Partiel-Mars-2015

Université Joseph Fourier - Grenoble 1
L2 Licence Sciences et Technologies - STA240
Mars 2015
STA240 : CC2-Partiel
Durée : 2 heures.
Documents autorisés : Tables statistiques - Calculatrice - 1 page A4 recto-verso, manuscrite.
Le barème est donné à titre indicatif.
Exercice : ’autour du cours’ (3pts)
1
1. Soit X une variable de loi Normale N (µ; σ2) avec µ = 2 et σ2=25. Quelle est la loi de Y = (X − 2) ?
5
Quelle est la loi de Z = 2X − 1 ?
2. On suppose que X suit une loi Normale de moyenne µ = 40 et de variance σ 2 = 100. Calculer la valeur a
telle que P (X > a) = 0, 02.
3. On note I l’intervalle de confiance de la variance σ2 au niveau de confiance 1 − α. On note µ
b et σ
b2 les
moyenne et variance estimées sans biais, on note X et S2 les moyenne et variance empiriques.
(a) Donner la définition du niveau de confiance en complétant : P (......∈ I) = .......
(b) Donner les valeurs des quantiles nécessaires à la construction de cet intervalle pour un échantillon de
taille 12, avec un niveau de 0,95.
Exercice 1 : (3 pts)
Afin de vérifier l’état de marche des machines d’une entreprise créée il y a 5 ans, on a effectué une analyse. Au
bout des 5 ans, on a trouvé que 50,5% des machines ont été hors d’usage à cause de pannes très graves. Parmi
les machines qui ont toujours été en état de marche pendant les 5 ans, donc qui ne sont jamais tombées en
panne, la probabilité de devenir hors d’usage est de 40% ; cette probabilité monte à 75% pour une machine qui
a eu une panne au cours des 5 années.
On note H la variable : “la machine est hors d’usage” ; on note M la variable : “la machine a toujours été en
état de marche”.
1. Traduire en terme de probabilités toutes les données de l’énoncé (utilisez les variables H et M).
P (H) − P (H | M )
. Déduire que P (M ) = 0, 7
P (H | M ) − P (H | M )
3. Pour une machine hors d’usage, quelle est la probabilité qu’elle n’ait jamais eu de panne auparavant ?
2. Montrer que P (M ) =
Exercice 2 : (4 pts)
Les deux parties sont indépendantes
1. Soit X le nombre d’avions arrivant en une heure sur un aéroport. On suppose que X est modélisée par
une variable aléatoire avec E[X] = 16 et V [X] = 16.
a) À l’aide de l’inégalité de Bienaymé Tchebychev, donner une minoration de P (10 < X < 22).
b) On suppose maintenant que X suit la loi P(16). Calculer la valeur exacte de P (10 < X < 22) et
comparer avec le résultat précédent.
1
2. Soit X la durée de vie d’un réacteur d’un avion. On suppose que X est distribuée selon une loi exponentielle
de paramètre λ (λ > 0). Le fabriquant veut garantir que le réacteur a une probabilité inférieure à 0,05 de
tomber en panne en 2 ans.
On rappelle que la fonction de densité est définie par : f (x) = λe−λx pour x≥ 0 , et f (x) = 0 pour x< 0.
a) Donner la fonction de répartition de cette loi exponentielle de paramètre λ, son espérance et sa variance.
b) Quelle valeur maximale de λ doit prendre le fabriquant ? Quelle serait alors la durée de vie moyenne
minimale du réacteur ?
Exercice 3 : (5 pts)
Les trois parties sont indépendantes
Un institut de sondage entreprend de faire une étude pour les prochaines élections.
1. Il dénombre 530 intentions de votes pour un certain candidat A sur un échantillon de 1000 électeurs sondés.
Calculer le niveau de confiance maximum que l’institut doit fixer pour pouvoir déclarer au candidat A
qu’il sera élu (en justifiant, calculer l’intervalle adéquat, puis conclure.)
2. Pour ces élections, sur un échantillon de 1000 individus, un autre candidat B obtient 38% d’avis favorables
en novembre, puis 36% en décembre. Un journaliste prend très au sérieux cette chute de 2 points et il
déclare que le pourcentage de ce candidat a significativement baissé. Confirmer ou infirmer la position du
journaliste (en justifiant, construire des intervalles adéquats de niveau 0.95, puis conclure).
3. Après l’élection, le candidat A a été élu avec un pourcentage de 0,518. On reprend un échantillon de 1000
électeurs. On note X le nombre de votes obtenus par A dans cet échantillon.
a) Quelle est la loi exacte de X ? Justifier.
b) Donner une approximation de cette loi en justifiant précisément.
c) Calculer P (X ≤ 550) en utilisant la loi exacte puis avec l’approximation.
d) En utilisant l’approximation de la loi précédente, peut-on considérer que l’échantillon utilisé dans la
question 1 (530 intentions de votes pour le candidat A) est conforme à la population totale ? Vous calculerez
un intervalle adéquat de niveau 0,98.
Exercice 4 : (5 pts)
On étudie le temps de compilation d’un certain logiciel. On suppose que cette variable aléatoire X suit une loi
Normale de moyenne µ et de variance σ 2 . On mesure cette variable sur un échantillon de taille 10 :
2,4
1.
2.
3.
4.
3,4
3,6
4,1
4,3
4,7
5,4
5,9
6,5
6,9
Calculer la moyenne et variance empiriques. Calculer la moyenne et variance estimées sans biais de X.
Donner un intervalle de confiance de niveau 0,95 pour µ.
Donner un intervalle de confiance de niveau 0,95 pour σ.
On suppose maintenant que l’écart type de X est connu et égal à 1,4.
(a) Quelle taille d’échantillon devrait-on observer pour estimer µ au niveau de confiance de 99% avec
une précision de plus ou moins 0,5 ?
(b) Avec l’échantillon initial de taille 10, quel niveau de confiance faudrait-il prendre pour avoir une
précision de ± 0,6 pour l’intervalle de confiance de µ ?
Bonus :
Soit X une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre θ (θ > 0).
1 −x
e θ pour x≥ 0 , et f (x) = 0 pour x< 0 .
θ
1. Montrer que l’estimateur du maximum de vraisemblance de θ est X.
2. Montrer que cet estimateur est convergent, sans biais et de variance asymptotiquement nulle.
On rappelle que la fonction de densité est définie par : f (x) =
2