livret de chauffe

Chaue 2017 en PSI 945
Un point-col
À mes débuts, je disposais seulement d'une chaise et de deux tables ; dont l'une était
de logarithmes. Charles Fabry
Stéphane Gonnord Lycée du parc
15 mai 2017
2
Table des matières
1 Suites et séries numériques
5
2 Algèbre linéaire
9
3 Réduction
13
4 Probabilités
21
5 Interlude : diverses choses
29
6 Suites et séries de fonctions séries entières
31
7 Intégration
37
8 Espaces euclidiens
45
9 Équations diérentielles
53
10 Fonctions de plusieurs variables
57
3
Introduction
Il convient de travailler un certain nombre d'exercices avant les séances. Si les points de cours signalés
vous laissent perplexes, il y a peut-être lieu d'exhumer lesdits cours et de reprendre les points en question.
Une évaluation du niveau à la louche (note sur 10, croissante en fonction de la diculté) est donnée,
indépendamment du concours : un CCP 6/10 est a priori de niveau comparable à un Mines 6/10 : c'est
plutôt dicile pour un CCP et dans la tranche moyen-moins pour un Mines.
Planning prévisionnel :
1. Mardi 23 mai 2016 : suites et séries numériques.
2. Mercredi 24 et (un peu) le mercredi 31 : algèbre linéaire.
3. Mercredi 31 (x2) et jeudi 1er juin : réduction.
4. Vendredi 2, mardi 6 et mercredi 7 : probabilités.
5. Jeudi 8 et vendredi 9 : diverses choses, dont des courbes paramétrées, et séance tampon pour
récupérer le retard probable !
6. Lundi 12 et mardi 13 : suites et séries de fonctions.
7. Mercredi 14, jeudi 15 et vendredi 16 : intégration.
8. Mardi 20 (x2) : espaces euclidiens et leurs endomorphismes.
9. Mercredi 21 (x2) : équations diérentielles.
10. Jeudi 22 et vendredi 23 ( ?) : (topologie et) fonctions de plusieurs variables (calcul diérentiel).
4
Chapitre 1
Suites et séries numériques
1.1
Rappels de cours
Directement du cours :
P
La suite (un )n∈N converge si et seulement si la série (un+1 − un ) converge. [preuve]
Convergence des séries de Riemann. [preuve]
Convergence et contrôle du reste pour les séries alternées. [preuve]
Théorèmes de comparaison
P pour les séries à termes
P positif. Savoir par exemple prouver : si un =
O(vn ) avec un , vn > 0 et
vn converge, alors
un converge.
Règle de d'Alembert (Pf.....). [preuve]
Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes.
Proche du cours :
P
1
·
Convergence des séries de Bertrand
α
β
n (ln n)
Formule de Stirling.
n
P
1
k = ln n+γ +o(1) (pas au programme, mais utilisable si vous savez eectivement le retrouver...
k=1
et après accord de l'examinateur).
1.2
Récolte 945
Exercice 1 ENSEA 2016 [2/10]
On dénit, pour n ∈ N : un =
(2n)!
·
4n n!2
1. Déterminer un équivalent simple de ln(un+1 ) − ln(un ) lorsque n tend vers +∞. En déduire :
un −→ 0.
n→+∞
2. Montrer : nun −→ +∞.
n→+∞
Exercice 2 ENSAM 2016 [3/10]
Soit a > 0. On dénit, pour n ∈ N : un =
Est-il vrai que
P
an
·
(1 + a)(1 + a2 ) · · · (1 + an )
un est toujours convergente quelle que soit la valeur de a > 0 ?
Exercice 3 Mines 2016 [4/10]
Calcul de
bn/3c
P
k=0
n
3k
Exercice 4 CCP 2016 [3/10]
On pose, pour n ∈ N∗ : an =
1. Montrer que
P
n∈N∗
1
·
1 2 + 2 2 + · · · + n2
an converge.
5
2. On note Hn =
n 1
P
· Montrer : H2n − Hn −→ ln 2.
n→+∞
k=1 k
3. Décomposer an en éléments simples, et en déduire la valeur de
+∞
P
n=1
an .
Exercice 5 CCP 2016 [9/10]
Soit u dénie par son premier terme u0 ∈ R, et la relation de récurrence :
∀n ∈ N,
un+1 = |n − un |
Donner un équivalent de un lorsque n tend vers +∞.
Exercice 6 CCP 2016 [3/10]
Soit α > 1. On dénit :
∀n ∈ N∗ ,
Sn =
n
+∞
X
X
1
1
et
R
=
·
n
kα
kα
k=1
k=n+1
1
·
(α − 1)nα−1
P Rn
2. Étudier la convergence de
·
Sn
1. Montrer : Rn ∼
Exercice 7 Minettes 2016 [2/10]
1! + 2! + · · · + n!
·
n!
1. Donner une formule de récurrence pour (dn )n∈N .
2. Montrer par récurrence que dn 6 2.
3. Étudier la convergence de (dn )n∈N .
NDLR : énoncé très maladroit : dans dn − 1, on majore facilement le numérateur par (n − 2)(n − 2)! +
(n − 1)! 6 2(n − 1)!...
On dénit, pour n ∈ N∗ : dn =
Exercice 8 CCP 2016 [3/10]
n
1 Y
1
(3k − 2) et vn = 3/4 ·
n
3 n!
n
k=2
un+1
vn+1
1. Montrer qu'il existe un rang au delà duquel
>
·
un
vn
P
u
2. Montrer que un diverge. On pourra considérer n ·
vn
On dénit, pour n > 2 : un =
1.3
Mais aussi
Exercice 9 Mines 2016 [6/10]
Soit (p, q) ∈ (R∗+ )2 . Montrer :
n
X
k p lnq (k) ∼
k=1
Exercice 10 Mines 2016 [4/10]
On dénit, pour n ∈ N∗ :
un =
np+1 lnq (n)
·
p+1
n
·
n!1/n
Calculer la limite de un lorsque n tend vers +∞.
Exercice 11 Centrale 2016 [3/10]
Pour n ∈ N∗ et α ∈ R∗+ , on pose : un =
n
P
1
·
α
k=1 (n + k)
Déterminer selon α la limite de (un )n∈N puis la nature de la série
6
P
un .
Exercice 12 CCP 2016 [3/10]
Pour n ∈ N∗ , on dénit :
1
1
+ ··· +
− α ln n.
3
2n + 1
Donner une condition nécessaire et susante sur α pour que (un )n∈N converge.
un = 1 +
Exercice 13 CCP 2016 [3/10]
Montrer, pour n ∈ N, l'existence d'un unique réel xn tel que xn − e−xn = n. Montrer ensuite : xn ∈
[n, n + 1].
En déduire un équivalent de xn lorsque n tend vers +∞, puis un développement asymptotique à deux
termes.
Exercice 14 Mines-Télécom 2016 [3/10]
√
√
P √
n + a n + 1 + b n + 2 soit
Donner une condition nécessaire et susante sur (a, b) ∈ R2 pour que
convergente.
Exercice 15 CCP 2016 [3/10]
Démontrer que la série de terme général un = ln(2n+(−1)n )−ln(2n) est convergente mais pas absolument
convergente.
NDLR : Bref, semi-convergente.
Pour l'exercice suivant, je laisse l'énoncé initial, qui est calamiteux ( on pose... )
Exercice 16 CCP 2016 [5/10]
1
On dénit un = 1, et pour n ∈ N, on pose un+1 eun+1 = un .
1.
2.
3.
4.
2
Montrer que (un )n∈N est bien dénie et qu'elle est unique.
Montrer que (un )n∈N converge, et déterminer sa limite.
P
Montrer que un converge.
À l'aide de la série de terme général ln(2n+1 un+1 ) − ln(2n un ), montrer qu'il existe une constante
C > 0 telle que un ∼
C
·
2n
Exercice 17 MinesMP 2016 [2/10]
P
(n + 1)2
·
Nature de la série ln
n(n + 2)
Exercice 18 X PC* 2016 [4/10]
On dénit, pour r > 2 : f (r) =
+∞
P
1
·
r
k=1 k
Justier la dénition de f , puis montrer que lorsque r tend vers +∞, on a
f (r) = 1 + O
1.4
1
2r
·
Indications
1
1
+o(1/n) et ln((n+1)un+1 )−ln(nun ) = 2n
+o(1/n).
Exercice 1 : je trouve ln(un+1 )−ln(un ) = − 2n
Exercice 2 : discuter en fonction de la position de a vis à vis de 1...
Exercice 3 : classiquement, regarder (1 + 1)n et (1 − 1)n permet de calculer la somme des nk pour
les k pairs... et celle pour les k impairs. Ici, je proposerais bien de calculer (1 + 1)n , (1 + j)n et
(1 + j)n , fournissant un système de trois équations vériées par trois sommes. Au fait (dessin...)
1 + j = eiπ/3 ...
6
Exercice 4 : an ∼ 3 ; Hn = ln n + γ + o(1)...
n
Exercice 5 : déjà, à partir d'un certain rang 0 6 un 6 n. J'ai considéré ensuite αn =
vérie une relation de récurrence simple qui m'a laissé penser que αn −→
n→+∞
7
un
, qui
n
1
, ce qui m'a amené
2
1
à considérer βn = αn − , qui vérie une relation de récurrence sympa... qui m'a donné envie de
2
considérer (−1)n+1 (n + 1)βn+1 − (−1)n nβn , qui m'a permis de montrer deux lignes plus loin :
n
αn ∼ · Hébé...
2
Exercice 6 : comparaison somme/intégrale tellement classique qu'elle doit être parfaitement exécutée (en particulier, on passera par une somme nie
N
P
, avant de passer des inégalités à la
k=n+1
limite en N dans un premier temps, puis de gendarmiser en n (ce qui est TRÈS diérent) dans
Rn
K
∼ α−1 , la série proposée converge si et seulement si α > 2.
Sn
n
d
Exercice 7 : quelle méthode laborieuse... Bon, donc dn+1 = 1 + n , et le reste tombe il est vrai
n+1
un second temps. Puisque
sans trop de mal...
v
3
un+1
2
Exercice 8 : je trouve n+1 = 1 −
+ o(1/n) et
= 1−
+ o(1/n)... et la minoration sur
vn
les rapports conduit à un >
4n
un0
vn ...
vn0
un
3n
Exercice 9 : comparaison somme/intégrale. Ensuite, intégration par parties suivie de... une cesarerie 1 ou environ bqc intégrations par parties supplémentaires.
Exercice 10 : on compare la somme ln(n!) (oui, c'est une somme !) à une intégrale, ce qui nous
donne : ln(n!) = n ln n − n + O(ln(n))... puis un = e1+o(1) (le O(ln n) se comprend dans la
comparaison somme-intégrale en soustrayant le terme principal).
Exercice 11 : il me semble qu'en factorisant nα au dénominateur, on voit apparaître quelque chose
qui ressemble à une somme de
Riemann.
γ
1
− α ln n + + o(1)...
2
2
Exercice 13 : la fonction f : x 7→ x − e−x réalise une bijection de R+ sur R. Ensuite, f (n) < n <
f (n + 1). On écrit ensuite xn = n + αn , et on a alors αn = e−xn −→ 0 puis αn = e−n eo(1) ∼ e−n .
n→+∞
√
√
Exercice 14 : (1 + a + b) n + (a/2 + b)/ n + O(1/n3/2 )...
(−1)n
+ O(1/n2 ), puis on conclut sans se précipiter.
Exercice 15 : un =
2n
Exercice 16 : reformulons : il s'agit de montrer qu'à y > 0 xé, il existe un unique x > 0 tel que
y
xex = · · · On peut ensuite par exemple écrire un = 2un+1 eun+1 > 2un+1 qu'on lit dans l'autre
2
1
sens, pour obtenir ensuite 0 6 un 6 n · La suite est standard.
2
2
−1
Exercice 17 : 1 + n1
1 + n2
= 1 + O(1/n2 )...
+∞
P 1
Exercice 18 : une comparaison somme/intégrale permet de majorer
par une intégrale qui
r
k=3 k
1
est négligeable devant r ·
2
Exercice 12 : je trouve un =
1. Pour montrer que la nouvelle intégrale est négligeable devant la première.
8
Chapitre 2
Algèbre linéaire
2.1
Rappels de cours
Directement du cours :
Polynômes : tête des factorisations en irréductibles (C et R), dénition et caractérisation des
multiplicités des racines [définition], relations coecients-racines.
Polynômes d'interpolation de Lagrange.
Comment sont dénis les projecteurs et symétries ? par quelles relations sont-ils caractérisés ?
[définition] et [preuve]
Somme directe de (plus de deux) sous-espaces. [définition]
Construction d'une application linéaire à l'aide de sa restriction à des supplémentaires (au sens
k
étendu, lorsque E = ⊕ Ei ).
i=1
Déterminant de Vandermonde. [preuve]
Proche du cours :
Images et noyaux itérés...
Nilpotents : savoir montrer (d'au moins une façon) qu'ils sont trigonalisables, avant même le cours
de réduction.
Si une matrice carrée a sa diagonale dominante (...) alors elle est inversible.
Endomorphismes (et matrices) de rang 1. Ils vérient par exemple u2 = (tr u)u. Quelle est la tête
de leur matrice dans une base que l'on construit en commençant par une base du noyau ? Et en
commençant par une base de l'image ?
2.2
Récolte 945
Exercice 1 Minettes 2016 [3/10]
Soient n ∈ N∗ et α ∈ R. Factoriser dans R[X] le polynôme X 2n − 2 cos αX n + 1.
Exercice 2 TPE 2016 [3/10]
Soient f et g deux endomorphisme de Rn . Déterminer le rang de g ◦ f en fonction du rang de f .
Exercice 3 TPE 2016 [8/10]
Soient n ∈ N∗ , E = Rn−1Z[X], a1 , ..., an des réels non nuls et distincts deux à deux. Pour chaque i ∈ [[1, n]],
ai
on dénit ϕi : P ∈ E 7→
P (t)dt.
0
Montrer que (ϕ1 , ..., ϕn ) constitue une base de L(E, R).
Exercice 4 Mines 2015 et 2016 [5/10]
Soient E de dimension nie n > 1 et (ek )16k6n ∈ E n .
1. Montrer que Φ dénie par
∀u ∈ L(E),
Φ(u) = (u(e1 ), u(e2 ), ..., u(en )
9
est linéaire.
2. Montrer que (ek )16k6n est une base de E si et seulement si Φ est un isomorphisme.
Exercice 5 Minettes 2016 [6/10]
Soit E un espace de dimension 3, et f1 , f2 , f3 trois endomorphismes de E tels que f12 = f22 = f32 = 0,
avec fi ◦ fj = 0 pour tout i 6= j . Montrer : f1 ◦ f2 ◦ f3 = 0.
Exercice 6 ENSAM 2016 [5/10]
Soit P = X 3 − X 2 − 1.
1. Montrer que P n'admet que des racines simples.
2. Montrer que P admet une racine réelle et deux complexes (non réelles) conjuguées
Exercice 7 Centrale 2016 [ 6/10]
Un polynôme P = a0 + · · · + an X n (an 6= 0) est dit réciproque lorsque pour tout k ∈ [[0, n]], ak = an−k .
1.
2.
3.
4.
Montrer que P est réciproque de degré n si et seulement si P (X) = X n P (1/X).
On suppose que 1 est racine de P réciproque. Montrer que la multiplicité de 1 est au moins 2.
Que dire de −1 ? (racine ? multiplicité ?)
On suppose P symétrique de degré pair. Montrer que P se factorise sous la forme :
P =α
p
Y
(X 2 + bk X + 1)
k=0
Exercice 8 Mines 2010 (PC), TPE 2016 (PSI) [5/10]
Soient A, B ∈ Mn (C). Existe-t-il M ∈ Mn (C) telle que M + (trM )A = B ?
Exercice 9 TPE 2016 [5/10]
Soit T l'ensemble des matrices triangulaires supérieures.
1. (a) Montrer que T est un espace vectoriel. Donner sa dimension.
(b) Montrer que T est stable par produit.
2. Soit T ∈ T inversible.
(a) Montrer que ψ : M 7→ M T est un endomorphisme de T .
(b) Caractériser le noyau de ψ et donner le rang de ψ .
(c) Justier que T −1 ∈ T .
L'exercice qui suit a été fait pendant l'année.
Exercice 10 CCP 2016 [5/10]
Soient X, Y ∈ Mn,1 (R) (non nuls).
1. Déterminer le rang de M = X tY .
2. Donner le déterminant de M − λIn .
2.3
Mais aussi
Exercice 11 Mines 2016 [6/10]
1. Soient n ∈ N∗ ainsi que F et G deux sous-espaces de E = Rn . Montrer qu'il existe u ∈ L(E) tel
que Im (u) = F et Ker (u) = G si et seulement si dim(F ) + dim(G) = n.
2. Dans E = R3 , on prend F le noyau de (x, y, z) 7→ x + y + z et G la droite engendrée par (1, −1, 0).
Expliciter la matrice dans la base canonique de E d'un endomorphisme de E d'image F et noyau
G.
10
Exercice 12 Mines 2016 [4/10]
Soit A ∈ Mn+1 (R) de terme général Ai,j =
i
j
(nul si j > i). Déterminer l'inverse de A.
Exercice 13 Mines 2016 [6/10]
Soit A ∈ M3 (R) telle que A3 = 0 et A2 6= 0. Déterminer la dimension de l'espace des matrices M telles
que AM = M A.
Exercice 14 CCP 2016 [2/10]
Soient E un espace vectoriel et f un endomorphisme de E . On suppose que pour tout x ∈ E , (x, f (x))
est liée. Montrer qu'il existe λ tel que u = λIdE .
Exercice 15 CCP 2016 [4/10]
On considère l'espace E = R3 . On note P le plan d'équation x + y + z = 0 et D la droite d'équation
z
y
x = = et p la projection sur P parallèlement à D.
3
2
1. Montrer que P et D sont supplémentaires.
2. Soit u = (x, y, z) ∈ E . Calculer p(u). En déduire la matrice de p dans la base canonique de E .
Exercice 16 Mines MP 2016 [6/10]
∗
3
Soit
 A ∈ M3n (R) (avec n ∈ N ) telle que rg(A) = 2n et A = 0. Montrer que A est semblable à
0
In
0
0
0
In
0
0 (il s'agit de blocs (n, n)).
0
Exercice 17 X 2016 PC [2/10]
Soit A ∈ Mn (R). Montrer qu'il existe ε > 0 tel que pour tout α ∈] − ε, ε[, la matrice In + αA est
inversible.
Exercice 18 X 2016 PC [3/10]
Soient E et F deux espaces de dimension nie, x ∈ E et y ∈ F . Donner une condition nécessaire et
susante simple pour qu'il existe u ∈ L(E, F ) tel que u(x) = y .
2.4
Indications
Exercice 1 : je sais factoriser Y 2 − 2 cos αY + 1 = (Y − eiα )(Y − e−iα ). Ensuite, les racines
de X n − eiα sont les ei(α+kπ)/n ; celles du deuxième sont conjuguées. En regroupant par termes
conjugués, on trouve une factorisation en irréductibles... sauf lorsque (α + kπ)/n est de la forme
jπ avec j ∈ N...
Exercice 2 : en appliquant le théorème du rang à la restriction de g à l'image de f (patatoïdes
obligatoires), on trouvera : rg(g ◦ f ) = rg(f ) − dim (Im (f ) ∩ Ker (g)).
Exercice 3 : il s'agit de montrer la liberté. La matrice M ∈ Rn−1 [X] de terme général Mi,j =
ϕi (X j−1 ) me semble intéressante : une combinaison linéaire nulle des ϕi fournirait une relation
de dépendance des lignes de M , donc M ne serait pas inversible. Or M doit avoir le rang d'une
matrice de Vandermonde... qui me semble inversible.
Exercice 4 : injectivité et dimensions.
Exercice 5 : cet énoncéme semble
 suspect, puisqu'après avoir construit une base dans laquelle
0
0
1
0
0
0
la matrice de f1 vaut 0 0 0, la stabilité de Ker (f1 ) et Im (f1 ) par f2 nous assure que la

0
matrice de f2 dans cette base est de la forme 0
0
a
0
0

b
c , et on a donc f1 ◦ f2 = 0...
0
Exercice 6 : utiliser la caractérisation à l'aide des dérivées (s'il y avait une racine double, elle serait
racine de la dérivée, donc vaudrait... etc). Accessoirement, la dénition précise ET la caractérisation ont été demandées. Une étude de fonction permet de conclure.
Exercice 7 : encore une fois, la caractérisation de la multiplicité est utile... Ici, on obtient P 0 (1) =
nP (1) − P 0 (1)... Enn, (X − ω)(X − 1/ω) =?
11
Exercice 8 : Considérer Φ : M 7→ M + (trM )A. Quelqu'un dans son noyau est forcément de la
forme λA ; mais Φ(A) = (1 + tr(A))A, donc si tr(A) 6= −1, alors Φ est bijective. Sinon, le noyau
est une droite, donc l'image est un hyperplan, et la condition nécessaire d'existence tr(B) = 0
donne une inclusion de l'image dans un hyperplan donc l'égalité...
Exercice 9 : on exhibe facilement une base constituée de 1 + 2 + · · · + n matrices élémentaires.
Exercice 10 : toutes les colonnes sont colinéaires, et il y en a au moins une non nulle, donc le rang
vaut 1. Cette matrice est alors semblable ou bien à E1,n (si Im u ⊂ Ker (u)) ou bien à tr(u)En,n
(si Im u 6⊂ Ker (u)), etc.
Exercice 11 : fait pendant l'année : un sens est conséquence directe du théorème du rang. Pour
l'autre sens, on peut considérer une base de l'espace adaptée à l'image ET au noyau de u, en
partant d'une base de l'intersection... Pour placer (1, −1, 0) et (1, 0, −1) dansl'image tout en

1
ayant (1, 1, 0) dans le noyau, l'endomorphisme de R3 canoniquement associé à −1
0
−1
1
0
1
0
−1
doit fonctionner...
Exercice 12 : quelle est donc la matrice de P ∈ Rn [X] 7→ P (X + 1) dans la base canonique de
Rn [X] ?


0
1
0
0
0
0
Exercice 13 : on commence par montrer que A est semblable à 0 0 1. Ensuite, on calcule...
pour trouver un espace de dimension 3... qui est aussi R2 [A] (au sens...).
Exercice 14 : pour tout x ∈ E \ {0}, il existe λx tel que f (x) = λx . Il s'agit de montrer que ce
coecient λx ne dépend en fait pas de x. On prend donc deux vecteurs x et y , et on montrer que
λx = λy . Pour cela, regarder f (x + y) est raisonnable... et permet de conclure pour peu que (x, y)
soit libre. Si (x, y) est liée, on écrit y = µx et on regarde f (y) de deux façons diérentes...
 ⊥
 
 
1
1
1
Exercice 15 : il est question de 1 versus Vect 2. En écrivant p(u) = u−λ 2 puis p(u) ∈
1
3
3


5/6 −1/6 −1/6
1
P , on obtient λ = (x + y + z), et deux lignes plus loin, la matrice apparaît : −1/2 1/2 −1/2
6
−1/3 −1/3 2/3
Et bien entendu on vérie la trace...
Exercice 16 : géométrisons la situation en prenant u l'endomorphisme de E = R3n canoniquement
associé à A. La forme de la matrice demandée nous donne par micro-analyse comment chercher la nouvelle base. On peut partir d'une base (g1 , ..., gn ) de Im (u2 ). Il existe alors (e1 , ..., en )
tels que pour tout i, u2 (ei ) = gi . On note ensuite fi = u(ei ) pour tout i, et on montre que
(e1 , ..., en , f1 , ..., fn , g1 , ..., gn ) est une base de E ...
Exercice 17 : je regarderais bien le déterminant de In + εA, obtenant ainsi une fonction continue
de R dans R valant 1 en 0, donc strictement positive au voisinage de 0.
Exercice 18 : si x = 0, il est nécessaire et susant que y = 0 ; et si x 6= 0, alors en complétant la
famille libre (x) en une base (x, e2 , ..., en ), il existe une (unique) application envoyant x sur y et
les ek sur 0...
12
Chapitre 3
Réduction
3.1
Rappels de cours
Directement du cours :
Les sous-espaces propres sont en somme directe. [preuve]
Dénition de la diagonalisabilité pour un endomorphisme/une matrice. [définition]
Diverses conditions nécessaires/susantes de diagonalisabilité/trigonalisabilité :
Si A est diagonalisable, alors son polynôme caractéristique est scindé (réciproque fausse).
Si le polynôme caractéristique de A est scindé à racines simples, alors A est diagonalisable
(réciproque fausse).
A est diagonalisable si et seulement si χA est scindé et les sous-espaces propres ont leurs
dimensions égales aux multiplicités des valeurs propres ;
A est diagonalisable si et seulement si A possède un polynôme annulateur scindé à racines
simples.
A est trigonalisable si et seulement s'il existe un polynôme annulateur scindé. En particulier,
c'est toujours le cas sur C.
Proche du cours :
Réduction des matrices de rang 1 (et leurs cousines).
Quand deux endomorphismes commutent, les sous-espaces propres de l'un sont stables par l'autre.
Application aux équations polynomiales.
3.2
Récolte 945
Exercice 1 Mines 2016 [5/10]
Trouver le plus petit n ∈ N tel qu'il existe M ∈ Mn (R) de trace nulle vériant :
2M 3 − M 2 − 13M + 5In = 0
NDLR : SCANDALE, l'examinateur voulait une recherche de racine rationnelle : c'est loin d'être évident,
surtout sans arithmétique ! ! ! Bon, allez voir du côté de − 25 · · ·
Exercice 2 Mines-Télécom 2016 [3/10]

1

1
Soit u l'endomorphisme de R4 canoniquement associé à A = 
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1

−1
−1

−1
−1
1. La matrice A est-elle inversible ? Que peut-on en déduire sur le spectre de A ?
2. Montrer que A4 = 0 ; en déduire la valeur du spectre de A.
3. Soit F = (f1 , ..., f4 ), avec f1 = (1, 0, 0, 0), f2 = u(f1 ), f3 = u(f2 ) et f4 = u(f3 ). Montrer que F
est une base de R4 , et donner la matrice de u dans cette base.
13
Exercice 3 CCP 2016 [6/10] ; énoncé suspect
Soit n > 2. On dénit la matrice

1
2


An =  3
 ..
.
n
n
n−1
n−2
1
2
3
···
1
n
···
..
.
..
.

n
n − 1

n − 2

..
.. 
.
. 
n
1
1
2
3
1. Montrer qu'une matrice et sa transposée ont le même spectre.
2. Que vaut le rang de A ?
3. Montrer que A est diagonalisable... et la diagonaliser eectivement !
Exercice 4 Mines 2016 [5/10]
Soit A ∈ Mn (K) non nulle. On dénit l'application :
ϕ : M ∈ Mn (K) 7−→ M + tr(AM )A
Réduire ϕ.
Exercice 5 Mines-Télécom 2016 [3/10]
On considère l'application transposition :
u : M ∈ Mn (K) 7−→ tM
1. u est-elle inversible ?
2. u est-elle diagonalisable ?
3. Donner le déterminant et la trace de u.
Exercice 6 CCP et ENSAM 2016 [4/10]
1. Montrer que si u et v sont deux endomorphismes de E et que λ 6= 0 est valeur propre de v ◦ u,
alors λ est valeur propre de u ◦ v .
Attention, l'espace E n'est pas forcément de dimension nie !
2. Montrer qu'en dimension nie, ça reste vrai pour λ = 0.
3. On prend E = R[X], u : P 7→ P 0 et v l'application qui à P associe sa primitive nulle en 0 1
Déterminer Ker (u ◦ v) et Ker (v ◦ u).
Exercice 7 ISUP 2016 [6/10]
1. Montrer que
M ∈ M2 (R) ;
1
est vecteur propre de M
0
est un sous-espace vectoriel de M2 (R). Que vaut sa dimension ?
2. Soit X 6= 0 dans Mn,1 (K). Déterminer la dimension de
EX = {M ∈ Mn (K) ; X est vecteur propre de M }
(après avoir montré que c'est un espace vectoriel).
Exercice 8 CCP 2016 [7/10]
A
Soient A, B, C ∈ Mn (R) telles que Sp(A) = {λ} et Sp(B) = {µ}. On dénit M =
0
C
B
∈ M2n (R).
1. Donner l'allure de M k puis de P (M ), avec P ∈ R[X].
2. On suppose : λ 6= µ. Donner une condition nécessaire et susante de diagonalisabilité de M .
1. Mouais... disons plutôt : l'unique polynôme de coecient constant nul et de dérivée P .
14
3. Même question si λ = µ.
Exercice9 CCP 2016
 [3/10]
−1
Soit A =  1
1
1
−1
1
1
1
−1
1. Expliquer pourquoi A est diagonalisable.
2. Déterminer une base de vecteurs propres de A (les 5/2 la prendront orthonormée).
3. Diagonaliser A.
Exercice 10 Mines-Télécom
2016 [3/10]



3
Montrer que A = −2
5
−3
2
−5
−3
0
2  et B = 0
−5
0
0
0
0

1
0 sont semblables.
0
Les 7 exercices qui suivent ont été faits pendant l'année.
Exercice 11 ENSEA 2016 [3/10]
Calculer la puissance n-ième de

Exercice 12
[4/10]
 Minettes
 2016 
1
Soient A = 1
0
1. A est-elle
0
0
1
0
1
1 et B = 0
0
0

−6
1
3
−3 −8
A = 1/2 3/2
3/2 7/2

0
0
−1
1
1
0
diagonalisable ?
2. A et B sont-elles semblables ?
3. Calculer An .
Exercice 13 CCP 2015, 2016 (deux fois) ; mais posé à l'oral en 2014 aussi... [3/10]
On dénit f par :
a
c
f
b
d
=
−a
b
c
−d
1. Montrer que f est un endomorphisme de M2 (R).
2. Déterminer les éléments propres de f .
3. f est-elle diagonalisable ? inversible ?
Il y a aussi la version :
a
c
f
b
d
=
d 2b
2c a
Exercice 14 CCP 2016 [3/10]
On considère dans cet exercice la matrice :

0
A = 1
1
3
−2
1

0
4
1
et f l'endomorphisme de R3 canoniquement associé.
1. Calculer le polynôme caractéristique de A ; en déduire son spectre.
2. Déterminer les sous-espaces propres de A.
3. Expliciter P tel que P −1 AP soit diagonale.
15


 
 
1
1
3
4. Soient u = −1, v = 1 et w = −1 Montrer que (u, v, w) est une base de R3 . Que vaut
0
1
−1
la matrice de f dans cette base ?
5. Calculer P −1 et vérier la valeur de P −1 AP .
6. À l'aide de A2 , A et I3 , déterminer A−1 .
Exercice15 CCP 
2016 [3/10]
2
Soit A =  1
−2
0 1
1 1
0 −1
1. A est-elle diagonalisable ?
2. Soient α, β ∈ R. Étudier la diagonalisabilité de αA + βI3 .
Exercice 16 Minettes 2016 [3/10]
Soit n un entier > 2. On dénit

2

−1
An = 


(0)
−1
..
..
..
.
..
.
.
.
−1

(0)


 ∈ Mn (R)

−1
2
1. Calculer Dn = det(An ).
2. An est-elle diagonalisable ?
3. Montrer que 0 n'est pas valeur propre de A.
Exercice 17 CCP 2016 [5/10]
Soient E de dimension n > 2, ϕ une forme linéaire non nulle sur E , et x0 ∈ E non nul. On dénit
l'application
u : x ∈ E 7−→ x + ϕ(x)x0
1. Montrer que u est un endomorphisme de E .
2. Montrer que 1 est valeur propre de u, et déterminer le sous-espace propre associé ainsi que sa
dimension.
3. Donner une condition nécessaire et susante pour que u soit diagonalisable.
3.3
Mais aussi
Exercice 18 CCP 2007, 2008, ... [1/10]
Soient u un endomorphisme d'un R-espace vectoriel de dimension nie n et λ ∈ R.
1. Rappeler la dénition d'une valeur propre de u.
2. Montrer que λ est valeur propre de u si et seulement si det(u − λIdE ) = 0.
3. Montrer que u a au plus n valeurs propres.
4. Donner un exemple d'endomorphisme de R2 ayant 0 et 1 comme valeurs propres.
Exercice 19 Mines 2016 [3/10]
Déterminer les matrices M ∈ Mn (R) telles que M 5 = M 2 , avec tr(M ) = n.
Exercice 20 Mines 2016
[8/10]
Soient A ∈ Mn (R) et B =
l'est et 1 ∈
/ Sp(A).
A A
0 In
∈ M2n (R). Montrer que B est diagonalisable si et seulement si A
16
Exercice 21 Centrale 2016 [6/10]
Soit y ∈ Rn , y 6= 0. On dénit f : x ∈ Rn 7→
n
P
yi x − xi y .
i=1
1. Montrer que
n
P
yi est valeur propre de f , et donner l'espace propre associé. Donner une condition
i=1
nécessaire et susante simple de diagonalisabilité de f .
2. Les matrices


y1
 y2

 ..
.
yn
y1
y2
···
···
yn
···
..
.

y1
y2 

.. 
.
yn
et
0 ···
0 · · ·

.
..
 ..
.


0 ···

0
0 

.. 
. 

n

P
yi
0
0
0
i=1
sont-elles semblables ?
Exercice22 Mines-télécom
2016 [1/10]

0

Soit A = 1
1
Calculer An .
1
0
1
0
1. Montrer que pour tout entier n ∈ N∗ , An est combinaison linéaire de I3 et A.
1
Exercice 23 CCP 2016 [4/10]
Soient E un espace vectoriel
 3 muni d'une base B , et f l'endomorphisme de E dont la
 de dimension
1 −1
1
matrice dans B vaut A = −1 3 −3.
−2
2
−2
1. Montrer que E = Ker (f ) ⊕ Ker (f − 2IdE ).
2. Donner un élément de Ker (f 2 ) \ Ker (f ).
2

0
3. Montrer qu'il existe une base B0 de E dans laquelle la matrice de f vaut 0
0
1
0
0

0
0
2
4. Soit g ∈ L(E) tel que g 2 = f . Montrer que Ker (f 2 ) est stable par g . Que peut-on en déduire ?
Exercice 24 Navale 2016 [4/10]
Soit M une matrice de M3 (C) telle que M est semblable à 2M .
1. Quelles sont les valeurs propres de M ? Montrer que M est semblable à une matrice triangulaire
supérieure à diagonale nulle.

0
2. On suppose M de rang 1. Montrer qu'elle est semblable à 0
0
Exercice 25
 ENSEA2016 [3/10]
0
1
0
Soit A = 

3 0
0
tend vers +∞.
3
1
0
0
0
2
2
0
1
0
0

0
0
0
0
0
. La matrice A est-elle diagonalisable ? Déterminer la limite de An lorsque n
1
3
Exercice 26 CCP 2016 [3/10]
Soit φ : M ∈ Mn (C) 7→ M + tr(M )In .
1. Montrer que φ est un endomorphisme de Mn (C).
2. Trouver le noyau et le rang de φ.
3. Trouver un polynôme annulateur de φ de degré deux.
4. L'endomorphisme φ est-il diagonalisable ?
17
5. L'endomorphisme φ est-il inversible ? Si oui, trouver son inverse.
Exercice 27 ENSAM 2016 [5/10]
Pour P ∈ Rn [X] on dénit U (P ) : x 7→ ex
Z
+∞
e−t P (t)dt.
x
1. Montrer que U est un automorphisme de Rn [X].
2. Cet endomorphisme est-il diagonalisable ? inversible ? si oui, déterminer son inverse.
Exercice 28 CCP 2016 [3/10]
1. Montrer que toute matrice de Mn (C) peut se décomposer comme somme d'une matrice triangulaire inférieure et d'une triangulaire supérieure.
2. Montrer qu'on peut choisir ces deux matrices inversibles.
3. Montrer que tout matrice de Mn (C) peut se décomposer comme somme de deux matrices diagonalisables.
4. Montrer que toute matrice triangulaire est limite d'une suite de matrices inversibles.
Exercice 29 Cachan 2016 [3/10]
Soit A ∈ M3 (R). On suppose que 1 et −1 sont des valeurs propres de A et que A4 = A2 . Montrer que
A est diagonalisable.
Exercice 30
CCP 2016
[1/10]
La matrice
2+i
i
i
1−i
est-elle diagonalisable ?
Exercice 31 Centrale PC 2016 [3/10]
Soit A ∈ Mn (R) telle que pour tout i, j ∈ [[1, n]], Ai,j > 0, avec pour tout i ∈ [[1, n]] :
n
P
Ai,j = 1.
j=1
1. Montrer que 1 est valeur propre de A.
2. Montrer que toute valeur propre de A est de module majoré par 1.
3. Montrer que 1 est la seule valeur propre de A de module 1.
3.4
Indications
Exercice 1 : bon, donc une fois qu'on a vu que M est nécessairement diagonalisable, on est amené
à résoudre dans N3 :
√
√
3+ 5
3− 5
5
n2 +
n3 = 0
− n1 +
2
2
2
√
ce qui impose n2 = n3 ( 5 est irrationnel !) puis − 52 n1 + 3n2 = 0, donc on aura une solution non
triviale minimale avec n1 = 6, n2 = n3 = 5, donc n = 16.
Exercice 2 : les deux premières lignes sont égales... ensuite, il s'agit d'une étude plutôt guidée d'un
nilpotent !
Exercice 3 : A − λIn est inversible si et seulement si tA − λIn l'est... Ensuite, on a une matrice
de rang 2, ce qui nous donne 0 comme valeur propre de multiplicité au moins n − 2. La n de
l'exercice ne m'inspire que moyennement. Pas bien clair que la matrice proposée (très strange)
soit celle de l'énoncé réel ! Je chercherais bien les valeurs propres de An (ou de sa transposée) en
regardant la trace de An et de A2n , mais... Je chercherais bien des vecteurs propres dans l'image
de An (ou de sa transposée), mais...
Exercice 4 : ϕ − Id est de rang 1, et est diagonalisable si et seulement si son image intersecte
trivialement le noyau, c'est-à-dire : tr(A2 ) 6= 0.
Exercice 5 : j'aurais tendance à penser que u2 = IdE , et on est ramené au programme de première
année sur les symétries...
18
Exercice 6 : de v (u(x)) = λx, on tire : u (v (u(x))) = λu(x), c'est-à-dire : (u ◦ v) (u(x)) = λu(x),
et u(x) (qui est non nul ; pourquoi ?) est bien vecteur propre pour u ◦ v associé à la valeur propre
λ.
Je ne suis pas certain que la réduction en dimension nie soit dans l'esprit du programme... voire
dans le programme tout court.
Exercice 7 : exercice original ! Pour la première question, il s'agit seulement des matrices triangulaires, sous-espace de base (E1,1 , E1,2 , E2,2 ). Dans le deuxième cas, on peut compléter X pour
en faire une base de Rn , ce qui revient à prendre une matrice inversible
  P de première colonne
1
0

égale à X . On a alors X vecteur propre de M si et seulement si 
 ..  est vecteur propre pour
.
0
−1
−1
P M P ... et on peut conclure en notant que M 7→ P M P est un isomorphisme donc préserve
les dimensions (des sous-espaces de Mn (K), attention !).
→ est vecteur propre de u si et seulement si dans une base
De façon plus géométrique : dans Rn , −
x
0
−
→
commençant par x0 , la matrice de
type...
u est d'un certain
P (A)
?
Exercice 8 : par blocs, P (M ) =
. Si λ 6= µ, Sp(M ) = {λ, µ}, et M est diagonali0
P (B)
sable si et seulement si (X − λ)(X − µ) est annulateur de M . Puisque A − µIn est inversible, cela
impose A = λIn , et de même B = µIn . Cette condition nécessaire sur A et B est susante (sans
condition sur C ). Si par contre λ = µ, alors Sp(M ) est réduit à λ, et la seule possibilité pour être
diagonalisable est alors d'avoir M = λI2n ...
Exercice 9 : on peut voir une matrice symétrique réelle ; ou reconnaître en A la cousine de A+2I3 ...
dont la réduction a peut-être déjà été évoquée une ou deuxfois 
dans l'année...
3
Exercice 10 : A est de rang 1, et son image engendrée par −2 est dans le noyau (check it !),
5
donc on doit pouvoir prendre une base de R3 très bien adaptée à la géométrie de l'endomorphisme
canoniquement associé à A en prenant f3 en dehors du noyau, puis f1 = u(f3 ), puis f2 complétant
f1 pour en faire une base du noyau...
Exercice 11 : χA = X 3 − 32 X 2 + 12 X = X(X − 1/2)(X − 1)... et merci de ne pas diagonaliser mais
plutôt de diviser euclidiennement X n par ce polynôme, annulateur d'après Cayley-Hamilton.
Exercice 12 : rg(A − I3 ) = 2...
Exercice 13 : je travaillerais bien dans la base (E1,1 , E2,2 , E1,2 , E2,1 ) (oui, dans cet ordre)...
Exercice 14 : j'ai commencé par la quatrième question... mais évitez de faire ce genre de petite
blague le jour de l'oral !
Exercice 15 : χA = X 3 − 2X 2 + X = X(X − 1)2 et rg(A − I) = 1...
Exercice 16 : dn = 2dn−1 − dn−2 puis dn = n + 1. An est symétrique réelle donc diagonalisable !
Enn, dn 6= 0, donc 0 n'est pas valeur propre !
Exercice 17 : très proche de l'exercice 4...
Exercice 18 : le cours, il faut le sa-ouar .
Exercice 19 : les racines (complexes) sont dans un petit ensemble, et on est dans le cas d'égalité
de l'inégalité triangulaire quand on écrit que la trace est la somme des valeurs propres comptées
avec multiplicités. Tout cela se passe bien entendu dans l'analyse.
Exercice 20 : BX = λX si et seulement si (λ 6= 1, X2 = 0 et AX1 = λX1 ) ou bien (λ = 1
et (A − I)X1 = AX2 ). Cela permet de traiter assez simplement le sens ⇐ (on dispose de sousespaces propres dont la somme des dimensions fait ce qu'il faut). Pour le sens direct, on pourra
noter/prouver que le rang de B − I2n est celui de A − In ...
 ⊥
 
1
1
P
 .. 
..  , et f est diagonalisable si et seulement si y ⊥
Exercice 21 : Ker (f − ( λi )Id) = 
6
.
.
1
1
Comme toujours, la première matrice (de rang
1
)
est
diagonalisable
si
et
seulement
si
son
image
P
n'est pas incluse dans le noyau, c'est-à-dire : yi 6= 0.
Exercice 22 : χA = X(X + 1)(X − 2)...
19


1
Exercice 23 : on dessinera un plan, et une droite qui l'intersecte en un point... v2 = −1 est un
0
bon vecteur intermédiaire : je prendrais ensuite v1 tel que f (v1 ) = v2 , puis v3 ∈ Ker (f −2IdE )\{0}.
Finalement, il n'existe pas de g tel que g 2 = f .
Exercice 24 : le spectre (qui est non vide) ne peut contenir que 0 ; M est donc nilpotente.
 Ensuite

0 1 0
si f 2 était non nul, il existerait une base dans laquelle la matrice de f vaudrait 0 0 1,
0 0 0
donc f serait de rang 2. Finalement, Im (f ) est une droite incluse dans le plan Ker (f ), et on doit
pouvoir construire une base adaptée à cette inclusion...
Exercice 25 : avec 4 valeurs propres distinctes, A est évidemment diagonalisable. Même si les
vecteurs propres sont assez simples à calculer, j'aurais tendance à préférer le calcul de An par
division euclidienne de X n par χA . Il reste tout de même la passionnante résolution d'un système
à quatre puis trois inconnues ; mouais... On peut réduire un peu les calculs en notant que les
coecients (qui dépendent de n) possèdent tous des limites, et calculer ces limites directement
avec un nouveau système (un peu) plus simple. Mouais tout de même...
Exercice 26 : dans le style des exos 4 et 17... j'aurais détourné l'exo en commençant par regarder
Ker (φ − Id) qui est assez gros, et φ(In )...
Exercice 27 : des intégrations par parties permettent de voir que U (P ) est bien un polynôme (enn,
une application polynomiale), de même terme dominant que P . Sauf erreur de ma part, et si on
0
note Q = U (P ), alors Q0 = Q − P , donc Q − Q0 = P : ceci nous donne en fait U −1
(Q) =
Q − Q !
Exercice 28 : je pense qu'on sait faire si et seulement si on sait traiter l'exemple
0
2
1
...
3
Exercice 29 : {−1, 1} ⊂ Sp(A) ⊂ {−1, 0, 1}. Si 0 est valeur propre, alors ça nous en fait 3 ; et
sinon, alors A est inversible, donc A2 = I3 , donc A est une symétrie.
Exercice 30 : sans avoir fait le calcul, je suis prêt à parier que cette matrice pourtant symétrique
n'est pas diagonalisable... Arf ; après calcul, elle l'est ! J'imagine que l'examinateur attendait seulement l'erreur de raisonnement symétrique donc diagonalisable , ce qui est assez crétin : autant
donner un exemple sur lequel la conclusion est fausse !
Exercice 31 : fait à quelques occasions... y compris aux écrits ! Inégalité triangulaire... dont le cas
d'égalité.
20
Chapitre 4
Probabilités
4.1
Rappels de cours
Directement du cours :
Axiomatique des espaces probabilisés ; probabilité d'une intersection décroissante d'événements.
Formule de Bayes. [preuve]
Lois classiques, avec leur espérance (et variance si possible...).
Markov, Bienaymé-Tchebychev, loi faible des grands nombres. [preuves]
Fonction génératrice d'une somme de deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans N.
[preuve]
Somme de Poissons indépendantes. [preuve]
Proche du cours :
Avoir les bons réexes face à une chaîne de Markov (matrice stochastique, 1 est valeur propre...).
Loi d'un maximum : (X 6 n) = ∩(Xi 6 n)...
Espérance d'un cardinal : passer par une somme de variables de Bernoulli dont l'espérance est
simple à calculer.
4.2
Récolte 945
Exercice 1 Minettes 2016 [3/10]
On dispose de N cores. Avec probabilité p, on place un trésor dans l'un des cores (avec probabilité
uniforme).
On a ouvert N − 1 cores sans trouver de trésor. Quelle est la probabilité pour qu'on en trouve un dans
le dernier ?
Exercice 2 TPE 2016 [4/10]
Soient p ∈]0, 1[, q = 1 − p, ainsi que X et Y deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans N
telles que :
∀k ∈ N,
P(X = k) = P(Y = k) = pq k
On dénit alors U = Max(X, Y ) et V = min(X, Y ).
1. Donner la loi conjointe de (U, V ), puis les lois marginales de U et V .
2. U et V sont-elles indépendantes ?
3. On introduit la variable aléatoire S = U + V . Déterminer sa loi. Possède-t-elle une espérance ?
Exercice 3 Centrale 2016 [5/10]
On considère une suite (Xn )n∈N de variables aléatoires mutuellement indépendantes et suivant toutes
une loi de Bernoulli de paramètre 1/2. On pose Yn =
n
P
k=1
kXk et an =
n(n + 1)
·
2
1. Calculer l'espérance et la variance de Xn . Quelles sont les valeurs prises par Yn ?
2. Montrer : P(Yn = K) = P(Yn = an − K).
21
Exercice 4 CCP 2016 [4/10]
Le nombre N d'enfants d'une famille suit une loi de Poisson P(λ). Lors d'une naissance, la probabilité
pour que l'enfant (il n'y a jamais de jumeaux, merci...) soit une lle est de p. Les sexes des diérents
bébés sont indépendants. On note respectivement X et Y les nombres de lles et de garçons.
1. Déterminer la loi conjointe de (N, X).
2. Déterminer les lois de X et de Y .
3. (Extension probable :) Montrer que X et Y sont indépendantes.
Exercice 5 CCP 2016 [3/10]
On suppose : X ,→ P(λ) avec λ ∈]4, 5[.
P
P(X = n + 1)
et en déduire la convergence de la série un .
P(X = n)
2. Pour quel n aura-t-on P(X = n) maximale ?
1. Calculer un =
Les exercices suivants (de la récolte 945) ont été traités pendant l'année.
Exercice 6 Mines-Télécom 2016
Soit E un espace probabilisé 1 de cardinal n. Dans la suite, X , Y et Z désignent des parties de E .
Dénombrer :
1. les couples (X, Y ) constituant une partition de E ;
2. les couples (X, Y ) tels que X ∩ Y = ∅ ;
3. les couples (X, Y ) tels que X ∪ Y = E ;
4. les couples (X, Y ) tels que X ⊂ Y ;
5. les triplets (X, Y, Z) tels que X ∪ Y ∪ Z = E .
Exercice 7 CCP 2016 [6/10] joli et classique
Soit s un réel strictement plus grand que 1. On travaille sur E = N∗ , qu'on va probabiliser sur la tribu
complète T = P(N∗ ).
On note (pn )n>1 la suite strictement croissante des nombres premiers (avec donc p1 = 2, p2 = 3, ...).
Enn, pour p premier, on note Ap = {kp | k ∈ N∗ } l'ensemble de ses multiples.
1. Montrer qu'on peut dénir une probabilité en imposant pour tout k ∈ N∗ :
P({k}) =
1
·
ζ(s)k s
2. Pour p premier, calculer P(Ap ).
3. Déterminer
+∞
\
Apk ainsi que la probabilité de cet événement.
k=1
4. Montrer que la suite de terme général
n
Y
P Apk est convergente.
k=1
On note sa limite comme vous l'imaginez...
5. Montrer nalement :
∞
Y
P Ap k =
k=1
1
·
ζ(s)
Exercice 8 TPE 2016 [4/10]
Soit p ∈]0, 1[. Les variables aléatoires (Xn )n∈N∗ sont indépendantes et de même loi :
∀n ∈ N∗ ,
P(Xn = 1) = 1 − p et P(Xn = −1) = p
On dénit par ailleurs, pour n ∈ N∗ : Zn =
n
Y
Xk .
k=1
1. Ça y est, c'est ni : on ne parlera plus de probabilités !
22
1. Calculer E(Zn ) puis la limite de cette espérance lorsque n tend vers +∞.
2. Donner la loi de Zn .
3. À quelle conditions Z1 et Z2 sont-elles indépendantes ?
Exercice 9 ENSAM 2016 [4/10]
Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires telles que :
P(X = j et Y = k) = a(j + k)
∀(j, k) ∈ N,
+∞
P
1. Calculer, pour k ∈ N, σk =
(j + k)
j=0
2. Calculer
+∞
P
1 j+k
3
j+k
1
3
·
σk et en déduire la valeur de a.
k=0
3. Calculer les lois marginales de X et de Y .
4. X et Y sont-elles indépendantes ?
5. Calculer P(X = Y = k).
Exercice 10 Mines-Télécom 2016 [4/10]
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N de fonction génératrice GX : t 7→
1. Calculer l'espérance et la variance de X .
2. Déterminer la loi de X puis celle de
1
·
2 − t2
X
·
2
Exercice 11 CCP 2015 et 2016 (deux fois) [4/10]
N désigne le nombre d'électrons produits dans une réaction : N ,→ P(λ). Les électrons sont ecaces dans
une proportion p ∈]0, 1[, et X (respectivement Y ) désigne le nombre d'électrons ecaces (respectivement
inecaces).
1. Donner la loi de X sous la condition N = j .
2. Donner la loi conjointe de (X, N ).
3. Donner la loi de X , son expérience et sa variance.
4. Les variables X et Y sont-elles indépendantes ?
5. Quel est le signe de la covariance de X et N ?
Exercice 12 CCP 2016 [4/10]
Soient X et Y indépendantes et suivant des lois de Poisson de paramètres respectifs λ et µ.
1. Quelle est la loi de Z = X + Y ?
2. Déterminer P(X = k | Z = n).
3. Reconnaître la loi de X sous condition Z = n.
Exercice 13 CCP 2016 [5/10]
On suppose que X suit une loi de Poisson P(λ), avec λ > 0.
1
1. Montrer : P(X 6 n) =
n!
Z
+∞
xn e−x dx.
λ
2. En déduire un équivalent simple de un =
Z
+∞
λ
xn e−x dx lorsque n tend vers +∞.
3. Soit GX la fonction génératrice de X . Calculer GX (1) et GX (−1).
4. En déduire la probabilité que X prenne une valeur paire.
5. Soit Y suivant une loi uniforme sur [[1, 2]], indépendante de X . Quelle est la probabilité pour que
XY soit un entier pair ?
23
Exercice 14 Centrale 2016 (deux fois) [3/10]
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N.
1. Rappeler la dénition de la fonction génératrice d'une telle variable aléatoire.
Dans la suite, on suppose : X ,→ P(λ).
Donner la valeur de GX (t).
2. Montrer :
∀t > 1 ∀a ∈ R,
3. En déduire : P(X > 2λ) 6
P(X > a) 6
GX (t)
·
ta
e λ
4
4. Comparer avec une majoration obtenue via l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Exercice 15 CCP 2016 [3/10]
1
Dans un casino, un joueur tire un nombre N ∈ N∗ , avec P(N = n) = n · Si N est pair alors il gagne N
2
jetons et sinon il perd N jetons.
1. Quelle est la probabilité de gagner ?
2. Quelle est l'espérance de gain ?
Exercice 16 Mines 2016 [8/10]
Un institut de sondage appelle n personnes par vagues successives : à chaque vague, il rappelle tous ceux
n'ayant pas déjà répondu. On note Xk le nombre de personnes répondant au k-ème appel ; on a donc
0 6 Xk 6 n − (X1 + · · · + Xk−1 ).
À chaque appel, une personne répond avec probabilité p ∈]0, 1[ constante.
1. X1 et X2 sont-elles indépendantes ?
2. Déterminer les lois de X1 et X2 .
3. Donner la loi de Xk .
4. De façon indépendante de ce qui précède, déterminer la loi de Yk = X1 + · · · + Xk .
5. Vérier la cohérence à l'aide des espérances.
Exercice 17 Centrale 2015 et 2016 [4/10]
Soient X1 , .., Xn desvariables de Bernoulli (de même paramètre p ∈]0, 1[) mutuellement indépendantes.
X1
. 
On pose U = 
 ..  et M = U t U .
Xn
1. Déterminer la loi de rg(M ) et de tr(M ).
2. Quelle est la probabilité que M soit une matrice de projection ?
3. On suppose n = 2, on note V =
1
et S = V M t V . Déterminer E(S) et Var(S).
1
Exercice 18 ENSAM 2016 [4/10]
Soient X1 , .., Xn des variables de Bernoulli
(de mêmeparamètre p ∈]0, 1[) mutuellement indépendantes.

X1

On xe P ∈ GLn (R), on dénit D = 
(0)
..
(0)

 et M = P DP −1 .
.
Xn
1. Déterminer la loi et l'espérance de tr(M ) puis det(M ) et enn rg(M ).
2. Déterminer la probabilité pour que les sous-espaces propres de M soient de même dimension.
(
1 si j = i + 1
0 sinon
Quelle est la probabilité pour que N + D soit diagonalisable ?
3. Soit N ∈ Mn (R) telle que Ni,j =
24
Exercice 19 ISUP 2016 [4/10]
On suppose que X suit une loi B(n, p). Déterminer
inf{E((X − t)2 ) | t ∈ R}
Exercice 20 TPE 2016 [2/10]
Soit (Xn )n∈N une suite de variables aléatoires possédant chacune une espérance. On suppose : E(Xn ) −→ 0.
n→+∞
Prouver :
P(Xn = 0) −→ 1
n→+∞
Exercice 21 CCP 2016 [8/10]
Soit (Xn )n∈N une suite de variables aléatoires indépendantes, avec pour tout n ∈ N : Xn ,→ B(pn ). On
suppose :
Pn =
Montrer :
X1 + X2 + · · · + Xn
P − p > ε −→ 0
n→+∞
n
∀ε > 0,
4.3
p1 + p2 + · · · + pn
−→ p.
n→+∞
n
Mais aussi
Exercice 22 Centrale 2016 [8/10]
Soit (Ω,
, P) un espace probabilisé et (An )n∈N une suite d'événements. On considère l'événement :
\ T[
A=
An .
k∈N n>k

1. Montrer : P (A) = lim P 
k→∞

Ab .
[
n>k
2. On suppose que P(An ) converge.
(a) Déterminer P(A).
(b) Soit B l'ensemble des ω ∈ Ω appartenant à une innité de An . Déterminer P(B).
P
3. On suppose maintenant que les An sont mutuellement indépendants et que
P(An ) diverge.
Déterminer P(A).
P
Exercice 23 Centrale 2016 [4/10]
Une urne contient n boules numérotées. On y pioche avec remise, jusqu'à obtenir une deuxième fois une
boule déjà tirée. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de tirages eectués.
1. Soit i ∈ [[2, n + 1]]. Déterminer P(X > i|X > i − 1).
2. Soit i ∈ [[1, n + 1]]. Montrer :
P(X > k) =
k
Y
P(X > i|X > i − 1)
i=2
3. En déduire la loi de X .
Exercice 24 Mines-Télécom 2016 [6/10]
Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi géométrique de même paramètre.
X
·
Y
2. Calculer l'espérance de U .
1. Trouver la loi de U =
3. Montrer que E(U ) > 1.
25
Exercice 25 CCP 2016 [6/10]
Soit (An )n∈N une suite d'événements indépendants.
1. Soient n, p ∈ N. Montrer
que la probabilité
pour qu'aucun des événements An , ..., An+p est infé
rieure ou égale à exp −
n+p
P
P(Ak ) .
k=n
2. On suppose que P(An ) diverge. Montrer qu'il est presque impossible 2 qu'il y ait un nombre
ni d'entiers n pour lesquels An est réalisé.
P
Exercice 26 Mines-Télécom 2016 [3/10]
Soient X et Y deux variables aléatoires. On suppose que X suit une loi de Poisson de paramètre λ et
qu'il existe p ∈]0, 1[ tel que, pour tout m ∈ N, la loi conditionnelle de X sachant Y = m est la loi B(m, p).
Donner la loi de X .
Exercice 27 Cachan 2016 [2/10]
On suppose que 10% des individus d'une population possèdent la propriété C . On prend un échantillon
de 200 personnes dans cette population. Comment évaluer la probabilité pour que, dans cet échantillon,
la proportion d'individu possédant la propriété C soit comprise entre 30% et 50% ?
Exercice 28 Cachan 2016 [2/10]
Soient A et B deux variables aléatoires indépendantes qui suivent une loi géométrique. Déterminer la
probabilité pour que toutes les solutions de l'équation y 00 + (A − 1)y 0 + By = 0 tendent vers 0 en +∞.
Exercice 29 Cachan 2016 [3/10]
On suppose : X1 ,→ P(λ1 ), X2 ,→ P(λ2 ) et Y prend ses valeurs dans {−1, 1}. On suppose
de2 plus que
X1
X22
X1 , X2 et Y sont mutuellement indépendantes. On pose p = P(Y = −1) et on pose : M =
2
2 .
Y X2
X1
1. Déterminer la probabilité pour que M soit diagonalisable dans M2 (R).
2. Déterminer la probabilité pour que les valeurs propres de M soient réelles.
Exercice 30 Mines 2016 [/10]
Soit une ronde de p enfants (p > 3 ) et une balle qui circule.
À l'instant n = 0, Nicolas a la balle. À l'instant n, celui qui a la balle passe à son voisin de droite avec
une probabilité b, à son voisin de gauche avec une probabilité c et garde la balle avec une probabilité a.
Soit An l'événement : Alice a la balle à l'instant n. Déterminer lim P (An ).
n→+∞
4.4
Indications
Exercice 1 : Bayeserie sur les événements le trésor a été placé et il n'est pas dans les N − 1
premiers cores .
Exercice 2 : si i > j , l'événement (U, V ) = (i, j) est la conjonction de deux événements distincts.
Pour les lois marginales, il y a trois situations à distinguer. Sans calcul, j'ai tendance à penser
que PU =1 (V = 2) et PU =3 (V = 2) sont diérentes, donc U et V ne sont certainement pas
indépendantes. Pour S = U + V , on peut noter que S 6 2U , donc S possède une espérance !
n
n
P
P
Exercice 3 : si on pose Xk0 = 1 − Xk et Yn0 =
kXk0 = an −
kXk = an − Yn , alors Xn et Xn0
k=1
k=1
suivent la même loi, donc Yn et Yn0 aussi...
Exercice 4 : c'est presque le même que l'exercice 11...
Exercice 5 : P(X = n + 1) < P(X = n) quand λ < n + 1 (i.e. n > 4) et P(X = n + 1) > P(X = n)
quand n 6 3, donc le maximum est pris en 4.
2. Au sens : la probabilité de cet événement est nul.
26
Exercice 6 : choisir une partition (X, Y ), c'est choisir X ⊂ Y ; pour le deuxième, on choisit k, puis
X à k éléments, puis Y dans un ensemble à n − k éléments ; etc. On trouvera nalement : 2n , 3n ,
3n , 3n et 4n . On peut aussi rééchir en termes de fonctions caractéristiques des ensembles.
Exercice 7 : attention, l'intersection n'est pas vide : elle est réduite au singleton {1}. Ensuite, il
y a vaguement de la continuité décroissante, puis la convergence s'obtient via le logarithme, bien
entendu. Pour terminer, le point clé est que les Ap sont mutuellement indépendants, donc leur
complémentaires aussi ! On obtient nalement une formule due à Euler :
ζ(s) =
∞
Y
1
1 ·
1
−
ps
k=1
k
Signalons enn que le théorème des nombres premiers (non trivial !) dit : pn ∼ n ln n.
Exercice 8 : évidemment, E(Zn ) = (1 − 2p)n −→ 0. Il s'agit ensuite d'évaluer la probabilité pour
n→+∞
qu'il y ait un nombre pair de k tels que Xk = −1 (CNS pour avoir Zn = 1). Enn, je trouve
P(Z1 = 1 et Z2 = 1) = P(Z1 = 1)P(Z2 = 1) si et seulement si (1 − p)((1 − p)2 + p2 ) = (1 − p)2 , ce
qui donne la condition nécessaire d'indépendance : p = 1/2 ; etc.
Exercice 9 : magie et mystère des suites géométriques et séries entières. On pourra faire intervenir,
pour x < 1 :
+∞
X
nx
n−1
=
n=1
Exercice 10 : GX (t) =
1
2
+∞
P
n=0
1 2n
2n t ...
∞
X
n=0
!0
x
n
=
1
···
(1 − x)2
Je trouve E(X) = G0X (1) = 2 et Var(X) = G00X (1) + G0X (1) −
G0X (1)2 = 8, ce qui est cohérent avec le fait que 1 + X
2 suit une loi G(1/2).
Exercice 11 : à N = j xé, le nombre d'électrons qui vont être ecaces suit une loi binomiale
B(j, p), donc :
P(X = i) =
+∞
X
(pλ)i
·
P(N = j) P(X = i | N = j) = · · · = e−pλ
{z
}
|
i!
j=i
=(ji )pi q j−i
Finalement, X ,→ P(pλ) (puis E(X) = pλ). Ce qu'on constate par le calcul, c'est que contre
l'intuition naturelle, X et Y sont indépendantes. L'intuition ne ment par contre pas : Cov(X, N ) >
0 (elle se calcule même assez bien).
P(X = k et Y = i − k)
Exercice 12 : P(X = k | X + Y = i) =
, ce qu'on peut facilement calculer
P(X + Y = i)
car X et Y sont indépendantes, donc X + Y ,→ P(λ + µ)et P(X = k et Y = i − k) = P(X =
λ
k)P(Y = i − k). On trouve nalement une loi binomiale B i, λ+µ
·
Exercice 13 : intégrations par parties successives... Bon, pour obtenir l'équivalent n!, on pouvait
se contenter de noter que x 7→ xn e−x est croissante sur [0, λ] (dès que n > λ), donc l'intégrale sur
[0, λ] est majorée par λ.λn e−λ , qui est négligeable devant l'intégrale sur [0, +∞[, à savoir n!... Je
trouve 43 + 14 e−2λ pour la dernière question, et les cas limites me laissent penser que cette formule
est raisonnable (hop : plus deux points au candidat qui balance ce genre de considérations après
le calcul...).
Exercice 14 : pour la première inégalité, et puisque t > 1 implique tn > ta pour n > a, on a :
GX (t) =
∞
X
n=0
P(X = n)tn >
X
P(X = n)ta = ta
n>a
X
P(X = n) = ta P(X > a).
n>a
Pour la deuxième, le minimum de t 7→ t − 1 − 2 ln(t) est pris en 2...
Exercice 15 : je trouve respectivement 1/3 et −2/9.
Exercice 16 : Xk ,→ B(n, q k−1 p) (conditionner selon Xk−1 ...). On peut évaluer Yk en pensant à la
probabilité, pour une personne donnée de n'avoir jamais répondu au téléphone ; on trouve ainsi :
Yk ,→ B(n, 1 − q k )
27
Exercice 17 : cette matrice est de rang 1... sauf si elle est nulle ! Par ailleurs, M 2 = (trM )M ...
Enn, S = X1 + 2X1 X2 + X2 (oui, les carrés disparaissent...), donc les calculs sur des Bernoulli
doivent être accessibles.
Exercice 18 : rg(M ) = tr(M ) ,→ B(n, p), det(M ) ,→ B(pn ). Les sous-espaces propres ont même
dimension si et seulement sion a tiré autant de 0 que de 1, ce qui est impossible si n est impair, et
n
arrive avec probabilité n/2
(p(1 − p))n/2 si n est pair. Enn, le spectre de D + N est celui de N ,
donc est inclus dans {0, 1}, donc N + D est diagonalisable si et seulement si (N + D)2 = N + D...
ce qui est impossible (poser le début du calcul, plutôt que de faire ces yeux ronds en lisant ce
corrigé !).
Exercice 19 : écrire X − t = (X − E(X)) + (E(X) − t), mettre au carré, puis espérer. Plutôt que
de l'indication sur la loi précise de X on a seulement besoin de l'existence d'une variance...
Exercice 20 : pf... E(Xn ) >
+∞
P
P(Xn = k) = 1 − P(Xn = 0) !
k=1
ε
2
Exercice 21 : on xe ε > 0. Il existe un rang N tel que pour n > N , |Pn − p| 6 · Pour de tels n
si |Mn − Pn | <
ε
2
(avec Mn =
X1 +···+Xn
),
n
|Mn − p| > ε
donc :
alors |Mn − p| < ε, soit par contraposition :
=⇒
ε
2
ε
|Mn − Pn | >
P (|Mn − p| > ε) 6 P |Mn − Pn | >
Ensuite, grâce à Bienaymé-Tchebychev :
2
.
n
ε
4 X
P |Mn − Pn | >
6 2 2
pk (1 − pk ),
2
n ε
k=1
et c'est à peu près ni, non ?
N.B. : lire la correction quelques mois plus tard sans y avoir rééchi m'a semblé plus dicile que
faire l'exercice from scratch ! Le point de départ était la dernière relation, à savoir BienayméTchbychev avec ε qui s'avère insusant, donc qui est remplacé par ε/2 ; etc !
Exercice 22 : intersection décroissante... et B = A est de probabilité nulle (on majore la probabilité
de l'union par la somme des probabilités, et on est face à un reste de série convergente). La
deuxième partie est plus délicate : on évalue la probabilité du complémentaire de l'union (qui est
une union croissante), et on est ramené à des probabilités du type
N
Q
(1 − P(An )) qui tend vers
n=k
0 lorsque N tend vers +∞... on va revoir ça à l'exercice
25 !
1
1
i−1
Exercice 23 : 1 − n ; probabilités composées ; n!
−
·
(n − (k − 1))!nk−1
(n − k)!nk
p0 (− ln(1 − q 0 ))
···
Exercice 24 : sans l'hypothèse p = p0 sur les paramètres, je trouve
p
q0
[ \
Exercice 25 : cf exercice 22 ; on évalue ici l'événement
Ak .
n∈N k>n
Exercice 26 : hum... fait moins de 20 fois, mais plus de 5, non ?
Exercice 27 : la proportion recherchée suit une loi B(200, 0.4), qui est probablement approximable
par une Poisson P(80)...
Exercice 28 : les deux solutions de l'équation caractéristique ont leur partie réelle strictement
négative si et seulement si c'est la cas de leur somme, c'est-à-dire : 1−A < 0. Ici, P(A > 1) = 1−p.
Exercice 29 : déjà, M est symétrique
réelle avec probabilité 1 − p. Il reste ensuite à estimer la
probabilité pour que
X12
−X22
X22
X12
soit diagonalisable (resp. : à spectre dans R) ; il me semble que
c'est la même condition, à savoir : X2 = 0 (sinon, le polynôme caractéristique n'a pas de racine
réelle).




a
b
c
0
1
0
b
c
a
1
0
0
Exercice 30 : pour réduire A =  c a b , je serais tenté de passer par B = 0 0 1... Les
valeurs propres seront 1, a + bj + cj et a + bj + cj , les deux dernières étant de modules strictement
plus petit que 1 (sauf cas particuliers absurdes où l'une des trois valeurs a, b, c vaut 1) ; etc.
28
Chapitre 5
Interlude : diverses choses
Quelques exercices qui n'ont pas trouvé leur place ailleurs. En particulier un peu de géométrie.
5.1
Diverses choses, donc
Exercice 1 Mines 2016 [3/10]
Soit n ∈ N. Calculer
n
X
k=0
n
k
k
2
Exercice 2 Mines 2016 [3/10]
Résoudre sur C l'équation 1 + 2z + · · · + 2z n−1 + z n = 0.
Exercice 3 CCP 2016 [2/10]
À l'aide de l'inégalité des accroissements nis, montrer :
∀x ∈ R+ ,
x
6 Arctan(x) 6 x.
1 + x2
Exercice 4 TPE 2016 [6/10]
(
Représenter (avec des tangentes signicatives) la courbe d'équation
x = 2 cos(t) − cos(2t)
y = 2 sin(t) − sin(2t)
Exercice 5 X PC 2016 [5/10]
Déterminer, avec une estimation numérique, la valeur moyenne de t 7→ cos100 t, ainsi que sa plus petite
période strictement positive.
Exercice 6 Centrale PC 2016 [6/10]
Pour n ∈ N∗ , on note (En ) l'équation xn = 1 + x.
1. Montrer que pour tout n > 0, (En ) possède une unique solution dans R+ , notée xn dans la suite.
2. Établir un développement asymptotique de la forme xn = a +
c
b
+ 2 + o(1/n2 ).
n n
Exercice 7 Centrale 2016 [9/10]
(
x = at2
Soient a, b > 0 et c > 0. On note Γ l'arc paramétré :
y = bt3 − ct
1. Trouver les triplets (a, b, c) tels que Γ possède un point double.
2. On prend (a, b, c) = (1, 1, 0). Tracer la courbe Γ, et trouver les normales tangentes à la courbe.
5.2
Indications
Exercice 1 : k2 = k(k − 1) + k... et on trouve nalement n2n−1 + n(n − 1)2n−2 = n(n + 1)2n−2 .
29
(1 + z)(1 − z n )
Exercice 2 : il me semble que pour z 6= 1, cette équation est équivalente à
= 0.
1−z
Selon la parité de n, on trouvera donc n ou n − 1 racines.
Exercice 3 : pour l'inégalité de droite je vois bien... mais pour l'inégalité de gauche, les accroissements nis me semblent au minimum articiels ! Une étude de fonction doit faire l'aaire.
Exercice 4 : on réduit l'intervalle d'étude à [0, π], et on a un point stationnaire en 0 ; qu'on peut
étudier via l'accélération en 0, ou le développement limité :
x(t)
1
2 1
3 0
=
+t
+t
+ o(t3 ).
y(t)
0
0
1
1
eit + e−it , en développant
Exercice 5 : exercice étonnant ! On linéarise en partant de cos t =
2
avec le binôme de Newton, en regroupant les termes symétriques et en mettant en valeur le terme
central, qui est le seul de moyenne non nulle :
cos100 t =
49 100
1 X 100
+
cos((100 − 2k)t)
2100 50
299
k
1
k=0
100
. J'imagine qu'il était ensuite demandé de
100
2 50
1 2n
1
1
1
1
trouver l'équivalent (via Stirling) : 2n
soit ici : µ ' √
' √
=
· Il
∼ √
2
13
n
πn
50π
169
resterait à établir que la (plus petite) période (strictement positive) est bien entendu π .
Exercice 6 : déjà, un dessin doit nous convaincre que xn −→ 1, et nous invite même à prouver
1
On en déduit la valeur moyenne : µ =
n→+∞
1 6 xn 6 2. Ensuite, on injecte progressivement des informations dans l'équation xn = (1 +
1
xn )1/n = e n ln(1+xn ) . D'abord (puisque xn 6 2), xn −→ 1, puis en écrivant xn = 1 + αn :
n→+∞
ln 2
ln2 2 + ln 2
ln 2
. Enn, en écrivant xn = 1 +
+ βn , il me semble qu'on obtient : βn ∼
·
αn ∼
n
n
2n2
Exercice 7 : pour t1 6= t2 , on a Mt1 = Mt2 si et seulement si (après simplication par t1 − t2 6= 0)
t2 = −t1 et bt31 − ct1 = b(−t1 )3 − c(−t1 ), c'est-à-dire pour t1 6= 0 : bt1 − c = 0 : un tel t1 6= 0 existe
si et seulement si c 6= 0.
3
0.6
6
2
0.4
1
0.2
3
0
0.0
2
1
0.2
2
0.4
5
4
1
0
3
4
3
2
1
0
1
2
3
0.6
1
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
2
2
0
2
4
6
Figure 5.1 Exercices 4 (cardioïde) et 7 avec (a, b, c) = (1, 1, 1) puis (1, 1, 0)
Pour la dernière question je cherche si la normale en Mt0 est orthogonale à la tangente en Mt1 , ce
4
−−−−−→
qui me donne l'équation t0 t1 = − puis si Mt0 Mt1 est orthogonal à la normale en Mt1 , ce qui me
9
donne l'équation 2(t0 + t1 ) + 3t1 (t20 + t0 t1 + t21 ) = 0. Quelques lignes plus loin j'obtiens l'équation
bicarrée 81t40 − 36t20 − 32. Je pensais m'être trompé... et Wolfram√ α m'a révélé que les racines sont
2 2
simples ! Il y a deux imaginaires purs conjugués, ainsi que ±
· · · et le dessin me laisse penser
3
que je ne me suis pas trompé dans les calculs !
30
Chapitre 6
Suites et séries de fonctions séries
entières
6.1
Rappels de cours
Diérents modes de convergence des suites et séries de fonctions. [définition]
La convergence normale implique la convergence uniforme. [preuve]
Théorèmes de régularité pour les limites de suites de fonctions (resp. sommes de séries de fonctions).
Savoir appliquer tout cela à ζ : x 7→
+∞
P
n=1
1
nx ·
Non mais vraiment ! Vériez que vous savez eectivement faire.
Rayon de convergence. [définition] Savoir les calculer en pratique (et pas forcément via d'Alembert !)
Convergence absolue dans le disque ouvert ; normale sur [−A, A] si A < R. [preuve]
Régularité des sommes de séries entières.
Développement en série entière de t 7→ ln(1 + t). [preuve]
Rayon de convergence de la série entière dérivée (resp. primitivée). [preuve]
6.2
Récolte 945
Exercice 1 CCP 2016 [3/10]
On dénit, pour n ∈ N, l'application

nx2


fn : x ∈ R 7−→ 1 + nx
3

 nx
1 + nx2
si x > 0
si x < 0
1. Prouver que (fn )n∈N converge uniformément sur R.
2. Prouver que (fn0 )n∈N converge simplement mais pas uniformément sur [−1, 1].
Exercice 2 CCP 2016 [3/10]
On dénit, pour n ∈ N∗ et x > 0 :
fn (x) =
xn
·
n2 (1 + x2n )
1. Étudier la convergence simple de (fn )n∈N .
2. Déterminer la limite de
Z
1
fn (x)dx lorsque n tend vers +∞.
0
(a) Étudier la convergence de
P
fn .
31
(b) On note S(x) =
∞
P
n=1
fn (x) (lorsqu'il y a convergence). Comparer S(1/x) et S(x).
(c) Étudier la continuité de S sur son domaine de dénition.
Exercice 3 Centrale 2016 [3/10]
On dénit, pour α ∈ R et n ∈ N∗ :
fn : x ∈ I = R+ 7−→ nα xe−nx
1. Donner une condition nécessaire et susante pour que (fn )n∈N∗ converge uniformément sur I .
P
2. Donner une condition nécessaire et susante pour que
fn converge normalement sur I .
n∈N∗
On pose, lorsque c'est déni :
Sα (x) =
+∞
X
fn (x).
n=1
3. Montrer que pour tout α, Sα est continue sur R∗+
La n de l'exercice (mal notée par les deux qui l'ont eu...) s'intéressait à la continuité en 0...
Exercice 4 CCP 2016 [3/10]
On dénit, pour t ∈ [0, 1] et n ∈ N∗ : gn (t) = 1 −
t n t
e.
n
Ensuite, pour x ∈ [0, 1] : In (x) =
1. Montrer que pour n ∈ N∗ et t ∈ [0, 1], on a |gn0 (t)| 6
Z
x
gn (t)dt.
0
et
n
·
2. Montrer que sous les mêmes hypothèses, on a |gn (t) − 1| 6
tet
·
n
3. Étudier la convergence (simple, uniforme) de (In )n∈N .
Exercice 5 CCP 2016 [6/10]
On dénit, pour x > 0 et n entier supérieur ou égal à 2 :
ln x
·
xn ln n
P
1. Déterminer le domaine D de convergence de un .
∞
P
Pour x ∈ D, on note S(x) =
un (x).
un (x) =
n=2
2. Montrer que la série ne converge pas normalement sur D.
+∞
1
P
·
3. (a) Montrer que pour x ∈ D et n > 2, on a uk (x) 6
k=n+1
ln(n + 2)
(b) Montrer que S est continue sur D.
4. S est-elle intégrable sur D ?
Exercice 6 CCP 2016 [6/10]
On dénit, pour n ∈ N∗ et x ∈ R :
un (x) =
1. Donner le domaine de dénition de S(x) =
ln(1 + n2 x2 )
n2 ln(1 + n)
+∞
P
n=1
un (x).
2. Montrer que S est continue sur D.
3. Montrer que S est de classe C 1 sur tout intervalle de la forme [α, +∞[.
4. En établissant la convergence uniforme sur [−α, α], montrer que S est de classe C 1 sur D.
32
Exercice 7 TPE 2016 [4/10]
1. Donner le développement en série entière de x 7→ √
2. En déduire celui de
1
·
1−x
1
·
(1 − x)3/2
3. À l'aide d'un produit de Cauchy, montrer :
∀n ∈ N,
n
X
1 2k
2n + 1 2n
=
n
4k k
4n
k=0
Exercice 8 CCP 2016 [5/10]
Soit a ∈ R. On dénit, quand c'est possible : S(x) =
an
·
n=0 n + x
+∞
P
1. Déterminer (suivant les valeurs de a) le domaine de dénition de S .
2. On suppose maintenant : |a| < 1.
(a) Montrer que S est continue sur R∗+ .
(b) Établir une relation entre S(x) et S(x + 1).
(c) Donner un équivalent de S en 0+ .
(d) Donner la limite de S en +∞.
Les 9 exercices qui suivent ont été faits pendant l'année.
Exercice 9 Mines 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016 : probablement 2017... [5/10]
1. Déterminer le domaine de convergence de f (x) =
∞
P
n=0
√
e−x
n
.
2. Montrer que f est C ∞ sur ce domaine.
3. Donner un équivalent de f en 0.
Exercice 10 CCP 2016 [6/10]
On dénit, pour x ∈ R : F (x) =
+∞
P
n=1
x2
x
·
+ n2
1. Montrer que F est bien dénie et continue sur R.
2. Donner un équivalent de F en 0 et en +∞.
Exercice 11 CCP 2015, 2016 [7/10]
On dénit f (x) =
+∞
P
n=0
ln(1 + e−nx ).
1. Domaine de dénition de f ?
2. f est-elle continue sur Df ?
3. Déterminer la limite de f en +∞. Que vaut f (Df ) ?
Exercice 12 Mines 2016 [6/10]
On dénit
f : x 7−→
+∞
X
(−1)n e−nx
·
1+n
n=0
1. Donner le domaine de dénition de f .
2. Déterminer la régularité de f . 3. Montrer que f vérie une équation diérentielle simple, et en déduire une expression simple.
33
Exercice 13 Mines 2016 [3/10]
P
Montrer
que
an z n est la borne supérieure de l'ensemble des r > 0 tels que
le rayon de convergence de
n
P
k=0
est bornée.
ak rk
n∈N
Exercice 14 TPE 2016 [3/10]
Donner le rayon puis le domaine de convergence de
X
p
sin π n2 + 1 xn
Exercice 15 Mines 2016 (deux fois) [4/10]
Rayon de convergence et calcul de
+∞
P
n=1
n
xn .
(2n + 1)!
Exercice 16 Mines 2016 [2/10] P
Donner le rayon de convergence de an xn , avec an = (1 + (−1)n )n (après avoir donné la dénition
dudit rayon).
Exercice 17 Centrale 2016 [3/10]
Pour un réel a = d0 , d1 d2 d3 ...dn ..., on note dn la n-ème décimale de a.
P
1. Donner le rayon de convergence de dn xn (on pourra discuter selon la valeur de a).
2. On dénit, pour n ∈ N, bn =
n
P
dk dn−k . Que vaut
k=0
6.3
+∞
P
bn
n=0
1
?
10n
Mais aussi
Exercice 18 Mines 2016 [3/10]
Étudier la convergence simple et uniforme des suites de fonctions suivantes :
1. fn (x) = 1 + x + x2 + · · · + xn sur ] − 1, 1[ ;
2. gn (x) = nxn ln(x) sur ]0, 1], et gn (0) = 0 ;
3. hn (x) = e−nx sin(2nx) sur R+ .
Exercice 19 Mines 2016 [5/10]
On dénit f : x 7→
régularité de f .
+∞
P
n=1
x
· Déterminer l'ensemble de dénition de f . Étudier la continuité et la
n(1 + nx2 )
Exercice 20 Mines 2016 [7/10]
On pose g(x) =
xn
√ ·
n
n=1
+∞
P
1. Déterminer le domaine de dénition de g .
2. Déterminer la limite puis un équivalent simple de g aux bords du domaine.
Exercice 21 CCP 2016 [4/10]
Étudier la convergence simple et uniforme de (fn )n∈N , avec :
∀n ∈ N ∀x ∈ R,
fn (x) = cos
1
1+
n
x .
Exercice 22 Mines-Télécom 2016 [5/10]
On pose, pour n ∈ N∗ et x ∈ [0, 1] : un (x) = ln 1 +
+∞
P
x x
− . On dénit ensuite : S =
un .
n
n
n=1
1. Montrer que S est de classe C 1 sur [0, 1].
34
2. Calculer S 0 (1).
Exercice 23 Mines-Télécom 2016 [2/10]
P
Rayon de convergence et calcul de la somme de la série entière (n2 + n + 1)xn
Exercice 24 Mines-Télécom 2016 [/10]
Trouver une, puis toutes les solutions développables en série entière de l'équation diérentielle
x(x − 1)y 00 + 3xy 0 + y = 0.
6.4
Indications
Exercice 1 : (fn )n∈N converge simplement vers la fonction identité. Pour le caractère uniforme sur
1
1
, et après étude de fonction j'obtiens kfn − f k∞,R− = √ ·
n
2 n
qui converge simplement sur [−1, 1] vers une fonction qui n'est pas continue
R+ , on a facilement kfn − f k∞,R+ 6
On a ensuite (fn0 )n∈N
en 0...
1
Exercice 2 : on a kfn k∞ 6 2 · · · ce qui me laisse penser que cet énoncé est faux (tout tombe
n
trop facilement !). Merci Anthony... On trouvera S(1/x) = S(x).
nα−1
Exercice 3 : kfn k∞ = fn (1/n) =
· · · En question subsidiaire, on pourra vérier que S0 n'est
e
PAS continue en 0.
Exercice 4 : mouais... cet énoncé me semble étrange. Bon, l'inégalité des accroissements nis doit
permettre de traiter la deuxième question...
1
Exercice 5 : D = [1, +∞[, et sauf erreur de ma part, kun k∞ = un (e1/n ) =
· · · C'est
e n ln n
bien entendu la continuité en 1 qui pose problème (au delà, on peut localiser sur [1 + α, +∞[). La
majoration proposée me semble étrange : par une comparaison série/intégrale (et le changement de
1
1
6
, ce qui donne bien la convergence uniforme puis
ln n
ln n
+∞
X
1
ln x
+ (ln x)
···
la continuité. Pour l'intégrabilité (au voisinage de +∞, donc) : S(x) 6 2
n
x (ln 2)
x
n=3
variable xt = y ) j'obtiens |Rn (x)| 6
xn
Exercice 6 : la question ne est évidemment
la dernière.
Une comparaison somme/intégrale (comme
+∞
P 0
π
un (x) 6
, ce qui permet de conclure. En écrivant
k=n+1
ln n
ceci, je réalise que cela prouve la convergence uniforme sur R directement, ce qui m'inquiète un
dans l'exercice précédent) me donne peu (mais pas plus que ça !).
(2n)! n
x . Par dérivation, on en
4n n!2
1
déduit la valeur de (1 − x)−3/2 . En observant la relation (1 − x)−1/2 1−x
= (1 − x)−3/2 avec ses
Exercice 7 : travail usuel à la Wallis pour obtenir
−1/2
n
(−x)n =
yeux de Cauchy, on peut terminer l'exercice.
Exercice 8 : DS = R \ Z− . Il peut être intéressant d'écrire S(x) =
∞
X
1
an
+
(pour avoir
x n=2 x + n
une convergence normale sur ]0, +∞[ dans la somme, ce qui permet de répondre à la troisième
1
· Enn, xS(x) est une somme qui converge normalement sur
x
1
au voisinage de +∞.
[1, +∞[, donc par théorème de double-limite : S(x) ∼
x(1 − a)
Exercice 9 : la convergence des séries dérivées est normale sur [a, +∞[, d'où le caractère C ∞ . Au
2
voisinage de 0, une comparaison somme/intégrale fournit comme équivalent : 2 · Au fait :
x
> int(exp(-sqrt(u)),u=0..infinity);
2
question). S(x) − aS(x + 1) =
Et en +∞ ? Prolongez l'exercice...
35
Exercice 10 : il y a convergence normale sur [−A, A] (mais pas sur R, au passage : regarder fn (n)).
fn (x)
1
quand x tend vers 0, et on a alors sans problème (majoration de la
−→
x x→0 n2
+∞
X
f (x)
π2
1
diérence, ou double-limite) :
(=
ζ(2)
=
−→
)·
x x→0 n=1 n2
6
P
1
Ensuite, toujours à n xé, on a fn (x) ∼ lorsque x tend vers +∞. La série x1 étant divergente,
x
π
on évalue alors plutôt f (x) par une comparaison somme/intégrale, qui donne : f (x) −→ ·
x→+∞ 2
Exercice 11 : Df =]0, +∞[ ; convergence normale donc uniforme sur [α, +∞[ pour tout α > 0,
donc f est continue sur Df . Par double limite (convergence uniforme !) f (x) −→ ln 2. Enn,
À n xé, on a
x→+∞
f (x) −→+ +∞ (délicat : à M xé, on xe N tel que N ln 2 > M + 1 puis on regarde SN (x) pour
x→0
x assez proche de 0...) donc par continuité et stricte décroissance : f (Df ) =] ln 2, +∞[.
e−x
, puis f (x) = ex ln(1 + e−x ). Le membre de droite est déni
Exercice 12 : f 0 (x) − f (x) = −
1 + e−x
sur R mais attention, l'égalité n'a lieu que sur R+ ! Par ailleurs, au delà de la continuité (valable
sur [0, +∞[ par contrôle du reste d'une série alternée), la régularité de la somme (avant d'avoir
déterminé la forme simple précédente) n'est claire que sur ]0, +∞[.
Exercice 13 : notons Ra le rayon de convergence, et S la borne supérieure en jeu, ainsi que Ea et
0
E 0 les ensembles dont Ra et S sont
P les nbornes supérieures par dénition. D'une part, E ⊂ Ea , donc
S 6 Ra . Mais si r < Ra , alors
an r est convergente, donc les sommes partielles sont bornées,
donc r ∈ E 0 . Ceci montre : Ra 6 S (quitte à passer par S − Rna ).
√
n
2
Exercice 14 : π n2 + 1 = nπ 1 + 2n1 2 + o(1/n2 ) , puis un = (−1)
2n
+ O(1/n )...
Exercice 15 : il peut être intéressant de partir de
n
1
=
(2n + 1)!
2
1
1
−
(2n)! (2n + 1)!
···
Exercice 16 : a2p et a2p+1 sont bien connus... et on revient à la dénition du rayon de convergence ;
(an rn )n∈N est bornée si et seulement si les extractions d'indices pairs et impairs le sont.
Exercice 17 : évidemment les choses ne se passent pas pareil selon que a est décimal (et alors les
dn sont nuls à partir d'un certain rang) ou non (et alors il y aura des dn > 1 pour n arbitrairement
grand) ; le rayon de convergence est alors égal à 1 pour le second cas. Puisque a =
+∞
P
n=0
dn
10n ,
il me
semble que la quantité demandée est la somme d'un produit de Cauchy de deux séries absolument
convergentes... Et la valeur attendue est donc a2 .
1
Exercice 18 : kgn k∞ = gn (e−1/n ) = et khn k∞ > |hn (π/4n)| = e−π/4 .
e
√
1
1
= O(kfn0 k∞ ). Mais sur [A, +∞[... La non Exercice 19 : kfn k∞ = fn (1/ n) =
et
3/2
n
2n
dérivabilité en 0 est intéressante à établir...
Exercice 20 : Dg = [−1, 1[. La convergence est uniforme sur [−1, 0] (contrôle du reste d'une série
alternée). Au voisinage de 1, on considère (1 − x)g(x), qui s'exprime comme une somme de série
convergeant normalement, ce qui nous donne : (1 − x)g(x) −→− 0 (FAIL donc, pour l'équivalent).
x→1
r
1
π
Une comparaison somme/intégrale m'a ensuite donné : g(1 − u) ∼ √ Γ(1/2) =
·
u
u
Exercice 21 : la convergence vers la fonction cos est uniforme sur [−M, M ] (inégalité des accroissements nis, par exemple) mais pas sur R (considérer par exemple fn (nπ)).
u2
Exercice 22 : l'inégalité |ln(1 + u) − u| 6
(établie sur [0, 1] par exemple via le contrôle du
2
P
reste d'une série alternée) permet d'établir la convergence normale de un . Il y a également
∞
P
P
1
convergence normale de u0n , puis S 0 (1) = −
doit se calculer sans trop de problème
n=1 n(n + 1)
après une décomposition en éléments simples.
Exercice 23 :
+∞
P
(n2 + n + 1)xn = x
n=0
+∞
P
(n + 1)nxn−1 +
n=0
+∞
P
00
xn = x (· · ·) + · · ·
n=0
Exercice 24 : formulation étrange ( une, puis les ...). Bon, je trouve comme solutions développables en série entière les x 7→ K
n+1
x
. La relation de récurrence étant : an+1 =
an .
(1 − x)2
n
36
Chapitre 7
Intégration
7.1
7.2
Rappels de cours
Formule de Taylor avec reste intégral. [preuve]
Intégrabilité de t 7→ t1α au voisinage de +∞ et en 0+ . [preuve]
Comment montrer qu'une fonction est intégrable ? Et d'intégrale convergente ?
Théorème de convergence dominée.
Intégrale de la somme d'une série de fonctions.
Régularité des intégrales à paramètres (continuité, classe C 1 ).
Savoir montrer que Γ est C 0 ... et même un peu plus sur ]0, +∞[. Attention : il faut d'une part
localiser sur [A, B] ⊂]0, +∞[ et d'autre part faire attention à distinguer ]0, 1] et [1, +∞[ au moment
de la domination.
Récolte 945
Exercice 1 CCP 2016 [5/10]
n
Pour n ∈ N∗ , on note fn : t ∈ [0, 1] 7→ 1 − nt et .
1. Montrer :
∀n ∈ N∗ ∀t ∈ [0, 1],
|fn0 (t)| 6
et
n
2. Montrer :
∀n ∈ N∗ ∀t ∈ [0, 1],
|fn (t) − 1| 6
·
tet
·
n
3. On dénit une suite de fonctions (In )n>1 par :
Z
∀n ∈ N∗ ∀t ∈ [0, 1],
In (x) =
x
fn (t)dt
0
(a) Étudier la convergence simple de (In )n>1 .
(b) Montrer que la convergence est en fait uniforme.
Exercice 2 Mines 2016 [9/10]
Soit f une fonction continue et à valeurs positives sur [a, b]. Déterminer la limite quand n tend vers +∞
de
!
Z
In =
1/n
b
n
f (t) dt
a
Exercice 3 Mines-Télécom 2016 [6/10]
Soit f ∈ C(]0, +∞[, R).
1. On suppose : f (t) −→ 0. Montrer :
t→0
Z
2x
x
f (t)
dt −→+ 0.
t
x→0
37
2. On suppose : f (t) −→ ` ∈ R. Que dire de
Z
t→+∞
3. Existence et calcul de
Z
2x
x
+∞
f (t)
dt lorsque x tend vers +∞ ?
t
Arctan(2t) − Arctan(t)
dt.
t
0
Exercice 4 Centrale 2015 et CCP 2016 [6/10]
Soit, pour n ∈ N : In =
Z
1
ln(1 + tn )dt.
0
1. Montrer que (In )n∈N converge et déterminer sa limite.
2. Justier l'existence de L =
Z
1
ln(1 + u)
du.
u
0
L
3. Montrer : In ∼ ·
n
4. Montrer enn :
+∞
X
(−1)n−1
·
L=
n2
n=1
Exercice 5 TPE 2016 [6/10]
Après avoir justié la convergence des deux membres, montrer :
Z
+∞
ln
0
sht
cht
dt = −
+∞
X
1
·
(2n
+
1)2
n=0
Exercice 6 Minettes
2016 [6/10]
Z +∞
x
On considère I =
dx.
shx
0
1. Montrer l'existence de I .
2. Montrer : I =
+∞
X
2
·
(2n + 1)2
n=0
Exercice 7 TPE 2016 [7/10]
Établir l'égalité :
Z
+∞
0
+∞
X
sin x
1
dx
=
·
ex − 1
1
+
n2
n=1
Exercice 8 Mines 2016 [8/10]
Z +∞
Pour x > 0, on dénit f (x) =
dt
·
1 + t + tx+1
0
1. Montrer que f est continue sur ]0, +∞[.
2. Montrer que f est de classe C 1
3. Déterminer la limite de f en +∞ puis en 0.
4. Donner un équivalent de f en 0.
Exercice 9 Mines
2016 [7/10]
Z
+∞
On dénit f (x) =
0
sin(xt)
dt.
et − 1
1. Existence et continuité.
2. Caractère C 1 puis C ∞ .
3. Montrer que f (x) =
+∞
P
x
·
2 + x2
n
n=1
38
Exercice 10 Minettes
2016 [5/10]
Z +∞
sin t
On dénit f (x) =
dt.
0
t+x
1. Montrer que f (x) est dénie pour tout x > 0, et que :
+∞
Z
∀x > 0,
f (x) =
0
1 − cos t
dt.
(t + x)2
2. Montrer que f est de classe C 2 sur ]0, +∞[ et vérie :
f 00 (x) + f (x) =
∀x > 0,
1
·
x
Exercice 11 Centrale 2016 [6/10]
1. Montrer que pour x > 0, f (x) =
Z
1
tx−1 e−t dt est convergente.
0
2. Montrer que f est continue sur ]0, +∞[.
(−1)n
·
n=0 n!(n + x)
+∞
P
3. Montrer que pour tout x > 0, on a : f (x) =
4. Montrer que pour tout x > 0,
P
(−1)n
est convergente.
n!(n + x)
5. Montrer que
fe : x ∈ R \ Z− 7−→
+∞
X
(−1)n
·
n!(n + x)
n=0
est de classe C ∞ .
Exercice 12 ENSEA 2016 [5/10]
On dénit, pour x ∈ R :
+∞
Z
f (x) =
0
e−t
√ eixt dt.
t
1. Montrer que f est dénie sur R, puis de classe C 1 .
2. En passant par une équation diérentielle, calculer f (x).
Exercice 13 ENSAM 2016 [6/10]
Sur E = C([−π, π], R) on dénit l'application V : f 7→ g , avec
Z
π
g : x ∈ [−π, π] 7−→
sin(x − t)f (t)dt
−π
1. Montrer que V est un endomorphisme de E .
2. Déterminer les éléments propres de V .
Les 4 exercices qui suivent ont été traités pendant l'année.
Exercice 14 CCP 2016 [8/10]
√
On pose α = ln(1 + 2), et pour n ∈ N : In =
Z
α
shn (t)dt.
0
1. Résoudre shx = 1.
2. Déterminer la limite de (In )n∈N .
√
3. (a) Montrer que pour n > 2, nIn + (n − 1)In−2 = 2.
(b) En déduire un encadrement puis un équivalent de In lorsque n tend vers +∞.
39
Exercice 15 CCP 2016 [3/10]
Donner la nature de
n Z
X
n>1
(−1)
n
+∞
e−u du et
n2
X
(−1)n
Z
n
e−n
2 2
t
dt
0
n>1
Exercice 16Z CCP 2016 [7/10]
1.
2.
3.
4.
+∞
sin3 t
dt.
t2
0
Justier que I converge.
Z 3x
3
sin t
Montrer : I = lim+
dt.
4 x→0 x
t2
sin t − t
Montrer que t > 0 7→
se prolonge en une fonction continue sur R+ .
t2
En déduire la valeur de I .
On pose I =
Exercice 17 Mines-Télécom 2016 [5/10]
Z
Pour x ∈ D = [1, +∞[, on dénit f (x) =
1. Montrer que f est continue sur D.
1
0
1−t
dt.
1 + xt3
2. Montrer qu'au voisinage de 0, on a : f (x) =
7.3
+∞
X
1
x3n .
(3n
+
1)(3n
+
2)
n=0
Mais aussi
Exercice 18 Mines 2016 [9/10]
Soient a, b ∈ R tels que a < b, M ∈ R+ et c =
a+b
· On dénit par ailleurs :
2
E = f ∈ C 2 ([a, b], R); f 0 (a) = f 0 (b) = 0 et |f 00 | 6 M
1. Soit f ∈ E . Montrer :
Z
b
(c − t)f 00 (t)dt = |f (b) − f (a)|
a
M
(b − a)2 .
4
3. On suppose ici : [a, b] = [−1, 1] et M = 1. Déterminer la valeur de l'ensemble
2. Montrer : |f (b) − f (a)| 6
∆ = {|f (b) − f (a)| | f ∈ E}
Exercice 19 Mines 2016 [8/10]
Montrer :
Z
+∞
Z
n
sin(t )dt −→
n
n→+∞
0
0
+∞
sin t
dt
t
Exercice 20 Mines
2016 [8/10]
Z +∞
sin(αt)
On dénit I(α) =
dt.
et − 1
0
1. Déterminer l'ensemble de dénition de I , puis étudier le caractère C 1 .
+∞
P
a
·
b + n2
3. Déterminer un équivalent de I(α) lorsque α tend vers +∞.
2. Expliciter a, b ∈ R tels que I(α) =
n=1
40
Exercice 21 TPE 2016 [3/10]
Calculer lim+
x→0
Z
3x
cos t
dt.
t
x
Exercice 22 CCP 2016 [4/10]
Soient I =
Z
π/2
π/2
Z
ln(sin t)dt et J =
ln(cos t)dt. Montrer que I et J sont convergentes, puis que
0
0
I = J . Calculer I + J , et en déduire leur valeur.
Exercice 23 Mines-Télécom 2016 [4/10]
1. Convergence et calcul de
1
Z
tn ln2 tdt, où n ∈ N.
0
2. Convergence de l'intégrale
Z
+∞
ln2 t
dt.
1 + t2
1
ln2 t
dt.
1 + t2
0
3. Montrer :
+∞
Z
0
ln2 t
dt = 2
1 + t2
Exercice 24 TPE 2016 [2/10]
Z +∞
Existence et valeur de lim
n→+∞
0
Z
0
1
dx.
chx + xn e−x
Exercice 25 ENSAM 2016 [3/10]
Donner un développement asymptotique à deux termes de un =
1
Z
dx
lorsque n tend vers +∞.
1 + xn
0
Exercice 26 Navale 2016 [4/10]
Soit x > 0. Justier l'existence de f (x) =
Z
0
x
e−t
p
dt puis déterminer la limite de f en +∞.
t(x − t)
Exercice 27 ENSAM 2016 [3/10]
On pose f (x) =
Z
1
p
1 − t2 cos(xt)dt.
0
1. Montrer que f est paire et de classe C 2 sur R.
2. Montrer que f est solution de l'équation diérentielle xy 00 + 3y 0 + xy = 0.
Indication : réaliser une intégration par parties.
Exercice 28 Cachan 2016 [5/10]
Discuter selon les valeurs réelles de α la convergence de l'intégrale
Z
+∞
α
eit dt.
0
Exercice 29 Centrale 2016 [3/10]
Soit f ∈ C 1 (R+ , R) telle que f et f 0 sont bornées. On pose, pour n ∈ N∗ : In =
Z
+∞
f (x)e−nx dx.
0
1. Montrer l'existence de In . Quelle est la limite de (In )n∈N ?
2. Trouver la limite de (nIn )n∈N .
3. Trouver un développement asymptotique à deux termes de In lorsque n tend vers ∞.
Exercice 30 Mines 2016 [8/10]
Soit f ∈ C 2 (R+ , R) telle que f 2 et f 002 soient intégrables sur [0, ∞[.
1. Montrer que f f 00 est intégrable sur [0, +∞[.
2. Montrer que f 02 est intégrable sur [0, +∞[.
41
Exercice 31 Mines 2016 [7/10]
Soit f ∈ C(R+ , R) T -périodique. Montrer :
Z
T
Z
0
7.4
+∞
⇐⇒
f (x)dx = 0
1
f (t)
dt converge.
t
Indications
1
Exercice 1 : inégalité des accroissements nis. On obtient |In (x) − x| 6
n
Z
1
tet dt, ce qui doit
0
donner la convergence uniforme.
Exercice 2 : la limite de kf kn est bien entendu kf k∞ ! Exercice dicile car il faut epsiloniser. Tout
d'abord (après avoir xé ε0 > 0) kf kn 6 (b − a)1/n kf k∞ −→ kf k∞ , donc kfn k 6 kf k∞ + ε0 à
n→+∞
partir d'un certain rang. Ensuite, il existe x0 tel que f (x0 ) = kf k∞ , ainsi qu'un segment [α, β] sur
lequel f > f (x0 ) − ε0 /2. On minore alors kf kn par une quantité convergeant vers kf k∞ − ε0 /2,
donc kfn k > kf k∞ − ε0 à partir d'un certain rang... et on y est presque !
Exercice 3 : l'auteur de l'exercice voulait epsiloniser, mais avec des changements de variables de
type t = xu, on peut s'en sortir avec de la convergence dominée pour les deux premières questions.
Ensuite, considérer l'intégrale sur [α, M ]...
Exercice 4 : au nez, sans faire les calculs, je dirais : théorème de convergence dominée, changement
de variable u = tn suivi d'un deuxième théorème de convergence dominée, un petit développement
en série entière sur ]0, 1[ et enn une interversion somme-intégrale !
1
= ···
1 − u2
1
Exercice 6 : u = e−x ;
= ···
1 − u2
+∞
sin(αx)
eix X −nx
Exercice 7 : x
est la partie imaginaire de x
e , et il est tentant pour intégrer tout
e −1
e n=0
Exercice 5 : u = th(t) ;
cela, d'intervertir somme et intégrale... mais ça ne marche pas à cause de la partie réelle. On
préférera donc voir sin x comme la partie imaginaire de eix − 1.
Exercice 8 : on localise sur [α, +∞[ ou [α, β] pour la régularité. En +∞, la décroissance et la
minoration par 0 nous donne l'existence d'une limite qu'on peut obtenir par convergence
dominée
Z
+∞
en regardant f (n). En 0, moralement on voit apparaître l'intégrale divergente
on veut montrer : f (x) −→+ +∞. Fixons M . Il existe T tel que
x→0
Z
T
T
Z
0
0
dt
, donc
1 + 2t
dt
> M + 1. On utilise
1 + 2t
dt
ensuite la continuité de x > 0 7→
· · · En posant u = tx , je trouve (à vérier)
1
+
t
+ t1+x
0
π
comme équivalent en 0 :
(attention à bien séparer [0, 1] et [1, +∞[).
4x
Exercice 9 : voir les exercices 7 et 20 ou je propose deux façons diérentes d'intervertir.
Exercice 10 : intégrations par partie sur [α, X]...
Exercice 11 : pour la régularité, on localise sur [α, 1]. L'inversion de symbole se fait normalement
(...). Pour le caractère C ∞ de f , on a intérêt à travailler sur ] − p − 1, −p[ (avec p ∈ N) en
commençant par mettre de côté les p + 1 premiers termes de la série...
√
1 x−i
eArctan(x)i/2
Exercice 12 : f 0 (x) = − 2
f (x), puis f (x) = K √
(avec
K = π accessoirement).
4
2
2x +1
x +1
Exercice 13 : après justication, on peut dériver deux fois la relation v(f ) = λf pour obtenir :
λ = 0 ou bien f est combinaison linéaire desZfonctions cos et sin
Z . Pour λ = 0, on trouve dans
Ker (V ) l'ensemble des fonctions f telles que
π
π
f (t) cos tdt =
−π
−π
f (t) sin tdt = 0. Pour λ 6= 0,
j'ai calculé V (cos) = π sin et V (sin) = −π cos, donc une ligne plus loin : il n'y a pas de valeur
propre réelle autre que 0.
Exercice 14 : partir de shn = shn−2 sh2 = shn−2 (ch2 − 1), casser en deux, intégrer par parties...√Le
théorème de convergence dominée donne bien : In −→ 0, qu'on peut aussi obtenir via In 6 n2 ·
n→+∞
42
J'ai probablement loupé quelque chose, car pour l'équivalent, j'ai besoin de In ∼ In−2 , et pour cela
je passe par In−4 : nIn + In−2 =√(n − 3)In−4 fournit In ∼ In−4 , puis par encadrement/gendarmes,
2 ; WOW...
In ∼ In−2 et enn 2nIn −→
n→+∞
Exercice 15 : j'ai quelques doutes sur cet énoncé, la première intégrale se calculant trop bien. Pour
la deuxième, je verrais bien un changement de variable raisonnable...
Exercice 16 : linéariser, puis considérer l'intégrale sur [x, M ]. Que se passe-t-il quand M tend vers
3
ln 3.
4
3
Exercice 17 : 1 + xt > 1 − t3 = (1 − t)(1 + t + t2 )...
+∞ ? Finalement, I =
Exercice 18 : on commence par deux intégrations par parties. Ensuite évidemment, ∆ ⊂ [0, 1], et
même ∆ ⊂ [0, 1[ (dans l'inégalité précédente, l'égalité imposerait que la quantité dans l'intégrale
ne change pas de signe et reste égale en valeur absolue à |c − t| M , ce qui n'est pas possible).
En imposant la valeur de f 00 continue mais égale à 1 sur [−1, −α] puis −1 sur [α, 1] on peut
s'approcher de 1. Finalement : ∆ = [0, 1[.
Exercice 19 : dans les intégrations par parties,Z on choisit des Zconstantes additives dans les pri+∞
+∞
1 − cos x
dx et d'autre part
2
0 Z x
Z +∞ 0
+∞
1
sin(tn )dt = 1 −
(changement de variable préliminaire) n
(1 − cos x)x−2+1/n dx.
n
0
0
x2
Pour terminer, on a besoin par exemple sur [0, 1] d'une majoration du type |1 − cos x| 6
qu'on
2
2
obtiendra par exemple en écrivant 1 − cos x = −2 sin (x/2) (ou par inégalité de Taylor-Lagrange
mitives pour que tout converge... d'une part
sin t
dt =
t
pour les savants).
Exercice 20 : l'inégalité et > 1 + t pourra servir. L'interversion somme/intégrale demande du soin :
pour majorer ce qu'on imagine, j'ai utilisé |sin(αx)| 6 αx. Une comparaison somme-intégrale (à
π
(et l'énoncé était donc vache... si c'était le bon).
α xé) me donne : I(α) −→
α→+∞
2
Z
3x
dt
; on évalue donc la diérence, qui nous
t
x
demande de majorer |cos t − 1|... par exemple par t, et c'est gagné : la limite existe et vaut ln 3.
Exercice 22 : grand classique... tout est dans les indications ! Au fait : ln(a) + ln(b) = ln(ab) et
1
sin x cos x = sin(2x) ; etc...
2
Exercice 23 : je recommande vivement d'intégrer par parties sur [α, 1] avant de passer à la limite.
Z +∞
ln2 t
Il me semble qu'on doit pouvoir expliciter
dt. comme une somme de série, non ? Le
1 + t2
0
changement de variable u = 1/t montre que l'intégrale sur ]0, 1] vaut celle sur [1, ∞[. Z
1
dx
Exercice 24 : après un coup de convergence dominée, on trouvera comme limite
=
chx
0
π
2Arctan(e) − ·
2
Exercice 25 : par convergence dominée, un −→ 1. Ensuite, le changement de variable u = xn dans
Exercice 21 : moralement, ça doit ressembler à
n→+∞
la diérence suivie d'une deuxième convergence dominée nous donne le terme supplémentaire :
un = 1 −
ln 2
+ o(1/n).
n
Exercice 26 : continuité sur ]0, x[, puis ϕ(t) et ϕ(x − u) lorsque t et u tendent vers 0+ ... Le
changement de variable t = xu nous donne une intégrale sur un intervalle xe : on peut y appliquer
le théorème de convergence dominée pour f (n), après avoir noté que la fonction f est décroissante
donc possède une limite (qui est donc aussi celle des f (n) lorsque n est un entier tendant vers
+∞).
Exercice 27 : comme toujours quand on intègre sur un segment, la régularité est très simple à
établir (en localisant tout de même en x). L'indication fournie marche bien, pour peu qu'on réalise
l'intégration par parties... dans f 0 (x) (on voit t(1 − t2 )1/2 comme une dérivée).
Exercice 28 : il est déjà nécessaire (pour avoir convergence) d'avoir α > 0. Sous cette hypothèse, le
changement de variable fait apparaître une fonction qui n'est pas intégrable.... mais une intégrale
convergente tout de même si et seulement si α > 1.
43
Exercice 29 : convergence dominée, changement de variable et intégration par parties.
In =
f (0) f 0 (0)
+ 2 + o(1/n2 ).
n
n
ExerciceZ 30 : Cauchy-Schwarz pour le premier point. Ensuite, c'est plus n : en intégrant par
A
parties
f 0 .f 0 j'obtiens le fait que f f 0 possède une limite (nie ou innie) en +∞. Mais f f 0
0
est (presque) la dérivée de f 2 , qui est intégrable, donc cette limite est nécessairement nulle (sans
quoi f 2 (x) > αx pour x assez grand avec α > 0 ; etc). Reprenant l'intégration par parties vue
plus haut, on en déduit que f 02 est intégrable.
Z
x
Exercice 31 : je poserais bien F (x) =
f (t)dt avant de faire une intégration par parties dans
Z +∞
f (t)
f (x)dx = 0 alors F est bornée et on en déduit la convergence de
dt.
t
1
0
Z T
1
f (t) dt. Si
t
TZ
0
T
f (x)dx > 0 (par exemple) c'est un peu plus n : après encadrement de x entre deux
Si
Z
Y
0
multiples de TZ, on en déduit une minoration du type F (x) > αx + β , avec α > 0, d'où découle la
+∞
divergence de
1
f (t)
dt.
t
44
Chapitre 8
Espaces euclidiens
8.1
Rappels de cours
Directement du cours :
Cauchy-Schwarz. [preuve]
Projections et symétries orthogonales.
Distance à un sous-espace. [preuve]
Dénition des endomorphismes orthogonaux. [définition]
Matrices et endomorphismes orthogonaux en dimension 2 et 3.
Endomorphismes symétriques (autoadjoints). [définition]
Théorème spectral, versions géométrique et matricielle.
Proche du cours :
u ∈ S(E) a toutes ses valeurs propres positives si et seulement si pour tout x ∈ E , <u(x)|x>> 0.
Encadrement, pour u autoadjoint, de < u(x)|x > à l'aide des valeurs propres extrémales de u.
[preuve]
Si A ∈ Sn+ (R), alors il existe B ∈ Sn (R) telle que B 2 = A (hors programme, mais...).
Unicité si on impose B ∈ Sn+ (R), mais il faut géométriser (plus dicile... mais/et payant !).
8.2
Récolte 945
Exercice 1 Polynômes de Legendre ; Mines 2016 [8/10]
1. Déterminer une base orthonormée de R2 [X] pour :
Z
1
<P |Q>=
P (t)Q(t)dt.
−1
1
(n)
2. Montrer que les polynômes de Legendre (Pn =
(X 2 − 1)n
) constituent une base orthogon!
nale de R[X].
3. En dehors de toutes considérations d'orthogonalité, montrer que Pn possède n racines simples
dans ] − 1, 1[.
4. Déterminer kPn k2 .
Exercice 2 TPE 2016 [7/10]
Soient F et G les sous-espaces de l'espace euclidien E engendrés respectivement par (x1 , ..., xn ) et
(y1 , ..., yn ). On suppose :
∀(i, j) ∈ [[1, n]]2 ,
<xi |xj >=<yi |yj >
1. Montrer que (x1 , ..., xn ) est libre si et seulement si (y1 , ..., yn ) l'est.
2. Montrer que F et G ont même dimension.
45
Exercice 3 TPE 2016 [5/10]
Soit T un endomorphisme orthogonal de l'espace euclidien E .
1. Montrer :
∀u, v ∈ E,
<u|T (v) − v>=<T −1 (u) − u|v>
2. Soit S = T − Id. Montrer : (Im (S))⊥ = Ker (S)
3. On dénit, pour n ∈ N∗ : Tn = n1 Id + T + T 2 + · · · + T n−1 . Montrer que pour tout x ∈ E , la
suite (Tn (x))n∈N∗ converge, vers un certain P (x).
4. Caractériser P .
Exercice 4 CCP 2016 [4/10]
Caractériser complètement l'endomorphisme de R3 (euclidien) canoniquement associé à :

2 −2
1
2
1
M=
3
−1 −2

−1
2
2
Exercice 5 Centrale 2016 [9/10]
Soit E un espace euclidien de dimension n. On considère deux familles de n vecteurs X = (x1 , ..., xn ) et
Y = (y1 , ..., yn ) telles que pour tout (i, j), <xi |xj >=<yy |yj >.
1. Pour n = 2, montrer que si X est libre, alors Y aussi.
2. Montrer qu'il existe un automorphisme orthogonal ψ tel que pour tout i ∈ [1, n]], ψ(xi ) = yi .
3. Montrer qu'il existe une unique famille (f
xk )16k6n telle que :
∀k ∈ [[1, n]],
<xk |f
xk>= 0 et Vect(x1 , ..., xk ) = Vect(f
x1 , ..., x
fk )
Exercice 6 CCP 2016 [2/10]
Soit a un vecteur non nul d'un espace euclidien E . Pour α ∈ R, on dénit uα ∈ L(E) par :
∀x ∈ E,
uα (x) = x + α <x|a> a
Trouver les valeurs de α telles que uα est une isométrie.
Exercice 7 CCP 2016 [7/10]
Soit M ∈ Mn (R) telle que tM M = M tM et M 2 = −In . Montrer que M ∈ On (R).
Exercice 8 CCP 2016
 [4/10]
−1
Orthodiagonaliser A =  1
1
1
−1
1

1
1 .
−1
Exercice 9 CCP 2016 [2/10]
Soit A ∈ Sn (R) tel qu'il existe p ∈ N∗ tel que Ap = In . Montrer : A2 = In .
Exercice 10 TPE 2016 [5/10]
Soit A ∈ Mn (R). Montrer qu'il y a équivalence entre :
A est symétrique réelle à valeurs propres dans R+ .
Il existe M ∈ Mn (R) telle que A = tM M .
Exercice 11 ENSAM 2016 [5/10]
Soit f une application linéaire de C dans lui-même, vu comme R-espace vectoriel.
1. Montrer qu'il existe a, b ∈ C tels que pour tout z ∈ C, f (z) = az + bz .
2. Calculer la trace et le déterminant de f à l'aide de a et b.
3. Donner une condition nécessaire et susante pour que f soit autoadjoint (C ' R2 étant muni de
sa structure euclidienne canonique).
46
Les 7 exercices qui suivent ont été traités pendant l'année.
Exercice 12 Petites mines 2016 [3/10]
On dénit, pour P, Q ∈ E = R2 [X] :
<P |Q>= P (−1)Q(−1) + P (0)Q(0) + P (1)Q(1)
1. Montrer qu'on dénit ainsi un produit scalaire.
2. Exhiber une base orthogonale (P0 , P1 , P2 ) de E .
Exercice 13 ENSEA 2016 [7/10]
On dénit, pour f, g ∈ E = C 2 ([0, 1], R) : ϕ(f, g) =
1
Z
(f g + f 0 g 0 ).
0
1. Montrer qu'on dénit ainsi un produit scalaire.
2. Montrer que
H1 = {f ∈ E; f (0) = f (1) = 0} et H2 = {f ∈ E; f 00 = f }
constituent deux sous-espaces supplémentaires orthogonaux (pour ϕ).
Exercice 14 Mines-Télécom 2016 [4/10]
L'espace E = R3 est muni de sa structure euclidienne canonique.
1. Déterminer
 la matrice A dans la base canonique de la projection orthogonale sur le plan normal
1
−
à→
n = 1
1
2. La matrice A est-elle diagonalisable ? Déterminer ses éléments propres.
Exercice 15 Navale 2016 [8/10]
Soient M ∈ Mn (R), et u l'endomorphisme de Rn canoniquement associé. On considère
  H l'hyperplan
a1
 .. 
d'équation a1 x1 + · · · + an xn = 0. Montrer que H est stable par u si et seulement si  .  est un vecteur
an
propre de tM .
Exercice 16 ENSAM 2016 [7/10]
Soit p un projecteur, l'espace ambiant E étant euclidien.
1. Diagonaliser p.
2. Montrer qu'il y a équivalence entre :
p est un projecteur orthogonal ;
p est auto-adjoint ;
pour tout x ∈ E , kp(x)k 6 kxk.
Exercice 17 CCP 2016 [4/10]
Soit (e1 , ..., en ) une base orthonormée d'un espace euclidien E . On suppose que f ∈ L(E) préserve
l'orthogonalité :
∀x, y ∈ E,
<x|y>= 0 =⇒ <f (x)|f (y)>= 0
1. Que dire de (f (e1 ), ..., f (en )) ?
2. On considérant <f (ei ) + f (ej )|f (ei ) − f (ej )>, montrer que les f (ei ) ont tous la même norme.
3. Trouver une décomposition de f en deux endomorphismes connus.
Exercice 18 CCP 2016 (deux fois) [4/10]
Caractériser complètement l'endomorphisme de R3 (euclidien) canoniquement associé à :

2
1
1
M=
3
2
47
2
−2
−1

1
2
−2
8.3
Mais aussi
Exercice 19 Mines 2016 [4/10]
Soit A ∈ Sn (R) dont toutes les valeurs propres sont strictement positives. Montrer que les éléments
diagonaux de A sont tous strictement positifs.
Exercice 20 Mines 2016 [6/10]
Soit E un espace euclidien de dimension nie, et u un endomorphisme auto-adjoint de E de trace nulle.
1. Montrer qu'il existe x ∈ E tel que <x|u(x)>= 0.
2. Montrer qu'il existe une base orthonormée de E dans laquelle la matrice de u a sa diagonale nulle.
Exercice 21 Centrale 2016 [4/10]
Soient n ∈ N∗ et E = Rn [X]. On dénit :
Z
∀P, Q ∈ E,
<P |Q>=
1
t2 P (t)Q(t)dt
0
ainsi que :
u(P ) = X(1 − X)P 00 + (3 − 4X)P
∀P ∈ E,
1. Montrer que < | > est un produit scalaire sur E et que u est un endomorphisme de E .
2. Montrer que u est un endomorphisme symétrique de E .
3. Déterminer les valeurs propres de u.
Exercice 22 Centrale 2016 [8/10]
Soit A ∈ Sn (R) dont les valeurs propres sont strictement positives. On dénit :
ΦA : (X, Y ) ∈ Mn,1 (R)2 7→ tXAY.
1. Montrer que ΦA est un produit scalaire.
2. Montrer qu'il existe une matrice triangulaire T à coecients diagonaux strictement positifs telle
que A = tT T .
3. Montrer :
0 < det(A) 6 a1,1 · · · an,n
Cas d'égalité ?
Exercice 23 CCP 2016 [3/10]
Pour P, Q ∈ Rn [X], on dénit ϕ(P, Q) =
n
P
P (k)Q(k).
k=0
1. Montrer que ϕ est un produit scalaire.
2. Trouver une base orthonormale de R3 [X] pour ce produit scalaire.
Exercice 24 CCP 2016 [5/10]
Pour P, Q ∈ R[X], on pose <P |Q>=
Z
+∞
P (t)Q(t)e−t dt.
0
1. Montrer que l'on dénit ainsi un produit scalaire.
2. Déterminer min
a,b∈R
Z
+∞
(t2 − (at + b))2 dt.
0
Exercice 25 CCP 2016 [4/10]
On pose, pour A, B ∈ E = Mn (R) : ϕ(A, B) =
P
ai,j bi,j .
16i,j6n
1. Montrer que ϕ est un produit scalaire sur E .
2. Soit A ∈ Mn (R). Calculer la distance de A à l'ensemble des matrices de trace nulle.
48
Exercice 26 CCP 2016 [6/10]
Soit A ∈ Sn (R) dont toutes les valeurs propres sont strictement positives. Soit B ∈ Mn,m (R) de rang m.
1. Montrer que pour tout X ∈ Mn,1 (R) \ {0}, tXAX > 0
2. Justier que m 6 n. Que peut-on dire de l'application linéaire u canoniquement associée à B ?
3. Montrer que la matrice C =
A
t
B
B
0
∈ Mm+n (R) est inversible.
4. Calculer C −1 lorsque m = n.
Exercice 27 CCP 2016 [2/10]
Quel est le cardinal de On (R) ∩ Mn (Z) ?
Exercice 28 Cachan 2016 [5/10]
On appelle matrice positive toute matrice symétrique réelle telle que pour tout X ∈ Mn,1 (R), tXAX > 0.
Soient f ∈ C([0, 1], R+ ) et A ∈ Mn (R) telle que :
Z
∀i, j ∈ [[1, n]],
1
ai,j =
xi+j−2 f (x)dx.
0
1. Montrer que A est positive.
2. Démontrer l'inégalité :
Z
1
2 Z
xf (x)dx 6
0
1
Z
f (x)dx
0
1
2
x f (x)dx .
0
Exercice 29 Centrale PC 2016 [7/10]
Soit A ∈ Mn (R) telle que :
∀i ∈ [[1, n]],
|ai,i | >
X
|ai,j | .
j6=i
1. Montrer que A est inversible.
2. On suppose de plus A symétrique et pour tout i ∈ [[1, n]] : ai,i > 0. Montrer : Sp(A) ∈ R∗+ .
3. Déterminer inf
<X|AX>
X6=0
2
kXk
·
Exercice 30 Centrale PC 2016 [4/10]
Soit A ∈ Mn (R).
1. Montrer l'existence de λ = inf(H), avec :


X

H=
(ai,j − mi,j )2 | M ∈ Sn (R) .


i,j
2. Calculer cette borne inférieure.
8.4
Indications
Exercice 1 : pour l'orthogonalité, intégrer n fois par parties dans <X k |Pn>, avec k < n. Ensuite,
rolliser pour obtenir de plus en plus de racines pour ((X − 1)n (X + 1)n )(k) en n'oubliant pas la
caractérisation de l'ordre de multiplicité des racines d'un polynôme. Pour la norme, rééchir à la
valeur de <Pn |X n> (d'une part, d'autre part...).
Exercice 2 : les deux implications sont symétriques. Pour la première par exemple,
P on raisonne
par la contraposée en supposant que y1 est combinaison linéairePde y2 , ..., yn : y1 − αi yj est nul
donc orthogonal à chaque yi ; il en va alors de même pour x1 − αj xj (qui est orthogonal à tous
les xi , donc est nul). Pour la deuxième question, extraire une base de F : elle fournit une famille
libre des (xi ) donc des (yi ), prouvant dim(F ) 6 dim(G) ; puis on retourne l'argument.
49
Exercice 3 : orthogonalité et dimensions. La suite (Tn )n∈N converge (simplement) vers la projection
orthogonale sur Ker (S).
Exercice 4 : c'est un endomorphisme orthogonal (trois produits scalaires, trois normes), de déterminant 1 (u(e1 ) ∧ u(e2 ) = +u(e3 )) donc une rotation d'axe Ker (u − IdE ). En regardant la trace
on obtient le cosinus de l'angle. En orientant l'axe par exemple par n dirigeant Ker (u − IdE ) et
en xant x ⊥ n, le signe du sinus sera celui de <u(x)|n ∧ x>.
Exercice 5 : voir l'exercice 2 pour le début. Ensuite, on extrait une famille libre maximale des
(xi ). La sous-famille correspondante des (yi ) sera également libre maximale. On complète ces
deux familles en deux bases (pas complètement n'importe comment ; cf plus tard), on considère
l'endomorphisme envoyant la première sur la deuxième... et yapluka montrer que c'est un endomorphisme orthogonal d'une part, et qu'il envoie bien les xi sur les yi , y compris ceux qu'on avait
laissé sur le bord de la route ! Exercice n, je trouve sauf si je suis passé à côté de plus simple.
Au fait : j'ai laissé l'énoncé initial, mais un dessin vous aura convaincu qu'il n'y a pas unicité,
dans la dernière question...
Exercice 6 : et si on travaillait dans une base adaptée, pour changer ?
Exercice 7 : S = tM M est une symétrie (son carré vaut In ) ; c'est même une symétrie orthogonale.
Mais t XSX = · · · > 0, donc Ker (S + I) est réduit à {0}.
Exercice 8 : si on ouvre les yeux, on trouve que la matrice ressemble furieusement à une matrice
1
orthogonale rencontrée n fois (n > 5) : A est orthogonale et symétrique ; c'est la matrice d'une
3
symétrie orthogonale (et même d'une réexion, d'après la trace). Il reste à déterminer le noyau
de A − 3I3 (c'est une droite) et celui de A + 3I3 (un plan).
Exercice 9 : après une orthodiagonalisation, ça doit tomber vite (les valeurs propres sont réelles
et racines de l'unité...)
Exercice 10 : pour le sens direct, et si X est un vecteur propre, tXAX nous donnera la positivité
des valeurs propres. Pour la réciproque, orthodiagonalise A, écrire la matrice diagonale comme le
carré d'une autre ; etc.
Exercice 11 : je regarderais bien les matrices des applications élémentaires z 7→ z, iz, z, iz ...
Exercice 12 : attention, il n'est pas utile de normaliser les Pk ... mais quand on les calcule, il faut
calculer les (carrés des) normes des vecteurs précédents ! Par exemple, P0 = 1 vérie kP0 k2 =
1 + 1 + 1 = 3...
Z
1
Exercice 13 : intégrer par parties
f 0 g 0 (pour le caractère orthogonal de la somme). Pour montrer
0
qu'ils sont supplémentaires, la n de l'analyse me conduit à utiliser le cours sur les équations
diérentielles linéaires...
<x|n>
Exercice 14 : par exemple (après un dessin) via p(x) = x−
2 n. On vériera que cette matrice
knk
évidemment symétrique possède la bonne trace...
Exercice 15 : notons A le vecteur (colonne) en jeu. Sous l'hypothèse tM A = λA, il est aisé de voir
que tAX = 0 implique tA(M X) = 0 , soit encore : H est stable par u. Réciproquement, si H
est stable par u, alors tAHX est nul pour tout X de H , donc t X(tHA) également, donc tHA est
orthogonal à H , donc est dans H ⊥ = Vect(A) !
Exercice 16 : le premier point implique évidemment les deux autres. Le deuxième aussi, si on
commence par réduire p en base orthonormée. Enn, on montre de façon classique (mais non
évidente) que le troisième point implique le premier : pour x et y dans les deux sous-espaces
propres de p, on écrit kp(λx + y)k2 6 kλx + yk2 ; etc.
Exercice 17 : la famille à l'arrivée est bien entendu orthogonale, et avec l'indication on montre
que les images des vecteurs de la base initiale ont tous la même norme, disons α. Si α 6= 0 (sans
quoi...), alors f = (αId) ◦ g , avec g un automorphisme orthogonal.
Exercice 18 : voir l'exercice 4...
Exercice 19 : si on peut montrer que pour tout X ∈ Mn,1 (R), tXAX > 0, ce sera gagné (appliquer
à X matrice colonne élémentaire). Pour cela, on orthodiagonalise A...
Exercice 20 : classique mais pas si simple. Pour le premier point, on suppose par exemple qu'il
existe x et y non colinéaires tels que <x|u(x)> et <y|u(y)> sont de signe strict opposé (c'est
possible dès que dim(E) > 2). On s'intéresse alors à <z|u(z)> avec z = λx + (1 − λ)y ... Pour le
deuxième point, il s'agit évidemment de récurer (attention, la sous-matrice qui apparaît n'est pas
une matrice de restriction).
50
Exercice 21 : vérications classiques, mais à faire avec soin (en particulier comme toujours le caractère déni, qui réclame deux vrais arguments de maths). Le caractèreZauto-adjoint est obtenu
1
en intégrant par parties < X(X − 1)P 00 |Q >, qui donne < u(P )|Q >=
(t4 − t3 )P 0 (t)Q0 (t)dt,
0
expression symétrique en P et Q. La matrice de u dans la base canonique (qui n'est pas orthonormée, attention !) étant triangulaire, les valeurs propres se lisent sur la diagonale. Ce doit être
quelque chose comme des −k(k + 3), pour 0 6 k 6 n.
Exercice 22 : pour le caractère positif puis déni, on orthodiagonalise. La deuxième question se
traite en orthonormalisant la base canonique et en écrivant la formule de changement de base
pour le produit scalaire : la matrice du produit scalaire dans la nouvelle base (In car la nouvelle
est orthonormée) vaut... Pour la dernière question, il s'agit de reprendre le procédé de Schmidt
e − ···
on a ak,k = kek k2 > kek − · · ·k2 = t2k,k ... Il y aura
nement : quand on écrit fk = k
kek − · · ·k
égalité si et seulement si la base initiale est orthogonale, c'est-à-dire la matrice initiale diagonale.
Exercice 23 : on commence par être irréprochable sur les premières vérications, puis il ne faut pas
refuser l'obstacle... tout en espérant que l'examinateur va vous arrêter dans les calculs rapidement !
1
2
3 pour lancer le calcul de Q2 .
Je commence avec Q0 = , puis (dessin) Q1 =
X − 3/2
puis je refais un dessin en dimension
kX − 3/2k
Exercice 24 : penser à prouver la convergence de l'intégrale ! Ensuite, on fait un joli dessin avec
un
plan F
= R1 [X] ainsi que X 2 , son projeté orthogonal P0 sur F , et P ∈ R1 [X] générique :
2
2
X − P = (X 2 − P0 ) + (P0 − P )2 , et on pythagorise. Sur un coin de table, j'ai calculé
P0 = 4X − 2 et le minimum recherché vaudrait 24 − 20 = 4.
Exercice 25 : il sera intéressant de voir l'ensemble des matrices de trace nulle comme l'hyperplan
In⊥ , puis de faire un dessin : comment fait-on pour projeter orthogonalement sur une droite ?
m
n
Exercice
26 : orthodiagonalisation de A ; u ∈ L(R , R ) est injective (théorème du rang). Si
X1
X2
∈ Ker (C), on obtient deux relations qu'on peut cogner à gauche par tX1 . Enn, lorsque m =
t −1
X1
Y1
0
B
n, on peut résoudre directement C
=
pour trouver : C −1 =
X2
Y2
B −1 −B −1 AtB −1
Exercice 27 : chaque ligne possède exactement un coecient non nul, qui vaut 1 ou −1. De plus,
les positions sur les lignes sont toutes diérentes. On trouve donc n!2n telles matrices.
Exercice 28 : A est la matrice d'un produit scalaire dans la base canonique de Rn [X], et tXAX
peut alors s'interpréter comme la norme au carré d'un polynôme. L'inégalité demandée n'est autre
que l'inégalité de Cauchy-Schwarz (mise au carré) <1|X>2 6 k1k2 kXk2 .
Exercice 29 : encore la diagonale dominante ! Pour le deuxième point, on applique la contraposée
du premier P
à ... A − λIn , où λ ∈ Sp(A) :P
puisque A − λIn est non inversible, il existe i tel que
|ai,i − λ| 6
|ai,j |. On a alors λ > ai,i −
|ai,j | > 0 ! Pour le dernier point, on orthodiagonalise
j6=i
j6=i
A, et la borne inférieure recherchée est alors la plus petite des valeurs propres de A.
Exercice 30 : il s'agit évidemment d'un problème de distance à un sous-espace, qui sera réglé par
Pythagore, si on a oublié le cours. Pour le calcul explicite, on est aidé par le fait que l'orthogonale
de Sn (R) est connu (c'est l'ensemble des matrices antisymétriques), et que de plus la décomposition
⊥
de A selon Sn (R) ⊕ An (R) est également connue (si, je vous l'assure), donc un petit dessin permet
(quasiment) de terminer l'exercice.
51
52
Chapitre 9
Équations diérentielles
9.1
Rappels de cours
Résolution théorique et pratique des équations scalaires du premier ordre.
Même chose pour les équations du deuxième ordre (homogène, pour la résolution pratique).
Nature de SH pour le premier ordre vectoriel. Vectorialisation.
Recherche de solutions développables en série entière (analyse-synthèse).
Raccordement de solutions, dans le cas non résolu 1 .
9.2
Récolte 945
Exercice 1 Minettes 2016 [5/10]
Trouver toutes les fonctions f continues sur R vériant :
Z
∀x ∈ R,
x
(x − t)f (t)dt = 1.
f (x) +
0
Exercice 2 Centrale 2016 (très petit extrait) [3/10]
Soit q une application continue de R dans R. Montrer que l'application
Z
x 7−→
t
sin(t − s)g(s)ds
0
vérie :
y 00 + y = q.
Exercice3 Mines-Télécom
2015 et 2016 [3/10]

1
0
2
2
0
1
Soit A = 0 1 0.
1. Justier sans calcul que A est diagonalisable.
2. Déterminer les valeurs propres et une base de vecteurs propres de A.

0

x = x + 2z
3. Résoudre le système diérentiel y 0 = y

 0
z = 2x + z
1. i.e. : le machin devant y 0 peut s'annuler .
53
Les 4 exercices qui suivent ont été traités pendant l'année.
Exercice 4 Minettes 2016 [7/10]
Résoudre l'équation diérentielle :
y 00 − 2y 0 + y = e|x| .
Exercice 5 TPE 2016 [8/10]
On s'intéresse à l'équation diérentielle :
x2 y 00 − 4xy 0 + (x2 + 6)y = 0.
(E)
1. Quelles sont les solutions sur R développables en séries entière ?
2. Toutes les solutions de (E) sur R sont-elles développables en série entière ?
Exercice 6 TPE 2015 et CCP 2016 [6/10]
On s'intéresse à l'équation
y 00 + f (x)y = 0,
(E)
où f est continue et intégrable sur R.
1. Montrer que si y1 et y2 sont deux solutions de (E) alors y10 y2 − y1 y20 est constante sur R.
2. Montrer que si y est une solution de (E) bornée sur R alors y 0 admet une limite nie en −∞, puis
montrer que cette limite est nulle.
3. Montrer que (E) admet nécessairement une solution non bornée.
Exercice 7 Mines 2016 [8/10]
Soient a et b de classe C 1 de R+ dans R+ (relire les derniers mots). On note A et B les primitives
respectives de a et b nulles en 0. On note enn S l'ensemble des solutions de l'équation y 0 = ay + b.
1. Déterminer la forme explicite des éléments de S à l'aide de A.
2. Montrer que tous les éléments de S sont bornés si et seulement si a et b sont intégrables sur R+ .
9.3
Mais aussi
Exercice 8 Centrale 2016 [6/10]
1. Soient I un intervalle de R, t0 ∈ I , f, g ∈ C(I, R) et x0 ∈ R. Montrer que l'équation diérentielle
y 0 = f (t)y + g(t) admet une unique solution ϕ telle que ϕ(t0 ) = x0 .
On exprimera ϕ à l'aide d'intégrales.
2. Soient a ∈ R∗+ et h ∈ C(R+ , R) bornée. Montrer que l'équation y 0 − ay = h admet une unique
solution bornée sur R+ .
Exercice 9 CCP 2016 [6/10]
Résoudre l'équation diérentielle t(t2 − 1)y 0 + 2y = t2 .
Y a-t-il des solutions dénies sur R ?
Exercice 10 Cachan 2016 [8/10]
Soient λ ∈ R. On s'intéresse à l'équation diérentielle
(1 − x2 )y 00 − 2xy 0 + λy = 0.
(Eλ )
Pour n ∈ N, on note Un = (X 2 − 1)n et Pn la dérivée n-ième de Pn .
1. Calculer (X 2 − 1)Un0 en fonction de Un . En déduire que Pn est solution de (En(n+1) ).
2. Soit u une solution de (En(n+1) ) sur ] − 1, 1[. On pose W = u0 Pn − uPn0 . Trouver une équation
diérentielle du premier ordre satisfaite par W et la résoudre.
3. Montrer que les seules solutions de (En(n+1) ) prolongeables en des fonctions de classe C 2 sur [−1, 1]
sont les αPn , α ∈ C.
54
d
4. Pour f ∈ C 2 (R, C), on note D(f ) : x 7→
(1 − x2 )f 0 (x) .
dx
Montrer :
Z
1
2
∀f, g ∈ C ([−1, 1], C),
Z
1
D(f )g =
f D(g).
−1
−1
Exercice 11 Mines 2016 [8/10]
On s'intéresse à l'équation diérentielle y 00 = (x4 + 1)y .
1. Justier qu'il existe une unique solution f vériant f (0) = f 0 (0) = 1.
1
est dénie et intégrable sur [0, +∞[.
y2
dt
est également solution de l'équation diérentielle précédente.
f (t)2
2. On admet provisoirement que
Montrer que x 7→ f (x)
Z
+∞
x
3. Prouver le résultat admis à la question précédente.
9.4
Indications
Exercice 1 : on casse l'intégrale en deux morceaux... et on montre qu'une solution continue est
forcément de classe C 2 (et même C ∞ ). J'obtiens après synthèse comme unique solution l'application
cosinus.
Exercice 2 : on pourra développer le sinus d'une diérence... ou bien faire intervenir la fonction
de deux variables
Z u
Φ : (t, u) 7−→
sin(t − s)q(s)ds
0
Exercice 3 : la matrice est symétrique réelle. Si on veut maintenir son cerveau débranché, on
calculera χA ...
Exercice 4 : il s'agit de recoller x 7→ (α + βx + x2 /2)ex et x 7→ (γ + δx))ex + e−x /4. Je trouve
comme conditions nécessaires et susantes de raccordement : α = γ + 1/4 et β = δ − 1/2.
7
6
y(x) = (1 + x)exp(x)
y(x) = (5/4 + x/2 + x 2 /2)exp(x)
y(x)
5
4
3
2
1
0
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
x
0.5
0.0
0.5
1.0
Un raccord... avec γ = δ = 1
Exercice 5 : je trouve a0 = a1 = 0 (inquiétant...) puis heureusement : (n − 2)(n − 3)an = −an−2
pour n > 2. Finalement,
on trouve des combinaisons linéaires de x2 cos x et x2 sin x.
(
0
si x 6 0
est une solution sur R qui n'est pas développable en série
2
x sin x si x > 0
entière au voisinage de 0.
Z x
Exercice 6 : et si on dérivait le wronskien ? Ensuite, on doit pouvoir écrire y 0 (x) = y 0 (0)+
y 00 (t)dt
L'application x 7→
0
puis majorer calmement le module de l'intégrale. Ensuite, si y (x) −→ ` > 0, alors y 0 (x) >
0
x→+∞
55
`
2
`
pour x > x0 puis y(x) > y(x0 ) + (x − x0 ) −→ +∞... Pour nir, on prend une base de solutions.
x→+∞
2
Les deux premières questions nous assurent que si elles sont toutes les deux bornées, alors le
wronskien tend vers 0 en +∞ donc est nul, donc (y1 , y2 ) est liée, ce qui est absurde.
Sans l'argument wronskien nul implique famille liée , on peut choisir y1 et y2 solutions avec
des conditions initiales de type (1, 0) et (0, 1), qui nous assurent que le wronskien est non nul.
Exercice 7 : exercice délicat mais intéressant. Les solutions sont les applications de la forme
Z t
−A(u)
b(u)e
du eA(t) .
t 7→ K +
0
Pour que toutes les solutions soient bornées, il est déjà nécessaire que t 7→ eA(t) le soit, ce qui
par positivité de a est équivalent au fait que a est intégrable. Cette condition étant remplie, on a
alors lorsque u tend vers +∞ : b(u)e−A(u) ∼ Kb(u), ce qui permet de terminer (avec un peu de
soin quand même, merci !).
Exercice 8 : très proche de l'exercice précédent, non ? Les solutions génériques (pour la deuxième
question) sont les
Z
t
t 7−→
x0 +
h(u)e−au du eat .
0
Puisque u 7→ h(u)
e−au est intégrable sur [0, +∞[, le terme dans la parenthèse tend vers la
Z
+∞
constante x0 +
h(u)e−au du, ce qui impose la forme nécessaire de x0 pour espérer que cette
0
solution soit bornée. Si on xe x0 ainsi, la solution devient
Z
t 7→ −
+∞
ea(t−u) h(u)du = −
t
Z
+∞
e−v h(t + v)dv
0
et est eectivement bornée.
Exercice 9 : il s'agit de résoudre d'abord l'équation sur les 4 intervalles sur lesquels elle est
résolue . Sur ces intervalles, les solutions sont les applications t 7→ (K − ln |t|)
t2
· Amusez1 − t2
vous pour recoller ! À première vue, je dirais qu'on peut recoller avec deux degrés de liberté en
0 et qu'en 1 (mais aussi en −1) l'existence d'une limite nie imposera de prendre des constantes
nulles... et que réciproquement ces constantes fournissent une solution C 1 . Finalement, on trouve
exactement une solution dénie et de classe C 1 sur R.
Exercice 10 : on dérive n + 1 fois la relation (X 2 − 1)Un0 = 2nXUn avec la formule de Leibniz
(presque toutes les dérivées de X 2 − 1 et de X sont nulle) et on regroupe SANS S'ÉNERVER 2 .
2x
K
W , puis W (x) =
· Le wronskien de deux solutions C 1 sur
1 − x2
1 − x2
u(0)
[−1, 1] est prolongeable en une fonction C 1 sur [−1, 1], donc est nul. On a alors
colinéaire
u0 (0)
Pn (0)
à
puis par unicité du problème de Cauchy avec la bonne condition initiale : u et Pn sont
Pn0 (0)
On trouve ensuite W 0 =
colinéaires. Pour la n, une intégration par parties règle la question.
Exercice 11 : le début est facile (cours et théorème fondamental de l'analyse). Ensuite pour formaliser l'argument assez naturel tant que f > 0 on a f 00 > 0 donc f 0 est croissante, donc
f 0 (x) > f 0 (0) = 1 donc f est encore plus positive , une façon élégante de faire consiste à raisonner par l'absurde en supposant que f ne reste pas à valeurs > 0 et en notant t0 la borne inférieure
de l'ensemble non vide {t > 0; f 0 t) 6 0} : on a alors f > 0 sur [0, t0 [, donc f est croissante sur
[0, t0 ], puis f (t0 ) > 1 + t0 > 0, donc f reste positive sur [t0 , t0 + α] par continuité, ce qui est en
contradiction avec la dénition de t0 . Ainsi, f (t) > 1 + t, ce qui est susant pour conclure.
2. Moi par exemple j'ai trouvé la bonne relation du premier coup... mouais...
56
Chapitre 10
Fonctions de plusieurs variables
10.1
Rappels de cours
Condition nécessaire pour qu'une fonction C 1 possède un extremum local en un point intérieur.
[preuve]
Une fonction continue sur un fermé borné (en dimension nie) et à valeurs réelles est bornée et
atteint ses bornes.
Savoir montrer qu'une fonction est continue : décomposer en sommes, produits, composées de
fonctions élémentaires (on termine/commence en général par des projections (x1 , ..., xn ) 7→
xk ).
Savoir montrer qu'un ensemble est fermé (stable par passage à la limite, ou image réciproque d'un
fermé 1 par une application continue).
10.2
Récolte 945
Seulement 4 exercices récoltés... et seul le premier n'a pas été traité pendant l'année.
Exercice 1 CCP 2016 [4/10]
On dénit, pour x, y) ∈]0, +∞[2 :
f (x, y) = (x + y)
1. Montrer que f (x, y) =
1
1
+
x y
·
(x + y)2
·
xy
2. Déterminer les points critiques de f .
3. Montrer que f possède un minimum global en chacun de ces points.
Exercice 2 TPE 2016 [5/10]
1. Pourquoi Ω =]0, +∞[×0, +∞[ est-il un ouvert de R2 ?
2. Déterminer les fonctions de classe C 1 sur Ω à valeurs dans R telles que :
∀(x, y) ∈ Ω,
x
∂f
∂f
+y
=0
∂x
∂y
(
u=x
On pourra eectuer le changement de variables
v = xy
1. Formellement, dans le cours : f −1 ({α}) ou f −1 ([a, +∞[)...
57
Exercice 3 Mines-Télécom 2016 [5/10]
On considère l'application
f : (x, y ∈ R2 7−→ x2 + y 2 − 2x − 4y
1. Étudier les extrema locaux et globaux de f sur R2 .
Dans la suite, on note :
D = {(x, y ∈ R2 ; 0 6 x 6 2 et 0 6 y 6 x}
2. Représenter D.
3. Étudier les extrema locaux et globaux de f sur D.
Exercice 4 Centrale 2016 [7/10]
Soit f : (x, y, z) ∈ R3 7→ x2 + y 2 .
1. Tracer l'intersection de Σ = f (−1) ({1}) et du plan P d'équation z = 0. Dessiner l'allure de Σ.
2. Soit m0 un point de Σ de coordonnées (x0 , y0 , z0 ). Donner l'équation du plan tangent à Σ en m0 .
3. On suppose que la restriction de g ∈ C 1 (R3 ) à Σ admet un extremum local en m0 .
Soient G1 : t ∈ R 7→ g (cos(t + ϕ), sin(t + ϕ), z0 ) et G2 : t ∈ R 7→ g(x0 , y0 , z0 + t), avec (x0 , y0 ) =
(cos ϕ, sin ϕ).
(a) Montrer que G1 et G2 sont dérivables en 0, et calculer leurs dérivées.
(b) Montrer que ∇g(m0 ) est parallèle à ∇f (m0 ).
NDLR : on vient de montrer sur un cas particulier une forme faible du théorème des extrema liés.
10.3
Mais aussi
Exercice 5 Mines 2016 [6/10]
Soient a, b > 0. Étudier les extrema de f : (x, y) ∈ (R∗+ )2 7→
b
a
+ xy + ·
x
y
Exercice 6 Mines 2016 [6/10]
Déterminer les extrema de f : (x, y, z) 7→ x2 + y 2 + z 2 − xyz .
Exercice 7 Mines 2016 [5/10]
Soient A ∈ Sn (R) à valeurs propres strictement positives, B ∈ Rn , q : X ∈ Rn 7→ tXAX et f : X ∈
Rn 7→ q(X) − 2tBX .
1. Calculer le gradient de f .
2. Montrer que f possède un minimum, et le calculer.
Exercice 8 Centrale 2016 [6/10]
1. Soit f ∈ C
1
(R∗+ ×R∗+ , R)
0
possédant un minimum local en (x0 , y0 ). Montrer que ∇f (x0 , y0 ) =
.
0
La réciproque est-elle vraie ?
2. Soient a ∈ R∗+ . On dénit l'application
x+y
·
xy
√
√ Montrer que Sa possède un unique point critique en (x0 , y0 ) = 3 2a, 3 2a .
Sa : (x, y) ∈ R∗+ × R∗+ 7−→ xy + 2a
3. On dénit l'ensemble
n
o
x0
y
K = (x, y) ∈ R∗+ × R∗+ | x >
et y > 0 et xy 6 3x0 y0
3
3
Montrer que Sa possède un minimum sur K . Montrer que c'est aussi un minimum sur R∗+ × R∗+
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Exercice 9 CCP 2016 [3/10]
Déterminer les extrema éventuels sur R2 de l'application
f : (x, y) 7−→ x2 + xy + y 2 − 5x − y.
Exercice 10 CCP
 2016 [6/10]
On dénit f (x, y) =
0
x3 − y 3

x2 + y 2
si (x, y) = (0, 0)
sinon
La fonction f est-elle continue ? de classe C 1 ?
Exercice 11 TPE 2016 [6/10]
(
x=2
Trouver les plans tangents à la surface d'équation z = xy et contenant la droite d'équations
y+z =1
2
Exercice 12 Centrale PC 2016 [4/10]
Résoudre
en posant (u, v) = (x, y ex
2
/2
).
Exercice 13 Centrale PC 2016 [4/10]
Résoudre
en posant (x, y) = (u, v eu
10.4
2
/2
∂f
∂f
− xy
=0
∂x
∂y
∂f
∂f
+ xy
=0
∂x
∂y
).
Indications
Exercice 1 : les points critiques sont les (x, x) pour x > 0. La fonction f vaut 4 en tous ces points,
ce qui est minimal, car (x + y)2 = x2 + y 2 + 2xy = (x − y)2 + 4xy > 4xy ...
Exercice 2 : avec le changement de variable proposé ou un passage en polaire, on trouve les
applications de la forme (x, y) 7→ ϕ(y/x).
En polaire : f (x, y) = ϕ(θ).
◦
Exercice 3 : on pourra noter que f (x, y) = (x − 1)2 + (y − 2)2 − 5 ! Sur D, f ne possède pas de
point critique, donc sur D, les extrema (dont l'existence est assurée car f est continue et D est
fermé borné en dimension nie) sont pris sur les bords...
Exercice 4 : keyword : rouleau de PQ . Les fonctions à valeurs réelles G1 et G2 sont

 extrémales
− sin ϕ
en 0, donc leur dérivée en 0 est nulle, ce qui montre que ∇g(m0 ) est orthogonal à  cos ϕ  et
0
 
0
0, donc est colinéaire à leur produit vectoriel, à savoir...
1
Exercice
5 : pour montrer que f possède un minimum global en son unique point critique
q
q 3 b2
3 a2
b ,
a , on peut éliminer les bords pour se ramener à un fermé borné (comme dans
l'exercice 8 à venir) ou bien, pour chaque y0 > 0, étudier l'application partielle x 7→ f (x, y0 ).
Exercice 6 : au voisinage de l'origine, on peut écrire f (x, y, z) = (x − yz)2 + y 2 (1 − z 2 ) + z 2 , ce
qui nous assure qu'on a un minimum local. Les autres points critiques sont des points-col : on
regardera par exemple f (1 + t, 1 + t, 1 + t) et f (1 + t, 1 + t, 1 − t).
Exercice 7 : ∇f (X) = 2(AX − B) et si on note X0 = A−1 B l'unique point critique, alors :
f (X0 + Y ) = f (X0 ) + tY AY > f (X0 ) = −tBA−1 B
(et c'est conrmé dans le cas trivial n = 1).
59
Exercice 8 : il faut savoir dégainer rapidement le contre-exemple f : (x, y) 7→ x2 − y 2 (point
critique sans extremum local). K est un fermé (intersection de trois ensembles dénis comme
pré-images de fermés par des applications continues) borné (check it !) donc l'application continue
Sa y possède un minimum global pris soit au bord soit en un point critique... qui est évidemment
(x0 , y0 ). Il reste à montrer qu'en dehors de K (mais aussi au bord), on a f (x, y) > f (x0 , y0 ). Pour
cela, j'ai ramé jusqu'au moment ou j'ai vu la géniale simplication
1
1
x+y
= + ···
xy
y x
Exercice 9 : On trouve un unique point critique, au voisinage duquel on peut écrire :
v 2 3 2
+ v > f (3, −1)
f (3 + u, −1 + v) = −7 + u2 + uv + v 2 = f (3, −1) + u +
2
4
3
Exercice 10 : x 6 |x| (x2 + y 2 ) 6 Max(|x| , |y|)(x2 + y 2 ) puis |f (x, y)| 6 2 Max(|x| , |y|), donc f
est continue en (0, 0) (et partout ailleurs bien entendu ). La fonction f admet par ailleurs des
∂f
dérivées partielles en tout point (oui, en particulier (0, 0), qu'on traitera à part), mais
(t, 0) =
∂x
∂f
∂f
1 −→ 1 alors que
(0, t) = 0 −→ 0 donc
n'est pas continue en (0, 0).
∂x
∂x
t→0+
t→0+
Exercice 11 : le plan tangent Π en (x0 , y0 , z0 ) a pour équation y0 x+x0 y −2z0 z =K = 0 (constante
0
calculée en (x0 , y0 , z0 )), et la droite passant par A(2, 1, 0) dirigée par d = −1 est incluse dans
1

y0
ce plan si et seulement si A ∈ Π et d est orthogonal au vecteur normal  x0 . Avec la condition
−2z0
2
supplémentaire x0 y0 = z0 , j'obtiens comme unique possibilité... l'origine, qui n'est pas un point
régulier, donc en lequel on ne dispose pas de notion 2de plan tangent ! Strange...
Exercice 12 : en posant g(u, v) = f (x, y) = f (u, v e−u /2 ) on obtient nécessairement (si on est dans
une analyse)
∂g
= 0, puis g(u, v) = ϕ(v) avec ϕ ∈ C 1 (R) et enn :
∂u
2
f (x, y) = g(u, v) = g(x, y ex
/2
) = ϕ(y ex
2
/2
)
et la synthèse est aisée.
On peut aussi placer des équivalences, pour peu qu'on ait avant précisé que le changement de
variable proposé était bijectif puis en faisant très attention à la quantication. Mais est-ce vraiment
pertinent ?
Exercice 13 : pas très diérent de ce qui précède, vous ne pensez pas ?
60