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14 février 2013
Polynômes.
I
Quelques notions d'arithmétique dans
Dénition 1.
tel que b “ ac.
a est appelé un
Exemple 1.
Z
divise b (dans Z), et on le note a | b si et seulement si il existe c P Z
diviseur de b, et b un multiple de a.
Soient a, b P Z. On dit que a
´3 est un diviseur de 12 car 12 “ p´3q ˆ p´4q.
Proposition 1.
pa | b et b | aq ñ |a| “ |b|
Proposition 2.
Soient a, b, c, d P Z et n P N˚ . On a :
"
3. a | b ñ a | bc
"
a|b
4.
ña|b`c
a|c
1. a | a
"
a|b
2.
ña|c
b|c
Théorème 1 (division euclidienne).
quotient
5.
a|c
ñ ab | cd
b|d
6. a | b ñ an | bn
Soient pa, bq P N ˆ N˚ . il existe un couple unique pq, rq de N tel que :
"
a “ bq ` r
0ďrăb
reste
On dit que q est le
et r le
de la division euclidienne de a par b.
Exemple : pour a “ 1357 et b “ 29 : lo1357
omoon “ loo29
moon ˆ loo46
moon ` loo23
moon
a
Remarque 1.
b
q
r
b | a si et seulement si le reste de la division euclidienne de a par b est nul.
Dénition 2.
Un entier naturel p est dit
premier si p ě 2 et si les seuls diviseurs de p dans N sont 1 et p.
i.e. @n P N˚ , n | p ñ pn “ 1 ou n “ pq
Exemples 2.
2, 3, 5, 7, 11, . . . sont premiers. 9 n'est pas premier car 3 | 9.
Remarques 2.
1. 2 est le plus petit des nombres premiers.
2. On peut étendre la dénition : n P Z est dit premier si |n| est premier.
Théorème 2. Tout élément de N ´ t0, 1u peut s'écrire de manière unique (à l'ordre près des facteurs) comme
un produit de nombres premiers.
Par exemple : 140 “ 22 ˆ 5 ˆ 7.
Remarque 3.
α1 , . . . , αN
Ceci revient à dire que si n ě 2, DN P N˚ , p1 , . . . , pN premiers deux à deux distincts, et
N
ź
P N˚ tels que : n “
pi αi
i“1
Théorème 3.
L'ensemble des nombres premiers est inni.
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Polynômes.
14 février 2013
Par l'absurde. Supposons que cet ensemble est ni de cardinal n, et notons p1 , . . . , pn ses éléments. On considère
alors le nombre N “ p1 . . . pn ` 1 (ě 2).
Soit q un nombre premier qui divise N . q est l'un des pi , donc q | p1 . . . pn . q divise alors la diérence N ´ p1 . . . pn “ 1, ce qui est
absurde.
Démonstration.
On peut donc en théorie trouver des nombres premiers aussi grands qu'on veut, mais en pratique, ils ne sont
pas faciles à déterminer.
Exemple de gros nombre premier : 286243 ´ 1 (25962 chires).
II
Ensemble
KrXs
des polynômes
K “ R ou C est un corps.
II.A Dénition formelle d'un polynôme
Dénition 3.
Un polynôme P à une indéterminée à coecients dans K est une suite innie d'éléments de K,
tous nuls à partir d'un certain rang (appelés
de P ).
coecients
N otation : P “ pa0 , a1 , . . . , an , 0, 0, . . . , 0, . . .q “ pai qiPN
n
ÿ
ou :
P “ P pXq “ a0 ` a1 X ` ¨ ¨ ¨ ` an X n “
ak X k
k“0
On convient dans la deuxième notation que X 0 “ 1. On note KrXs l'ensemble des polynômes à une indéterminée.
Pour tout entier n on démontre après avoir déni les opérations dans KpNq que X n “ p0, .., 0, 1, 0, ...q avec
un 1 à la pn ` 1q-ième position.
Exemples 3.
0, 1, X 3 ` X, X ` π sont des éléments de RrXs.
X 2 ` i P CrXs mais X 2 ` i R RrXs
Remarque 4.
Par dénition, deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coecients sont égaux (principe
d'identication des coecients).
Attention! La lettre X appelée indéterminée, est une notation : elle ne correspond pas à une valeur où à une
inconnue.
Vocabulaire :
On appelle :
Polynôme nul le polynôme dont tous les coecients sont nuls.
Polynôme unité le polynôme P “ 1.
Polynômes constants les polynômes de la forme P “ a .
Monôme un polynôme de la forme P “ a X .
0
p
Dénition 4 (degré d'un polynôme).
suivante :
p
A tout polynôme P , on associe son
degré noté deg P , déni de la manière
1) deg 0 “ ´8
2) Si P ‰ 0, P “ a0 ` a1 X ` ¨ ¨ ¨ ` an X n avec an ‰ 0, alors deg P “ n.
Dans ce cas, an est appelé
du polynôme P .
Si an “ 1, alors le polynôme P est dit
.
coecient dominant
unitaire
Dénition 5.
à n.
Remarque 5.
On note Kn rXs le sous-ensemble de KrXs constitué des polynômes de degré inférieurs ou égaux
Si le degré du polynôme P est connu, on peut noter : P “
n
ÿ
ak X k
k“0
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Polynômes.
II.B
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Fonctions polynomiales
II.B Fonctions polynomiales
Dénition 6.
n
ÿ
Soit P P KrXs. On note P “
ak X k .
fonction polynomiale Pr associée à P par :
k“0
On dénit la
$
’
& K Ñ K
Pr :
’
% x
ÞÑ a0 ` a1 x ` ¨ ¨ ¨ ` an xn “
n
ÿ
ak xk “ Prpxq
k“0
Remarque 6.
On verra plus loin que si K “ R ou C, il existe une correspondance bijective entre l'ensemble
KrXs des polynômes et l'ensemble des fonctions polynomiales sur K. On identiera donc un polynôme P à sa
fonction polynomiale Pr. Si a P K, on notera ainsi P paq au lieu de Prpaq.
Observons les règles d'addition et de multiplication des fonctions polynomiales. On note n “ max tdeg P, deg Qu
n
n
ÿ
ÿ
bk X k .
ak X k , Q “
et P “
k“0
On a pour la somme :
k“0
n
ÿ
r
Prpxq ` Qpxq
“
ak xk `
k“0
n
ÿ
bk x k “
k“0
n
ÿ
pak ` bk qxk
k“0
Pour ce qui concerne le produit, on a :
r
PrpxqQpxq
“ pa0 ` a1 x ` a2 x2 ` ¨ ¨ ¨ ` an xn qpb0 ` b1 x ` b2 x2 ` ¨ ¨ ¨ ` bn xn q
“ a0 b0 ` pa0 b1 ` a1 b0 qx ` ¨ ¨ ¨ ` pa0 bn ` a1 bn´1 ` a2 bn´2 ` ¨ ¨ ¨ ` an b0 qxn
`pa1 bn ` a2 bn´1 ` ¨ ¨ ¨ an b1 qxn`1 ` ¨ ¨ ¨ ` an bn x2n
r
Ou encore : PrpxqQpxq
“
2n
ÿ
ck X k avec ck “
ÿ
ai bj .
i`j“k
0ďi,jďn
k“0
Ces constatations nous servent à dénir les opérations suivantes sur KrXs :
II.C Opérations sur les polynômes
addition
Dénition 7.
Si P “
`8
ÿ
On dénit l'
et la
`8
ÿ
ak X k et Q “
bk X k , alors :
k“0
multiplication des polynômes de KrXs de la manière suivante :
k“0
P `Q“
`8
ÿ
pak ` bk qX k
et
k“0
avec ck “
k
ÿ
P ˆQ“
`8
ÿ
ck X k
k“0
ai bk´i “ a0 bk ` a1 bk´1 ` ¨ ¨ ¨ ` ak b0
i“0
Remarque 7.
Avec ces dénitions, l'addition et la multiplication des polynômes ont les mêmes propriétés
(associativité, distributivité,...) que celles des fonctions polynomiales associées.
Par exemple,
pX 2 ` iq ` pX 3 ´ 2X ´ iq “ X 3 ` X 2 ´ 2X
pX ` 1qp´iX 2 ` 5q “ ´iX 3 ´ iX 2 ` 5X ` 5
Proposition 3.
Soient P, Q P KrXs, alors :
1. degpP ` Qq ď maxtdeg P, deg Qu
(avec les conventions ´8 ď p @p P N et ´8 ď ´8).
2. degpP Qq “ deg P ` deg Q
(avec les conventions ´8 ` p “ ´8 @p P N et ´8 ` p´8q “ ´8).
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Polynômes.
II.C
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Opérations sur les polynômes
Démonstration.
‚ Si P “ 0 ou Q “ 0, 1. et 2. sont évidents.
q
p
ÿ
ÿ
ak X k , Q “
bk X k , avec p “ deg P et q “ deg Q.
‚ Si P ‰ 0 et Q ‰ 0, on note : P “
k“0
1. P ` Q “
`8
ÿ
k“0
pak ` bk qX k
k“0
Si k ě maxtdeg P, deg Qu “ n, on a ak “ bk “ 0, et donc ak ` bk “ 0,
d'où P ` Q “
n
ÿ
pak ` bk qX k , et degpP ` Qq ď n “ maxtdeg P, deg Qu
k“0
2. P ˆ Q “
p`q
ÿ
ck X k , avec :
k“0
cp`q
“
aop`q
aop`1
boq`1
a0 lo
bop`q
bp`q´1 ` ¨ ¨ ¨ ` ap´1 lo
moon b0
moon `a1 looomooon
moon bq´1 ` ¨ ¨ ¨ ` lo
moon `ap bq ` lo
“
ap bq ‰ 0
“0
et si k ą p ` q , ck “
k
ÿ
“0
“0
“0
“0
ai bk´i “ 0.
i“0
En eet, pour i ą p, ai “ 0, et pour i ď p, k ´i ą p`q ´i ě q , donc bk´i “ 0, d'où degpP Qq “ p`q “ deg P `deg Q
Conséquence :
P Q “ 0 ñ pP “ 0 ou Q “ 0q. On dit que KrXs est
intègre.
En eet pP ‰ 0 et Q ‰ 0q ñ degpP Qq ě 0 ñ P Q ‰ 0.
Dénition 8.
8
ÿ
Si P “
ak X k et λ P K, on dénit le produit du polynôme P par le scalaire λ par :
k“0
8
ÿ
pλ.P qpXq “
pλak qX k
k“0
Remarques 8.
1. C'est une opération
externe (produit d'un élément de K et d'un élément de KrXs).
2. On obtient le même résultat en eectuant le produit de P et du polynôme constant ou nul Q “ λ. Pour
cette raison, on identie K0 rXs au corps K.
Proposition 4.
1. pKrXs, `q est un groupe commutatif.
2. Si λ, µ P K, P, Q P KrXs :
‚ λpP ` Qq “ λP ` λQ
‚ pλ ` µqP “ λP ` µP
‚ λpµP q “ pλµqP
Comme ces propriétés sont vériées, on dit que pKrXs, `, ¨q est un K
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- espace vectoriel.
Polynômes.
II.D
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Polynômes dérivés
II.D Polynômes dérivés
Dénition 9.
Soit P P KrXs. P “
n
ÿ
ak X k “ a0 ` a1 X ` ¨ ¨ ¨ an X n .
k“0
On appelle
polynôme dérivé de P , noté P , le polynôme déni par :
1
$
’
& 0n si deg P ď 0
ÿ
P1 “
kak X k´1 “ a1 ` 2a2 X ` ¨ ¨ ¨ nan X n´1
’
%
si deg P ě 1
k“1
On dénit également les
polynômes dérivés successifs par :
#
P p0q “ P
´
¯1
P pkq “ P pk´1q
@k P N˚
Par exemple, on a : P p1q “ P 1 et P p2q “ P 2 .
Proposition 5.
"
1. @P P KrXs, deg P 1 “
deg P ´ 1 si deg P ě 1
´8 si deg P ď 0
2. @P P KrXs, @n P N, pdeg P ď n ô P pn`1q “ 0q
Proposition 6.
Soit P, Q P KrXs et λ P K, alors :
1. pP ` Qq “ P 1 ` Q1
1
2. pλP q1 “ λP 1
3. pP Qq1 “ P 1 Q ` P Q1
Remarque 9. De manière générale, tout ce qui a été vu sur la dérivation des fonctions polynomiales est encore
vrai pour les polynômes dérivés.
Proposition 7 (Formule de Leibniz).
@P, Q P KrXs, @n P N :
pnq
pP Qq
n ˆ ˙
ÿ
n
“
P pkq Qpn´kq
k
k“0
Par récurrence sur N.
‚ Pour n “ 0, c'est évident.
‚ Supposons la propriété vraie au rang n. Soient P, Q P KrXs :
˜
¸1
n ´ ¯
´
¯1
ÿ
n pkq pn´kq
pn`1q
pnq
P Q
pP Qq
“
pP Qq
“
k
k“0
n
´
¯
´
¯
ÿ n
1
“
P pkq Qpn´kq
k
k“0
n ´ ¯´
¯
ÿ
n
“
P pk`1q Qpn´kq ` P pkq Qpn´k`1q
k
k“0
n ´ ¯
n ´ ¯
ÿ
ÿ
n pk`1q pn´kq
n pkq pn`1´kq
“
P
Q
`
P Q
k
k
k“0
k“0
n`1
n ´ ¯
ÿ ´ n ¯
ÿ
n pkq pn`1´kq
“
P pkq Qpn´pk´1qq `
P Q
k
´
1
k
k“1
k“0 ˙
ˆ
n
´
¯
´
¯
ÿ
n
n
“ P pn`1q Qp0q `
`
P pkq Qpn`1´kq ` P p0q Qpn`1q
k
´
1
k
k“1 looooooooooomooooooooooon
Démonstration.
´
¯
“ n`1
k
pP Qqpn`1q
n`1
ÿ ´
“
k“0
n ` 1¯ pkq pn`1´kq
P Q
k
donc la propriété est vraie au rang n ` 1.
‚ Par récurrence, le résultat est vrai pour tout entier n.
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Polynômes.
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III
Arithmétique dans
KrXs
III.A Divisibilité dans KrXs
divise P (dans KrXs), et on le note A | P si et seulement si
Dénition 10.
Soient A, P P KrXs. On dit que A
il existe Q P KrXs tel que P “ AQ.
A est appelé un
de P , et P un
de A.
diviseur
multiple
Exemples 4.
Dans RrXs, X est un diviseur de X 3 ` X car X 3 ` X “ XpX 2 ` 1q.
X ` 1 | 2X ` 2 car 2X ` 2 “ 2 ˆ pX ` 1q.
1
et 2X ` 2 | X ` 1 car X ` 1 “ ˆ p2X ` 2q.
2
Dans CrXs, X ` i est un diviseur de X 2 ` 1 car X 2 ` 1 “ pX ´ iqpX ` iq.
Proposition 8.
Soient A, B, C, D P KrXs et n P N˚ . On a :
"
3. A | B ñ A | BC
"
A|B
4.
ñA|B`C
A|C
1. A | A
"
A|B
2.
ñA|C
B|C
5.
A|C
ñ AB | CD
B|D
6. A | B ñ An | B n
Remarques 10.
1. Tout polynôme divise le polynôme nul.
En eet 0 “ P ˆ 0.
2. Un polynôme de degré 0 (c'est à dire constant et non nul) divise tout polynôme.
ˆ
˙
1
En eet, si P P KrXs et λ P K˚ , alors P “
P ˆ λ.
λ
Proposition 9.
Si P est un polynôme non nul et si A | P , alors deg A ď deg P .
Si A | P , alors il existe Q P KrXs tel que P “ AQ.
On en déduit deg P “ deg A ` deg Q, et deg A “ deg P ´ deg Q ď deg P .
Démonstration.
Proposition 10.
Soient A, B P KrXs deux polynômes non nuls. Alors :
pA | B et B | Aq ô Dλ P K˚ tel que B “ λA
On dit alors que les polynômes A et B sont
Démonstration.
deg A “ deg B .
associés.
Supposons A | B et B | A. Comme A | B , alors deg A ď deg B , et de même, on a deg B ď deg A. Donc
De plus, comme A divise B on a B “ AC avec deg B “ deg A ` deg C . D'où deg C “ 0, C “ λ est un polynôme constant et
B “ λA.
La réciproque est évidente.
III.B Division euclidienne
On va commencer par décrire le principe de cette opération sur un exemple. Eectuons la division euclidienne
de 2X 4 ` X 3 ´ X 2 ` X ` 1 par 2X 2 ´ X ´ 2. Il s'agit de procéder par étapes (à chaque étape, on élimine le
monôme de plus haut degré) :
2X 4 ` X 3 ´ X 2 ` X ` 1
“
“
“
X 2 p2X 2 ´ X ´ 2q ` 2X 3 ` X 2 ` X ` 1
X 2 p2X 2 ´ X ´ 2q ` Xp2X 2 ´ X ´ 2q ` 2X 2 ` 3X ` 1
X 2 p2X 2 ´ X ´ 2q ` Xp2X 2 ´ X ´ 2q ` 1p2X 2 ´ X ´ 2q ` 4X ` 3
2
p2X 2 ´ X ´ 2qpX
` X ` 1q ` 4X
`3
loooooomoooooon
loomoon
Quotient
Reste
On choisit généralement de représenter ces étapes successives de la manière suivante :
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Polynômes.
III.B
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Division euclidienne
Pour la première étape :
2X 4 ` X 3 ´ X 2 ` X ` 1
´p2X 4 ´ X 3 ´ 2X 2 q
2X 2 ´ X ´ 2
X2
3
2
2X ` X ` X ` 1
Division complète :
2X 4 ` X 3 ´ X 2 ` X ` 1
´p2X 4 ´ X 3 ´ 2X 2 q
2X 2 ´ X ´ 2
X2 ` X ` 1
loooooomoooooon
2X 3 ` X 2 ` X ` 1
´p2X 3 ´ X 2 ´ 2Xq
Quotient
2X 2 ` 3X ` 1
´p2X 2 ´ X ´ 2q
4X
`3
loomoon
Reste
Théorème 4 (division euclidienne).
de KrXs tel que :
Q est le
"
Soient A, B P KrXs tels que B ‰ 0. Alors il existe un couple unique pQ, Rq
A “ BQ ` R
deg R ă deg B
pR “ 0 ou 0 ď deg R ă deg Bq
quotient et R le reste de la division euclidienne de A par B.
Démonstration.
‚ Existence : On pose n “ deg A et p “ deg B . p étant xé, on va démontrer par récurrence sur n la propriété :
Pn : " Si deg A ď n, le couple pQ, Rq existe."
˝ Initialisation : Si n ď p ´ 1, Pn est vraie (Q “ 0 et R “ A).
˝ Hérédité : Soit k ě p ´ 1 xé. Supposons Pk vraie. Montrons que Pk`1 est vraie.
Soit A P KrXs de degré k ` 1. On pose :
k`1
` ak X k ` ¨ ¨ ¨ ` a0
A “ lo
aok`1
moon X
‰0
p
p´1
` ¨ ¨ ¨ ` b0
B “ loobmo
p on X ` bp´1 X
avec k ` 1 ě p
‰0
On a alors :
A´
ak`1 k`1´p
X
B
bp
“
“
ˆ
˙
ak`1 bp´1
ak ´
Xk ` ¨ ¨ ¨
bp
a1k X k ` ¨ ¨ ¨ ` a10 “ A1
avec deg A1 ď k, donc d'après l'hypothèse de récurrence, on a :
A1 “ BQ1 ` R1 avec deg R1 ď deg B
ak`1 k`1´p
et A “ Bp
X
` Q1 q ` looR
1on “ BQ ` R, donc Pk`1 est vraie.
mo
bp
loooooooooooomoooooooooooon
“R
“Q
˝ Conclusion : Par récurrence, Pn est vraie pour tout entier n.
‚ Unicité : Supposons A “ BQ ` R “ BQ1 ` R1 avec deg R ă deg B et deg R1 ă deg B . Alors BpQ ´ Q1 q “ R1 ´ R, d'où :
degpBpQ ´ Q1 qq “ degpR1 ´ Rq ď maxtdeg R, deg R1 u ă deg B
Or degpBpQ ´ Q1 qq “ deg B ` degpQ ´ Q1 q ă deg B , donc degpQ ´ Q1 q “ ´8, et Q ´ Q1 “ 0. On a alors Q “ Q1 , et donc
R “ R1 .
Exercice III.1.
Soit A “ X 4 ` X 3 ´ X 2 ` X ´ 2 P RrXs
1) Eectuer la division euclidienne de A par B “ X 2 ´ X ` 1
2) Montrer que X 2 ` 1 divise A.
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Polynômes.
14 février 2013
Remarque 11.
B divise A si et seulement si le reste de la division euclidienne de A par B est nul.
Exercice III.2.
Trouver le reste de la division euclidienne de A “ X 50 par
B “ X ´ 3X ` 2.
2
IV
Racines des polynômes de
KrXs
IV.A Racine d'un polynôme
zéro (ou une racine ) du polynôme P si α annule la fonction
Dénition 11.
Soit α P K. On dit que α est un
polynomiale associée à P , c'est à dire si P pαq “ 0.
Théorème 5.
Démonstration.
α est un zéro de P ðñ P est divisible par X ´ α
On va montrer les implications réciproques :
ð : Si pX ´ αq | P , alors il existe Q P KrXs tel que P “ pX ´ αqQ.
On a donc P pαq “ pα ´ αqQpαq “ 0, et α est racine de P .
ñ : Supposons que α est une racine de P . La division euclidienne de P par X ´ α donne :
P “ pX ´ αqQ ` R
avec deg R ă 1, donc R “ λ P K
Or P pαq “ 0 “ λ, donc P “ pX ´ αqQ, ce qui prouve que X ´ α | P .
Exercice IV.1.
de P .
Soit P “ X 3 ´ 10X 2 ` 29X ´ 20. Vérier que 1 est racine de P , et en déduire les autres racines
IV.B Multiplicité des racines d'un polynôme
ordre de multiplicité (ou multiplicité )
Dénition 12. Soit P P KrXs ´ t0u et α P K une racine de P . On appelle
de la racine α, l'unique entier m P N˚ tel que pX ´ αqm | P et pX ´ αqm`1 - P .
Dans ce cas, on peut écrire P “ pX ´ αqm Q avec pX ´ αq - Q.
Remarque 12.
m est le plus grand entier tel que pX ´ αqm | P et 1 ď m ď deg P .
Exemple 5.
0 est une racine de multiplicité 2 de X 3 ´ X 2 car X 3 ´ X 2 “ X 2 pX ´ 1q et X 3 - pX 3 ´ X 2 q (la
division euclidienne a un reste non nul).
Proposition 11.
Démonstration.
Soit α P K et k ě 1, alors pX ´αqk | P si et seulement si P pαq “ P 1 pαq “ ¨ ¨ ¨ “ P pk´1q pαq “ 0.
On démontre séparément les conditions nécessaire et susante :
ñ : Supposons pX ´ αqk | P , alors P “ pX ´ αqk Q, et si i ď k ´ 1 :
P piq
“
“
Donc P piq pαq “
i ´ ¯´
´
¯piq
¯pjq
ÿ
i
pX ´ αqk Q
“
pX ´ αqk
Qpi´jq
j
j“0
i ´ ¯
ÿ
i
k!
pX ´ αqk´j Qpi´jq
j pk ´ jq!
j“0
i ´ ¯
ÿ
i
k!
pα ´ αqk´j Qpi´jq pαq “ 0.
j pk ´ jq! loooooomoooooon
j“0
“0
En conclusion, @i ď k ´ 1, P piq pαq “ 0.
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Polynômes.
IV.C
14 février 2013
Nombre de racines d'un polynôme
ð : Montrons par récurrence sur k que :
pP pαq “ P 1 pαq “ ¨ ¨ ¨ “ P pk´1q pαq “ 0q ñ pX ´ αqk | P
˝ Initialisation : Si k “ 1, c'est le résultat du théorème 5.
˝ Hérédité : Soit k ě 1 xé. Supposons la propriété vraie au rang k. Soit P P KrXs tel que P pαq “ P 1 pαq “ ¨ ¨ ¨ “
P pk´1q pαq “ P pkq pαq “ 0. Montrons que pX ´ αqk`1 | P .
D'après l'hypothèse de récurrence, on a pX ´ αqk | P , donc P “ pX ´ αqk Q. Ainsi :
P pkq “
k ´ ¯
ÿ
k
i“0
k!
pX ´ αqk´i Qpk´iq
i pk ´ iq!
et P pαq “ 0 “ k!Q pαq “ k!Qpαq “ 0, d'où Qpαq “ 0.
Comme Qpαq “ 0, alors pX ´ αq | Q, et
pkq
p0q
P “ pX ´ αqk Q “ pX ´ αqk pX ´ αqQ1 “ pX ´ αqk`1 Q1
Donc pX ´ αqk`1 divise P , et le résultat est vrai au rang k ` 1.
˝ Conclusion : Par récurrence, le résultat est vrai pour tout entier k ě 1.
Théorème 6.
Soit α P K et m ě 1, alors α est une racine de multiplicité m de P si et seulement si P pαq “
P 1 pαq “ ¨ ¨ ¨ “ P pm´1q pαq “ 0 et P pmq pαq ‰ 0.
Démonstration.
ñ : Si α est une racine de multiplicité m de P , alors pX ´ αqm | P donc, d'après la propriété 11, on a P pαq “ P 1 pαq “ ¨ ¨ ¨ “
P pm´1q pαq “ 0.
De plus, P pmq pαq ‰ 0 car pX ´ αqm`1 - P .
ð : Si P pαq “ P 1 pαq “ ¨ ¨ ¨ “ P pm´1q pαq “ 0, alors d'après la propriété 11, pX ´ αqm | P .
Si de plus P pmq pαq ‰ 0, alors pX ´ αqm`1 - P .
Exercice IV.2.
On donne P “ X 4 ´ 7X 3 ` 15X 2 ´ 13X ` 4. Déterminer une racine évidente de P . Quelle est
la multiplicité de cette racine ? En déduire toutes les racines de P .
Exercice IV.3.
Soit n ě 1. Montrer que le polynôme P “ X n ´ 1 n'a que des racines simples dans C (on
pourra vérier par exemple que 1 est racine simple de P).
IV.C Nombre de racines d'un polynôme
Proposition 12.
Soit P P KrXs. Si α1 , α2 , . . . , αp sont p racines
pX ´ α1 qpX ´ α2 q ¨ ¨ ¨ pX ´ αp q.
distinctes de P , alors P
est divisible par
Démonstration.
˝ C'est vrai pour p “ 1, d'après le théorème 5.
˝ Soit p ě 1 xé. Supposons la propriété vraie au rang p. Soient α1 , α2 , . . . , αp`1 pp ` 1q racines distinctes de P . D'après
l'hypothèse de récurrence, P est divisible par
pX ´ α1 qpX ´ α2 q ¨ ¨ ¨ pX ´ αp q, donc :
P “ pX ´ α1 qpX ´ α2 q ¨ ¨ ¨ pX ´ αp qQ
D'où, P pαp`1 q “ pα
p`1 ´ a1 qpα
p`1 ´ α2 q ¨ ¨ ¨ pα
p`1 ´ αp qQpαp`1 q.
looooomooooon
looooomooooon
looooomooooon
‰0
‰0
‰0
Il s'ensuit que Qpαp`1 q “ 0, ce qui entraine pX ´ αp`1 q | Q, et le résultat est donc vrai au rang p ` 1.
˝ Conclusion : Par récurrence, le résultat est vrai pour tout entier p ě 1.
Remarque 13. On admet que ce résultat reste vrai si les racines de P sont comptées avec leur multiplicité.
Par exemple, si α est racine double de P et si β est racine triple de P alors pX ´ αq2 pX ´ βq3 divise P .
Théorème 7.
Soit P un polynôme de degré ď n (P P Kn rXs).
1. Si P ‰ 0, alors P admet au plus n racines distinctes dans K.
2. Si P admet plus de n racines distinctes, alors P est nul.
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Polynômes.
IV.D
Cas particulier des racines dans
14 février 2013
C
1. est la contraposée de 2. Montrons donc 2.
On suppose que P admet plus de n racines distinctes. Soient α1 , α2 , . . . , αn`1 des racines distinctes de P , alors pX ´ α1 qpX ´
α2 q ¨ ¨ ¨ pX ´ αn`1 q | P .
Donc P “ 0 ou deg P ě n ` 1, d'où P “ 0.
Démonstration.
Corollaire 1.
Soit P P KrXs. Si P a une innité de racines, alors P est le polynôme nul.
Exercice IV.4.
Soit n ě 0. Montrer que deux polynômes de Kn rXs dont les fonctions polynomiales associées
ont n ` 1 valeurs en commun sont égaux.
Proposition 13.
"
KrXs
P
(ou isomorphisme) pour les lois ` et ˆ.
r et P
Ą
r .)
(C'est à dire PČ
` Q “ Pr ` Q
Q “ PrQ
L'application ϕ :
Ñ tfonctions polynomiales sur Ku
est un
ÞÑ Pr
morphisme bijectif
Démonstration. ϕ est un morphisme par dénition des opérations ` et ˆ, clairement surjectif. Montrons que ϕ est injectif :
Soient P, Q P KrXs, alors :
ϕpP q “ ϕpQq
ô
ô
ô
r ô @x P R, P pxq “ Qpxq
Pr “ Q
@x P R, pP ´ Qqpxq “ 0 ô P ´ Q a une innité de racines.
P ´Q“0ôP “Q
Donc ϕ est injectif.
IV.D Cas particulier des racines dans C
Théorème 8 (d'Alembert-Gauss).
moins une racine dans C.
Tout polynôme non constant (c'est à dire de degré ě 1) de CrXs admet au
Remarque 14. Un polynôme de RrXs de degré ě 1 n'admet pas nécessairement de racine dans R. Par exemple
P “ X 2 ` 1 n'a pas de racine réelle, car :
@α P R, P pαq “ α2 ` 1 ą 0
Proposition 14.
Démonstration.
Soit P P RrXs. Si α P C est racine de P , alors α est également racine de P .
On pose P “ a0 ` a1 X ` ¨ ¨ ¨ ` an X n avec n ě 1 et ai P R.
α est racine de P , donc :
P pαq “ a0 ` a1 α ` ¨ ¨ ¨ ` an αn “ 0
En passant au conjugué de cette expression, on obtient :
0 “ P pαq
“
“
“
a0 ` a1 α ` ¨ ¨ ¨ ` an αn
a0 ` a1 α ` ¨ ¨ ¨ ` an αn “ 0
a0 ` a1 α ` ¨ ¨ ¨ ` an pαqn “ P pαq
α est donc racine de P .
Attention! C'est en général faux pour un polynôme de CrXs. Par exemple, i est racine de P “ X ´ i, mais
pas ī “ ´i.
Exercice IV.5.
les racines de P .
Soit P “ X 4 ` X 3 ´ 10X 2 ` 2X ´ 24. Vérier que
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?
2i est racine de P , et en déduire toutes
Polynômes.
14 février 2013
V
Factorisation des polynômes de
KrXs
V.A Polynômes irréductibles
irréductible
Dénition 13.
premier
Un polynôme P P KrXs est dit
dans KrXs (ou
) si et seulement si deg P ě 1
et P n'admet comme diviseurs (dans KrXs) que les polynômes constants non nuls (α P K˚ ) et les polynômes
associés à P (βP avec β P K˚ ).
Proposition 15.
P P KrXs est irréductible dans KrXs si et seulement si P n'admet pas de diviseur (dans
KrXs) de degré strictement compris entre 0 et deg P .
Démonstration.
ñ : Évident.
ð : On sait que si Q | P on a 0 ď deg Q ď deg P , donc deg Q “ 0 ou deg Q “ deg P .
1er cas : deg Q “ 0, alors Q est constant non nul.
2e cas : deg Q “ deg P .
On a Q | P donc P “ QR, ce qui entraine deg P “ deg Q ` deg R. D'où deg R “ 0.
R “ λ est un polynôme de degré zéro, et P “ λQ. P et Q sont donc associés.
Proposition 16.
Tout polynôme de degré 1 de KrXs est irréductible dans KrXs.
Si P P KrXs est de degré 1, alors il n'existe pas de polynôme Q de degré strictement compris entre 0 et deg P ,
donc d'aprés la proposition 15, P est irréductible.
Démonstration.
Exemples 6.
1. X ` i est irréductible dans CrXs. X ` 1 est irréductible dans RrXs (et CrXs).
2. P “ X 2 ` 1 est irréductible dans RrXs.
En eet, supposons que P admet un diviseur Q P RrXs de degré 1. À un coecient multiplicatif près, on
peut supposer que ce diviseur est un polynôme unitaire : Q “ X ´ λ. λ P R est alors racine de P , ce qui
est absurde car P n'a pas de racine réelle.
En revanche, X 2 ` 1 n'est pas irréductible dans CrXs, car X ` i P CrXs et X ` i | X 2 ` 1.
V.B Polynômes scindés
Proposition 17.
est ď n.
Démonstration.
Soit P P KrXs non nul, de degré n. Alors le nombre de ses racines (comptées avec multiplicité)
C'est clair en considérant la remarque 13 et le fait qu'un diviseur de P a pour degré au plus n.
Dénition 14.
KrXs.
Un polynôme P P KrXs est dit
scindé dans K si c'est un produit de polynômes de degré 1 de
Proposition 18.
Un polynôme de degré n ě 1 est scindé dans K si et seulement si il possède exactement n
racines dans K, comptées chacune avec son ordre de multiplicité.
Démonstration. La condition nécessaire est évidente, montrons la condition susante.
Si α1 , α2 , . . . , αn P K sont des racines de P comptées avec multiplicité, on sait que le polynôme P est divisible par pX ´ α1 qpX ´
α2 q ¨ ¨ ¨ pX ´ αn q. Comme de plus ces deux polynômes ont même degré, on en déduit qu'il existe λ P K tel que :
P “ λpX ´ α1 qpX ´ α2 q ¨ ¨ ¨ pX ´ αn q
Donc le polynôme P est scindé dans KrXs.
Remarques 15.
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Polynômes.
V.C
Cas général : factorisation dans
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KrXs
1. Dans ce cas, on peut écrire :
P “λ
n
ź
pX ´ αi q
i“1
où n “ deg P , λ P K˚ est le coecient dominant de P , et α1 , α2 , . . . , αn sont les racines de P (comptées
avec multiplicité).
2. On peut aussi écrire :
P “ λ
p
ź
pX ´ αi1 qki
i“1
où deg P “ k1 ` k2 ` ¨ ¨ ¨ ` kp , λ P K est le coecient dominant de P , et α1 1 , α1 2 , . . . , α1 p sont les racines
de P (de multiplicités respectives k1 , k2 , . . . , kp ).
˚
Ces écritures permettent de calculer les coecients du polynôme P en fonction de ses racines. Par exemple,
pour le polynôme du second degré, on a l'écriture suivante :
`
˘
P “ aX 2 ` bX ` c “ λpX ´ α1 qpX ´ α2 q “ λ X 2 ´ pα1 ` α2 qX ` α1 α2
Par identication des coecients du monôme de plus haut degré, on a a “ λ, donc :
b
c
X 2 ` X ` “ X 2 ´ pα1 ` α2 qX ` α1 α2
a
a
$
& α1 ` α2 “ ´ b
a
Finalement, on a les relations :
% α1 α2 “ c
a
On généralise ce résultat dans la propriété suivante :
Proposition 19.
. Soit P P KrXs un polynôme scindé de degré n.
Si on note P “ an X n ` an´1 X n´1 ` ¨ ¨ ¨ ` a0 et α1 , α2 , . . . , αn les racines de P (comptées avec multiplicité),
alors :
an´1
α1 ` α2 ` ¨ ¨ ¨ ` αn “ ´
an
n a0
α1 α2 . . . αn “ p´1q
an
Démonstration.
On peut écrire :
ˆ
˙
n
ź
an´1 n´1
a0
P “ an X n `
X
` ¨¨¨ `
“λ
pX ´ αi q
an
an
i“1
Par identication des coecients du monôme de plus haut degré, on a an “ λ. Ce qui donne en développant :
P
an
an´1 n´1
a0
X
` ¨¨¨ `
an
an
“
Xn `
“
X n ` p´α1 ´ α2 ´ ¨ ¨ ¨ ´ αn qX n´1 ` ¨ ¨ ¨ ` p´α1 qp´α2 q ¨ ¨ ¨ p´αn q
Par identication, on a donc :
an´1
“ ´α1 ´ α2 ´ ¨ ¨ ¨ ´ αn .
an
P p0q
a0
Le coecient du monôme constant :
“
“ p´1qn α1 α2 . . . αn .
an
an
Le coecient du monôme de degré n ´ 1 :
V.C Cas général : factorisation dans KrXs
de manière unique
Théorème 9.
Dans KrXs, tout polynôme de degré ě 1 se décompose
en un produit de
facteurs irréductibles de KrXs, c'est à dire qu'il existe un unique λ P K˚ , P1 , P2 , . . . , Pm irréductibles unitaires
distincts, et α1 , α2 , . . . , αm P N˚ tels que :
P “λ
m
ź
αm
Piαi “ λP1α1 P2α2 . . . Pm
i“1
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Polynômes.
V.D
Décomposition dans
14 février 2013
CrXs
Démonstration.
Unicité : Admise.
Existence : On procède par récurrence sur deg P “ n ě 1.
˝ Initialisation : Si n “ 1, la propriété est vraie car P est irréductible.
˝ Hérédité : Supposons la propriété vraie jusqu'au rang n. Soit P P KrXs, de degré n ` 1. Alors :
Soit P est irréductible.
Soit P n'est pas irréductible, et P admet un diviseur Q avec 1 ď deg Q ď n. On a P “ QR, et deg R “ deg P ´ deg Q “
n ´ deg Q, d'où 1 ď deg R ď n.
D'après l'hypothèse de récurrence, R et Q se décomposent en un produit de polynômes irréductibles, donc P également.
˝ Conclusion : Par récurrence, le résultat est vrai pour tout entier n ě 1.
Notation :
Cette écriture est appelée
décomposition de P sur K (ou dans KrXs).
V.D Décomposition dans CrXs
Proposition 20.
Les polynômes irréductibles de CrXs sont les polynômes de degré 1.
Démonstration.
Tout polynôme de degré 1 de CrXs est irréductible.
Réciproquement, si P P CrXs et deg P ě 2, alors d'aprés le théorème de d'Alembert-Gauss, P admet une racine z1 P C.
D'où X ´ z1 P CrXs et X ´ z1 | P . P n'est donc pas irréductible.
Proposition 21.
Soit P P CrXs. La décomposition de P dans CrXs est de la forme :
P “λ
m
ź
pX ´ αi qki
i“1
où λ P C˚ , α1 , α2 , . . . , αm P C, et k1 , k2 , . . . , km P N˚ .
Autrement dit, tout polynôme est scindé dans CrXs (et a donc exactement n racines comptées avec multiplicité).
Démonstration.
Exemple 7
C'est évident d'après le théorème 9 et la forme des polynômes irréductibles unitaires de CrXs.
(fondamental). Décomposition dans CrXs de P “ X n ´ 1.
Méthode : On cherche les racines de P :
z n ´ 1 “ 0 ô z n “ 1 “ e2ikπ , k P Z ô z “ e
P a n racines distinctes 1, e
2iπ
n
,e
4iπ
n
,...,e
2ipn´1qπ
n
2ikπ
n
, k P rr0, n ´ 1ss
, donc :
ˆ
˙ n´1
´
¯
¯
ź ´
2ipn´1qπ
2iπ
2ikπ
n
X n ´ 1 “ pX ´ 1q X ´ e n . . . X ´ e
“
X ´e n
k“0
Pour n “ 4, on obtient : X ´ 1 “ pX ´ 1qpX ` 1qpX ´ iqpX ` iq
4
V.E Décomposition dans RrXs
Proposition 22.
Les polynômes irréductibles de RrXs sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré
2 à discriminant ∆ ă 0.
Démonstration.
‚ Si P P RrXs est de degré 1, alors P est irréductible.
Si P est de degré 2 à discriminant ∆ ă 0, alors P n'a pas de racine réelle, donc n'est pas divisible par un polynôme de degré
1 de RrXs. Donc P est irréductible.
‚ Réciproquement, montrons par contraposée que si P est irréductible dans RrXs alors deg P “ 1 ou deg P “ 2 avec ∆ ă 0 :
Si deg P “ 2 avec ∆ ě 0, alors P admet une racine réelle a, donc X ´ a | P .
P n'est donc pas irréductible.
Si deg P ě 3 alors, d'après le théorème de d'Alembert-Gauss, P a une racine α P C. On distingue alors deux cas :
1er cas : Si α P R, X ´ α | P , donc P n'est pas irréductible.
2e cas : Si α P C ´ R alors, d'après la proposition 14, α est racine de P et α ‰ α, d'où pX ´ αqpX ´ αq | P . Or :
pX ´ αqpX ´ αq
“
X 2 ´ pα ` αqX ` αα
“
X 2 ´ 2 RepαqX ` |α|2 P RrXs
Donc P n'est pas irréductible.
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Polynômes.
V.E
Décomposition dans
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RrXs
Proposition 23. Soit P P RrXs. La décomposition de P dans CrXs est un produit de polynômes de degré 1
et de polynômes de degré 2 à discriminant strictement négatif de RrXs. Autrement dit :
P “λ
m
ź
1
pX ´ αi qki
i“1
m
ź
1
pX 2 ` pj X ` qj qkj
j“1
où λ P R˚ , αi P R, ppj , qj q P R2 avec pj 2 ´ 4qj ă 0 et ki , kj1 P N˚ .
Exercice V.1.
On donne P pXq “ X 3 ` 3X 2 ` 4X ` 2.
1. Factoriser P dans RrXs (on pourra remarquer une racine évidente).
2. Factoriser P dans CrXs
Exercice V.2.
On donne P pXq “ X 4 ` 1.
1. Factoriser P dans CrXs.
2. En déduire la décomposition de P dans RrXs (on pourra regrouper les facteurs conjugués).
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Polynômes.
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TABLE DES MATIÈRES
Table des matières
I Quelques notions d'arithmétique dans Z
II Ensemble KrXs des polynômes
II.A
II.B
II.C
II.D
Dénition formelle d'un polynôme
Fonctions polynomiales . . . . . . .
Opérations sur les polynômes . . .
Polynômes dérivés . . . . . . . . .
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III Arithmétique dans KrXs
III.A Divisibilité dans KrXs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.B Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV Racines des polynômes de KrXs
IV.A Racine d'un polynôme . . . . . . . . .
IV.B Multiplicité des racines d'un polynôme
IV.C Nombre de racines d'un polynôme . .
IV.D Cas particulier des racines dans C . .
V Factorisation des polynômes de
V.A
V.B
V.C
V.D
V.E
KrXs
Polynômes irréductibles . . . . . . . .
Polynômes scindés . . . . . . . . . . .
Cas général : factorisation dans KrXs
Décomposition dans CrXs . . . . . . .
Décomposition dans RrXs . . . . . . .
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3
3
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