Complexes : exemples (calculs, conjugués)

Complexes : exemples
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Complexes : exemples
Forme algébrique, calculs, conjugués
I)
Nature des objets
1. Combien vaut i ?
Cette question n’a pas de sens si on attend une réponse qui s’exprimerait sous forme
d’un nombre réel (comme on dirait «combien vaut π ? environ 3,14»). En effet, i
n’est pas un nombre réel. Il ne peut pas l’être, puisque le carré de tout nombre réel
est positif, alors que i2 = −1
Mais alors, qu’est-ce que i ? Quelle est la nature de cet objet ? En mathématiques, la
réponse à une telle question ne peut se faire qu’en se ramenant à des «natures» déjà
connues, et cela dépend de la présentation qu’on en fait, de l’ordre dans lequel on
construit les mathématiques. Suivant certaines présentations, on dira que i «est»
le couple de deux réels (0; 1) ou le point de coordonnées (0; 1) (il y a d’autres
présentations possibles, et il a fallu 300 ans pour mettre tout cela au point).
Mais quelle que soit la présentation, on en retient l’idée que i a le statut d’un
«nombre» (car on peut lui appliquer les opérations usuelles sur les nombres) mais
que ce nombre n’est pas dans l’ensemble R (car i2 = −1). En fait i est dans
l’ensemble C, ensemble des «nombres complexes».
2. – Le nombre 1 est-il un nombre complexe ?
– Oui
– Mais non ! 1 est un nombre réel, voyons !
– Ce n’est pas contradictoire, un nombre peut être à la fois réel et complexe, car
l’ensemble R est inclus dans l’ensemble C. De même, 1 est aussi un nombre entier
(il appartient à l’ensemble N), et ce n’est pas contradictoire car l’ensemble N est
inclus dans l’ensemble R
– Mais alors, quels sont les nombres réels qui sont aussi des nombres complexes ?
– Tous !
– Et quels sont les nombres complexes qui ne sont pas des nombres réels ?
– Tous ceux qui s’écrivent x + yi avec x et y réels et y non nul.
– Ce sont des nombres irréels ? imaginaires ?
– On pourrait employer ces termes, mais ce n’est pas ceux que les mathématiciens
ont retenu historiquement dans leurs conventions de langage.
Les nombres complexes non réels n’ont pas de nom spécial (on dit «non réels»), et
le mot «imaginaire» est plus particulier : il est réservé aux nombres qui s’écrivent
0 + yi avec y réel, ce qui correspond aux points qui se trouvent sur l’axe des
ordonnées. Avec cette convention le nombre 0 est à la fois réel et imaginaire,
ce qui est bizarre du point de vue du langage courant, mais cohérent avec les
définitions mathématiques.
II)
Calculs, forme algébrique
1. Quels sont les nombres complexes dont l’opposé est égal à l’inverse ?
1
−z = ⇔ z 2 = −1 ⇔ z = i ou z = −i.
z
1
1
Donc = −i,
= −(−i)
i
−i
2. Calculer (1 + 2i)(3 − 4i)
On développe et on remplace i2 par −1
(1 + 2i)(3 − 4i) = 3 − 4i + 6i − 8i2 = 11 + 2i
3. Démontrer (1 + 2i)(1 − 2i) = 12 + 22
On utilise l’identité remarquable (a + b)(a − b) = a2 − b2 en n’oubliant pas que
i2 = −1, ce qui donne la formule (x + yi)(x − yi) = x2 + y 2 (c’est bien un signe +,
à cause de i2 = −1, c’est-à-dire −i2 = 1)
(1 + 2i)(1 − 2i) = 12 − (2i)2 = 12 − 22 i2 = 12 + 22 .
1−i
4. Calculer
3 + 2i
On multiplie numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée du
dénominateur, de manière à obtenir un dénominateur réel, pour pouvoir donner
la réponse sous la forme x + yi avec x et y réels.
1−i
(1 − i)(3 − 2i)
3 − 3i − 2i + 2i2
1 − 5i
1
5
=
=
=
=
− i
3 + 2i
(3 + 2i)(3 − 2i)
32 − (2i)2
9+4
13 13
5. Calculer (1 + i)2009
On calcule les premières puissances, jusqu’à trouver une puissance simple :
(1 + i)2 = 1 + 2i + i2 = 2i
(1 + i)3 = (1 + i)2 (1 + i) = 2i(1 + i) = 2i + 2i2 = 2i − 2
2
(1 + i)4 = (1 + i)2 = (2i)2 = 4i2 = −4.
Complexes : exemples
502
Or 2009 = 502 × 4 + 1, donc (1 + i)2009 = (1 + i)502×4 (1 + i) = (1 + i)4
(1 + i) =
(−4)502 (1 + i) = 4502 + 4502 i
6. Calculer (1 + i)6 et en déduire toutes les solutions de l’équation z 2 = −8i.
D’après l’exercice précédent (1 + i)6 = (1 + i)4 (1 + i)2 = −4 × 2i = −8i
2
Donc (1 + i)3 = −8i, donc une solution de z 2 = −8i est (1 + i)3 = −2 + 2i.
L’équation s’écrit alors z 2 = (−2 + 2i)2 . Les solutions sont donc −2 + 2i et son
opposé 2 − 2i (car l’équation z 2 = a2 est équivalente à (z − a)(z + a) = 0, soit z = a
ou z = −a).
7. Pour quels n entiers naturels a-t-on 1 + i + i2 + · · · + in = 0 ?
D’après la formule sur la somme des termes d’une suite géométrique,
1 − in+1
.
1 + i + i2 + · · · + in =
1−i
Quelles sont les puissances de i ?
i0 = 1, i1 = i, i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1.
k
Donc i4k = i4 = 1k = 1
k
i4k+1 = i4 i = i
k
i4k+2 = i4 i2 = −1
k
i4k+3 = i4 i3 = −i
Donc 1 − in+1 = 0 ⇔ n + 1 = 4k
⇔ n = 4k − 1 (avec k entier > 1 : k ∈ {3, 7, 11, 15, . . .}).
Exemple : 1 + i + i2 + i3 = 1 + i − 1 − i = 0
III)
Conjugué
1. Soit P le polynôme défini par P (z) = z 3 − 2z 2 + z + 1. Démontrer que, si a est une
racine de P , alors a est aussi une racine de P .
Soit a une racine de P , c’est-à-dire P (a) = 0. Est-ce que a est aussi une racine de
P , c’est-à-dire est-ce que P (a) = 0?
On applique les propriétés des conjugués pour les opérations :
P (a) = a3 − 2a2 + a + 1 = a3 − 2a2 + a + 1 =
a3 + −2a2 + a + 1 = a3 − 2a2 + a + 1 = P (a) = 0 = 0
2. Déterminer les nombres complexes z tels que z 2 = −z.
On pose z = x + yi avec x et y réels.
L’équation s’écrit :
(x + yi)2 = −x + yi
⇔ x2 + 2yi + i2 y 2 = −x + yi
⇔
x2 − y 2 + 2xyi = −x + yi car i2 = −1
x2 − y 2 = −x
⇔
2xy = y
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6.
d’après le principe d’identification des parties réelles et des parties imaginaires.
√
1
3
i ou
En résolvant (y(2x − 1) = 0), on trouve z = 0 ou z = −1 ou z = +
2
2
√
1
3
z= −
i
2
2
Démontrer que z 2 + z 2 est un nombre réel.
On pourrait développer z = x + yi, mais il y a plus simple d’après les propriétés
des conjugués :
On sait que z 2 = z 2 donc l’expression est la somme de deux nombres conjugués,
elle est donc réelle, car Z + Z = 2X = 2Re(Z)
Déterminer les points d’affixe z tels que (1 + z)(i + z) est réel.
(1 + z)(i + z) = i + z + zi + zz. Or zz est réel (c’est x2 + y 2 ), donc le problème
revient à trouver les z tels que i + z + zi est réel.
i + z + zi = i + x − yi + xi − y. ce nombre est réel si et seulement si sa partie
imaginaire est nulle : 1 − y + x = 0, c’est-à-dire y = x + 1. Donc l’ensemble des
solutions est : tous les nombres de la forme x + (x + 1)i avec x réel quelconque, et
les points correspondants forment la droite d’équation y = x + 1 (en particulier i
et −1 sont solutions).
Déterminer les nombres complexes z tels que z + 1 + iz = z + 1 − iz.
Contrairement à ce qu’on pourrait croire, ce n’est pas toujours le cas : le conjugué
de a + bi n’est pas forcément a − bi (a et b ne sont pas forcément réels) mais a − bi.
z + 1 + iz = z + 1 − iz. La condition s’écrit :
z + 1 − iz = z + 1 − iz ⇔ z(1 − i) = z(1 − i) ⇔ z = z (car 1 − i=0)
/
C’est équivalent à dire que z est réel.
z
Déterminer les points d’affixe z tels que Z =
soit un imaginaire pur.
z−2
Z est imaginaire pur si et seulement si Z = −Z.
On écrit la formule de Z en fonction de z (on utilise les règles de calcul sur les
z
.
conjugués). On trouve Z =
z−2
On traduit ensuite Z = −Z, en écrivant sous une forme sans dénominateur.
On trouve zz − z − z = 0
Remarque : jusqu’à maintenant, on n’a pas remplacé z par x + iy. Tant qu’on peut
avancer sans développer, on ne développe pas.
Maintenant on développe : x2 + y 2 − 2x = 0
Avec ce type d’équation, on essaye de mettre sous la forme de l’équation d’un cercle.
On met sous forme canonique (x − 1)2 − 1 + y 2 = 0, soit (x − 1)2 + y 2 = 1.
√
Il faut savoir reconnaı̂tre l’équation du cercle de centre (1; 0) et de rayon 1 = 1.
Il faut enlever le point d’affixe 2 (le dénominateur de Z serait nul).
Il est prudent de vérifier. Testons avec un point du cercle, par exemple le point
d’affixe 1 + i. Si z = 1 + i, alors Z = · · · = −i. C’est bien un imaginaire pur.