Nombres complexes et arithmetique (Exercice 45p92)

Spécialité TS
Nombres complexes et arithmétique
Exercice 45 p 92Exercice 45 p 92 (Hyperbole Nathan 2006)
1) f est la rotation de centre O et d'angle
2010-2011
5π
.
6
M0(0;1)
5π
5π
4π
π
1
3
z1 = z0 ei 6 = ei2×ei 6 = ei 3 = - - i
2
2
 1 3
Donc M1 - ; 
 2 2
5π
4π
5π
13π
z2 = z1 ei 6 = ei 3 ×ei 6 = ei
6
=
3
1
+i
2
2
 3 1
; 
 2 2
Donc M2 
π 5nπ
+

6 


2) Soit Pn la propriété : Pour tout entier n, zn = ei2
π
P0 est vraie car z0 = ei2.
Supposons Pn vraie.
5π
π 5nπ
+

6 


zn+1 = zn ei 6 = ei2
5π
π 5(n + 1)π
+

6



ei 6 = ei2
1
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Nombres complexes et arithmétique
Exercice 45 p 92Exercice 45 p 92 (Hyperbole Nathan 2006)
2010-2011
Donc Pn+1 est vraie.
D'après le principe de récurrence, Pn est vraie pour tout n.
3) Mn et Mp sont confondus si et seulement si ils ont le même affixe.
Soit ssi zn = zp
C'est-à-dire ssi :
π 5nπ π 5pπ
+
= +
+ 2kπ
2
6
2
6
Soit : 5(n - p) = 12k
Donc 5(n – p) est un multiple de 12.
4) a)
(4;9) est solution car 12×4 - 5×9 = 48 – 45 = 3
Les solutions de (E) vérifient 12(x – 4) = 5(y – 9)
Donc 5 divise 12(x – 4).
Or 5 et 12 sont premiers entre eux, donc d'après le théorème de Gauss, 5
divise x – 4.
Donc x = 4 + 5k avec k entier relatif.
D'où : 12×5k = 5(y – 9)
Soit : y = 9 + 12k
Les solutions de (E) sont donc de la forme : (4 + 5k;9 + 12k) avec k entier
relatif.
b)
Mn appartient à la demi-droite [Ox) si
π 5nπ
+
= 2kπ avec k entier relatif.
2
6
Soit si : 3 + 5n = 12k
Soit si n = 9 + 12l avec l entier naturel.
2