Nombres complexes et arithmetique (Exercice 45p92)

Spécialité TS Nombres complexes et arithmétique 2010-2011
Exercice 45 p 92Exercice 45 p 92 (Hyperbole Nathan 2006)
1
1) f est la rotation de centre O et d'angle 5π
6.
M
0
(0;1)
z
1
= z
0
e
i5π
6
= e
iπ
2
×
e
i5π
6
= e
i4π
3
= -1
2 - i 3 2
Donc M
1
- 1
2;3 2
z
2
= z
1
e
i5π
6
= e
i4π
3
×
e
i5π
6
= e
i13π
6
= 3
2 + i 1 2
Donc M
2
3
2 ; 1 2
2) Soit P
n
la propriété : Pour tout entier n, z
n
= e
i
π
2
+ 5nπ
6
P
0
est vraie car z
0
= e
iπ
2
.
Supposons P
n
vraie.
z
n+1
= z
n
e
i5π
6
= e
i
π
2
+ 5nπ
6
e
i5π
6
= e
i
π
2
+ 5(n + 1)π
6

Spécialité TS Nombres complexes et arithmétique 2010-2011
Exercice 45 p 92Exercice 45 p 92 (Hyperbole Nathan 2006)
2
Donc P
n+1
est vraie.
D'après le principe de récurrence, P
n
est vraie pour tout n.
3) M
n
et M
p
sont confondus si et seulement si ils ont le même affixe.
Soit ssi z
n
= z
p
C'est-à-dire ssi : π
2 + 5nπ 6 = π 2 + 5pπ 6 + 2kπ
Soit : 5(n - p) = 12k
Donc 5(n – p) est un multiple de 12.
4) a) (4;9) est solution car 12×4 - 5×9 = 48 – 45 = 3
Les solutions de (E) vérifient 12(x – 4) = 5(y – 9)
Donc 5 divise 12(x – 4).
Or 5 et 12 sont premiers entre eux, donc d'après le théorème de Gauss, 5
divise x – 4.
Donc x = 4 + 5k avec k entier relatif.
D'où : 12×5k = 5(y – 9)
Soit : y = 9 + 12k
Les solutions de (E) sont donc de la forme : (4 + 5k;9 + 12k) avec k entier
relatif.
b) M
n
appartient à la demi-droite [Ox) si π
2 + 5nπ 6 = 2kπ avec k entier relatif.
Soit si : 3 + 5n = 12k
Soit si n = 9 + 12l avec l entier naturel.