« Prenons pour exemple une maladie rare qui atteint, disons 1

« Prenons pour exemple une maladie rare qui atteint, disons 1 individu sur 10 000 (ce peut être le Sida ou la
maladie de la vache folle). On met au point un test pour détecter si un individu est infecté par la maladie. Ce test
donne des résultats fiables dans 99,9 % des cas. C'est donc a priori un excellent test. Supposons à présent qu'on
pratique le test sur un individu pris au hasard et que ce test soit positif. Quelle est la probabilité que l'individu
ainsi testé soit effectivement infecté ? Le calcul des probabilités nous répond sans hésiter 10 % (9% exactement) !
Autrement dit, alors que le test est positif, l'individu a 90 % de chances d'être sain (...).
Si dans notre exemple la maladie atteignait 1 % des individus, le test positif sur un individu pris au hasard
l'informerait qu'il a plus de 90 % de chances d'être infecté (...) Les tests de dépistage ne sont efficaces que pour les
maladies fréquentes ou les épidémies. Dans le cas des maladies rares, contrairement à ce que disent les bons
esprits : "le test n'est pas parfait, mais ça vaut mieux que rien", il faut que les tests soient parfaits.
Si on applique un tel test (excellent mais imparfait) pour dépister la maladie de la vache folle et qu'on abat les
vaches testées positives, on va déclencher un massacre bovin généralisé, ruineux et inutile. »
Claude Allègre, L'Express, 2591 (1-7 mars 2001)
On choisit au hasard un individu de la population concernée. On note M l'événement « II a la maladie », T
l'événement « Le test est positif pour cet individu » .
La troisième phrase signifie que
PM(T) = 0,999 et PError!(Error!) = 0,999.
1° Vérifier le calcul du premier paragraphe.
2° Vérifier le calcul du deuxième paragraphe.
3° On appelle p la proportion d'individus infectés. Exprimer en fonction de p la valeur diagnostique du test, c'està-dire la probabilité que l'individu soit malade s'il a un test positif.
4° Etes-vous d'accord avec les conclusions de l'auteur ? Expliquez.
5° On considère que le test est fiable lorsque la probabilité qu'un individu ayant un test positif soit malade est
supérieure à 0,95. Le test est-il fiable si la proportion x d'individus atteints de la maladie est de 0,05 (5%) ?
A partir de quelle proportion x le test est-il fiable ?
1 Un sujet commun de Physique peut être créé par trois professeurs X , Y et Z avec les probabilités suivantes
compte tenu de l'expérience des années précédentes : p(X) =0,35, p(Y) = 0,40 et p(Z) = 0,25.Les étudiants
craignent un sujet portant sur la relativité (événement R), et, connaissant leurs professeurs, pronostiquent : pX(R)
= 0,2, pY(R) = 0,5 et pZ(R) = 0,8.
I° Traduire l'hypothèse pX(R) = 0,2 par une phrase liée aux probabilités conditionnelles.
Traduire à l'aide d'un arbre de probabilités les données de l'énoncé.
2° Calculer la probabilité pour que le sujet posé porte sur la relativité.
3° Le sujet porte sur la relativité à l'examen ; quelle est alors la probabilité pour que X ait créé ce sujet ?
2 Le parc des compteurs d'eau des abonnés d'une commune se répartit de la façon suivante :10 % des
compteurs ont moins de deux ans et se trouvent de ce fait encore sous garantie ;
60 % des compteurs ont entre deux et vingt ans ;
30 % des compteurs ont plus de vingt ans.Lors du passage de l'agent chargé de relever les compteurs, la
probabilité de trouver le compteur défectueux est la suivante
1% s'il s'agit d'un compteur sous garantie ;
5% s'il s'agit d'un compteur âgé de deux à vingt ans ;
10% s'il s'agit d'un compteur de plus de vingt ans.
On notera les événements :
A : « le compteur est sous garantie »
C : « le compteur a plus de vingt ans »
B : « le compteur a entre deux et vingt ans d'âge »
D : « le compteur est défectueux ».
1° Calculer la probabilité des événements suivants
a) « le compteur se trouve encore sous garantie et il est défectueux »
b) « le compteur est défectueux ».
2° L'agent constate qu'un compteur est défectueux. Calculer la probabilité qu'il soit encore sous garantie.