DS 5 – 23/01/2016

Psi 945 – 2015/2016
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DS 5 – 23/01/2016
Le sujet est composé d’un exercice (probabilités pour analyser un programme
Python) et d’un problème (séries entières, intégration) complètement
indépendants.
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Probabilités
Pour ce problème, on donne le programme Python suivant :
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def injective(p, N):
valeurs_prises = [False for _ in range(N)]
images = []
for compteur in range(p):
y = randint(0, N-1)
while valeurs_prises[y]:
y = randint(0, N-1)
images.append(y)
valeurs_prises[y] = True
return images
On rappelle que randint(a, b) renvoie un entier aléatoire de [[a, b]] (chacun avec la même
probabilité).
1. Analyse du fonctionnement du programme :
On suppose qu’on exécute injective(p, N), avec 2 6 p 6 N .
(a) Lors du premier passage à la ligne 6 :
– Quelles sont les valeurs des variables valeurs_prises, images, compteur, y ?
– Que vaut valeur_prises[y] ?
Est-ce que la ligne 7 est exécutée après ce premier passage à la ligne 6 ?
(b) Lors du deuxième passage à la ligne 6, expliquer ce qui peut se passer, selon la
valeur de y qui aura été affectée juste avant (au deuxième passage à la ligne 5).
(c) On suppose qu’au deuxième passage dans la boucle 4 → 9 on passe à la ligne 8.
Que vaut images avant et après l’exécution de cette ligne ?
(d) On suppose que l’exécution conduit à la ligne 10. Que dire alors de la valeur
retournée ? Donner un exemple possible si (p, N ) = (5, 10).
2. Analyse de la complexité du programme :
L’exécution du programme étant soumise à l’aléa des randint, son temps d’exécution n’est pas constant. Pour évaluer la complexité temporelle, on peut s’intéresser au
nombre d’appels à la fonction randint, qui peut être vu comme une variable aléatoire,
qu’on notera X. On va par ailleurs noter, pour 0 6 c < p, Xc le nombre d’appels à la
p−1
P
fonction randint lorsque compteur vaut c. On a donc X =
Xc .
c=0
(a) Montrer que l’exécution de injective(p, N) peut ne pas terminer.
La variable aléatoire X est donc seulement définie lorsque le programme termine.
(b) Montrer qu’en cas de terminaison, on a X > p, et que pour p > 2, il n’existe pas
de majorant a priori de X.
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(c) Que vaut X0 ?
(d) Lorsque compteur vaut 1, montrer qu’on passe une première fois à la ligne 7 avec
probabilité N1 ·
Pour k > 1 fixé, quelle est la probabilité pour qu’on y passe au moins k fois ? Et
exactement k fois ? Identifier précisément la loi de X1 .
(e) Donner (avec une rapide justification) la loi de X2 , puis celle de Xc , pour 1 6 c < p.
(f) Donner, pour 0 6 c < p, la valeur de E(Xc ) en fonction de c, p et N .
Exprimer enfin E(X) en fonction de p et N (et simplifier l’expression obtenue).
C’est l’espérance de X qu’on peut raisonnablement prendre comme « complexité moyenne »
du programme.
3. Deux cas particuliers :
(a) Lorsque N = 2p, montrer : E(X) ∼ Kp lorsque p tend vers +∞, avec K une
constante qu’on précisera.
(b) Lorsque N = p, que dire du résultat retourné par injective(p, N) ? Donner
alors un équivalent simple de X lorsque p tend vers +∞.
4. Terminaison :
On suppose qu’on exécute injective(p, N) avec 2 6 p 6 N .
(a) Lorsque compteur vaut 0, montrer qu’on passe de façon certaine à la ligne 8.
(b) Lorsque compteur vaut 1, montrer qu’avec probabilité 1 on passe à la ligne 8.
(c) Montrer que si p > 4, alors avec probabilité 1, compteur passera à la valeur 3 lors
de l’exécution du programme.
(d) Conclure !
5. Un petit malin explique « qu’on aurait pu s’en sortir sans le tableau de booléen, via
un test de la forme while y in images: ce qui aurait eu le bon goût d’améliorer la
lisibilité et la complexité de ce programme. »
Commenter la remarque de cet impertinent !
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Intégration : extrait de CCP 2012 PC (maths 2)
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