Dimension des espaces vectoriels - Académie de Nancy-Metz

Dimension des espaces vectoriels
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Dimension des espaces vectoriels
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1
Familles libres, génératrices et bases
2
Espaces vectoriels de dimension finie
3
Sous-espaces vectoriel de dimension finie
4
Applications linéaires en dimension finie
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Dimension des espaces vectoriels
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Dans tout le chapitre, on travaille dans R, mais on peut aussi travailler
avec C Rappelons qu’une famille (v1 , v2 , . . . , vp ) d’éléments de E est
appelée famille à p éléments , que les vi soient distincts ou non. Dans
une famille, l’ordre des éléments compte. On va généraliser les notions de
familles libres, génératrices et bases vues dans Rn .
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Plan
1
Familles libres, génératrices et bases
2
Espaces vectoriels de dimension finie
3
Sous-espaces vectoriel de dimension finie
4
Applications linéaires en dimension finie
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Familles libres ou liées
Définition
Soit (x1 , x2 , . . . , xp ) une famille finie de vecteurs de E .
On dit que la famille (x1 , x2 , . . . , xp ) est libre si et seulement si : Si il
existe λ1 , . . . , λp ∈ R tels que
λ1 x1 + · · · + λp xp = 0E
alors λ1 = · · · = λp = 0.
Aucun vecteur de la famille n’est combinaison linéaire des autres
(lorsque p > 2). Dans ce cas, on dit que les vecteurs de la famille
sont linéairement indépendants.
On dit que la famille (x1 , x2 , . . . , xp ) est liée si et seulement s’il existe
des scalaires λ1 , λ2 , . . . , λp ∈ R qui ne sont pas tous nuls tels que
λ1 x1 + · · · + λp xp = 0E
c’est-à-dire si, et seulement si l’un au moins des vecteurs de la famille
est une() combinaison linéaire
autres
vecteurs de cette famille 5 / 36
Dimensiondes
des espaces
vectoriels
Remarque: C’est exactement la même définition (et les mêmes
techniques) que dans Rn .
Exemple:
1
La famille (1, X , X 2 , . . . , X n ) est une famille libre de R[X ]. En effet
n
P
λk X k est le polynôme
pour tous λ0 , λ1 , . . . , λn ∈ R, le polynôme
k=0
nul si, et seulement si, tous les λk sont nuls.
2
Une famille qui contient deux vecteurs colinéaires est liée. Par exemple
si x1 = kx2 (où k ∈ K), alors x1 − k.x2 + 0.x3 + · · · + 0.xn = 0E .
La réciproque de ce résultat est fausse, il existe des familles liées qui
ne contiennent pas de vecteurs colinéaires.
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Proposition
1
Toute famille extraite d’une famille libre est libre.
2
Toute famille contenant une famille liée est liée.
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Démonstration.
1 Soit (u , u , . . . , u ) une famille libre. On en extrait une famille, quitte
1 2
n
à changer l’ordre des vecteurs, on peut supposer qu’on extrait
(u1 , u2 , . . . , up ) avec p 6 n. Montrons que cette famille extraite est
libre.
Soient des scalaires λ1 , . . . , λn ∈ K tels que λ1 u1 + · · · + λp up = 0.
On rajoute à cette somme 0.up+1 + 0.up+2 + · · · + 0.un . On a alors .
λ1 u1 + · · · + λp up + 0.up+1 + 0.up+2 + · · · + 0.un = 0
2
La famille (u1 , u2 , . . . , un ) étant libre, tous les coefficients de l’égalité
sont nuls. Donc en particulier les λ1 , . . . , λn . Donc la famille extraite
est libre.
Soit une famille (u1 , u2 , . . . , un ) contenant une famille liée. Quitte à
changer l’ordre des vecteurs, on peut supposer que la famille
(u1 , u2 , . . . , uk ) est liée, avec k 6 n. Ainsi, il existe λ1 , . . . , λk non
tous nuls tels que λ1 u1 + · · · + λk uk = 0. On rajoute à cette somme
0.uk+1 + · · · + 0.un . On a alors .
λ1 u1 + · · · + λk uk + 0.uk+1 + · · · + 0.un = 0
et les coefficients
de cette
égalité
ne vectoriels
sont pas tous nuls, puisque les8 / 36
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Dimension
des espaces
Théorème
Soit F = (v1 , v2 , . . . , vp ) une famille libre. Pour tout vecteur
u ∈ Vect(v1 , v2 , . . . , vp ), il existe un unique p-uplet de scalaires
(λ1 , . . . , λp ) tels que
u = λ1 v1 + · · · + λp vp .
Autrement dit pour tous scalaires λ1 , . . . , λp et µ1 , . . . , µp ,
p
X
i=1
λi vi =
p
X
µ i vi
=⇒
∀i ∈ [[1, p]], λi = µi .
i=1
Cela signifie que la décomposition de tout vecteur u ∈ Vect(v1 , v2 , . . . , vp )
comme combinaison linéaire de la famille F est unique.
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Familles génératrices
Définition
En toute généralité : une famille (vi )i∈I (finie ou non, I étant un
ensemble d’indices) d’éléments de E est dite génératrice de E si, et
seulement si, tout élément de E s’exprime comme une combinaison
linéaire d’un nombre fini d’éléments de cette famille (vi )i∈I .
Dans le cas particulier d’une famille finie : Une famille (v1 , v2 , . . . , vn )
de E est dite génératrice de E si, et seulement si,
E = Vect(v1 , v2 , . . . , vn )
autrement dit si, et seulement si, tout élément de E s’écrit comme
une combinaison linéaire des éléments v1 , v2 , . . . , vn ou encore si, et
seulement si, on a :
∀u ∈ E , ∃λ1 , λ2 , . . . , λn ∈ R, u =
n
X
λi vi .
i=1
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Remarque: Si une famille est génératrice de E , il en est de même pour
toutes les familles obtenues par permutation de ses éléments.
Exemple:
1
2
(1, i) est une famille génératrice de C en tant que R-espace vectoriel
car tout nombre complexe z s’écrit z = a.1 + b.i avec a, b ∈ R.
(1, X , X 2 , . . . , X n ) est famille génératrice de Rn [X ] puisque tout
polynôme de degré inférieur ou égal à n s’écrit sous la forme
n
X
ak X k
avec a0 , . . . , an ∈ R.
k=0
3
La famille infinie (X i , i ∈ N) est une famille génératrice de R[X ]
puisque tout polynôme est une combinaison linéaire d’un nombre fini
de monômes.
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Proposition
Toute famille contenant une famille génératrice de E est génératrice de E .
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Bases
Définition
Une famille (e1 , . . . , en ) de vecteurs de E est une base de E si, seulement
si, elle est libre et génératrice de E .
Théorème
Une famille B = (e1 , . . . , en ) est une base de E si, et seulement si, pour
tout vecteur x ∈ E , il existe un unique n-uplet (λ1 , . . . , λn ) ∈ Rn tel que
x=
n
X
λk ek .
k=1
Le n-uplet de scalaires (λ1 , . . . , λn ) est appelé le n-uplet de composantes
ou de coordonnées de x dans la base B.
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Exemple:
1
(1, i) est une base du R-espace vectoriel C. Les coordonnées d’un
nombre complexe dans la base (1, i) sont sa partie réelle et sa partie
imaginaire.
2
Dans le plan, deux vecteurs non colinéaires forment une base.
3
Dans l’espace, trois vecteurs non coplanaires forment une base.
4
La famille (1, X , . . . , X n ) forme une base de Rn [X ]. Cette base est
appelé base canonique de Rn [X ]. Les coordonnées du polynôme
n
P
ak X k dans la base canonique de Rn [X ] sont (a0 , . . . , an ).
k=0
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Plan
1
Familles libres, génératrices et bases
2
Espaces vectoriels de dimension finie
3
Sous-espaces vectoriel de dimension finie
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Applications linéaires en dimension finie
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Définition et propriété fondamentale
Définition
On appelle espace vectoriel de dimension finie tout espace vectoriel E
possédant une famille génératrice de E formée d’un nombre fini de
vecteurs. Dans le cas contraire, on dit que E est n’est pas de dimension
finie.
Exemple: Rn , Rn [X ] sont des espaces vectoriels de dimension finie, R[X ]
n’est pas de dimension finie.
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Remarque: Le cardinal d’une famille finie de vecteurs de E est le nombre
de vecteurs (distincts ou non) qui la composent.
Proposition
Dans un espace vectoriel E de dimension finie, le cardinal de toute famille
libre est inférieur ou égal au cardinal de toute famille génératrice de E .
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Existence d’une base- Dimension
Théorème
Un espace vectoriel E de dimension finie possède au moins une base. Plus
précisément, toute famille génératrice finie de E contient une base de E .
Démonstration. Soit F1 = (e1 , . . . , en ) une famille génératrice finie de E .
Si F1 est libre, alors c’est une base de E , sinon, l’un des vecteurs de la
famille est une combinaison linéaire des autres (supposons que ce soit le
cas de en , quitte à changer la numérotation des vecteurs). Dans ce cas,
F2 = (e1 , . . . , en−1 ) est à nouveau une famille génératrice de E et l’on
peut recommencer la discussion initiée au début de ce paragraphe.
On continue ainsi à retirer des vecteurs tant que la famille Fk est
génératrice et après un nombre fini d’étapes, la famille obtenue est libre, si
bien que c’est une base de E .
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Définition
Soit E un R−espace vectoriel non réduit au vecteur nul (E 6= {0}). Si E
est de dimension finie, alors toutes les bases de E ont le même nombre n
d’éléments. Cet entier n est appelé la dimension de E sur R.
On convient que l’espace vectoriel {0} est de dimension nulle.
Démonstration. Soit B1 et B2 deux bases de E . Notons n1 le nombre
d’éléments de B1 et n2 le nombre d’éléments de B2 .
Comme B1 est libre et que B2 est génératrice de E , on a n1 6 n2 .
Comme B2 est libre et que B1 est génératrice de E , on a n2 6 n1 .
Finalement, n2 = n1 .
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Exemples:
1
Rn est un espace vectoriel de dimension n sur R et la base canonique
de Rn en est une base.
2
Rn [X ] est une espace vectoriel de dimension n + 1 sur R et la base
canonique de Rn [X ] en est une base.
3
L’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire
homogène d’ordre 2 à coefficients constants forme un espace vectoriel
de dimension 2.
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Théorème
Si E est un espace vectoriel de dimension n, alors :
1
toute famille libre a au plus n éléments. Si elle a exactement n
éléments, c’est une base ;
2
toute famille génératrice de E a au moins n éléments. Si elle a
exactement n éléments, c’est une base.
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Théorème
Soit E un espace vectoriel de dimension finie.
Toute famille génératrice de E contient une base.
On a même mieux : si G est une famille génératrice de E et si F est
une famille libre de vecteurs de G, alors on peut compléter F avec des
vecteurs de G pour obtenir une base de E .
Toute famille libre peut être complétée en une base. (L99 Théorème
de la base incomplète)
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Plan
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Familles libres, génératrices et bases
2
Espaces vectoriels de dimension finie
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Sous-espaces vectoriel de dimension finie
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Applications linéaires en dimension finie
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Dimension d’un sous-espace vectoriel
Théorème
Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie. Tout sous-espace vectoriel
F de E est de dimension finie, et
dim(F ) 6 dim(E ).
De plus si dim(F ) = dim(E ) alors F = E .
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Démonstration. Notons n la dimension de E .
Si F = {0}, alors F est de dimension 0.
Sinon, soit f1 un vecteur non nul de F . Si F est engendré par f1 , alors F
est de dimension 1 car (f1 ) est alors une base de F .
Sinon, soit f2 un vecteur de F non colinéaire à f1 de sorte que (f1 , f2 ) est
libre. Si (f1 , f2 ) engendre F , alors F est de dimension 2.
Sinon, on continue ainsi à ajouter des vecteurs à notre famille libre,
jusqu’à obtenir une famille libre (f1 , . . . , fp ) pour laquelle (f1 , . . . , fp , x) est
liée quel que soit x dans F . Un tel moment survient forcément, car une
famille d’au moins (n + 1) éléments de F (donc de E ) est liée.
La famille libre (f1 , . . . , fp ) est alors une base de F . Donc F est de
dimension finie.
Cette famille libre de p éléments de E se complète en une base de E
d’après le théorème de la base incomplète. On en déduit :
dim(F ) = p 6 n = dim(E ).
Si dim(F ) = dim(E ), une base de F est une famille libre de E à n
éléments : c’est aussi une base de E et donc F = E .
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Corollaire
Soit E un espace vectoriel de dimension finie et F et G deux sous-espaces
vectoriels de E . On a
F ⊂G
()
et
dim(F ) = dim(G )
Dimension des espaces vectoriels
=⇒
F = G.
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Sous-espaces supplémentaires en dimension finie
Théorème
Soit E un espace vectoriel de dimension finie et F un sous-espace vectoriel
de E . Il existe alors dans E un sous-espace vectoriel G tel que F et G
soient supplémentaires.
On a de plus : dim(E ) = dim(F ) + dim(G ).
Remarque: Attention, il n’y a pas unicité du supplémentaire d’un
sous-espace vectoriel.
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Théorème
Soit F et G deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E de
dimension finie n.
1
Si F et G sont supplémentaires, alors dim(E ) = dim(F ) + dim(G ).
2
Si on a : dim(E ) = dim(F ) + dim(G ) et F ∩ G = {0}, alors F et G
sont supplémentaires.
3
Si on a : dim(E ) = dim(F ) + dim(G ) et F + G = E , alors F et G
sont supplémentaires.
Dans tous les cas, on obtient une base de E en réunissant une base de F
et une base de G .
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Exercice 1
Dans R3 , on considère G = {(x, y , z) ∈ R3 tels que x + y + z = 0} et
F = Vect{(1, 1, 1)}. Montrer que E et F sont supplémentaires dans R3 .
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Théorème
Soit E un espace vectoriel de dimension finie et F et G deux sous-espaces
vectoriels de E . On a
dim(F + G ) = dim(F ) + dim(G ) − dim(F ∩ G ).
Démonstration. Il suffit de compléter une base B de F ∩ G en une base
BF de F et en une base BG de G . La réunion des vecteurs des bases BF et
BG (où l’on élimine les doublons : les vecteurs de B) forme une base de
F + G . On compte alors les vecteurs des différentes bases, et l’on obtient
le résultat.
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Plan
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Espaces vectoriels de dimension finie
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Sous-espaces vectoriel de dimension finie
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Applications linéaires en dimension finie
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Dans ce chapitre, E et F sont deux R-espaces vectoriels, l’espace E étant
supposé de dimension finie (F peut ne pas être de dimension finie).
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Image d’une base
Théorème
Soit B = (e1 , . . . , en ) une base de E et (f1 , . . . , fn ) une famille de vecteurs
de F . Il existe une unique application linéaire u de E dans F telle que
∀k ∈ [[1, n]], u(ek ) = fk .
Autrement dit une application linéaire est entièrement caractérisée par
l’image d’une base de l’espace vectoriel de départ.
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Corollaire
Soit B = (e1 , . . . , en ) une base de E et u et v deux applications linéaires
de E dans F . Si l’on a : ∀k ∈ [[1, n]], u(ek ) = v (ek ), alors les applications
u et v sont égales (∀x ∈ E , u(x) = v (x)).
Autrement dit, deux applications linéaires qui coı̈ncident sur une base de E
sont égales.
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Théorème (dit du rang)
Théorème
Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie et F un espace vectoriel
quelconque. Soit f une application linéaire de E dans F . On a :
dim(Ker(f )) + dim(Im(f )) = dim(E )
Remarque: dim(Im(f )) est le rang de f .
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Théorème
Soit E et F deux espaces vectoriels de dimension finie et f une application
linéaire de E vers F .
1
On a : dim(Im(f )) = dim(F ) si et seulement si f est surjective.
2
Si les espaces E et F sont de même dimension n, alors on a les
équivalences suivantes :
f est un isomorphisme ⇐⇒ dim(Im(f )) = n ⇐⇒ dim(Ker(f )) = 0.
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Corollaire
Soit E et F deux espaces vectoriels de même dimension finie n et f une
application linéaire de E vers F . On a les équivalences :
f est bijective ⇐⇒ f est injective ⇐⇒ f est surjective.
En particulier, si f est injective ou surjective, alors f est bijective.
Remarque: Si on prend F = E (endomorphisme), alors ça marche aussi.
Ce résultat n’est pas vrai pour un endomorphisme d’un espace vectoriel de
dimension qui n’est pas de dimension finie.
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Dimension des espaces vectoriels
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Par exemple, l’endomorphisme ϕ : R[X ] → R[X ] de l’espace vectoriel
P 7→ P 0
R[X ], qui n’est pas de dimension finie est surjectif (car pour tout
polynôme Q de R[X ], on peut trouver un polynôme P tel que P 0 = Q),
mais il n’est pas injectif (en effet, l’image par ϕ de tout polynôme
constant est le polynôme nul).
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