Exercice 4 : (7 pts)
PARTIE A :
On suppose que le taux de cholestérol chez les hommes et les femmes de plus de 50 ans se répartit selon une loi
Normale de moyenne µet de variance σ2.
On mesure cette variable sur un échantillon de taille 10 (mesures exprimées en cg) :
190,1 191,2 188,2 195,5 180,2 192,6 185,3 193,1 186,2 191,8
1. Calculer la moyenne et variance empirique de cet échantillon.
2. Calculer la moyenne et variance estimées sans biais de cet échantillon.
3. Calculer l’intervalle de confiance de la variance au niveau de confiance 0,99.
PARTIE B :
On suppose toujours que les taux de cholestérol chez les hommes et les femmes de plus de 50 ans se répartissent
selon des lois Normales.
Dans un échantillon de 18 hommes de plus de 50 ans, on a mesuré un taux moyen de 192,4 cg avec un écart-type
empirique de 4,52 cg. Dans un échantillon de 22 femmes de plus de 50 ans, le taux moyen est de 185,7 cg avec
un écart-type de 3,64 cg.
1. Donner des estimations sans biais de la variance de ces deux échantillons.
2. En construisant deux intervalles adéquats de niveau de confiance 95%, peut-on conclure qu’en moyenne
les femmes de plus de 50 ans ont significativement moins de cholestérol que les hommes ?
3. Quel niveau de confiance faut-il prendre pour que l’intervalle des femmes ait une précision de ±1,2cg ?
Exercice 5 : (3 pts)
Le taux de plomb dans le sang est appelé plombémie ; on suppose que ce taux est modélisé par une variable X
de loi N(µ;σ2). Une plombémie au-delà de 100 µg/l est considérée comme dangereuse. Dans ce cas un médecin
est obligé d’en aviser les autorités de santé publique. Vous êtes médecin et vous avez le résultat d’une analyse
sanguine d’un patient, vous voulez faire un test d’hypothèses au seuil de 1%.
1. Donner la définition du risque de première espèce. Calculer la probabilité d’accepter H0à raison.
2. Soient les deux tests d’hypothèses suivants :
(a) (H0:µ < 100
H1:µ > 100 (b) (H0:µ > 100
H1:µ < 100
Sachant que vous êtes un médecin prudent, dire précisément le test que vous feriez au seuil de 1%.
(Vous justifierez en explicitant le risque de première espèce dans ces deux tests, puis en raisonnant sur ces
deux risques).
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