2. Soit X la durée de vie d’un réacteur d’un avion. On suppose que X est distribuée selon une loi exponentielle
de paramètre λ(λ > 0). Le fabriquant veut garantir que le réacteur a une probabilité inférieure à 0,05 de
tomber en panne en 2 ans.
On rappelle que la fonction de densité est définie par : f(x) = λe−λx pour x≥0, et f(x)=0pour x<0.
a) Donner la fonction de répartition de cette loi exponentielle de paramètre λ, son espérance et sa variance.
b) Quelle valeur maximale de λdoit prendre le fabriquant ? Quelle serait alors la durée de vie moyenne
minimale du réacteur ?
Exercice 3 : (5 pts) Les trois parties sont indépendantes
Un institut de sondage entreprend de faire une étude pour les prochaines élections.
1. Il dénombre 530 intentions de votes pour un certain candidat A sur un échantillon de 1000 électeurs sondés.
Calculer le niveau de confiance maximum que l’institut doit fixer pour pouvoir déclarer au candidat A
qu’il sera élu (en justifiant, calculer l’intervalle adéquat, puis conclure.)
2. Pour ces élections, sur un échantillon de 1000 individus, un autre candidat B obtient 38% d’avis favorables
en novembre, puis 36% en décembre. Un journaliste prend très au sérieux cette chute de 2 points et il
déclare que le pourcentage de ce candidat a significativement baissé. Confirmer ou infirmer la position du
journaliste (en justifiant, construire des intervalles adéquats de niveau 0.95, puis conclure).
3. Après l’élection, le candidat A a été élu avec un pourcentage de 0,518. On reprend un échantillon de 1000
électeurs. On note X le nombre de votes obtenus par A dans cet échantillon.
a) Quelle est la loi exacte de X ? Justifier.
b) Donner une approximation de cette loi en justifiant précisément.
c) Calculer P(X≤550) en utilisant la loi exacte puis avec l’approximation.
d) En utilisant l’approximation de la loi précédente, peut-on considérer que l’échantillon utilisé dans la
question 1 (530 intentions de votes pour le candidat A) est conforme à la population totale ? Vous calculerez
un intervalle adéquat de niveau 0,98.
Exercice 4 : (5 pts)
On étudie le temps de compilation d’un certain logiciel. On suppose que cette variable aléatoire X suit une loi
Normale de moyenne µet de variance σ2. On mesure cette variable sur un échantillon de taille 10 :
2,4 3,4 3,6 4,1 4,3 4,7 5,4 5,9 6,5 6,9
1. Calculer la moyenne et variance empiriques. Calculer la moyenne et variance estimées sans biais de X.
2. Donner un intervalle de confiance de niveau 0,95 pour µ.
3. Donner un intervalle de confiance de niveau 0,95 pour σ.
4. On suppose maintenant que l’écart type de X est connu et égal à 1,4.
(a) Quelle taille d’échantillon devrait-on observer pour estimer µau niveau de confiance de 99% avec
une précision de plus ou moins 0,5 ?
(b) Avec l’échantillon initial de taille 10, quel niveau de confiance faudrait-il prendre pour avoir une
précision de ±0,6 pour l’intervalle de confiance de µ?
Bonus :
Soit X une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre θ(θ > 0).
On rappelle que la fonction de densité est définie par : f(x) = 1
θe−
x
θpour x≥0, et f(x)=0pour x<0.
1. Montrer que l’estimateur du maximum de vraisemblance de θest X.
2. Montrer que cet estimateur est convergent, sans biais et de variance asymptotiquement nulle.
2