3 E DS2 théorème de Thalès 2012-2013 sujet 1

3
ème
E DS2 théorème de Thalès 2012-2013 sujet 1
1
60°
60°
E
T
OR
I
A
B
D
K
C
Consignes : justifier les réponses en citant correctement les théorèmes utilisés.
Exercice 1 (6 points)
Les points T, O, I sont alignés et les points R, O, E aussi.
On donne ET = 2,4 cm ; OT = 6,4 cm ; OR = 7 cm et RI = 3 cm.
Calculer, en justifiant, les longueurs OE, OI et ER.
Exercice 2 (5 points)
1) Le triangle ABM est rectangle en A. On donne AB = 3 cm
et BM = 5 cm.
Démontrer que AM = 4 cm.
2) On donne BC = 4,5 cm et BN = 7,55 cm.
Les droites (AM) et (NC) sont-elles parallèles ?
Exercice 3 (9 points)
La figure commencée ci-dessous est à construire sur la copie et à
compléter au fur et à mesure des questions.
On donne AC = 4,2 cm ; AB = 5,6 cm et BC = 7 cm.
K est le point du segment [BC] tel que CK = 3 cm. La parallèle à la droite
(AK) passant par B coupe la droite (AC) en D.
1) Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
2) Calculer CD.
3) Calculer AD ; en déduire que le triangle ADB est un triangle rectangle
isocèle.
4) Déterminer la mesure de l'angle a DBA.
5) Démontrer que la mesure de l'angle a KAB est 45°.
Que peux-t-on en déduire pour la droite (AK) ?
6) La perpendiculaire à (AB) passant par K coupe (AB) en E et la perpendiculaire à (AC) passant
par K coupe (AC) en F.
Démontrer que le quadrilatère AEKF est un rectangle.
7) Calculer KE et KF.
Quelle précision peux-t-on alors apporter quant à la nature du quadrilatère AEKF ?
26

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ème
E DS2 théorème de Thalès 2012-2013 sujet 2
2
C
AB
MN
Consignes : justifier les réponses en citant correctement les théorèmes utilisés.
Exercice 1 (6 points)
Les points T, L, E sont alignés et les points O, L, I aussi.
On donne IE = 1,2 cm ; IL = 3,2 cm ; TL = 3,5 cm et TO = 1,5 cm.
Calculer, en justifiant, les longueurs LE, OL et IO.
Exercice 2 (9 points)
La figure commencée ci-dessous est à construire sur la copie
et à compléter au fur et à mesure des questions.
On donne AC = 8,75 cm ; AB = 5,25 cm et BC = 7 cm.
L est le point du segment [AC] tel que AL = 3,75 cm. La
parallèle à la droite (BL) passant par C coupe la droite (AB)
en D.
1) Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
2) Calculer AD.
3) Calculer BD ; en déduire que le triangle BCD est un triangle rectangle isocèle.
4) Déterminer la mesure de l'angle a BCD.
5) Démontrer que la mesure de l'angle a LBC est 45°.
Que peux-t-on en déduire pour la droite (BL) ?
6) La perpendiculaire à (AB) passant par L coupe (AB) en E et la perpendiculaire à (BC) passant par
L coupe (BC) en F.
Démontrer que le quadrilatère BELF est un rectangle.
7) Calculer LE et LF.
Quelle précision peux-t-on alors apporter quant à la nature du quadrilatère BELF ? 26
Exercice 3 (5 points)
1) Le triangle ABC est rectangle en A. On donne AB = 6 cm et
BC = 10 cm.
Démontrer que AC = 8 cm.
2) On donne CM = 2,56 cm et CN = 3,2 cm.
Les droites (AB) et (MN) sont-elles parallèles ?

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ème
E DS2 théorème de Thalès 2012-2013 sujet 1
CORRECTION
3
60°
60°
E
T
OR
I
Exercice 1 (6 points)
Les points T, O, I sont alignés et les points R, O, E aussi.
On donne ET = 2,4 cm ; OT = 6,4 cm ; OR = 7 cm et
RI = 3 cm.
Calculer, en justifiant, les longueurs OE, OI et ER.
Les angles a ETO et a OIR sont des angles alternes internes de même mesure relatifs aux
droites (TE) et (RI) et à la sécante (TI).
Les droites (TE) et (RI) sont donc parallèles.
On peut donc appliquer le théorème de Thalès dans les triangles OTE et ORI :
OT
OI = OE OR = TE RI.
Soit : 6,4
OI = OE 7 = 2,4 3
On en déduit d’une part : OI×2,4 = 6,4×3 ; soit OI = 6,4×3
2,4 = 8 cm ;
et d’autre part : OE×3 = 7×2,4 ; soit OE = 7×2,4
3 = 5,6 cm.
ER = OE + OR = 5,6 + 7 = 12,6 cm
Exercice 2 (5 points)
1) Le triangle ABM est rectangle en A. On donne AB = 3 cm et
BM = 5 cm.
Démontrer que AM = 4 cm.
2) On donne BC = 4,5 cm et BN = 7,55 cm.
Les droites (AM) et (NC) sont-elles parallèles ?
1) Le triangle ABM étant rectangle en A, on peut utiliser le
théorème de Pythagore pour calculer la longueur AM :
BM² = AM² + AB²
Soit 5² = AM² + 3²

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E DS2 théorème de Thalès 2012-2013 sujet 1
CORRECTION
4
A
B
D
K
C
AM² = 25 – 9 = 16
AM = 4 cm
2) BC
AB = 4,5 3 = 1,5 cm et BN BM = 7,55 5 = 1,51 cm
Les points A, B, C sont alignés dans cet ordre ainsi que les points M, B N, BC
AB ≠ BN BM, donc selon
la contraposée du théorème de Thalès les droites (AM) et (NC) ne sont pas parallèles.
Exercice 3 (9 points)
La figure commencée ci-dessous est à construire sur la copie et à compléter au fur et à mesure des
questions.
On donne AC = 4,2 cm ; AB = 5,6 cm et BC = 7 cm.
K est le point du segment [BC] tel que CK = 3 cm. La parallèle à la droite
(AK) passant par B coupe la droite (AC) en D.
1) Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
2) Calculer CD.
3) Calculer AD ; en déduire que le triangle ADB est un triangle rectangle
isocèle.
4) Déterminer la mesure de l’angle a DBA.
5) Démontrer que la mesure de l'angle a KAB est 45°.
Que peux-t-on en déduire pour la droite (AK) ?
6) La perpendiculaire à (AB) passant par K coupe (AB) en E et la perpendiculaire à (AC) passant par
K coupe (AC) en F.
Démontrer que le quadrilatère AEKF est un rectangle.
7) Calculer KE et KF.
Quelle précision peux-t-on alors apporter quant à la nature du quadrilatère AEKF ?
1) BC² = 7² = 49
AC² + AB² = 4,2² + 5,6² = 17,64 + 31,36 = 49
On a AC² + AB² = BC², donc selon la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC
est rectangle en A.
2) Les droites (AK) et (BD) étant parallèles, on peut appliquer le théorème de Thalès dans les
triangles CAK et CDB :

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E DS2 théorème de Thalès 2012-2013 sujet 1
CORRECTION
5
CA
CD = CK CB = AK DB.
Soit 4,2
CD = 3 7
D’où : CD×3 = 4,2×7
Soit : CD = 9,8 cm
3) AD = CD – CA = 9,8 – 4,2 = 5,6 cm.
Le triangle ADB est rectangle en A car a DAB = 180 - a CAB = 90°.
De plus AD = AB = 5,6 cm.
Donc le triangle ADB est rectangle isocèle en A.
4) a DBA = 45° puisque le triangle ADB est rectangle isocèle en A.
(Ses angles de base sont de même mesure ; soit : 180 - 90
2 = 45°)
5) Les droites (AK) et (BD) étant parallèles, les angles alternes internes a DBA et a KAB sont donc de
même mesure.
Donc a KAB = 45°
On a a CAK = a KAB = 45°.
La droite (AK) est donc la bissectrice issue de A dans le triangle ABC.
6)
Par construction le quadrilatère AEKF a ses côtés opposés parallèles deux à deux.
(On peut utiliser la propriété suivante : deux droites perpendiculaires à une même troisième
sont parallèles).
Donc AEKF est un parallélogramme avec un angle droit (en A).