Cours condense TES Rappels sur la derivation

Terminale ES Rappels sur la dérivation
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f désigne une fonction définie sur un intervalle I.
I Nombre dérivé, fonction dérivée
Définitions
• a et a + h désignent deux nombres réels de I avec h ≠ 0.
Dire que f est dérivable en a signifie que la fonction : h  f(a + h) – f(a)
h admet un nombre réel
limite en 0.
Ce nombre réel est appelé nombre dérivé de f en a et on le note f’(a).
• Dire que f est dérivable sur I signifie que f est dérivable en tout nombre réel x de I.
La fonction dérivée de f, notée f’, est la fonction qui, à tout x de I, associe le nombre f’(x).
II Tangente à la courbe d’une fonction
Définition - Propriété
f est une fonction dérivable en a de I.
Dans un repère, la tangente à la courbe représentative C de la fonction
f au point A d’abscisse a est la droite T qui passe par A et de
coefficient directeur f’(a).
Une équation de T est y = f’(a)(x – a) + f(a).
III Sens de variation et extremum local
Propriétés
f est une fonction dérivable sur I.
• Si pour tout nombre réel x de I, f’(x) > 0 sauf peut être en un nombre fini de points ou f’
s’annule alors f est strictement croissante sur I.
• Si pour tout nombre réel x de I, f’(x) = 0 alors f est constante sur I.
• Si pour tout nombre réel x de I, f’(x) < 0 sauf peut être en un nombre fini de points ou f’
s’annule alors f est strictement décroissante sur I.
Propriété
f est une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et x
0
est un nombre réel de I.
Si f(x
0
) est un extremum local de I, alors f’(x
0
) = 0.
Propriété
f est une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et x
0
est un nombre réel de I.
Si f’ s’annule en x
0
en changeant de signe, alors f(x
0
) est un extremum local de I.
f(x
0
) est un minimum local. f(x
0
) est un maximum local.
T
x
f'
f
-
x
0
+
f(x
0
)
0
x
f'
f(x)
+
x
0
-
f(x
0
)
0

Terminale ES Rappels sur la dérivation
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Règles de dérivation
I Dérivées des fonctions usuelles
f(x)
f’(x)
f est dérivable s
ur
l’intervalle
ax + b
a
]
-
∞
; +
∞
[
x²
2x
]
-
∞
; +
∞
[
x
n
(n
∈
, n
≥ 1)
nx
n
-
1
]
-
∞
; +
∞
[
1
x -
1
x²
]
-
∞
;0[ ou
x
1
2 x
]0; +
∞
[
e
x
e
x
]
-
∞
; +
∞
[
II Opérations et dérivées
Propriétés
u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
• La fonction u + v est dérivable sur I et (u + v)’ = u’ + v’
• La fonction ku (avec k réel) est dérivable sur I et (ku)’ = ku’
• La fonction uv est dérivable sur I et (uv)’ = u’v + uv’
• La fonction u² est dérivable sur I et (u²)’ = 2u’u
• La fonction 1
v est dérivable sur I et
1
v
’ = - v'
v²
• La fonction u
v est dérivable sur I et
u
v
’ = u’v – uv’
v²
• La fonction e
u
est dérivable sur I et (e
u
)’ = u’×e
u
Conséquences :
• Toute fonction polynôme est dérivable sur .
• Toute fonction rationnelle est dérivable sur chaque intervalle contenu dans son ensemble de
définition.
Exemples
• f est la fonction polynôme définie sur  par f(x) = 6x² - 2x + 3.
f est dérivable sur  et pour tout nombre réel x, f’(x) = 6×2x - 2×1 = 12x – 2.
• g est la fonction rationnelle définie sur  par g(x) = x – 2
x² + 1
g est dérivable sur  et g(x) =u(x)
v(x). On a alors u’(x) = 1 et v’(x) = 2x.
g’(x) = u’(x)v(x) – u(x)v’(x)
(v(x))² = 1×(x² + 1) – (x – 2)×2x (x² + 1)² = x² + 1 – 2x² + 4x (x² + 1)² = -x² + 4x + 1 (x² + 1)²