Classe de TSI2 - Exercices de mathématiques

Isométries d'un espace euclidien
I Groupe orthogonal
I.A
I.B
I.C
I.D
I.E
I.F
Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . .
Automorphisme orthogonal . . . . . . . . . . . . . .
Groupe orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Espace euclidien orienté . . . . . . . . . . . . . . . .
Valeurs propres d'une isométrie vectorielle . . . . . .
Orthogonal d'un sous-espace stable par une isométrie
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
vectorielle
II Classication des isométries vectorielles en dimension 2
II.A
II.B
II.C
II.D
II.E
II.F
II.G
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Etude matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Etude des isométries négatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Etude des isométries positives : les rotations . . . . . . . . . . . . . . . .
Cosinus, sinus et angle d'une rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Détermination d'une rotation par un vecteur et son image . . . . . . . .
Angle de deux vecteurs non nuls dans un espace orienté de dimension 2
Cosinus et sinus de l'angle de deux vecteurs non nuls (espace orienté) . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
2
2
3
3
4
4
4
4
5
5
6
6
7
III Classication des isométries vectorielles en dimension 3
7
IV Matrices symétriques réelles
8
III.A Isométries positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.B Isométries négatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
IV.A Sous-espaces propres d'une matrice symétrique réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
IV.B Réduction d'un endomorphisme symétrique ; théorème spectral . . . . . . . . . . . . .
8
IV.C Application en mécanique : matrice d'inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Dans tout le chapitre, E est un espace vectoriel euclidien, c'est-à-dire un espace préhilbertien réel
de dimension nie.
I Groupe orthogonal
I.A
Matrices orthogonales
Dénition 1.
Une matrice A de Mn (R) est dite orthogonale si elle est inversible et si A−1 = AT .
Remarque 1.
Ceci est équivalent à AT A = In (ou bien à AAT = In ).
Remarque 2. Cela revient à dire que les colonnes de A, ou les lignes de A, forment une base
orthonormée de Rn muni du produit scalaire canonique.
Remarque 3.
Une matrice orthogonale peut également être regardée comme la matrice de passage
d'une base orthonormée de E à une autre base orthonormée de E .
Proposition 1.
L'ensemble O(n) = On (R) des matrices orthogonales de Mn (R) forme un groupe pour la multiplication des matrices (sous-groupe de GLn (R)), c'est à dire qu'il vérie les propriétés suivantes :
(i) Il contient l'élément neutre In pour la multiplication.
(ii) Le produit de deux éléments de O(n) est dans O(n) (i.e. O(n) est stable pour la multiplication
matricielle).
(iii) L'inverse d'un élément de O(n) reste dans O(n).
1
Exercice 1
Vérier ces propriétés.
I.B
[ee201]
Automorphisme orthogonal
Dénition 2.
Soit E euclidien, et soit f ∈ L(E). On dit que f est une isométrie vectorielle (ou automorphisme
orthogonal) si f conserve la norme
i.e. ∀x ∈ E, kf (x)k = kxk.
Théorème 1 (dénitions équivalentes).
Soit E euclidien, et soit f ∈ L(E). Les assertions suivantes sont équivalentes :
1) f est une isométrie vectorielle.
2) f conserve le produit scalaire (i.e. ∀x, y ∈ E, (f (x) | f (y)) = (x | y)).
3) L'image par f de toute base orthonormée est orthonormée.
4) Il existe une base orthonormée dont l'image par f est orthonormée.
5) La matrice de f dans toute base orthonormée est orthogonale.
6) Il existe une base orthonormée dans laquelle la matrice de f est orthogonale.
Exercice 2
Démontrer ce théorème.
I.C
[ee202]
Groupe orthogonal
Proposition 2.
L'ensemble O(E) des isométries vectorielles de E forme un groupe pour la composition (sous groupe
de GL(E)), c'est à dire qu'il vérie les propriétés suivantes :
(i) Il contient l'élément neutre IdE pour la composition.
(ii) Le produit de deux éléments de O(E) est dans O(E) (i.e. O(E) est stable pour la composition).
(iii) L'inverse d'un élément de O(E) reste dans O(E).
Ce groupe est appelé groupe orthogonal.
Proposition 3 (et notations).
Si f ∈ O(E), alors det f = 1 ou det f = −1. L'ensemble :
SO(E) = {f ∈ O(E),
det f = 1}
est un sous-groupe de O(E), appelé groupe spécial orthogonal, ou groupe des isométries positives.
Exercice 3
Démontrer ces propriétés.
[ee203]
Exercice 4
Donner un exemple de f ∈ O(E) dans chacun des deux cas det f = 1 ou det f = −1 pour dim E = 2.
[ee204]
2
Exercice 5
Soit f ∈ GL(E). Montrer que :
f ∈ O(E)
⇐⇒
∀x, y ∈ E, (f (x) | y) = (x | f −1 (y))
[ee206]
Proposition 4 (et notations).
De même, si A ∈ O(n), alors det A = 1 ou det A = −1. L'ensemble :
SO(n) = SOn (R) = {A ∈ O(n),
det A = 1}
est un sous-groupe de O(n), appelé groupe spécial orthogonal, ou groupe des isométries positives.
I.D
Espace euclidien orienté
Soit E euclidien. On choisit une base orthonormée de référence B = (e1 , e2 , . . . , en ). Pour toute
autre base orthonormée B 0 , on a detB B 0 = det(P ass(B, B 0 )) = ±1.
Si detB B 0 = 1, B 0 est dite directe. Sinon, elle est dite rétrograde. Le choix d'une base orthonormée B
oriente l'espace. Tout changement de base est, sauf mention contraire, direct.
Exercice 6
Soit E euclidien de dimension 3, orienté, de base orthonormée B = (~i, ~j, ~k). Examiner les bases
obtenues par permutation de (~i, ~j, ~k).
[ee208]
I.E
Valeurs propres d'une isométrie vectorielle
Théorème 2.
Si f ∈ O(E), on a Spec f ⊂
Démonstration.
− 1, 1 .
Si x 6= 0 est tel que f (x) = λx avec λ ∈ R, on a : kxk = kf (x)k = kλxk = |λ| × kxk
Remarque 1.
Il est à noter que la matrice de f considérée comme une matrice de Mn (C) peut avoir
des valeurs propres complexes (de module 1). Mais si l'on considère les valeurs propres de f (réelles),
on est dans l'un des cas suivants (illustrés par un endomorphisme de R2 euclidien de matrice A dans
la base canonique) :
1 0
• Spec f = 1 . Par exemple si A =
= I2 .
0 1
−1 0
• Spec f = − 1 . Par exemple si A =
= −I2 .
0 −1
1 0
0 1
• Spec f = − 1, 1 . Par exemple si A =
ou A =
.
0 −1
1 0
0 −1
• Spec f = ∅. Par exemple si A =
.
1 0
Exercice 7
Soit f ∈ O(E).
1. Montrer que si la dimension de E est impaire, alors Spec f 6= ∅.
2. Montrer que si f est une isométrie négative, alors −1 ∈ Spec f .
3
3. On suppose Spec f =
− 1, 1 . Montrer que E1 et E−1 sont orthogonaux.
4. On suppose f diagonalisable. Montrer que f est une symétrie orthogonale (éventuellement idE
ou −idE ).
[ee210bis]
I.F
Orthogonal d'un sous-espace stable par une isométrie vectorielle
Théorème 3.
Si f ∈ O(E), et si F est un sous-espace vectoriel stable par f , alors F ⊥ est stable par f .
Exercice 8
Démontrer ce théorème.
[ee211]
II Classication des isométries vectorielles en dimension 2
II.A
Etude matricielle
On considère un espace vectoriel euclidien E , rapporté à une base orthonormée B = (e1 , e2 ).
a c
On cherche un endomorphisme f de matrice A =
, avec A ∈ O(2), c'est-à-dire :
b d
a2 + b2 = 1,
c2 + d2 = 1,
ac + bd = 0
On sait que det A = ±1. On exprime c et d en fonction de a et b en résolvant :
ac + bd = 0
a −b
si det A = 1 :
On trouve A =
−bc + ad = 1
b
a
ac + bd =
0
a
b
si det A = −1 :
On trouve A =
−bc + ad = −1
b −a
D'où :
Théorème 4.
Soit E un espace euclidien de dimension 2 rapporté à une
a
MatB (f ) =
b
f ∈ O(E) ⇐⇒ a
ou Mat (f ) =
B
b
II.B
base orthonormée E = (e1 , e2 ).
−b
avec a2 + b2 = 1
a
b
avec a2 + b2 = 1
−a
Etude des isométries négatives
Soit E un espace euclidien de dimension 2 rapporté à une base orthonormée B = (e1 , e2 ).
Soit f ∈ L(E) tel que :
MatB (f ) =
a
b
b −a
avec a2 + b2 = 1
Le calcul du polynôme caractéristique montre que Spec f = − 1, 1 . Il est alors clair que f se
diagonalise dans une base orthonormée B 0 , et sa matrice dans cette base a pour expression :
1
0
MatB0 (f ) =
0 −1
f est donc une symétrie orthogonale par rapport à la droite vectorielle E1 .
4
Théorème 5.
Dans un espace vectoriel euclidien de dimension 2, les isométries négatives sont les symétries orthogonales par rapport à une droite vectorielle (réexions).
Exercice 9
Déterminer la nature et les éléments de f si MatB (f ) = A =
√
2
2
1
1
1
−1
.
[ee222bis]
Remarque 4.
De façon générale, dans un espace euclidien E , une symétrie orthogonale par rapport
à un hyperplan s'appelle une réexion. C'est donc une symétrie orthogonale par rapport à une droite
en dimension 2, par rapport à un plan en dimension 3, par rapport à un sous espace vectoriel de
dimension n − 1 (hyperplan ) en dimension n.
II.C
Etude des isométries positives : les rotations
Proposition 5.
Soit E un espace euclidien de dimension 2 rapporté à une base orthonormée de référence B = (e1 , e2 ).
a −b
Soit f ∈ L(E) tel que : A = MatB (f ) =
avec a2 + b2 = 1.
b
a
Soit B 0 une autre base orthonormée, alors la matrice de f s'écrit :
a −b
? MatB0 (f ) =
= A, si le changement de base est direct.
b
a
a b
? MatB0 (f ) =
= MatB (f ) = t A, si le changement de base est rétrograde.
−b a
En d'autres termes, a est un invariant de la rotation, tandis que b dépend en signe de l'orientation.
Si l'espace E est orienté, c'est-à-dire si les seuls changements de base admissibles sont directs, alors
a et b sont des invariants de la rotation.
II.D
Cosinus, sinus et angle d'une rotation
Dénition 3.
Soient E une espace vectoriel euclidien orienté de dimension 2, et r une rotation de E . On sait que
la matrice de r est indépendante de la base orthonormée directe choisie, et qu'elle est de la forme :
a −b
b
a
a est appelé le cosinus de la rotation r, b le sinus, et l'angle de r est par dénition l'ensemble des
nombres θ tels que cos θ = a et sin θ = b.
L'angle de r est donc un ensemble du type θ0 + 2πZ. Abusivement, on nommera souvent angle de r
un nombre θ tel que cos θ = a et sin θ = b. En principe, on prend θ dans ] − π, π].
La rotation rθ d'angle θ a donc pour matrice, dans toute base orthonormée directe :
cos θ − sin θ
sin θ
cos θ
Proposition 6.
En dimension 2, le groupe SO(E) est un groupe commutatif. Plus précisément :
rθ ◦ rθ0 = rθ+θ0 = rθ0 ◦ rθ
5
Exercice 10
Soit E un espace euclidien orienté de base B = (e1 , e2 ) et de f ∈ L(E) de matrice :
1
3 4
MatB (f ) = A =
−4 3
5
Montrer que f est une rotation, et en donner l'angle à l'aide d'une fonction trigonométrique réciproque.
[ee224bis]
Remarque 5. Si E n'est pas orienté, seul le cosinus de la rotation r est déni. On convient alors
que l'angle de r est l'unique θ ∈ [0, π] tel que cos θ = a.
II.E
Détermination d'une rotation par un vecteur et son image
Théorème 6.
Soit E un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 2. Soient x et y deux vecteurs de même
norme non nulle :
Il existe une et une seule rotation r telle que r(x) = y .
Soit B = (e1 , e2 ) une base orthonormée de E . Notons x1 et x2 les coordonnées de x, et y1 et y2 les
a −b
coordonnées de y . On cherche la rotation r par sa matrice
dans la base B. Et on vérie sans diculté
b
a
qu'une et une seule matrice convient, donnée par :
Démonstration.
a=
II.F
x1 y1 + x2 y2
x21 + x22
et b =
x1 y2 − x2 y1
x21 + x22
Angle de deux vecteurs non nuls dans un espace orienté de dimension
2
Dénition 4.
Soient x et y deux vecteurs non nuls de E , euclidien orienté de dimension 2. L'angle de x et y est
y
x
l'angle de l'unique rotation r telle que r kxk = kyk
.
[
On note (x,
y) cet angle. A priori, c'est un ensemble du type θ0 + 2πZ, mais il n'est pas choquant
[
[
par exemple d'écrire (x,
y) = π3 (modulo 2π), ou à la rigueur : (x,
y) = π3 , en sachant bien sûr que
[
[
y) = − 5π , etc. , seraient également vraies.
(x,
y) = 7π ou (x,
3
Remarque 2.
3
Cette dénition sut à montrer des propriétés connues. Par exemple :
\
(x,
x) = 0 ;
\
(x,
−x) = π ;
[
[
(x,
y) = −(y,
x)
Ou bien encore la relation de Chasles :
[
[
[
(x,
y) + (y,
z) = (x,
z)
On peut aussi prouver qu'une rotation conserve les angles, et qu'une symétrie par rapport à une
droite vectorielle (i.e. une réexion) les change en leur opposé. C'est à dire que si x et y sont deux
vecteurs non nuls, et r et s respectivement une rotation et une réexion, alors :
\
[
\
[
(r(x),
r(y)) = (x,
y) et (s(x),
s(y)) = −(x,
y)
6
II.G
Cosinus et sinus de l'angle de deux vecteurs non nuls (espace orienté)
Dénition 5.
[
Le cosinus et le sinus de (x,
y) sont le cosinus et le sinus de l'unique rotation qui transforme
y
.
kyk
x
kxk
en
Remarque 3.
Il s'agit donc des nombres a et b de la matrice de la rotation. Les relations établies
dans la démonstration du théorème 6 montrent par ailleurs que :
[
cos (x,
y) =
(x | y)
kxkkyk
[
et sin (x,
y) =
det(x,y)
kxkkyk
et au passage que le nombre det(x, y) est indépendant de la base orthonormée directe choisie puisque
le sinus, ainsi que la norme, n'en dépendent pas.
III Classication des isométries vectorielles en dimension 3
Dans ce paragraphe, E est un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3.
III.A
Isométries positives
Exercice 11
Soit f ∈ SO(E). Montrer que f admet 1 comme valeur propre.
[ee231]
Soit w un vecteur unitaire appartenant à E1 , et soit ∆ la droite vectorielle engendrée par w. Il
est clair que ∆⊥ est stable par f , et que f induit sur ∆⊥ une isométrie positive, c'est-à-dire une
rotation. Soit (u, v) une base de ∆⊥ telle que (u, v, w) soit directe. La matrice de f dans (u, v, w) est
de la forme :


cos θ − sin θ 0
 sin θ
cos θ 0 
0
0
1
f est la rotation d'axe ∆ et d'angle θ. Parmi les rotations, il y a l'identité (θ = 0), et les demi-tours
(θ = π).
Exercice 12
Reconnaître l'endomorphisme de R3 de matrice dans la base canonique :
√
√ 

−2 − 6
6
1 √

A=
6
1
3
√
4
3
1
− 6
[ee232bis]
III.B
Isométries négatives
Soit f une isométrie négative, c'est-à-dire de déterminant −1. f admet −1 comme valeur propre
(voir l'exercice 7). Soit w un vecteur unitaire appartenant à E−1 , et soit ∆ la droite vectorielle
engendrée par w. Il est clair que ∆⊥ est stable par f , et que f induit sur ∆⊥ une isométrie positive
(une rotation). Soit (u, v) une base de ∆⊥ telle que (u, v, w) soit directe. La matrice de f dans (u, v, w)
est de la forme :


cos θ − sin θ 0
 sin θ
cos θ
0 
0
0
−1
Si θ = 0, la matrice de f est diag(1, 1, −1), et f est la réexion par rapport au plan ∆⊥ .
Si θ = π , on a f = −idE . Dans les autres cas, f est appelée isométrie vectorielle gauche.
7
Exercice 13
Reconnaître l'endomorphisme de R3 de matrice dans la base canonique :


2
1
2
1
2 −2 −1 
A=
3
−1 −2 2
[ee233bis]
IV Matrices symétriques réelles
On rappelle que Sn (R) est l'ensemble des matrices symétriques réelles, c'est à dire les matrices
A ∈ Mn (R) qui vérient la relation AT = A.
IV.A
Sous-espaces propres d'une matrice symétrique réelle
On rappelle que le sous-espace propre Eλ associé à la valeur propre λ est :
Eλ = {X ∈ Mn,1 (R) / AX = λX}
On rappelle également qu'on peut dénir un produit scalaire sur les éléments de Mn,1 (R) par :
∀X, Y ∈ Mn,1 (R),
(X | Y ) = X T Y
Exercice 14
Soient λ et µ deux valeurs propres distinctes d'une matrice symétrique. Montrer que Eλ est orthogonal
à Eµ .
[ee218]
IV.B
Réduction d'un endomorphisme symétrique ; théorème spectral
On admettra le théorème suivant :
Théorème 7.
Soit A une matrice symétrique réelle. Il existe une matrice orthogonale P telle que la matrice P −1AP
soit diagonale.
(remarque : P −1 AP = P T AP )
(en particulier, les valeurs propres de A sont toutes réelles, i.e. χA est scindé dans R)
Remarque 6.
Cela signie que Si E est un espace euclidien et f un endomorphisme de E dont
la matrice dans une base orthonormée de E est symétrique (réelle), alors f est diagonalisable, et il
existe une base orthonormée de vecteurs propres.
Exercice 15
Démontrer le théorème spectral si A est une matrice de M2 (R).
[ee220]
Exercice 16

6
Trouver une telle matrice pour A =  −2
2



−2 2
23 2 −4
1
5 0 , puis pour B =  2 26
2 .
9
0 7
−4 2 23
8
[ee219bis]
IV.C
Application en mécanique : matrice d'inertie
On rappelle que l'opérateur d'inertie d'un solide S en un point O est l'application dénie par :
Z
→
−
−−→
−−→
u 7→ I0 (S, ~u) =
OP ∧ (~u ∧ OP ). dm
P ∈S
−−→
Si on note (x, y, z) les composantes de OP dans la base (~x, ~y , ~z), la matrice de l'opérateur dans cette
base est :
Z
Z
 Z

(y 2 + z 2 ) dm
−
yx dm
−
zx dm

 P ∈SZ
 
P ∈S
Z
ZP ∈S
A −F −E



yx dm
(x2 + z 2 ) dm
−
zy dm 
B −D 
I0 (S) =  −
 =  −F


P ∈S
P ∈SZ
P ∈S
Z
Z
−E −D C


−
zx dm
−
zy dm
(x2 + y 2 ) dm
P ∈S
P ∈S
P ∈S
Cette matrice est symétrique, donc l'opérateur d'inertie est diagonalisable en base orthonormée.
Autrement dit, il existe une base orthonomée (~x1 , ~y1 , ~z1 ) telle que dans cette base :


A1 0
0
I0 (S) =  0 B1 0 
0
0 C1 (~x ,~y ,~z )
1
9
1
1