AL 3 – APPLICATIONS – – LOIS DE COMPOSITION INTERNE –

Algèbre 3. 1/4
ICAM Toulouse I1
1. APPLICATIONS
Dans l’ensemble du paragraphe, E, F, G et H désignent des ensembles.
Définition 1 : On appelle application de E vers F toute relation entre E et F qui a un
élément de E (appelé ensemble de départ) associe au plus un élément de F (appelé
ensemble d’arrivée).
On note f : E → F
x ֏f(x)
f(x) est appelé l’image de x par f, c’est l’unique élément de F associé à x par f.
L’ensemble des applications de E vers F est noté F
E
.
Définition 2 : Soit f S F
E
.
• Soit AS P (E) ; l’application g : A → F définie par ∀x∈A, g(x) = f(x) est appelée
restriction de f à A et est notée f|
A
.
• Soit E’ une partie contenant E ; l’application h :E’ → F définie par ∀x∈E, h(x) = f(x) est
appelée UN prolongement de f à E’.
Exemple : Soit f :
*
ℝ
→
ℝ
telle que f(x) =
x
e
x
; f admet une infinité de prolongements sur
ℝ
.
Définition 3 : L’application f de E vers E définie pour tout x de E par f(x) = x est appelée
application identique dans E (ou identité de E). On la note Id
E
.
Définition 4 : Soient f S F
E
et g S G
F
.
On définit une application de E vers G, appelée composée de f et g, notée g o f, définie pour
tout x de E par g o f(x) = g(f(x)).
Propriété (associativité) : Soient f S F
E
, g S G
F
et h S H
G
. On a : (h o g) o f = h o (g o f).
Définition 5 : Soit f une application de E vers F. On dit que :
• f est injective (ou f est une injection) si ∀(a ; b)∈E
2
(a ≠ b) ⇒ ( f(a) ≠ f(b) )
• f est surjective (ou f est une surjection) si ∀y∈F, ∃
∃∃
∃ x∈E, f(x) = y
• f est bijective (ou f est une bijection) si f est injective et surjective
Lorsque f est bijective, on dit qu’elle admet une bijection réciproque de F vers E, notée
f
-1
, telle que : K(x ; y) ∈E × F, (y = f(x)) ⇔ (x = f
-1
(y))
AL 3
– APPLICATIONS –
– LOIS DE COMPOSITION INTERNE –
1.1 Définitions
1.2 Applications injectives, surjectives

Algèbre 3. 2/4
ICAM Toulouse I1
Remarques :
(i) f est injective si et seulement si ∀(a ; b)∈E
2
: ( f(a) = f(b) ) + (a = b)
(ii) f est bijective si et seulement si ∀y ∈ F, ∃
∃∃
∃! x ∈ E, y = f(x) .
(iii) f : E → F est bijective si et seulement si il existe g : F → E telle que g o f = Id
E
et
f o g = Id
F
. On a alors f
-1
= g.
Propriétés : Soient f S F
E
et g S G
F
.
• Si g o f est injective, alors f est injective.
• Si g o f est surjective, alors g est surjective.
• La composée de deux injections est une injection.
• La composée de deux surjections est une surjection.
• La composée de deux bijections est une bijection et (g o f)
-1
= f
-1
o g
-1
.
Définition 6 : Soient f SE
E
. Si f o f = Id
E
, on dit que f est involutive.
Remarque : Si f est involutive, alors f est bijective, et f
-1
= f.
Exemple : f :
*
ℝ
→
*
ℝ
définie par f(x) =
1
x
est involutive.
Définition 7 : Soit f S F
E
.
• Pour toute partie A de E on définit l’image directe de A par f, noté f(A), par :
f(A) = { f(x) / x ∈ A}.
• Pour toute partie B de F on définit l’image réciproque de B par f, noté f
-1
(B), par :
f
-1
(B) = { x ∈ E / f(x) ∈ B} .
Propriétés : Soit f S F
E
.
• K A S P (E) : A ⊂ f
-1
(f(A))
• K A’ S P (F) : f (f
-1
(A’)) ⊂ A’.
• K (A ; B) S ( P (E) )
2
: f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B)
f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B)
• K (A’ ; B’) S ( P (F) )
2
: f
-1
(A’ ∪ B’) = f
-1
(A’) ∪ f
-1
(B’)
f
-1
(A’ ∩ B’) = f
-1
(A’) ∩ f
-1
(B’)
(
)
-1 -1
f A' f (A')
=
Définition 8 :
Soient A ⊂ E et f : E → E.
On dit que A est stable par f si f(A) ⊂ A, et que A est invariant par f si f(A) = A.
1.3 Images directes et réciproques de parties par une application

Algèbre 3. 3/4
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2. LOIS DE COMPOSITION INTERNE (l.c.i.)
Définition 9 : On appelle loi de composition interne (l.c.i.) sur un ensemble E ou opération
dans E toute application de E × E dans E.
Une l.c.i. est souvent notée ∗ : E × E → E
(x ; y) ֏ x ∗ y
On appelle magma tout couple (E, ∗) où E est un ensemble et ∗ est une l.c.i..
Remarque: on utilise aussi les notations : + , o , • , × , ⊥ , ...
Exemples :
• L’addition et la multiplication dans
ℕ
sont des l.c.i.
• L’intersection et l’union dans P (E) sont des l.c.i.
Définition 10 : Soit (E,∗ ) un magma. On dit que :
• la loi ∗ est associative si ∀(a ; b ; c) ∈ E
3
: a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c
• la loi ∗ est commutative si ∀(a ; b) ∈ E
2
: a ∗ b = b ∗ a
Si deux éléments a et b de (E, ∗ ) vérifient a ∗ b = b ∗ a on dit qu’ils commutent.
Exemples :
1. L’addition et la multiplication dans
ℕ
,
Z
,
ℂ
,... , sont associatives et commutatives.
2. L’intersection dans P (E) est associative et commutative.
3. Le produit vectoriel de deux vecteurs de l’espace n’est ni associatif ni commutatif.
Par exemple : (
i
→
∧
i
→
) ∧j
→
≠
i
→
∧ (
i
→
∧ j
→
).
4. La l.c.i. ∗ :
ℝ
×
ℝ
→
ℝ
définie par (x, y) ֏ x - y n’est ni associative ni commutative.
Définition 11 : Soit (E, ∗ , ⊥) un ensemble muni de deux l.c.i. On dit que :
• la loi ⊥ est distributive à gauche par rapport à la loi ∗ si
∀(a; b; c) ∈ E
3
: a ⊥ (b ∗ c) = (a ⊥ b) ∗ (a ⊥ c)
• la loi ⊥ est distributive à droite par rapport à la loi ∗ si
∀(a; b; c) ∈ E
3
: (b ∗ c) ⊥ a = (b ⊥ a) ∗ (c ⊥ a)
• la loi ⊥ est distributive par rapport à la loi ∗ si elle l’est à droite et à gauche
Exemple : dans
ℂ
la multiplication est distributive par rapport à l’addition
Définition 12 : Soit (E,∗ ) un magma , on dit que E admet un élément neutre à gauche
(resp. à droite) si ∃ e ∈ E, ∀x ∈ E : e ∗ x = x (resp. x ∗ e = x );
On dit que E admet un élément neutre si ∃ e ∈ E, ∀ x ∈ E : x ∗ e = e ∗ x = x.
Exemples :
• 0 et 1 sont respectivement éléments neutres de (
ℝ
, +) et (
ℝ
*
, ×)
• ∅ est un élément neutre de (P (E), ∪)
2.1 Ensembles munis d’une l.c.i.
2.2 Eléments particuliers

Algèbre 3. 4/4
ICAM Toulouse I1
Définition 13 : On appelle monoïde tout magma (E, ∗ ) tel que la loi ∗ est associative et E
admet un élément neutre e.
Exemples :
• (
ℕ
, +) et (
ℕ
, ×) sont des monoïdes.
• Pour tout ensemble non vide A, (A
A
, o) est un monoïde.
Proposition 1 : Soit (E, ∗ ) un magma.
• Dans (E, ∗ ) si e et e’ sont respectivement neutres à gauche et à droite alors e = e’.
• Si (E, ∗ ) admet un élément neutre alors il est unique.
Définition 14 : Soit (E, ∗ ) un magma d’élément neutre e. On dit que x ∈ E admet un
symétrique à gauche (resp. à droite ) s’il existe x’∈E tel que x’ ∗ x = e (resp. x ∗ x’ = e).
On dit que x admet un symétrique (ou qu’il est symétrisable ou inversible) s’il existe x’∈E
tel que x ∗ x’ = x’ ∗ x = e . Ce symétrique est souvent noté x
-1
( - x pour l’addition ).
Proposition 2 : Soit (E, ∗ ) un monoïde.
• Si a est un élément symétrisable de E, alors son symétrique est unique.
• Si deux éléments a et b de E sont symétrisables alors a ∗ b est symétrisable et on a :
(a ∗ b)
-1
= b
-1
∗ a
-1
.
Exemple : dans (
ℝ
*, ×) tout élément a admet un inverse a
-1
=
1
a
, mais 0 n’est pas inversible
dans (
ℝ
, × ).
Définition 15 : Soient (E, ∗ ) un ensemble muni d’une l.c.i. ∗ , a ∈ E. On dit que:
a est régulier à droite si ∀ (x ; y) ∈ E
2
, (x ∗ a = y ∗ a) ⇒ ( x = y )
a est régulier à gauche si ∀ (x ; y) ∈ E
2
, (a ∗ x = a ∗ y) ⇒ ( x = y )
a est régulier s’il est régulier à droite et à gauche.
Remarque : dans (
ℝ
, × ) 0 n’est pas un élément régulier.
Proposition 3 : Tout élément symétrisable est régulier.