors définie par son premier terme et une relation
permettant de calculer un terme à partir d’un ou plusieurs termes précédents.
Exemples :
1) Soit (vn) la suite définie, pour tout entier naturel n, par vn = n² + 2n + 5.
vn = f(n) avec f(x) = x² + 2x + 5
v0 = f(0) = 0² + 20 + 5 = 5
v1 = f(1) = 1² + 21 + 5 = 8
v100 = 100² + 2100 + 5 = 10 205.
2) Soit (un) la suite définie par u0 = 1 et, pour tout entier naturel n, par la relation : un+1 = 3un + 1.
u1 = 3u0 + 1 = 31 + 1 = 4
u2 = 34 + 1 = 13
u3 = 313 + 1 = 40.
Exemple d’algorithme permettant de calculer des termes d’une suite
Soit (un) la suite définie par u0 = A et un+1 = 2un - 1 pour n  .
L’algorithme suivant permet d’obtenir le terme de rang N de la suite (u n).
Saisir A
Saisir N
U prend la valeur A
Pour I variant de 1 à N
U prend la valeur 2*U – 1
Fin Pour
Afficher U
La valeur de u0 est entrée dans la variable A.
La valeur de A est entrée dans la variable U.
On calcule les termes de rang 1, 2, 3, … N à l’aide d’une
boucle Pour et de la relation de récurrence.
A la sortie de la boucle, on affiche le terme de rang N.
Sens de variation d’une suite
Définitions :
 La suite u est croissante si, pour tout n, un+1  un.
 La suite u est décroissante si, pour tout n, un+1  un.
 La suite u est constante si, pour tout n, un+1 = un.
 Une suite est monotone si elle est soit croissante, soit décroissante, soit constante.
Exemples :
 La suite des entiers naturels pairs (0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; ….) est une suite croissante et donc monotone.
 La suite des décimales de  (1 ;4 ;1 ;5 ;9 ;2 ;….) n’est pas monotone.
Remarque : Lorsque la suite u est définie par une relation un = f(n), où f est une fonction monotone sur [0 ; +
[, la suite u est aussi monotone et a le même sens de variation que f.
Les suites arithmétiques
Définition : Une suite (un) est dite arithmétique lorsque chaque terme se déduit du précédent en ajoutant une
constante r, appelée raison. Pour tout entier naturel n, on a un+1 = un + r.
Exemples : La suite arithmétique de premier terme -3 et de raison 3 a pour termes : -3 ; 0 ; 3 ; 6 ; 9 ; …..
La suite des entiers naturels est la suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 1.
Propriété : Le terme général d’une suite arithmétique u de premier terme u 0 et de raison r est : un = u0 + nr
Exemple : Si (un) est la suite arithmétique de raison -2 et de premier terme u0 =
naturel n, un =
1
alors, pour tout entier
2
1
- 2n.
2
Propriétés : Soit (un) une suite. S’il existe deux réels a et b, tels que pour tout entier naturel n, u n = an + b,
alors la suite (un) est arithmétique de raison a et de premier terme b.
Les points An(n ;un) sont alignés si, et seulement si, la suite (un) est arithmétique.
Propriété : Pour une suite arithmétique (un), la variation absolue un+1 – un est constante.
Définition : La variation absolue d’une suite arithmétique étant constante, on dit que l’évolution est linéaire.
Sens de variation des suites arithmétiques
Propriété : Soit (un) une suite arithmétique de raison r.
Si r > 0, la suite (un) est croissante ; Si r < 0, la suite (un) est décroissante. Si r = 0, la suite (un) est constante.
7
Première ES
Résumé de cours
Exemples : La suite arithmétique (un) de premier terme -5 et de raison 4 est croissante car sa raison 4 est
strictement positive.
La suite arithmétique (vn) définie, pour tout entier naturel n, par vn = -3n + 5 est décroissante car (vn) est
arithmétique de raison -3 strictement négative.
Les suites géométriques
Définition : Une suite (un) est dite géométrique lorsque chaque terme se déduit du précédent en le multipliant
par une constante q, appelée la raison. Pour tout entier naturel n, un+1 = qun.
Exemples : La suite géométrique de premier terme u 0 = 1 et de raison 2 a pour premiers termes :
1 ;2 ;4 ;8 ;16….
1
3 3 3 3
La suite géométrique de premier terme u0 = 3 et de raison a pour premiers termes : 3 ; ; ; ; ….
2
2 4 8 16
Propriété : Le terme général d’une suite géométrique u de raison q et de premier terme u 0 est : un = u0qn.
Exemple : Si (un) est la suite géométrique de premier terme u0 = 2 et de raison q = 3, alors pour tout entier
naturel n, un = 23n.
Propriété : Soit (un) une suite. S’il existe deux réels a et b, a strictement positif, tels que pour tout entier
naturel n, un = ban alors la suite (un) est géométrique de raison a et de premier terme b.
Exemple : La suite (un) définie pour tout entier naturel n, par vn = 201,06n est géométrique de raison 1,06 et
de premier terme u0 = 20.
Propriété : Si (un) est une suite géométrique ne s’annulant pas, alors la variation relative
vn+1 – vn
est constante.
vn
Définition : La variation relative d’une suite géométrique étant constante, on dit que l’évolution est
exponentielle.
Exemples :
un = 2n
vn =
1
3n
Sens de variation des suites géométriques
Propriétés : Soit q un réel strictement positif.

Si q > 1, la suite géométrique de terme général qn est croissante.

Si q = 1, la suite géométrique de terme général qn est constante.

Si 0 < q < 1, la suite géométrique de terme général qn est décroissante.
Exemples :
Les suites géométriques de terme général 1,5n ; 2n ; 5n sont croissantes.
n
Les suites géométriques de terme général
1
3
7 ; 0,6n ; n sont décroissantes.
 
2
8
Première ES
Cours Loi binomiale et applications
Probabilités : variables aléatoires
Variable aléatoire
Définition : Soit E l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire.
On définit une variable aléatoire X sur E quand on associe un nombre réel à chaque issue de E. On dit que
l’ensemble de ces réels est l’ensemble des valeurs prises par X.
Exemple :
Soit l’expérience aléatoire consistant à lancer un dé équilibré.
L’ensemble des issues peut être modélisé par E = {1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6}.
On considère la règle de jeu suivante : on gagne 1 € si la face du dé
qui sort est 1, 2 ou 3, on gagne 3 € si c’est la face 4 et on perd 2 € si
c’est la face 5 ou 6.
Cette règle définit une variable aléatoire X sur E.
L’ensemble des valeurs prises par X est E’ = {-2 ;1 ;3}.
E
E
1
2
3
4
5
’
3
1
-2
6
Evénements liés à une variable aléatoire
Soit X une variable aléatoire définie sur l’univers E.
L’ensemble des valeurs prises par X est : E’ = {x1 ; x2 ; x3 ; …. ; xr}, où les valeurs sont rangées par ordre
croissant. Le nombre xi est associé à une ou plusieurs issues de E.
Définitions : L’événement « X = xi » est l’ensemble des issues de E auxquelles on associe le réel x i.
L’événement « X  xi » est l’ensemble des issues de E auxquelles on associe un réel supérieur ou égal à x i.
Exemple : Dans l’exemple du dé ci-dessus, l’événement « X = -2 » est formé des issues 5 et 6 : c’est
l’événement {5 ;6} contenu dans E.
L’événement « X > 0 » est formé des issues 1, 2, 3 et 4 : c’est donc l’événement {1 ;2 ;3 ;4}.
Loi de probabilité d’une variable aléatoire
Définition : La probabilité de l’événement « X = xi » est la probabilité de l’événement formé de toutes les
issues associées au nombre xi.
Exemple : Dans l’exemple du dé ci-dessus, le nombre 1 est associé aux issues 1, 2 et 3.
3 1
Par équiprobabilité dans E, P(X = 1) = P({1 ;2 ;3}) = = .
6 2
Définition : Soit X une variable aléatoire définie sur l’univers fini E et E’ l’ensemble des valeurs prises par X. La
loi de probabilité de la variable aléatoire X est la donnée de toutes les probabilités P(X = x i), où xi prend
toutes les valeurs de E’.
Exemple : Dans l’exemple du dé ci-dessus, on obtient le tableau suivant :
xi
-2
1
2 1
3 1
P(X = xi)
=
=
6 3
6 2
3
1
6
Propriété d’une variable aléatoire : espérance mathématique
Propriété : P(X = x1) + P(X = x2) + …. + P(X = xr) = 1 ou p1 + p2 + …. + pr = 1
Espérance mathématique d’une variable aléatoire
Définition : L’espérance mathématique d’une variable aléatoire X prenant les valeurs x 1 ; x2 ; …….xr avec les
probabilités associées p1, p2, ……, pr est le nombre réel, noté E(X), donné par : E(X) = x1p1 + x2p2 + ….. + xrpr.
Interprétation : L’espérance mathématique d’une variable aléatoire X s’interprète comme la valeur moyenne
des valeurs prises par X lorsque l’expérience aléatoire est répétée un grand nombre de fois.
Remarques : Dans un jeu de hasard, l’espérance mathématique est liée à l’espoir de gain du joueur.
Un jeu est équitable si l’espérance mathématique du gain du joueur est nulle.
La formule donnant E(X) est semblable à celle de la moyenne d’une série statistique obtenue à partir des
fréquences.
Modélisation d’expériences identiques et indépendantes
On peut modéliser une expérience aléatoire à deux ou trois issues (ou plus) à l’aide d’un arbre pondéré.
La probabilité de chaque issue est inscrite sur la branche conduisant à une issue.
9
Première ES
Cours Loi binomiale et applications
A
A
p
p
q
r
A
Expérience à deux issues A et A .
C
Expérience à trois issues A, B et C :
p+q=1
Expériences indépendantes
p+q+r=1
Définition : Deux expériences sont dites indépendantes si le résultat de l’une n’a aucune influence sur le
résultat de l’autre.
Exemple : Lancer deux fois de suite une pièce de monnaie constitue la répétition de deux épreuves identiques
(lancer une pièce) et indépendantes, car le résultat du second lancer ne dépend pas du résultat du premier
lancer.
Modélisation de la répétition de deux expériences identiques et indépendantes
Propriété : Dans un arbre pondéré représentant la répétition d’expériences identiques et indépendantes, la
probabilité d’une liste de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat.
Exemple : lancer deux fois de suite une pièce.
On note A l’issue « obtenir PILE » et A l’issue « obtenir FACE ».
On a ici P(A) =
A
1
2
1
1
et P( A ) = .
2
2
1
2
1 1 1
AA correspond à l’événement « obtenir deux fois PILE ». P(AA) =  =
2 2 4
A
A
1
2
A A correspond à l’événement « obtenir deux fois FACE ». P( A A ) =
1 1 1
 =
2 2 4
1
2
A
1
2
A
L’événement « obtenir une fois PILE et une fois FACE » est formé des
1 1 1
issues A A et A A. Sa probabilité est : P(A A ) + P( A A) = + = .
4 4 2
1
2
A
Loi binomiale et applications
Loi de Bernoulli
Soit une expérience aléatoire présentant deux issues : l’une S que l’on appelle « succès » et l’autre S appelée
« échec ». On note p la probabilité de succès et q celle d’échec, avec q = 1 – p.
Cette expérience aléatoire s’appelle une épreuve de Bernoulli de paramètre p.
Définition
La variable aléatoire qui prend la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas
d’échec est appelée variable aléatoire de Bernoulli.
La loi de probabilité de cette variable aléatoire est appelée loi de
Bernoulli de paramètre p.
xi
P(X = xi)
0
1-p
1
p
Propriété : Soit X suit une loi de Bernoulli de paramètre p, alors E(X) = p.
En effet, E(X) = 0(1p) + 1p = p.
Schéma de Bernoulli et loi binomiale
Définitions
L’expérience aléatoire consistant à répéter n fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli de
paramètre p s’appelle un schéma de Bernoulli de paramètres n et p.
10
Première ES
Cours Loi binomiale et applications
La loi de probabilité de la variable aléatoire X égale au nombre de succès au cours de ces n épreuves se nomme
la loi binomiale de paramètres n et p. On la note
(n,p).
Exemple : On lance un dé équilibré 100 fois de suite et on s’intéresse au nombre X de fois où l’on obtient la
face 1. La variable aléatoire X qui compte le nombre de succès (c’est-à-dire le nombre de fois que l’on obtient
100, 1 
1

.
la face 1) suit la loi binomiale de paramètres n = 100 et p = notée
6 

6

Coefficients binomiaux
Définition : Soit n un entier naturel non nul et k un entier compris entre 0 et n.
n
Le coefficient binomial   est le nombre de chemins réalisant k succès pour n répétitions dans l’arbre d’un
k
schéma de Bernoulli.
Exemple :
2
 1  = 2, car pour deux répétitions, il y a deux chemins avec un succès, ceux associés à S S et à S
 
S.
Vocabulaire : On appelle aussi
n
k le nombre de combinaisons de k éléments parmi n.
 
Calcul pratique des coefficients binomiaux
Les calculatrices et les tableurs permettent de calculer
Casio
Touche OPTN
puis choisir 
puis PROB
puis nCr
Syntaxe
n nCr k
les coefficients binomiaux :
Texas
Touche MATH,
puis choisir PRB,
puis Combinaison
Tableur
Fonction COMBIN()
n Combinaison k
=COMBIN(n ;k)
Formule générale de la loi binomiale
Propriété : Si la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n et p, alors pour tout entier k compris
n
entre 0 et n : P(X = k) =  pkqn-k, où q = 1 – p.
k
Calcul pratique de P(X = k) et P(X  k)
P(X = k)
P(X  k)
Casio
Touche OPTN
puis choisir STAT
puis DIST
puis BINM
puis Bpd ou Bcd
BinomialPD(k,n,p)
BinomialCD(k,n,p)
Texas
Menu DISTR,
puis choisir binomFdp
ou binomFrép
Tableur
Fonction LOI.BINOMIALE()
BinomFdp(n,p,k)
BinomFRép(n,p,k)
=LOI.BINOMIALE(k ;n ;p ;FAUX)
=LOI.BINOMIALE(k ;n ;p ;VRAI)
Exemple :
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n = 8 et p = 0,4.
Pour trouver P(X = 3), on utilise la calculatrice en remplaçant n par 8, k par 3 et p par 0,4.
On trouve environ 0,279
(Avec une calculatrice TI : BinomFdp(8,0.4,3))
Pour trouver P(X  3), avec une calculatrice TI : BinomFRép(8,0.4,3) :
On trouve environ 0,594.
Représentation graphique
Exemple de représentation pour n = 8 et trois valeurs différentes de p.
p = 0,2
p = 0,5
p = 0,8
11
Première ES
Espérance mathématique
Cours Loi binomiale et applications
Propriété : L’espérance mathématique de la loi binomiale de paramètres n et p est np.
Intervalle de fluctuation d’une fréquence
Propriété (vue en seconde) :Si p est la proportion d’un caractère dans une population (avec 0,2  p  0,8), alors

pour un échantillon de taille n (n  25), la fréquence f du caractère dans l’échantillon appartient à l’intervalle 

1
1 
p–
,p +
 avec une probabilité d’au moins 95%.
n
n
On peut améliorer ce résultat avec la loi binomiale.
Etude d’un exemple
Des études ont montré que la proportion des français qui font du sport au moins une fois par semaine est de
43%. On veut déterminer un intervalle de fluctuation de la fréquence f des personnes faisant du sport au
moins une fois par semaine dans les échantillons de taille 100.
On définit la variable aléatoire X égale au nombre de personnes faisant du sport au moins une fois par semaine.
On peut supposer que X suit une loi binomiale de paramètres 100 et 0,43.
X prenant des valeurs comprises entre 0 et 100, on va partager l’intervalle [0 ;100] en trois parties :
A = [0 ;a – 1] avec a entier
B = [a ;b] avec b entier
C = [b + 1 ; 100]
On détermine ensuite a et b de façon que P(X  A)  0,025 et P(X  C)  0,025.
On aura alors P(X  B) = P(a  X  b) = 1 – P(X  A) – P(X  C)  1 – 0,025 – 0,025  0,95.
Le plus petit entier a tel que P(X < a)  0,025 est 33.
P(X > b)  0,025

1 – P(X  b)  0,025

P(X  b)  1 - 0,025

P(X  b)  0,975
 Le plus petit entier b tel que P(X  b)  0,975 est 53.
L’intervalle [a ;b] cherché est donc [33 ;53].
La fréquence f appartient donc à l’intervalle [0,33 ;0,53] avec une
probabilité au moins égale à 0,95.


Intervalle de fluctuation
Propriété : L’intervalle de fluctuation au coefficient 95% de la fréquence correspondant à la réalisation, sur un
a b 
échantillon aléatoire de taille n, d’une variable aléatoire X suivant une loi binomiale, est  ; , où a est le plus
n n 
petit entier tel que P(X  a)  0,025 et b le plus petit entier tel que P(X  b)  0,975.
Prise de décision sur un échantillon
L’intervalle de fluctuation à 95% est un intervalle qui contient au moins 95% des fréquences observées sans les
échantillons de taille n. Ce qui signifie qu’il y a un risque de 5% pour cette fréquence de ne pas se trouver dans
l’intervalle.
Autres seuils possibles
On peut utiliser un autre coefficient que 95%. Le plus fréquemment utilisé après 95% est 99%.
Si on choisit un seuil de risque , c’est-à-dire un coefficient de confiance 1 - .
1-

2


Ainsi a et b sont les plus petits entiers tels que P(X  a)  et P(X  b)  1 - .
2
2

2
Exploitation d’un intervalle de fluctuation
La détermination d’un intervalle de fluctuation permet de prendre une décision lorsque l’on fait une hypothèse
sur une proportion p dans une population.
Si la fréquence observée dans l’échantillon n’appartient à l’intervalle de fluctuation à 95%, on rejettera
l’hypothèse faite sur p avec un risque de se tromper de 5%.
f appartient à I : on accepte l’hypothèse faite sur p
O
f1p
O
fp
O
pp
O
f2 p
12
Première ES
Cours Loi binomiale et applications
Propriété (vu en seconde) : On considère une population dans laquelle on suppose que la proportion d’un
caractère est p.
Après expérience, on observe f comme fréquence de ce caractère dans un échantillon de taille n.
Soit l’hypothèse : « La proportion de ce caractère dans la population est p ».
Si I est l’intervalle de fluctuation de la fréquence à 95% dans les échantillons de taille n, alors :

Si f  I : on rejette cette hypothèse au seuil de risque 5%.

Si f  I : on ne rejette pas cette hypothèse au seuil de risque 5%.
Statistiques
Ecart interquartile
On considère une série statistique dont on connaît :
 le 1er quartile Q1, plus petit nombre de la série tel qu’au moins 25% des données soient inférieures ou
égales à ce nombre ;
 le 3ème quartile Q3, plus petit nombre de la série tel qu’au moins 75% des données soient inférieures ou
égales à ce nombre.
Définitions :
L’intervalle interquartile est l’intervalle [Q1 ;Q3].
L’écart interquartile est la différence Q3 – Q1.
Propriété : L’intervalle interquartile contient environ 50% des valeurs de la série.
Diagramme en boîte
Variance et écart-type
La moyenne permet de résumer une série statistique à l’aide d’un seul nombre. Mais elle ne donne pas
d’information sur la dispersion des valeurs.
D’autres paramètres statistiques permettent de mesurer cette dispersion.
Définition de la variance et de l’écart-type
On considère la série statistique ci-dessous :
Valeurs
x1
x2
Effectifs
n1
n2
La moyenne de cette série est le réel : x =
…
….
n1x1 + n2x2 + …. + npxp
1
=
N
N
xp
np
Total
N
i=p
 ni xi.
i=1
Définitions :

La variance d’une série statistique est le réel noté V, défini par :
V=

1 
1i=p

n1(x1 – x )² + n2(x2 – x )² + … + np(xp – x )²  ou V =
 ni(xi - x )²
N
Ni=1

L’écart-type d’une série statistique est le réel noté  défini par  =
V.
Exemple :
On considère la série suivante :
Valeurs
1
2
6
Effectifs
2
1
4
21 + 12 + 46 + 38 52
La moyenne est : x =
=
= 5,2.
2+1+4+3
10
1
La variance est : V = (2(1 – 5,2)² + 1(2 – 5,2)² + 4(6 – 5,2)² + 3(8 – 5,2)²)
16
71,6
V=
= 7,16
L’écart-type est :  = 7,16  2,68.
10
8
3
13
Première ES
Cours Loi binomiale et applications
Utilisation du couple moyenne – écart-type
La moyenne et l’écart-type prennent en compte toutes les valeurs de la série et sont donc influencés par les
valeurs extrêmes.
L’écart-type mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne : plus il est grand, plus les valeurs sont
dispersées et moins la moyenne représente la série de façon significative.
14