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Isométries d'un espace euclidien
I Groupe orthogonal
1
II Classication des isométries vectorielles en dimension 2
4
III Classication des isométries vectorielles en dimension 3
6
IV Matrices symétriques réelles
7
I.A
I.B
I.C
I.D
I.E
I.F
Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Isométrie vectorielle (ou automorphisme orthogonal) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Groupe orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Espace euclidien orienté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Valeurs propres d'une isométrie vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Orthogonal d'un sous-espace stable par une isométrie vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.A Etude matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.B Etude des isométries négatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.C Etude des isométries positives : les rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.D Cosinus, sinus et angle d'une rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.E Détermination d'une rotation par un vecteur et son image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.F Angle de deux vecteurs non nuls dans un espace orienté de dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.G Cosinus et sinus de l'angle de deux vecteurs non nuls (espace orienté) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
2
3
3
3
4
4
5
5
5
6
6
III.AIsométries positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
III.BIsométries négatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
IV.ASous-espaces propres d'une matrice symétrique réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
IV.B Réduction d'un endomorphisme symétrique; théorème spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Dans tout le chapitre, E est un espace vectoriel euclidien, c'est-à-dire un espace préhilbertien réel de dimension nie.
I Groupe orthogonal
I.A
Matrices orthogonales
Dénition 1.
Une matrice A de M (R) est dite orthogonale si elle est inversible et si A
n
−1
= AT
.
Ceci est équivalent à A A = I (ou bien à AA = I ).
Remarque 2. Cela revient à dire que les colonnes de A, ou les lignes de A, forment une base orthonormée de R muni
du produit scalaire canonique.
Remarque 3. Une matrice orthogonale peut également être regardée comme la matrice de passage d'une base orthonormée de E à une autre base orthonormée de E.
Remarque 1.
T
T
n
n
n
Proposition 1.
L'ensemble O(n) = O (R) des matrices orthogonales de M (R) forme un groupe pour la multiplication des matrices
(sous-groupe de GL (R)), c'est à dire qu'il vérie les propriétés suivantes :
(i) Il contient l'élément neutre I pour la multiplication.
(ii) Le produit de deux éléments de O(n) est dans O(n) (i.e. O(n) est stable pour la multiplication matricielle).
(iii) L'inverse d'un élément de O(n) reste dans O(n).
n
n
n
n
Exercice 1
Vérier ces propriétés.
[ee201]
1
I.B
Isométrie vectorielle (ou automorphisme orthogonal)
Dénition 2.
Soit E euclidien, et soit f ∈ L(E). On dit que f est une isométrie vectorielle (ou automorphisme orthogonal) si f
conserve la norme
i.e. ∀x ∈ E, kf (x)k = kxk.
Théorème 1 (dénitions équivalentes).
Soit E euclidien, et soit f ∈ L(E). Les assertions suivantes sont équivalentes :
1) f est une isométrie vectorielle.
2) f conserve le produit scalaire (i.e. ∀x, y ∈ E, (f (x) | f (y)) = (x | y)).
3) L'image par f de toute base orthonormée est orthonormée.
4) Il existe une base orthonormée dont l'image par f est orthonormée.
5) La matrice de f dans toute base orthonormée est orthogonale.
6) Il existe une base orthonormée dans laquelle la matrice de f est orthogonale.
Exercice 2
Démontrer ce théorème.
I.C
[ee202]
Groupe orthogonal
Proposition 2.
L'ensemble O(E) des isométries vectorielles de E forme un groupe pour la composition (sous groupe de GL(E)), c'est
à dire qu'il vérie les propriétés suivantes :
(i) Il contient l'élément neutre Id pour la composition.
(ii) Le produit de deux éléments de O(E) est dans O(E) (i.e. O(E) est stable pour la composition).
(iii) L'inverse d'un élément de O(E) reste dans O(E).
Ce groupe est appelé groupe orthogonal.
E
Proposition 3 (et notations).
Si f ∈ O(E), alors det f = 1 ou det f = −1. L'ensemble :
SO(E) = {f ∈ O(E),
det f = 1}
est un sous-groupe de O(E), appelé groupe spécial orthogonal, ou groupe des isométries positives.
Exercice 3
Démontrer ces propriétés.
[ee203]
Exercice 4
Donner un exemple de f ∈ O(E) dans chacun des deux cas det f = 1 ou det f = −1 pour dim E = 2.
[iv023]
Exercice 5
Soit f ∈ GL(E). Montrer que :
f ∈ O(E)
⇐⇒
∀x, y ∈ E, (f (x) | y) = (x | f −1 (y))
[iv024]
2
Proposition 4 (et notations).
De même, si A ∈ O(n), alors det A = 1 ou det A = −1. L'ensemble :
SO(n) = SOn (R) = {A ∈ O(n),
det A = 1}
est un sous-groupe de O(n), appelé groupe spécial orthogonal, ou groupe des isométries positives.
I.D
Espace euclidien orienté
Soit E euclidien. On choisit une base orthonormée de référence B = (e , e , . . . , e ). Pour toute autre base orthonormée B , on a det B = det(P ass(B, B )) = ±1.
Si det B = 1, B est dite directe. Sinon, elle est dite rétrograde. Le choix d'une base orthonormée B oriente l'espace.
Tout changement de base est, sauf mention contraire, direct.
1
0
B
B
0
0
2
n
0
0
Exercice 6
Soit E euclidien de dimension 3, orienté, de base orthonormée B = (~i, ~j, ~k). Examiner les bases obtenues par permutation
de (~i, ~j, ~k).
[ee208]
I.E
Valeurs propres d'une isométrie vectorielle
Théorème 2.
Si f ∈ O(E), on a Spec f ⊂ − 1, 1.
Démonstration.
Si x 6= 0 est tel que f (x) = λx avec λ ∈ R, on a : kxk = kf (x)k = kλxk = |λ| × kxk
Il est à noter que la matrice de f considérée comme une matrice de M (C) peut avoir des valeurs
propres complexes (de module 1). Mais si l'on considère les valeurs propres de f (réelles), on est dans l'un des cas
suivants (illustrés par un endomorphisme
de R euclidien de matrice A dans la base canonique) :
1 0
• Spec f = 1 . Par exemple si A =
=I .
0 1
−1 0
• Spec f = − 1 . Par exemple si A =
= −I .
0 −1
1 0
0 1
• Spec f = − 1, 1 . Par exemple si A =
ou
A=
.
0 −1
1 0
0 −1
• Spec f = ∅. Par exemple si A =
.
1 0
Remarque 1.
n
2
2
2
Exercice 7
Soit f ∈ O(E).
1. Montrer que si la dimension de E est impaire, alors Spec f 6= ∅.
2. Montrer que si f est une
isométrie
négative, alors −1 ∈ Spec f .
3. On suppose Spec f = − 1, 1 . Montrer que E et E sont orthogonaux.
4. On suppose f diagonalisable. Montrer que f est une symétrie orthogonale (éventuellement id ou −id ).
1
−1
E
E
[iv025]
Correction de l'exercice 7
N
Soit f ∈ O(E).
1. On suppose que la dimension de E est impaire (dim E = 2k + 1). Le polynôme caractéristique de f est aussi de
degré impair, de la forme P = −X + ... + det f . Il s'ensuit :
lim P (x) = +∞ et lim P (x) = −∞
La fonction x 7→ P (x) étant continue, le théorème des valeurs intermédiaires assure l'existence d'une racine réelle,
qui est valeur propre de f :
f
2k+1
x→−∞
f
n→+∞
f
Spec(f ) 6= ∅
3
f
2. Soit f une isométrie. On suppose que −1 n'est pas valeur propre de f . Alors les seules valeurs propres possibles
de f dans C sont 1 et les valeurs propres complexes conjuguées (dont le produit est positif).
Le déterminant de f , qui est le produit des valeurs propres complexes, est nécessairement positif. f est donc une
isométrie positive. Et par contraposée :
Si f est une isométrie négative, alors −1 ∈ Spec f .
3. On suppose Spec f = − 1, 1 . Soit x et y des vecteurs tels que x ∈ E et y ∈ E . Alors, par conservation du
produit scalaire :
(x | y) = (f (x) | f (y)) = (x | − y) = −(x | y)
D'où 2(x | y) = 0 et (x | y) = 0.
E et E sont orthogonaux.
4. On suppose f diagonalisable. Il existe une base B = (e , . . . , e ) telle que :
−1
1
−1
1
1

n
ε1
ε2


MatB f = 

0

0
...
avec




εi = ±1
εn
On sait que f est une symétrie si et seulement si f ◦ f = Id . Or :
E

ε21


2
MatB (f ◦ f ) = (MatB f ) = 

0
ε22
0
...
ε2n



 = In

Donc f est une symétrie (par rapport à E , parallèlement à E ), et comme E et E sont orthogonaux :
f est une symétrie orthogonale.
−1
1
I.F
−1
1
Orthogonal d'un sous-espace stable par une isométrie vectorielle
Théorème 3.
Si f ∈ O(E), et si F est un sous-espace vectoriel stable par f , alors F est stable par f .
⊥
Exercice 8
Démontrer ce théorème.
[ee211]
II Classication des isométries vectorielles en dimension 2
II.A
Etude matricielle
On considère un espace vectoriel euclidien E, rapporté
à une base orthonormée B = (e , e ).
a c
On cherche un endomorphisme f de matrice A = b d , avec A ∈ O(2), c'est-à-dire :
1
a2 + b2 = 1,
c2 + d2 = 1,
ac + bd = 0
On sait que det A = ±1. On exprime c et d en fonction de a etb en résolvant
:
ac + bd = 0
a −b
si det A = 1 : −bc + ad = 1 On trouve A = b a
ac + bd =
0
a
b
si det A = −1 : −bc + ad = −1 On trouve A = b −a
D'où :
4
2
Théorème 4.
Soit E un espace euclidien de dimension 2 rapporté à une base orthonormée E = (e , e ).
a −b
Mat
(f
)
=
avec a + b = 1
b
a
f ∈ O(E) ⇐⇒ a
b
ou Mat (f ) =
avec a + b = 1
b −a
1
B
B
II.B
2
2
2
2
2
Etude des isométries négatives
Soit E un espace euclidien de dimension 2 rapporté à une base orthonormée B = (e , e ).
Soit f ∈ L(E) tel que :
a
b
Mat (f ) = b −a avec a + b = 1
Le calcul du polynôme caractéristique montre que Spec f = − 1, 1. Il est alors clair que f se diagonalise dans une
base orthonormée B , et sa matrice dans cette base a pour expression :
Mat (f ) = 10 −10
f est donc une symétrie orthogonale par rapport à la droite vectorielle E .
1
2
B
2
2
0
B0
1
Théorème 5.
Dans un espace vectoriel euclidien de dimension 2, les isométries négatives sont les symétries orthogonales par rapport
à une droite vectorielle (réexions).
Exercice 9
Préciser les éléments de f si Mat (f ) = A =
B
1
5
3
4
4
−3
.
[iv036]
De façon générale, dans un espace euclidien E, une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan
s'appelle une réexion. C'est donc une symétrie orthogonale par rapport à une droite en dimension 2, par rapport à un
plan en dimension 3, par rapport à un sous espace vectoriel de dimension n − 1 (hyperplan ) en dimension n.
Remarque 4.
II.C
Etude des isométries positives : les rotations
Proposition 5.
Soit E un espace euclidien de dimension2 rapporté à une base orthonormée de référence B = (e , e ).
Soit f ∈ L(E) tel que : A = Mat (f ) = ab −ba avec a + b = 1.
Soit B une autre
base orthonormée,
alors la matrice de f s'écrit :
a −b
? Mat (f ) =
= A, si le changement de base est direct.
b
a
a b
? Mat (f ) =
= Mat (f ) = A , si le changement de base est rétrograde.
−b a
1
2
B
2
2
0
B0
B0
B
T
En d'autres termes, a est un invariant de la rotation, tandis que b dépend en signe de l'orientation. Si l'espace E
est orienté, c'est-à-dire si les seuls changements de base admissibles sont directs, alors a et b sont des invariants de la
rotation.
5
II.D
Cosinus, sinus et angle d'une rotation
Dénition 3.
Soient E une espace vectoriel euclidien orienté de dimension 2, et r une rotation de E. On sait que la matrice de r est
indépendante de la base orthonormée directe choisie, et qu'elle est de la forme :
−b
a
a
b
est appelé le cosinus de la rotation r, b le sinus, et l'angle de r est par dénition l'ensemble des nombres θ tels que
et sin θ = b.
L'angle de r est donc un ensemble du type θ + 2πZ. Abusivement, on nommera souvent angle de r un nombre θ tel
que cos θ = a et sin θ = b. En principe, on prend θ dans ] − π, π].
a
cos θ = a
0
La rotation r d'angle θ a donc pour matrice, dans toute base orthonormée directe :
θ
cos θ
sin θ
− sin θ
cos θ
Proposition 6.
En dimension 2, le groupe SO(E) est un groupe commutatif. Plus précisément :
rθ ◦ rθ0 = rθ+θ0 = rθ0 ◦ rθ
Exercice 10
Soit E un espace euclidien orienté de base B = (e , e ) et de f ∈ L(E) de matrice :
Mat (f ) = A = 14 53 35
Montrer que f est une rotation, et en donner l'angle à l'aide d'une fonction trigonométrique réciproque.
1
2
B
[iv037]
Remarque 5. Si E n'est pas orienté, seul le cosinus de la rotation r est déni. On convient alors que l'angle de r est
l'unique θ ∈ [0, π] tel que cos θ = a.
II.E
Détermination d'une rotation par un vecteur et son image
Théorème 6.
Soit E un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 2. Soient x et y deux vecteurs de même norme non nulle :
Il existe une et une seule rotation r telle que r(x) = y.
Démonstration.
Soit B = (e1 , e2 ) une base orthonormée
de E . Notons x1 et x2 les coordonnées de x, et y1 et y2 les coordonnées de y . On
cherche la rotation r par sa matrice
par :
a
b
−b
a
dans la base B. Et on vérie sans diculté qu'une et une seule matrice convient, donnée
a=
II.F
x1 y1 + x2 y2
x21 + x22
et b =
x1 y2 − x2 y1
x21 + x22
Angle de deux vecteurs non nuls dans un espace orienté de dimension 2
Dénition 4.
Soient x et y deux vecteurs
non nuls de E , euclidien orienté de dimension 2. L'angle de x et y est l'angle de l'unique
rotation r telle que r
=
.
x
kxk
y
kyk
6
[
On note (x,
y) cet angle. A priori, c'est un ensemble du type θ + 2πZ, mais il n'est pas choquant par exemple
[
[
[
[
d'écrire (x, y) = (modulo 2π), ou à la rigueur : (x,
y) = , en sachant bien sûr que (x,
y) =
ou (x,
y) = − , etc.
, seraient également vraies.
Remarque 2. Cette dénition sut à montrer des propriétés connues. Par exemple :
\
\
[
[
(x,
x) = 0 ;
(x,
−x) = π ;
(x,
y) = −(y,
x)
Ou bien encore la relation de Chasles :
[
[
[
(x,
y) + (y,
z) = (x,
z)
On peut aussi prouver qu'une rotation conserve les angles, et qu'une symétrie par rapport à une droite vectorielle (i.e.
une réexion) les change en leur opposé. C'est à dire que si x et y sont deux vecteurs non nuls, et r et s respectivement
une rotation et une réexion, alors :
\
[
\
[
(r(x),
r(y)) = (x,
y) et (s(x),
s(y)) = −(x,
y)
0
π
3
II.G
π
3
7π
3
5π
3
Cosinus et sinus de l'angle de deux vecteurs non nuls (espace orienté)
Dénition 5.
[
Le cosinus et le sinus de (x,
y) sont le cosinus et le sinus de l'unique rotation qui transforme
en .
Remarque 3. Il s'agit donc des nombres a et b de la matrice de la rotation. Les relations établies dans la démonstration
du théorème 6 montrent par ailleurs que :
[
[
et sin (x,
y) =
cos (x,
y) =
et au passage que le nombre det(x, y) est indépendant de la base orthonormée directe choisie puisque le sinus, ainsi que
la norme, n'en dépendent pas.
x
kxk
(x | y)
kxkkyk
y
kyk
det(x,y)
kxkkyk
III Classication des isométries vectorielles en dimension 3
Dans ce paragraphe, E est un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3.
III.A
Isométries positives
Exercice 11
Soit f ∈ SO(E). Montrer que f admet 1 comme valeur propre.
[ee231]
Soit w un vecteur unitaire appartenant à E , et soit ∆ la droite vectorielle engendrée par w. On sait d'après le
théorème 3 que ∆ est stable par f . Soit (u, v) une base de ∆ telle que (u, v, w) soit directe. La matrice de f dans
(u, v, w) est de la forme :


1
⊥
⊥
a
 c
0
b 0
d 0 
0 1
il est clair que f est une isométrie, positive car det f = ad − bc = 1. La matrice de f dans (u, v, w) est de la forme :
|∆⊥

− sin θ
cos θ
0
cos θ
 sin θ
0

0
0 
1
est la rotation d'axe ∆ et d'angle θ. Parmi les rotations, il y a l'identité (θ = 0), et les demi-tours (θ = π).
Reconnaître l'endomorphisme de R de matrice dans la base canonique :
f
Exercice 12
3

1
A=
4
3
1
√
− 6
1
√3
6
√ 
√6
− 6 
2
[iv034]
7
III.B
Isométries négatives
Soit f une isométrie négative, c'est-à-dire de déterminant −1. f admet −1 comme valeur propre (voir l'exercice 7).
Soit w un vecteur unitaire appartenant à E , et soit ∆ la droite vectorielle engendrée par w. On sait que que ∆ est
stable par f . Soit (u, v) une base de ∆ telle que (u, v, w) soit directe. La matrice de f dans (u, v, w) est de la forme :
⊥
−1
⊥

a
 c
0

b 0
d 0 
0 −1
il est clair que f est une isométrie, positive car det f = −(ad − bc) = −1, d'où ad − bc = 1. La matrice de f dans
(u, v, w) est donc de la forme :


|∆⊥
cos θ
 sin θ
0
− sin θ
cos θ
0
0
0 
−1
Si θ = 0, la matrice de f est diag(1, 1, −1), et f est la réexion par rapport au plan ∆ .
Si θ = π, on a f = −id . Dans les autres cas, f est appelée isométrie vectorielle gauche.
Exercice 13
Reconnaître l'endomorphisme de R de matrice dans la base canonique :
⊥
E
3

−2
1
2
A=
3
−1
2
1
−2

1
2 
2
[iv035]
IV Matrices symétriques réelles
On rappelle que S (R) est l'ensemble des matrices symétriques réelles, c'est à dire les matrices A ∈ M (R) qui
vérient la relation A = A.
n
T
IV.A
n
Sous-espaces propres d'une matrice symétrique réelle
On rappelle que le sous-espace propre E associé à la valeur propre λ est :
λ
Eλ = {X ∈ Mn,1 (R) / AX = λX}
On rappelle également qu'on peut dénir un produit scalaire sur les éléments de M
n,1 (R)
∀X, Y ∈ Mn,1 (R),
par :
(X | Y ) = X T Y
Exercice 14
Soient λ et µ deux valeurs propres distinctes d'une matrice symétrique. Montrer que E est orthogonal à E .
λ
IV.B
µ
[iv030]
Réduction d'un endomorphisme symétrique ; théorème spectral
On admettra le théorème suivant :
Théorème 7.
Soit A une matrice symétrique réelle. Il existe une matrice orthogonale P telle que la matrice P
(remarque : P AP = P AP )
−1
T
−1
AP
soit diagonale.
(en particulier, les valeurs propres de A sont toutes réelles, i.e. χ est scindé dans R)
Remarque 6. Cela signie que Si E est un espace euclidien et f un endomorphisme de E dont la matrice dans une
base orthonormée de E est symétrique (réelle), alors f est diagonalisable, et il existe une base orthonormée de vecteurs
propres.
A
8
Exercice 15
Démontrer le théorème spectral si A est une matrice de M (R).
2
Correction H
[iv031]
Correction de l'exercice 15 N
On note B = (e , e ) une base orthonormée de R , etf l'endomorphisme
de matrice A dans la base B :
a b
A = Mat f =
avec a, b, c ∈ R
b c
1
2
2
B
Avec P
f
=
a−X
b
b
= X 2 − (a + c)X + ac − b2
c−X
. Un calcul du disciminant donne :
∆ = (a + c)2 − 4(ac − b2 ) = a2 + c2 − 2ac + b2 = (a − c)2 + b2
Si b = 0 la matrice est diagonale, donc f est diagonalisable dans la base orthonormée (e , e ).
Sinon, ∆ 6= 0 et f admet deux valeurs propres réelles distinctes. Les sous-espaces propres correspondants sont orthogonaux d'après l'exercice 14, donc f est diagonalisable dans une base orthogonale, qu'on peut choisir orthonormée. En
conclusion :
f est diagonalisable, et il existe une base orthonormée de vecteurs propres.
1
2
Exercice 16
Trouver une telle matrice pour

3
A =  −2
1
−2
3
1

1
1 
0
, puis pour

3
B= 2
−4

2 −4
6 2 
2 3
.
[iv032]
Exercice 17
Trouver une telle matrice pour
Correction H

5
A =  −1
1

−1
1
1 −3 
−3
1
, puis pour

2
B= 4
2

4
2
2 −2 
−2
5
.
[iv033]
Correction de l'exercice 17 N

?
5
A =  −1
1

−1
1
1 −3  A
−3
1
. est symétrique réelle, donc le théorème spectral s'applique.
Soit
Cherchons les valeurs propres
de A :
PA
=
=
5−X
−1
1
5−X
−2
1
−1
1−X
−3
−1
4−X
−3
5−X
−1
0
= −1
1
−
X
−2
−X
1
−3
−2 − X
0
(L2 ← L2 − L3 )
0
−2 − X 1
−3
1−X
(C3 ← C3 + C2 )
En développant, P = (−2 − X)(X − 9X + 18) = (−2 − X)(6 − X)(3 − X).
Il y a trois valeurspropres
distinctes, et Spec(A)= {−2,
3, 6}. Cherchons les sous-espaces propres associés :


  
A
x
 y  ∈ E−2
z
2
⇔
⇔
 
 0 
E1 = Vect  1 


1
E−2 , E3
E6
x
0
= 0
 7x − y + z
−x + 3y − 3z = 0
(A + 2I3 )  y  =  0  ⇔

z
0
x − 3y + 3z = 0
7x − y + z = 0
x = 0
⇔
20x
= 0 (L2 ← L2 + 3L1 )
y = z




1
2




E3 = Vect  1 
E6 = Vect  −1 




−1
1
Donc
. De même, on trouve
et
. Les sous
espaces propres
et sont orthogonaux, il sut de prendre des vecteurs unitaires de chacun de ces espaces
pour obtenir une base orthonormée de diagonalisation :
9
√ 
√


2/ √6
0√
1/√3
−2 0 0
P −1 AP = t P AP =  0 3 0 
P =  1/√2 1/ √3 −1/√ 6 
0 0 6
1/ 2 −1/ 3 1/ 6


2
4
2
2 −2  A
B= 4
2 −2
5
B
6−X 6−X
2−X
0
4
2
4
2−X
−2 (L1 ← L1 + L2 )
4
2−X
−2 = PB = 2
−2
5−X 2
−2
5−X 6−X
0
0
4
−2 − X
−2 (C2 ← C2 − C1 )
= 2
−4
5−X 
?
avec
.
Soit
. est symétrique réelle, donc le théorème spectral s'applique.
Cherchons les valeurs propres de :
En développant, P = (6 − X)(X − 3X − 18) = (−3 − X)(6 − X) .
Il y a une valeur propre double, et Spec(A) = {−3, 6}. On trouve les sous-espaces propres associés :
2
B
E−3
2


 −2 
= Vect  2 


1
   
1 
 1
E6 = Vect  1  ,  0 


0
2
et
Les sous-espaces E et E sont orthogonaux, donc on peut choisir pour les deux premières colonnes de P :
−3
6


−2
1
2 
C1 =
3
1
et
 
1
1  
1
C2 = √
2
0
Attention cependant pour le choix de la troisième colonne car nous avons besoin d'une base orthogonale de E . On
pourrait utiliser le procédé de Schmidt pour la construire à partir de la base disponible, mais il est plus simple
d'utiliser le produit vectoriel, puisqu'on sait d'avance que la base sera orthonormée :
6

  


−2
1
−1
1 
1
2 ∧ 1 = √  1 
C3 = C1 ∧ C2 = √
3 2
3 2
1
0
−4

−3
P −1 BP = t P BP =  0
0

0 0
6 0 
0 6
avec
10

−2/3
P =  2/3
1/3
√
1/√2
1/ 2
0
√ 
−1/(3√ 2)
1/(3 √2) 
−4/(3 2)
.