Nombres complexes

Math´ematiques – Enseignement obligatoire Cours Chapitre 1 : Nombres complexes
Nombres complexes
I/ Divers ensembles de nombres utilis´es
A) Ensemble des entiers naturels
Cet ensemble est not´e N.
N={0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ... ; 15 ; n;...}.
B) Ensemble des entiers relatifs
Cet ensemble est not´e Z.
Z={... ;−n;... ;−24 ; ... ;−3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ... ; 10 ; ... ;n;...}avec n∈N.
C) Ensemble des d´ecimaux
Cet ensemble est not´e D.
On dit qu’un nombre xest d´ecimal pour exprimer qu’il existe deux entiers relatifs aet ptels que x=a×10p.
D) Ensemble des rationnels
Cet ensemble est not´e Q.
On dit qu’un nombre x est rationnel pour exprimer qu’il existe un entier relatif a et un entier relatif non nul b tels que
x=a
b.
E) Ensemble des r´eels
Cet ensemble est not´e R.
Cet ensemble contient tous les nombres pr´ec´edents mais aussi d’autre appel´es irrationnels (par exemple
√3,√12,√13
)
ou transcendants (par exemple π).
F) Relation entre ces ensembles
N
n1106
Z
−108−n−5D
−3
125
0,5
25 ×10−2
Q
−3
72,147147
1
3
R
−3√5
π
√2
N⊂Z⊂D⊂Q⊂R
Remarque
Le signe ⊂ se lit « est inclus dans » ou « est un sous-
ensemble de »ou «est une partie de ».
II/ Pr´esentation de l’ensemble des nombres complexes
A) Introduction
Consid´erons dans l’ensemble Cdes couples de r´eels, les deux op´erations suivantes :
– addition d´efinie par : (a;b)+(a0;b0)=(a+a0;b+b0)
– multiplication d´efinie par : (a;b)×(a0;b0)=(aa0−bb0;ab0+ba0).
Les ´el´ements de Cson appel´es nombres complexes.
– Soit R0l’ensemble des nombres complexes de la forme (a; 0).
R0contient la somme et le produit de deux quelconques de ses ´el´ements.
– L’ensemble R0des nombres complexes de la forme (a; 0), o`u aest un r´eel, est identifi´e `a R.
C’est-`a-dire que d´esormais, on notera l’´el´ement (a; 0) de R.
L’ensemble C apparaˆıt comme un sur-ensemble de R muni d’une addition et d’une multiplication qui prolongent celles
de Ret qui suit les mˆemes r`egles de calcul.
B) Notation alg´ebrique d’un nombre complexe
Le nombre complexe (0 ; 1) est not´e iet v´erifie i2=−1.
Pour tout nombre complexe (a;b), on peut ´ecrire (a;b) = a+bi.
D´emonstration
(a;b)=(a; 0) + (0 ; b) = (a; 0) + (0 ; 1) ×(b; 0) = a+bi.
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Notation alg´ebrique
Tout nombre complexe zpeut s’´ecrire, de fa¸con unique : z=a+bi, o`u aet bsont des nombres r´eels.
Le r´eel aest appel´e partie r´eelle de z. Elle est not´ee Re(z) = a.
Le r´eel best appel´e partie imaginaire de z. Elle est not´ee Im(z) = bmais bappartient bel et bien `a R.
Deux nombres complexes zet z
0
sont ´egaux si et seulement si zet z
0
ont la mˆeme partie r´eelle et la mˆeme partie
imaginaire.
C) Remarques
– Le nombre complexe a+bi, avec aet br´eels, est nul si et seulement si a=b= 0.
– Les nombres complexes de la forme bi, o`u best un r´eel, sont appel´es imaginaires purs.
– 0 est le seul complexe `a la fois r´eel et imaginaire pur.
– Le carr´e d’un nombre complexe imaginaire pur est un entier n´egatif.
D´emonstration
z=bi
z2= (bi)2
z2=−b2
D) Calculs dans C
Les calculs dans C suivent les mˆemes r`egles que les calculs dans R ; il convient, en plus de tenir compte de la propri´et´e
i2=−1.
Addition
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
Multiplication
(a+bi)×(c+di) = ac +adi +bci +bdi2
(a+bi)×(c+di)=(ac −bd)+(ad +bc)i
Inverse d’un complexe non nul
`
A tout nombre complexe z=a+bi, on associe le complexe z=a−bi.
zse lit «zbarre »et est appel´e le conjugu´e de z.
On a z×z=a2+b2.
D’o`u, si z6= 0, zz
zz = 1.
Tout nombre complexe non nul zadmet un inverse not´e 1
z=z zz .
L’inverse du nombre complexe, non nul, a+bi est le nombre complexe : a
a2+b2−ib a2+b2.
E) Nombres complexes conjugu´es
Propri´et´es
– Pour tout complexe z, le conjugu´e de zest z.
– Pour tout complexe z,zest r´eel si et seulement si z=z.
– Pour tout complexe z,zest imaginaire pur si et seulement si z=−z.
D´emonstration
Pour tout complexe z,z=a+bi.
z=a−bi
z=a+bi
Donc z=z.
D´emonstration
Pour tout complexe z,z=a+ 0iavec a∈R.
D’o`u z=a−0i.
C’est-`a-dire z=z.
Soit zun complexe tel que z=z.
z=a+bi d’o`u z=a−bi.
Si z=zalors a+bi =a−bi.
D’o`u b=−b, c’est-`a-dire b= 0.
Alors zest un r´eel.
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D´emonstration
Pour tout complexe z,z=bi avec b∈R.
D’o`u z=−bi.
C’est-`a-dire z=−z.
Soit zun complexe tel que z=−z.
z=a+bi d’o`u z=a−bi.
Si z=−zalors a+bi =−a+bi.
D’o`u a=−a, c’est-`a-dire a= 0.
Alors zest un imaginaire pur.
Conjugu´e et op´erations
Pour tous complexes zet z0:z+z0=z+z0et z×z0=z×z0et zn=znavec n∈N.
Pour tout complexe non nul z:1
z=1 z.
Pour tout complexe zet tout complexe non nul z0:z
z0=z
z0.
D´emonstration
On montre que z ×z0=z×z0.
On pose z=a+bi et z0=a0+b0i.
z×z0= (aa0−bb0) + i(ab0+a0b)
D’o`u z×z0= (aa0−bb0)−i(ab0+a0b).
z=a−bi et z0=a0−b0i
Alors z×z0= (aa0−bb0)−i(ab0+a0b).
Donc z×z0=z×z0.
D´emonstration
On montre que zn=zn.
– Pour n= 2 : z2=z×z
– Pour n= 2 : z2=z×z
– Pour n= 2 : z2=zn
– Supposons que, pour k≥2, zk=zk.
–On montre alors que, zk+1 =zk+1.
–zk+1 =zk×z
–zk+1 =zk×z
–zk+1 =zk×z
–zk+1 =zk+1
– Pour tout entier n≥2, zn=zn.
D´emonstration
On montre que 1
z=1 z.
On pose z=x+iy.
1
z=1 x+iy
1
z=x−iy (x+iy)(x−iy)
1
z=x−iy x2+y2
1
z=x x2+y2−y x2+y2i
D’o`u 1
z=x x2+y2+y x2+y2i.
1
z=1 x−iy
1
z=x+iy (x−iy)(x+iy)
1
z=x+iy x2+y2
1
z=x x2+y2+x x2+y2i
Donc 1
z=1 z.
D´emonstration
On montre que z
z0=z
z0.
z
z0=z×1 z0d’o`u z z0=z×1
z0.
Donc z
z0=z
z0.
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III/ Repr´esentation g´eom´etrique des nombres complexes
Consid´erons un plan muni d’un rep`ere orthonormal (O;−→ u;−→ v).
A) Image d’un nombre complexe
`
A tout nombre complexe zassocions le point Mdu coordonn´ees (Re(z) ; Im(z)) ; ce point Mest appel´e point-image
du nombre complexe z.
Tout point Pdu plan de coordonn´ees (a;b) est le point-image d’un nombre complexe unique a+bi appel´e affixe du
point P.
Les nombres r´eels ont pour image les points de l’axe des abscisse appel´e axe r´eel.
Les nombres imaginaires purs ont pour image les points de l’axe des ordonn´ees appel´e axe imaginaire.
Les images d’un nombre complexe z=a+bi et de son conjugu´e z =a−bi sont sym´etriques par rapport `a la droite des
abscisses du rep`ere.
B) Affixe d’un vecteur
`
A tout nombre complexe zon peut aussi associer le vecteur
−→
V de coordonn´ees (Re(z) ; Im(z)) ; ce vecteur
−→
V est
appel´e vecteur-image du nombre complexe z.
Tout vecteur
−→
V de coordonn´ees (a;b) est le vecteur-image d’un nombre complexe unique a+bi appel´e affixe du
vecteur −→ V.
L’affixe de −−→ AB est b−ao`u aet bsont les affixes respectives des points Aet B.
C) Repr´esentation g´eom´etrique de la somme de deux complexes
Consid´erons deux nombres complexes z1et z2d’images respectives M1et M2.
Le point image Sde z1+z2est le quatri`eme sommet du parall´elogramme OM1SM2.
O−→
u
−→
v
M1(z1)
M2(z2)
S(z1+z2)
D) Utilisation des nombres complexes en g´eom´etrie
Soient A,Bet Ctrois points d’affixes respectives a,bet c.
A,Bet Csont align´es ⇔−−→ AB et −→ AC sont colin´eaires
A,Bet Csont align´es ⇔ ∃k∈Ztel que −−→ AB =k−→ AC
A,Bet Csont align´es ⇔z−−→
AB =kz−→ AC
A,Bet Csont align´es ⇔b−a=k(c−a)
IV/ ´ Equation du second degr´e `a coefficient r´eels
A) ´ Equation x2=a
Si aest un r´eel strictement positif, l’´equation a deux solutions r´eelles : √aet −√a.
Si aest un r´eel strictement n´egatif, l’´equation a deux solutions imaginaires pures : i|a|et −i|a|.
B) ´ Equation du second degr´e `a coefficient r´eels
Soit l’´equation az2+bz +c= 0 o`u a∈R∗,b∈Ret c∈Ret ∆ son discriminant.
Si ∆ >0, cette ´equation a deux solutions r´eelles distinctes −b+√∆
2aet −b−√∆ 2a.
Si ∆= 0, cette ´equation a une solution r´eelle double −b
2a.
Si ∆<0, cette ´equation a deux solutions complexe conjugu´ees −b+i|∆|
2aet −b−i|∆| 2a.
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