CC1 proba 2007

U.J.F. (Grenoble I) UE Mat243
Probabilité : Contrôle Continu du
8/03/07
Durée 1h30. Notes de cours polycopiées autorisées. Pas de calculette.
Exercice A
Soit A, B, C, D des événements d'un espace probabilisé ni (Ω, P ).
1. On suppose que A ∩ B ⊂ C . Montrer que P (A) + P (B) ≤ 1 + P (C).
2. On suppose que A ∩ B ∩ C ⊂ D. Montrer que P (A) + P (B) + P (C) ≤
2 + P (D). [on pourra passer au complémentaire]
Exercice B
Un jour, Damien essaye d'appeler au téléphone Alice, Benoît et Carole
pour leur proposer une sortie en montagne. On suppose que les événements
A = Damien parvient à joindre Alice, B = Damien parvient à joindre
Benoît, C = Damien parvient à joindre Carole, sont indépendants et de
probabilités respectives a, b, c.
1. Soit J =Damien parvient à joindre au moins un de ses trois amis.
Exprimer J à l'aide de A, B et C puis calculer la probabilité P (J) en fonction
de a, b, c.
2. Que représente la variable N = 11A + 11B + 11C ? Indiquer l'ensemble
E de ses valeurs possibles.
3. Pour tout n ∈ E , on pose pn = P ([N = n]). Calculer directement p0
et p3 .
4. Calculer l'espérance et la variance de la variable N .
5. Calculer la fonction génératrice de N , dénie par GN (t) = E[tN ] pour
t ∈ R. En déduire la loi de la variable N .
6. Sachant que Damien n'a réussi à joindre qu'une seule personne, quelle
est la probabilité que ce soit Alice ?
Exercice C
On range au hasard n objets numérotés de 1 à n dans trois boîtes numérotées
de 1 à 3. On se place sur l'espace probabilisé (Ω, P ), où Ω est l'ensemble des
répartitions possibles et P la loi uniforme sur Ω.
1. Quel est le cardinal de Ω ?
2. On note N1 , N2 et N3 les nombres d'objets placés dans les boîtes 1,
2,et 3. Quelles sont les valeurs possibles pour les variables N1 , N2 et N3 ?
Que peut-on dire de leur somme ?
3. Soit n1 ∈ {0, ..., n}. Combien y-a-t-il de répartitions des objets avec
exactement n1 objets dans la première boîte ? En déduire P [N1 = n1 ].
4. Soient n1 , n2 et n3 trois entiers naturels de somme n. Combien y-a-t-il
de répartitions des objets avec exactement n1 , n2 et n3 objets dans les boîtes
1
1, 2 et 3 ? En déduire que
P ([N1 = n1 ; N2 = n2 ]) =
n!
1
.
n
3 n1 !n2 !(n − n1 − n2 )!
5. Les variables N1 et N2 sont-elles indépendantes (justier la réponse) ?
Exercice D
On considère un espace probabilisé ni (Ω, P ) et deux événements A et
B . On suppose que
P (A) = 2/3, P (B) = 1/2 et P (B|A) = PA (B) = 1/4.
1) Calculer P (A ∩ B), P (A ∪ B), P (Ac ∩ B) et P (Ac ∩ B c ).
2) On considère la variable aléatoire X = 211A − 11B
a) Quelle est la loi de X ?
b) Calculer l'espérance E(X) et la variance Var (X) de X .
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