Lycée Jean Perrin Classe de TSI Révisions d'oral (1) Sujet 1

Lycée Jean Perrin
Classe de TSI2
Révisions d'oral (1)
Sujet 1
Exercice 1 :
1. Trouver le rayon de convergence de
X 2xn
.
n2 − 1
n>2
2. Déterminer a et b tels que
2
a
b
=
+
n2 − 1
n−1 n+1
et calculer la somme de la série pour x ∈] − R, R[.
Exercice 2 : Soit A ∈ Mn (R) une matrice telle que AT = A.
1. Montrer que ∀x ∈ R, x2 − 2x + 8 > 7.
2. Justier qu'il existe une matrice P inversible et une matrice D diagonale telles que A = P DP −1 .
3. Montrer que A2 − 2A + 8In = P (D2 − 2D + 8In )P −1 . En déduire que tr(A2 − 2A + 8In ) > 7n.
[1]
Sujet 2

2
1. (a) Montrer que A =  1
0

1
−1  est diagonalisable et la diagonaliser.
3
1
2
0
(b) Calculer An pour n ∈ N∗ .
(c) A est-elle inversible ? Si oui, dire si le résultat trouvé pour An est applicable à n = −1.
2. (a) Soit a > 0. Montrer que
Z
changement de variable u =
(b) Calculer
Z
+∞
+∞
e−a
0√
√
t
dt et
Z
+∞
2ue−au du sont dénies et égales (on pourra utiliser le
0
t).
2ue−au du (on pourra faire une intégration par parties).
0
(c) Soit a ∈
R∗+
et k ∈ N , montrer que
∗
Z
k+1
e
√
−a t
dt 6 e
√
−a k
Z
X
k>1
√
e−a
e−a
√
t
dt.
k−1
k
En déduire la convergence de
k
6
k
et montrer que :
+∞
X
k=1
e−a
√
k
6
2
.
a2
[2]
Sujet 3
Exercice 
1:
0
 1
1. A = 
 0
0
−1
0
0
0

1 0
0 1 
 est-elle inversible ? Si oui, calculer A−1 .
0 −1 
1 0
2. Soient f0 (x) = sin x, f1 (x) = cos x, f2 (x) = x sin x et f3 (x) = x cos x.
La famille B = (f0 , f1 , f2 , f3 ) est-elle libre ?
3. Soit E l'espace engendré par B et φ l'application qui à f ∈ E associe f 0 .
Montrer que φ est un endomorphisme de E et donner sa matrice dans B.
4. Déduire de ce qui précède une primitive de x(sin x + cos x).
Exercice 2 :
Un transporteur aérien a observé que 25% en moyenne des personnes ayant réservé un siège pour un vol ne se présentent
pas au départ. Il décide d'accepter jusqu'à 23 réservations alors qu'il ne dispose que de 20 sièges pour ce vol.
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Révisions d'oral (1)
1. Soit X la variable aléatoire nombre de clients qui viennent après réservation quand 23 places ont été réservées .
Quelle est la loi de X (précisez les hypothèses que vous faites pour modéliser la situation) ? Quelle est son
espérance ?
2. Si 23 personnes ont réservé, quelle est la probabilité que toutes les personnes qui se présentent au départ aient un
siège ?
[3]
Sujet 4
Exercice 1 Pour P ∈ R[X], on pose φ(P ) = P (X) − P (X − 1).
1. Montrer que ψ = φ|R2 [X] est un endomorphisme. Quelle est la matrice canoniquement associée ?
2. Montrer que pour tout P ∈ R2 [X], φ3 (P) = 0.
Q(1) Q(2) Q(3)
Q(2) Q(3) Q(4)
3. Pour tout Q ∈ R[X], on note : D(Q) = Q(3) Q(4) Q(5)
Q(4) Q(5) Q(6)
Q(1) φ(Q)(2) φ(Q)(3) φ(Q)(4) Q(2) φ(Q)(3) φ(Q)(4) φ(Q)(5) .
Montrer que D(Q) = Q(3) φ(Q)(4) φ(Q)(5) φ(Q)(6) Q(4) φ(Q)(5) φ(Q)(6) φ(Q)(7) Q(4)
Q(5)
Q(6)
Q(7)
.
4. Utiliser les résultats des questions 2 et 3 pour montrer que :
∀Q ∈ R2 [X],
D(Q) = 0
Exercice 2
Un professeur oublie fréquemment ses clés. Pour tout n, on note : En l'événement le jour n, le professeur oublie ses
clés , ainsi que les probabilités Pn = P (En ), Qn = P (En ).
On suppose que : P1 = a est donné et que si le jour n il oublie ses clés, le jour suivant il les oublie avec la probabilité
1/10 ; si le jour n il n'oublie pas ses clés, le jour suivant il les oublie avec la probabilité 4/10.
1
4
1. Montrer que Pn+1 = Pn + Qn . En déduire une relation entre Pn+1 et Pn .
10
10
2. Quelle est la probabilité de l ?événement le jour n, le professeur oublie ses clés ?
[4]
Sujet 5
Exercice 1 :
1. Factoriser le polynôme P (X) = X 3 − 7X + 6 dans C[X].
2. Trouver les racines du polynôme Q(X) = X 9 − 7X 3 + 6 sur C. Donner, par deux méthodes, la somme des racines
de Q.
3. Mêmes questions pour Qn (X) = X 3n − 7X n + 6.
4. Factoriser Q dans R[X].
3x + y x − y
,
.
4
4
1. Résoudre ∀(u, v) ∈ R2 , le système Φ(x, y) = (u, v).
Exercice 2 : Soit Φ(x, y) =
Φ est-elle bijective ? de classe C 1 ? Même question pour ϕ−1 .
∂g(u, v)
2. Soit g de classe C 1 sur R2 telle que
= 7(u + v). Résoudre cette équation.
∂v
∂f (x, y)
∂f (x, y)
3. Montrer que cela revient à résoudre
−3
= 7x.
∂x
∂y
Comment résoudre si le second membre est f (x, y) ?
[5]
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