E
A Mn(R)A1=AT
ATA=InAAT=In
A A Rn
E E
O(n) = On(R)Mn(R)
GLn(R)
In
O(n)O(n)O(n)
O(n)O(n)
E f ∈ L(E)f f
xE, kf(x)k=kxk
E f ∈ L(E)
f
fx, y E, (f(x)|f(y)) = (x|y)
f
f
f
f
O(E)E GL(E)
IdE
O(E)O(E)O(E)
O(E)O(E)
f∈ O(E) det f= 1 det f=1
SO(E) = {f∈ O(E),det f= 1}
O(E)
f∈ O(E) det f= 1 det f=1 dim E= 2
fGL(E)
f∈ O(E)⇒ ∀x, y E, (f(x)|y)=(x|f1(y))
A∈ O(n) det A= 1 det A=1
SO(n) = SOn(R) = {A∈ O(n),det A= 1}
O(n)
EB= (e1, e2, . . . , en)
B0detBB0= det(P ass(B, B0)) = ±1
detBB0= 1 B0B
EB= (
~
i,~
j,~
k)
(
~
i,~
j,~
k)
f∈ O(E) Spec f1,1
x6= 0 f(x) = λx λ Rkxk=kf(x)k=kλxk=|λ|×kxk
fMn(C)
1f
R2A
Spec f=1A=1 0
0 1 =I2
Spec f=1A=1 0
01=I2
Spec f=1,1A=1 0
01A=0 1
1 0
Spec f=A=01
1 0
f∈ O(E)
ESpec f6=
f1Spec f
Spec f=1,1E1E1
f f idEidE
N
f∈ O(E)
Edim E= 2k+ 1 f
Pf=X2k+1 +... + det f
lim
x→−∞ Pf(x)=+lim
n+Pf(x) = −∞
x7→ Pf(x)
f
Spec(f)6=
f1f
fC1
f f
f1Spec f
Spec f=1,1x y x E1yE1
(x|y)=(f(x)|f(y)) = (x| y) = (x|y)
2(x|y) = 0 (x|y) = 0
E1E1
fB= (e1, . . . , en)
MatBf=
ε10
ε2
0εn
εi=±1
f f f=IdE
MatB(ff) = (MatBf)2=
ε2
10
ε2
2
0ε2
n
=In
f E1E1E1E1
f
fO(E)F f F f
EB= (e1, e2)
f A =a c
b d A∈ O(2)
a2+b2= 1, c2+d2= 1, ac +bd = 0
det A=±1c d a b
det A=1: ac +bd = 0
bc +ad = 1 A=ab
b a
det A=1 : ac +bd = 0
bc +ad =1A=a b
ba
EE= (e1, e2)
f∈ O(E)
B(f) = ab
b a a2+b2= 1
B(f) = a b
baa2+b2= 1
EB= (e1, e2)
f∈ L(E)
B(f) = a b
baa2+b2= 1
Spec f=1,1f
B0
B0(f) = 1 0
01
f E1
fB(f) = A=1
53 4
43
E
n1n
EB= (e1, e2)
f∈ L(E)A=B(f) = ab
b a a2+b2= 1
B0f
?B0(f) = ab
b a =A
?B0(f) = a b
b a =B(f) = AT
a b E
a b
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