Université F. Rabelais 2012-2013 M1S2 Analyse Numérique et Optimisation Feuille d'exercices n° 2 : Optimisation sous contrainte 1 Rappel de Cours 1. Si f, G : R2 7→ R sont deux fonctions C1. Énoncer le théorème des extrema liés associé au problème d'optimisation sous contrainte : min f (x). G(x)=0 2. Si maintenant f : Rn 7→ R et G : Rn 7→ Rm , énoncer le théorème des extrema liés associé au problème d'optimisation sous contrainte : min f (x). G(x)=0 2 Optimisation avec contrainte 1d Calculer les nombres suivant : min (2x2 + 3y 4 ), x+3y=1 min x2 +4y 2 =1 min (xey ), 4 (ex +y 4 +z 4 x2 −y−z=1 pour 3 (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ (R∗+ )4 , ), min (x1 + x2 + x3 + x4 ). x1 x2 x3 x4 =1 Optimisation avec contrainte multi d Résoudre les problèmes d'optimisation suivants : pour G(x, y, z) = (z − x2 − y 2 , z + x4 + y 4 ), min (x2 + y 2 + z 4 ), G=(−1,2) pour pour G(x1 , x2 , y1 , y2 ) = (x21 + x22 , y12 + y22 ), max (x1 y1 + x2 y2 ), G=(1,1) G(x, y, z, w) = (x + y + z + w, x2 + y 2 + z 2 + w2 , x3 + y 3 + z 3 + w3 ), min x4 + y 4 + z 4 + w4 . G=(1,2,3) 1 4 Inégalité d'Hadamard Pour (v1 , v2 , v3 ) ∈ R3 1. Montrer que f on pose f (v1 , v2 , v3 ) = det(v1 , v2 , v3 ) atteint son maximum sur et G(v1 , v2 , v3 ) = (||v1 ||, ||v2 ||, ||v3 ||). {(v1 , v2 , v3 ) : G(v1 , v2 , v3 ) = (1, 1, 1)} et que celui-ci est strictement positif. 2. En utilisant le théorème des extrema liés, montrer que si G(v1 , v2 , v3 ) est une base orthonormée. 3. En déduire qu'on a de manière générale : |det(v1 , v2 , v3 )| ≤ ||v1 || ||v2 || ||v3 ||. 2 est un maximum, (v1 , v2 , v3 )