Cours condense TES Rappels sur la derivation

Terminale ES
Rappels sur la dérivation
f désigne une fonction définie sur un intervalle I.
I Nombre dérivé, fonction dérivée
Définitions
a et a + h désignent deux nombres réels de I avec h ≠ 0.
•
f(a + h) – f(a)
admet un nombre réel
h
Dire que f est dérivable en a signifie que la fonction : h
limite en 0.
Ce nombre réel est appelé nombre dérivé de f en a et on le note f’(a).
• Dire que f est dérivable sur I signifie que f est dérivable en tout nombre réel x de I.
La fonction dérivée de f, notée f’, est la fonction qui, à tout x de I, associe le nombre f’(x).
II Tangente à la courbe d’une fonction
Définition - Propriété
f est une fonction dérivable en a de I.
Dans un repère, la tangente à la courbe représentative C de la fonction
f au point A d’abscisse a est la droite T qui passe par A et de
coefficient directeur f’(a).
Une équation de T est y = f’(a)(x – a) + f(a).
T
III Sens de variation et extremum local
Propriétés
f est une fonction dérivable sur I.
• Si pour tout nombre réel x de I, f’(x) > 0 sauf peut être en un nombre fini de points ou f’
s’annule alors f est strictement croissante sur I.
• Si pour tout nombre réel x de I, f’(x) = 0 alors f est constante sur I.
• Si pour tout nombre réel x de I, f’(x) < 0 sauf peut être en un nombre fini de points ou f’
s’annule alors f est strictement décroissante sur I.
Propriété
f est une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et x0 est un nombre réel de I.
Si f(x0) est un extremum local de I, alors f’(x0) = 0.
Propriété
f est une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et x0 est un nombre réel de I.
Si f’ s’annule en x0 en changeant de signe, alors f(x0) est un extremum local de I.
x
f'
-
x0
0
f
f(x0)
f(x0) est un minimum local.
+
x
f'
+
x0
0
f(x0)
-
f(x)
f(x0) est un maximum local.
1
Terminale ES
Rappels sur la dérivation
Règles de dérivation
I Dérivées des fonctions usuelles
f(x)
f’(x)
f est dérivable sur
l’intervalle
ax + b
a
] - ∞; + ∞ [
x²
2x
] - ∞; + ∞ [
nxn-1
] - ∞; + ∞ [
1
x²
] - ∞;0[ ou
xn (n ∈
, n ≥ 1)
1
x
x
-
1
]0; + ∞[
2 x
ex
ex
] - ∞; + ∞ [
II Opérations et dérivées
Propriétés
u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
• La fonction u + v est dérivable sur I et
(u + v)’ = u’ + v’
• La fonction ku (avec k réel) est dérivable sur I et (ku)’ = ku’
• La fonction uv est dérivable sur I et (uv)’ = u’v + uv’
• La fonction u² est dérivable sur I et (u²)’ = 2u’u
1’
v'
1
• La fonction est dérivable sur I et   = v
v
v²
u’ u’v – uv’
u
est dérivable sur I et   =
v 
v
v²
•
La fonction
•
La fonction eu est dérivable sur I et (eu)’ = u’×eu
Conséquences :
•
•
Toute fonction polynôme est dérivable sur .
Toute fonction rationnelle est dérivable sur chaque intervalle contenu dans son ensemble de
définition.
Exemples
• f est la fonction polynôme définie sur par f(x) = 6x² - 2x + 3.
f est dérivable sur et pour tout nombre réel x, f’(x) = 6×2x - 2×1 = 12x – 2.
x–2
•
g est la fonction rationnelle définie sur par g(x) =
x² + 1
u(x)
g est dérivable sur et g(x) =
. On a alors u’(x) = 1 et v’(x) = 2x.
v(x)
u’(x)v(x) – u(x)v’(x) 1×(x² + 1) – (x – 2)×2x x² + 1 – 2x² + 4x -x² + 4x + 1
g’(x) =
=
=
=
(v(x))²
(x² + 1)²
(x² + 1)²
(x² + 1)²
2