f:x7→ y=f(x) [a, b]R R+A
a6x6b
06y6f(x)
n[a, b]n
[a0, a1],[a1, a2],...,[an1, an]
a0=a, an=bba
nk0n
ak=a+kba
n
dnDn[ak, ak+1]
mkf[ak, ak+1] (ak+1 ak)×mkba
n×mk
dn=ba
n
n1
X
k=0
mk
DnMkf[ak, ak+1]
Dn=ba
n
n1
X
k=0
Mk
nN, dn6A6Dn
n
f∈ C([a, b],R+) (dn) (Dn)n+
a b f R[a,b]fRb
af(x)x
Z[a,b]
f= lim
n+
ba
n
n1
X
k=0
mk= lim
n+
ba
n
n1
X
k=0
Mk
nN, dn6A6Dn
A=Z[a,b]
f
x]0,π
2] [0, x]t7→ sin t dn
Rx
0sin t t 0x
H
mkMk
f[ak, ak+1]mk6f(ak)6Mkmk6fa+kba
n6Mk
dn6ba
n
n1
X
k=0
fa+kba
n6Dn
n+
Z[a,b]
f= lim
n+
ba
n
n1
X
k=0
fa+kba
n
Z[a,b]
f= lim
n+
ba
n
n
X
k=0
fa+kba
n= lim
n+
ba
n
n
X
k=1
fa+kba
n
f[0,1] a= 0 b= 1
lim
n+
1
n
n1
X
k=0
fk
n= lim
n+
1
n
n
X
k=1
fk
n=Z1
0
f(t)t
lim
n→∞ 1
n+ 1 +1
n+ 2 +··· +1
2n
H
n+2n
X
k=n+1
1
k2(21)n
H
lim
n→∞
1
n
n
p(n+ 1)(n+ 2) ···(n+n)
H
[a, b]x7→ f(x)
R+x x1, x2, . . . , xn
f(x1), f(x2), . . . , f(xn)
x1, x2, . . . , xn[a, b]
n x1
[a0, a1]x2[a1, a2]xk[ak1, ak]
k f(xk)f[ak1, ak]
mk16f(xk)6Mk1
1
n(m0+m1+··· +mn1)61
n(f(x1) + f(x2) + ··· +f(xn)) 61
n(M0+M1+··· +Mn1)
dn
ba61
n(f(x1) + f(x2) + ··· +f(xn)) 6Dn
ba
n(dn) (Dn)Z[a,b]
f
lim
n+
1
n(f(x1) + f(x2) + ··· +f(xn)) = 1
baZ[a,b]
f
f[a, b]
f[a, b]R+f[a, b]1
baZ[a,b]
f
R+
R C
Za
a
f(t)t= 0
a < b < c f ∈ C([a, c],R+)
Z[a,c]
f=Z[a,b]
f+Z[b,c]
f
a, b, c Z[b,a]
f=Z[a,b]
f
f∈ C([a, b],R C)nN
σn(f) = ba
n
n1
X
k=0
fa+kba
n
n7→ σn(f)
R+Z[a,b]
f= lim
n+σn(f)
f[a, b]
[a, b]Rm
f∈ C([a, b],R C)
Z[a,b]
f= lim
n+σn(f)σn(f) = ba
n
n1
X
k=0
fa+kba
n
x[a, b]f(x) = CZ[a,b]
f=C(ba)
fZ[a,b]
f= 0
α, β C,f, g ∈ C([a, b],C),Z[a,b]
(αf +βg) = αZ[a,b]
f+βZ[a,b]
g
f=f1+if2f1, f2∈ C([a, b],R)Z[a,b]
f=Z[a,b]
f1+iZ[a,b]
f2
f=f1+if2, f1=f+
1f
1, f2=f+
2f
2
f∈ C([a, b],R+)a<b Z[a,b]
f>0
f, g ∈ C([a, b],R)a<b t[a, b], f(t)6g(t)
Z[a,b]
f6Z[a,b]
g
t[a, b], g(t)f(t)>0Z[a,b]
(gf)>0Z[a,b]
gZ[a,b]
f>0
lim
x0+ Z3x
x
cos t
tt x ]0,π
6]t x 3xcos 3x6cos t6cos x
H
gR R g+g
g+(t) = max(g(t),0) g(t) = min(g(t),0)
g=g+g|g|=g++g
f[a, b]R+
Zb
a
f(t)t= 0 =⇒ ∀t[a, b], f(t) = 0
t0[a, b]f(t0)>0t0]a, b[
f(t0) = A f t0I= [t0δ, t0+δ]tI, f(t)>A
2
ε=A
2
g:IR+
t7→ A
2
ZI
g= 2δ×A
2=δA > 0
tI, f (t)>g(t)Z[a,b]
f>ZI
f>ZI
gZ[a,b]
f > 0
f∈ C([a, b],C)a<b
Zb
a
f(t)t6Zb
a|f(t)|t6(ba) sup
t[a,b]|f(t)|
n, |σn(f)|6σn(|f|)n+σn
f[a, b]Rf
H
f∈ C([a, b],R)Zb
a
f(t)t=Zb
a|f(t)|t f
H
f:IC R2RmtI, f0(t)=0 f I
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