Partiel-Nov-2014

Université Joseph Fourier - Grenoble 1
L2 Licence Sciences et Technologies - STA230
7 Novembre 2014
STA230 : CC2-Partiel
Durée : 2 heures.
Documents autorisés : Tables statistiques - 1 page A4 recto-verso, manuscrite - Calculatrice.
Le barème est donné à titre indicatif.
Exercice 1 : (3 pts)
Un groupe de 50 coureurs cyclistes participe à une course au cours de laquelle a lieu un contrôle antidopage. Pour
un coureur choisi au hasard, on appelle C l’évènement : « le contrôle est positif », et on sait que P (C) = 0, 05.
On appelle D l’évènement : « le coureur est dopé». Le contrôle anti-dopage n’est pas fiable à 100%. Lorsqu’un
coureur est dopé, le contrôle est positif dans 97% des cas, mais si le coureur n’est pas dopé, le contrôle est positif
dans 1% des cas.
1
1. Montrer que P (C) = P (D) P (C | D) − P (C | D) + P (C | D). En déduire que P (D) =
.
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2. Construire l’arbre pondéré.
3. Alors que vous êtes coureur et que votre contrôle s’avère positif, quelle est la probabilité pour que vous
ne soyez pas dopé ?
Exercice 2 : (4 pts)
On considère que le taux de glycémie moyen chez tous les patients présentant une certaine pathologie M est de
7 mmol/l avec un écart type de 2 mmol/l. On suppose que ce taux X suit une loi Normale.
1. Calculer la proportion de patients dont le taux de glycémie est inférieur à 8mmol/l.
2. Calculer le taux de glycémie x pour lequel 95% des patients ont une valeur supérieure.
3. Sur un échantillon de 150 personnes présentant cette pathologie, on observe une moyenne égale à 7.4
mmol/l. L’échantillon est-il représentatif de la population présentant la pathologie M au niveau de 99% ?
4. Quelle taille d’échantillon devrait-on prendre pour avoir une précision de l’intervalle précédent de ±0, 3
mmol/l ?
Exercice 3 : (4 pts)
Dans le monde, la proportion de gauchers est 12 %. Un certain club de tennis compte 103 individus licenciés.
On note X la variable aléatoire représentant le nombre de gauchers dans le club.
1. Quelle est la loi exacte de X (justifier) ? Donner une approximation précise de cette loi (justifier).
2. Calculer P (X ≤ 21) en utilisant la loi exacte puis en utilisant l’approximation précédente.
3. On dénombre 21 gauchers dans ce club cette année. Construire un intervalle au niveau de 98 % permettant
de conclure si le club est « représentatif » de la proportion de gauchers dans le monde. Conclure.
1
Exercice 4 : (7 pts)
PARTIE A :
On suppose que le taux de cholestérol chez les hommes et les femmes de plus de 50 ans se répartit selon une loi
Normale de moyenne µ et de variance σ 2 .
On mesure cette variable sur un échantillon de taille 10 (mesures exprimées en cg) :
190,1
191,2
188,2
195,5
180,2
192,6
185,3
193,1
186,2
191,8
1. Calculer la moyenne et variance empirique de cet échantillon.
2. Calculer la moyenne et variance estimées sans biais de cet échantillon.
3. Calculer l’intervalle de confiance de la variance au niveau de confiance 0,99.
PARTIE B :
On suppose toujours que les taux de cholestérol chez les hommes et les femmes de plus de 50 ans se répartissent
selon des lois Normales.
Dans un échantillon de 18 hommes de plus de 50 ans, on a mesuré un taux moyen de 192,4 cg avec un écart-type
empirique de 4,52 cg. Dans un échantillon de 22 femmes de plus de 50 ans, le taux moyen est de 185,7 cg avec
un écart-type de 3,64 cg.
1. Donner des estimations sans biais de la variance de ces deux échantillons.
2. En construisant deux intervalles adéquats de niveau de confiance 95%, peut-on conclure qu’en moyenne
les femmes de plus de 50 ans ont significativement moins de cholestérol que les hommes ?
3. Quel niveau de confiance faut-il prendre pour que l’intervalle des femmes ait une précision de ±1, 2 cg ?
Exercice 5 : (3 pts)
Le taux de plomb dans le sang est appelé plombémie ; on suppose que ce taux est modélisé par une variable X
de loi N (µ; σ 2 ). Une plombémie au-delà de 100 µg/l est considérée comme dangereuse. Dans ce cas un médecin
est obligé d’en aviser les autorités de santé publique. Vous êtes médecin et vous avez le résultat d’une analyse
sanguine d’un patient, vous voulez faire un test d’hypothèses au seuil de 1%.
1. Donner la définition du risque de première espèce. Calculer la probabilité d’accepter H0 à raison.
2. Soient les deux tests d’hypothèses suivants :
(
(a)
H0 :
H1 :
(
µ < 100
µ > 100
(b)
H0 :
H1 :
µ > 100
µ < 100
Sachant que vous êtes un médecin prudent, dire précisément le test que vous feriez au seuil de 1%.
(Vous justifierez en explicitant le risque de première espèce dans ces deux tests, puis en raisonnant sur ces
deux risques).
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