Pourcentages Pourcentage d’une partie par rapport à un tout

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Pourcentages
Pourcentage d’une partie par rapport à un tout
Soit A une partie d’un ensemble E. Si nE et nA sont respectivement les nombres d’éléments de E et de A, la
proportion des éléments de A par rapport à E est le quotient p = nA
nE
.
Exemple : Une classe de 30 élèves contient 18 filles. La proportion de filles dans la classe est p = 18
30.
Comme p = 6
10 = 0,6 = 60 100, la proportion de filles dans la classe est de 60%.
Pourcentage d’évolution
Définitions : Une grandeur évolue d’une valeur Q1 à une valeur Q2.
 Le rapport Q2 – Q1
Q1
s’appelle le taux d’évolution (ou la variation relative) de Q1 à Q2.
 Soit t le nombre tel que Q2 – Q1
Q1
= t
100.
On dit t% est le pourcentage d’évolution de Q1 à Q2. (On dit aussi le taux d’évolution de Q1 à Q2.)
Exemple : Soit Q1 = 120 et Q2 = 96. Le taux d’évolution entre Q1 et Q2 est : Q2 – Q1
Q1
= 96 – 120
120 = -0,2 = - 20 100.
Le pourcentage de diminution est de 20%.
Propriétés : Augmenter une quantité Q de t%, c’est lui ajouter Qt
100
Augmenter de t% une quantité, c’est multiplier cette quantité par le nombre 1 + t
100.
Diminuer une quantité Q de t%, c’est lui enlever Qt
100
Diminuer de t% une quantité, c’est multiplier cette quantité par le nombre 1 – t
100.
Evolutions successives
Propriété : Soit une quantité qui subit une évolution relative de taux t1% puis une évolution relative de taux
t2%, alors cette quantité est multipliée par 
1 + t1
100
1 + t2
100
.
Exemple : Si une quantité augmente de 10% puis diminue de 20%, alors cette quantité est multipliée par
1 + 10
100
1 - 20
100
 = 1,10,8 = 0,88 = 1 – 12
100.
Une augmentation de 10% suivie d’une diminution de 20% correspond à une diminution de 12%.
Evolutions réciproques
Propriété : Q1 et Q2 sont deux valeurs d’une même grandeur.
On définit deux évolutions réciproques : celle de Q1 à Q2 et celle de Q2 à Q1.
On désigne par t% le taux d’évolution de Q1 à Q2 et par t’% celui de Q2 à Q1.
On a alors : 
1 + t
100
1 + t'
100
 = 1. On dit que t’% est le taux réciproque du taux t%.
Indices
Définition : Soit Q1 et Q2 deux valeurs d’une même grandeur.
Définir l’ «indice base 100 de cette grandeur correspondant à la valeur Q1 » c’est associer à Q1 la valeur I1 =
100 et à Q2 la valeur I2 telles que I1 et I2 sont proportionnelles à Q1 et Q2.
Exemple : Le tableau ci-dessous donne l’évolution en milliards d’euros du revenu disponible brut des ménages en
France de 2000 à 2008.
Année
2000
2004
2008
Revenu
923,0
1089,4
1280,6

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Pour obtenir l’indice base 100 du revenu brut des ménages en 2000 pour l’année 2004, on effectue le calcul
1001089,4
923  118,0. Pour l’année 2008, l’indice est : 1001280,6
923 138,7.
Propriété : Les taux d’évolutions relatives pour la quantité Q et les taux d’évolutions relatives pour l’indice I
sont égaux.
Exemple : Le tableau ci-dessous donnant l’indice base 100 en 2000 du revenu disponible brut des ménages en
France, permet de lire le pourcentage d’augmentation de l’indice de 2000 à 2004.
Année
2000
2004
2008
Indice
100
118,0
138,7
C’est 18% et c’est aussi le pourcentage d’augmentation du revenu sur la même période.
De même le pourcentage d’augmentation de ce revenu entre 2000 et 2008 est 38,7%.
Second degré
Forme canonique d’un polynôme du second degré
Définition : La fonction qui à tout réel x associe ax² + bx + c, où a est un nombre non nul est une fonction
polynôme du second degré. Les réels a, b et c sont les coefficients de ce polynôme.
Définition : Le réel b² - 4ac, noté , est appelé discriminant du polynôme ax² + bx + c.
Propriété : Pour tout polynôme ax² + bx + c, il existe deux réels  et  tels que : ax² + bx + c = a(x - )² + .
a(x - )² +  est la forme canonique du polynôme ax² + bx + c.
On montre que  = - b
2a et  = -  4a. Le polynôme s’écrit alors : f(x) = a
x + b
2a
² - 
4a.
Exemple : Soit f(x) = -2x² + 8x + 10.
Les coefficients sont a = -2 , b = 8 et c = 10 ; donc  = 8² - 4(-2)10 = 64 + 80 = 144
D’où :  = - b
2a = - 8 -4 = 2 et  = - 144 -8 = 18. La forme canonique de f est donc : f(x) = -2(x - 2)² + 18.
Résolution de l’équation du second degré ax² + bx + c = 0
Propriété : Le signe du discriminant  permet de déterminer le nombre de solutions de l’équation ax² + bx + c =
0, où a est un réel différent de 0.
 Si  > 0, l’équation du second degré a deux solutions distinctes : x1 = -b - 
2a et x2 = -b +  2a .
 Si  = 0, l’équation du second degré a une seule solution : x0 = - b
2a.
 Si  < 0, l’équation du second degré n’a pas de solution réelle.
Exemples : Soit l’équation 2x² + 4x – 6 = 0. Le discriminant est  = 4² - 42(-6) = 16 + 48 = 64 = 8²
Comme  > 0, l’équation admet deux solutions distinctes : x1 = -4 – 8
4 = -3 et x2 = -4 + 8 4 = 1.
Soit l’équation 3x² + x + 1 = 0. Le discriminant est  = 1² - 431 = 1 – 12 = -11.
Comme  < 0, l’équation n’a pas de solution réelle.
Factorisation d’un polynôme du second degré
Propriété : Soit le polynôme du second degré f(x) = ax² + bx + c, avec a différent de 0.
 Si  > 0 : f(x) = a(x – x1)(x – x2), où x1 et x2 sont les racines de ce polynôme.
 Si  = 0 : f(x) = a(x – x0)², où x0 est la racine double de ce polynôme.
 Si  < 0 : f(x) ne peut pas se factoriser en facteurs du premier degré.
Signe d’un polynôme du second degré
Propriété : Soit le polynôme f(x) = ax² + bx + c, avec a différent de 0.
 Si  > 0 : f(x) s’annule pour x = x1 et pour x = x2 (on suppose x1 < x2), alors :
- le signe de f(x) est le signe contraire de celui de a si x est compris entre les racines.
- le signe de f(x) est du signe de celui de a si x n’est pas compris entre les racines.

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x
-  x1 x2 + 
ax² + bx + c
Signe de a 0 signe de (-a) 0 signe de a
 Si  = 0, f(x) s’annule pour x = x0 : son signe est celui de a pour x  x0
 Si  < 0, f(x) a le même signe que a pour tout réel x.
Exemple : Etudions le signe du polynôme 2x² + 4x – 6.
Les deux solutions de l’équation 2x² + 4x – 6 = 0 sont x1 = -3 et x2 = 1.
x
-  -3 1 + 
2x² + 4x - 6
+ 0 - 0 +
Représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré
Soit f la fonction définie sur  par f(x) = ax² + bx + c, où a est un réel non nul.
Propriété : Dans le plan rapporté à un repère, la représentation graphique de la fonction f définie par :
f(x) = ax² + bx + c (avec a réel non nul)
est une parabole dont le sommet S a pour coordonnées (; ), où  = - b
2a et  = f().
Cette parabole admet pour axe de symétrie la droite d’équation x = .
Six exemples de paraboles selon les signes de  et de a.
 > 0  = 0  < 0
 > 0  = 0  < 0
Formes de f(x) Formes de f(x) Formes de f(x)
 > 0  = 0  < 0
développée : f(x) = ax² + bx + c développée : f(x) = ax² + bx + c développée : f(x) = ax² + bx + c
canonique : f(x) = a(x - )² +  canonique : f(x) = a(x - )² +  canonique : f(x) = a(x - )² + 
factorisée : f(x) = a(x – x1)(x – x2) factorisée : f(x) = a(x – x0)² pas de forme factorisée
Fonctions numériques
Sens de variation d’une fonction
Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I de .
 f est croissante sur l’intervalle I si, pour tous réels a et b de l’intervalle I tels que a < b, on a f(a)  f(b).
 f est décroissante sur l’intervalle I si, pour tous réels a et b de l’intervalle I tels que a < b, on a f(a)  f(b).
Remarque : f est monotone sur un intervalle I si elle est croissante ou décroissante sur I.
Fonctions de référence
Propriété : Fonction affine f : x  ax + b
 Si a > 0, alors f est croissante
sur .
 Si a < 0, alors f est décroissante
sur .
 Si a = 0, alors f est constante
sur .

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Propriété : Fonction carré f : x  x²
La fonction carré est décroissante sur ] -  ;0] et croissante sur [0 ; + [.
Sa représentation graphique est une parabole symétrique par rapport à l’axe des
ordonnées
Propriété : Fonction inverse f : x  1
x
La fonction inverse est décroissante sur ] -  ;0[ et décroissante sur ]0 ; + [.
Sa représentation graphique est une hyperbole symétrique par rapport à l’origine du
repère.
Propriété : Fonction polynôme du second degré f : x  ax² + bx + c (a  0)
 Si a > 0, f est décroissante, puis croissante : elle admet un minimum en – b
2a.
 Si a < 0, f est croissante, puis décroissante : elle admet un maximum en – b
2a.
Sa représentation graphique est une parabole qui est symétrique par rapport à la droite d’équation x = -b
2a.
Définition : La fonction f définie par f : x  ax + b
cx + d avec c  0 est appelée fonction homographique.
Fonction racine carrée
Définition : La fonction f définie par f : x  x est appelée fonction racine carrée.
Elle est définie sur l’intervalle [0 ; + [.
Propriété : La fonction racine carrée est strictement croissante sur l’intervalle [0 ; + [.
Fonction cube
Définition : La fonction f définie par f : x  x3 est appelée fonction cube. Elle est définie sur .
Propriété : La fonction cube est strictement croissante sur .
La courbe représentative de la fonction cube est symétrique par rapport à l’origine du repère.
Dérivation
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, sa représentation graphique dans un repère et A, le point de
 d’abscisse a.
Taux de variation
Définition : Le taux de variation de la fonction f entre a et b, avec a  b, est le quotient f(b) – f(a)
b - a .
Avec b = a + h et h  0, ce quotient s’écrit aussi r(h) = f(a + h) – f(a)
h.
Nombre dérivé
Supposons que pour des valeurs de h de plus en plus proches de zéro, (avec h  0), r(h) devient de plus en plus
proche d’un nombre fixé l.
On dit que l’on cherche la limite de r(h) quand h tend vers 0.
On écrit lim
h0 r(h) et on lit « limite de r(h) quand h tend vers 0 ».
Définition : On dit alors que la fonction f est dérivable en a et que l est le nombre dérivé de f en a.
Ce nombre dérivé est noté f’(a) avec : f’(a) = lim
h0 f(a+h) - f(a)
h
Exemple : On considère la fonction f : x  x² et a = 1.
Alors f(a + h) = f(1 + h) = (1 + h)² = 1 + 2h + h² et f(a) = f(1) = 1² = 1
Donc f(a + h) – f(a)
h = 1 + 2h + h² - 1 h = 2h + h² h = 2 + h ; et f’(1) = lim
h0 (2 + h) = 2

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Tangente en un point à une courbe
Graphiquement, lorsque h tend vers 0, le point B de  se rapproche de A.
Le coefficient directeur de (AB) tend vers f’(a) lorsque B se rapproche de A.
Définition : Si f est dérivable en a, on appelle tangente en A à la courbe la
droite qui passe par A et qui a pour coefficient directeur le nombre dérivé f’(a).
Equation de la tangente à  au point d’abscisse a : y = f’(a)(x – a) + f(a)
Fonction dérivée
Définition : Si f est une fonction dérivable en tout point a d’un intervalle I, on dit que f est dérivable sur I.
La fonction qui, à chaque réel x de I, associe le nombre dérivé f’(x) de f en x est appelée fonction dérivée de f
et se note f’.
Exemple : Soit f la fonction définie sur  par f(x) = x².
Déterminons la fonction dérivée f’ de f si elle existe.
On étudie le rapport r(h) = (a + h)² - a²
h = a² + 2ah + h² - a² h = 2ah + h² h = 2a + h.
La limite de r(h) lorsque h tend vers 0 est 2a. Donc la fonction f est dérivable sur  et f’(a) = 2a.
La fonction dérivée f’ de f est donc définie par f’(x) = 2x pour tout x de .
Dérivée des fonctions usuelles
Type de fonction
Fonction dérivée
Fonctions affines définies sur 
f(x) = mx + p
f est dérivable sur .
et f’(x) = m
Fonctions puissances définies sur 
f(x) = xn avec n entier naturel non nul
f est dérivable sur .
et f’(x) = nxn-1
Fonction inverse définie sur ]-  ;0[  ]0 ;+ [.
f(x) = 1
x
f est dérivable sur ]-  ;0[  ]0 ;+ [ et f’(x) = - 1
x²
Fonction racine carrée définie sur [0 ;+ [.
f(x) = x
f est dérivable sur ]0 ; + [
et f’(x) = 1
2 x
Dérivées et opérations
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I et k un nombre réel.
Propriétés :
 La somme u + v est dérivable sur I et (u + v)’ = u’ + v’.
 Le produit uv est une fonction dérivable sur I et (uv)’ = u’v + uv’.
 Le produit ku, est dérivable sur I et (ku)’ = ku’.
 Le carré de u²est dérivable sur I et (u²)’ = 2u’u.
 L’inverse 1
v de v avec v(x)  0 sur I, est dérivable sur I et 
1
v ’= - v’
v².
 Le quotient u
v, avec v(x)  0 sur I, est dérivable sur I et 
u
v ’= u’v – uv’
v² .
Exemples :
La fonction f définie sur  par f(x) = x² + 3x est la somme de deux fonctions u et v définies par u(x) = x² et
v(x) = 3x. u et v sont deux fonctions dérivables sur  avec u’(x) = 2x et v’(x) = 3.
Donc f est dérivable sur  et f’(x) = u’(x) + v’(x) = 2x + 3.
La fonction f définie sur  par f(x) = 2x(3x + 1) est le produit de deux fonctions u et v définies sur  par u(x) =
2x et v(x) = 3x + 1. u et v sont deux fonctions dérivables sur  avec u’(x) = 2 et v’(x) = 3.
Donc f est dérivable sur  et f’(x) = u’(x)v(x) + u(x)v’(x) = 2(3x + 1) + 2x3.
Soit f’(x) = 6x + 2 + 6x = 12x + 2
Soit f la fonction définie sur  par f(x) = 7x². f(x) est de la forme ku(x) avec k = 7 et u(x) = x².