Dimension des espaces vectoriels - Académie de Nancy-Metz
Dans tout le chapitre, on travaille dans R, mais on peut aussi travailler
avec CRappelons qu’une famille (v1,v2,...,vp) d’´el´ements de Eest
appel´ee famille `a p´el´ements , que les visoient distincts ou non. Dans
une famille, l’ordre des ´el´ements compte. On va g´en´eraliser les notions de
familles libres, g´en´eratrices et bases vues dans Rn.
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Familles libres ou li´ees
D´efinition
Soit (x1,x2,...,xp)une famille finie de vecteurs de E.
On dit que la famille (x1,x2,...,xp)est libre si et seulement si : Si il
existe λ1, . . . , λp∈Rtels que
λ1x1+· · · +λpxp= 0E
alors λ1=· · · =λp= 0.
Aucun vecteur de la famille n’est combinaison lin´eaire des autres
(lorsque p >2). Dans ce cas, on dit que les vecteurs de la famille
sont lin´eairement ind´ependants.
On dit que la famille (x1,x2,...,xp)est li´ee si et seulement s’il existe
des scalaires λ1, λ2, . . . , λp∈Rqui ne sont pas tous nuls tels que
λ1x1+· · · +λpxp= 0E
c’est-`a-dire si, et seulement si l’un au moins des vecteurs de la famille
est une combinaison lin´eaire des autres vecteurs de cette famille
(lorsque p >2).
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