AL 3 – APPLICATIONS – – LOIS DE COMPOSITION INTERNE –

Algèbre 3. 1/4
AL 3
– APPLICATIONS –
– LOIS DE COMPOSITION INTERNE –
1. APPLICATIONS
Dans l’ensemble du paragraphe, E, F, G et H désignent des ensembles.
1.1 Définitions
Définition 1 : On appelle application de E vers F toute relation entre E et F qui a un
élément de E (appelé ensemble de départ) associe au plus un élément de F (appelé
ensemble d’arrivée).
On note f : E → F
x ֏f(x)
f(x) est appelé l’image de x par f, c’est l’unique élément de F associé à x par f.
L’ensemble des applications de E vers F est noté FE.
Définition 2 : Soit f S FE.
• Soit AS P (E) ; l’application g : A → F définie par ∀x∈A, g(x) = f(x) est appelée
restriction de f à A et est notée f|A.
• Soit E’ une partie contenant E ; l’application h :E’ → F définie par ∀x∈E, h(x) = f(x) est
appelée UN prolongement de f à E’.
ex
Exemple : Soit f : ℝ* → ℝ telle que f(x) =
; f admet une infinité de prolongements sur ℝ .
x
Définition 3 : L’application f de E vers E définie pour tout x de E par f(x) = x est appelée
application identique dans E (ou identité de E). On la note IdE.
Définition 4 : Soient f S FE et g S GF .
On définit une application de E vers G, appelée composée de f et g, notée g o f, définie pour
tout x de E par g o f(x) = g(f(x)).
Propriété (associativité) : Soient f S FE, g S GF et h S HG. On a : (h o g) o f = h o (g o f).
1.2 Applications injectives, surjectives
Définition 5 : Soit f une application de E vers F. On dit que :
• f est injective (ou f est une injection) si ∀(a ; b)∈E2 (a ≠ b) ⇒ ( f(a) ≠ f(b) )
• f est surjective (ou f est une surjection) si ∀y∈F, ∃ x∈E, f(x) = y
• f est bijective (ou f est une bijection) si f est injective et surjective
Lorsque f est bijective, on dit qu’elle admet une bijection réciproque de F vers E, notée
f -1 , telle que : K(x ; y) ∈E × F, (y = f(x)) ⇔ (x = f -1(y))
ICAM Toulouse
I1
Algèbre 3. 2/4
Remarques :
(i)
f est injective si et seulement si ∀(a ; b)∈E2 : ( f(a) = f(b) ) + (a = b)
(ii)
f est bijective si et seulement si ∀y ∈ F, ∃! x ∈ E, y = f(x) .
(iii) f : E → F est bijective si et seulement si il existe g : F → E telle que g o f = IdE et
f o g = IdF. On a alors f-1 = g.
Propriétés : Soient f S FE et g S GF.
• Si g o f est injective, alors f est injective.
• Si g o f est surjective, alors g est surjective.
• La composée de deux injections est une injection.
• La composée de deux surjections est une surjection.
• La composée de deux bijections est une bijection et (g o f) -1 = f -1 o g -1.
Définition 6 : Soient f SEE . Si f o f = IdE , on dit que f est involutive.
Remarque : Si f est involutive, alors f est bijective, et f -1 = f.
Exemple : f : ℝ* → ℝ* définie par f(x) =
1
est involutive.
x
1.3 Images directes et réciproques de parties par une application
Définition 7 : Soit f S FE.
•
•
Pour toute partie A de E on définit l’image directe de A par f, noté f(A), par :
f(A) = { f(x) / x∈A}.
Pour toute partie B de F on définit l’image réciproque de B par f, noté f -1 (B), par :
f -1 (B) = { x∈E / f(x)∈B} .
Propriétés : Soit f S FE.
•
KA S P (E) : A ⊂ f -1(f(A))
•
KA’ S P (F) : f (f -1(A’)) ⊂ A’.
•
K (A ; B) S ( P (E) )2 :
•
K (A’ ; B’) S ( P (F) )2 : f -1(A’ ∪ B’) = f -1(A’) ∪ f -1(B’)
f -1(A’ ∩ B’) = f -1(A’) ∩ f -1(B’)
f -1 A ' = f -1 (A ')
f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B)
f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B)
( )
Définition 8 : Soient A ⊂ E et f : E → E.
On dit que A est stable par f si f(A) ⊂ A, et que A est invariant par f si f(A) = A.
ICAM Toulouse
I1
Algèbre 3. 3/4
2. LOIS DE COMPOSITION INTERNE (l.c.i.)
2.1 Ensembles munis d’une l.c.i.
Définition 9 : On appelle loi de composition interne (l.c.i.) sur un ensemble E ou opération
dans E toute application de E × E dans E.
Une l.c.i. est souvent notée ∗ : E × E → E
(x ; y) ֏ x ∗ y
On appelle magma tout couple (E, ∗) où E est un ensemble et ∗ est une l.c.i..
Remarque: on utilise aussi les notations : + , o , • , × , ⊥ , ...
Exemples :
• L’addition et la multiplication dans ℕ sont des l.c.i.
• L’intersection et l’union dans P (E) sont des l.c.i.
Définition 10 : Soit (E,∗ ) un magma. On dit que :
•
la loi ∗ est associative si ∀(a ; b ; c) ∈ E3 : a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c
•
la loi ∗ est commutative si ∀(a ; b) ∈ E2 : a ∗ b = b ∗ a
Si deux éléments a et b de (E, ∗ ) vérifient a ∗ b = b ∗ a on dit qu’ils commutent.
Exemples :
1. L’addition et la multiplication dans ℕ , Z , ℂ ,... , sont associatives et commutatives.
2. L’intersection dans P (E) est associative et commutative.
3. Le produit vectoriel de deux vecteurs de l’espace n’est ni associatif ni commutatif.
→
→
→
→
→
→
Par exemple : ( i ∧ i ) ∧ j ≠ i ∧ ( i ∧ j ).
4. La l.c.i. ∗ : ℝ × ℝ → ℝ définie par (x, y) ֏ x - y n’est ni associative ni commutative.
Définition 11 : Soit (E, ∗ , ⊥) un ensemble muni de deux l.c.i. On dit que :
• la loi ⊥ est distributive à gauche par rapport à la loi ∗ si
∀(a; b; c) ∈ E3: a ⊥ (b ∗ c) = (a ⊥ b) ∗ (a ⊥ c)
• la loi ⊥ est distributive à droite par rapport à la loi ∗ si
∀(a; b; c) ∈ E3: (b ∗ c) ⊥ a = (b ⊥ a) ∗ (c ⊥ a)
• la loi ⊥ est distributive par rapport à la loi ∗ si elle l’est à droite et à gauche
Exemple : dans ℂ la multiplication est distributive par rapport à l’addition
2.2 Eléments particuliers
Définition 12 : Soit (E,∗ ) un magma , on dit que E admet un élément neutre à gauche
(resp. à droite) si ∃ e ∈ E, ∀x ∈ E : e ∗ x = x (resp. x ∗ e = x );
On dit que E admet un élément neutre si ∃ e ∈ E, ∀ x ∈ E : x ∗ e = e ∗ x = x.
Exemples :
• 0 et 1 sont respectivement éléments neutres de ( ℝ , +) et ( ℝ *, ×)
• ∅ est un élément neutre de (P (E), ∪)
ICAM Toulouse
I1
Algèbre 3. 4/4
Définition 13 : On appelle monoïde tout magma (E, ∗ ) tel que la loi ∗ est associative et E
admet un élément neutre e.
Exemples :
• ( ℕ , +) et ( ℕ , ×) sont des monoïdes.
• Pour tout ensemble non vide A, (AA, o) est un monoïde.
Proposition 1 : Soit (E, ∗ ) un magma.
• Dans (E, ∗ ) si e et e’ sont respectivement neutres à gauche et à droite alors e = e’.
• Si (E, ∗ ) admet un élément neutre alors il est unique.
Définition 14 : Soit (E, ∗ ) un magma d’élément neutre e. On dit que x ∈ E admet un
symétrique à gauche (resp. à droite ) s’il existe x’∈E tel que x’ ∗ x = e (resp. x ∗ x’ = e).
On dit que x admet un symétrique (ou qu’il est symétrisable ou inversible) s’il existe x’∈E
tel que x ∗ x’ = x’ ∗ x = e . Ce symétrique est souvent noté x -1 ( - x pour l’addition ).
Proposition 2 : Soit (E, ∗ ) un monoïde.
• Si a est un élément symétrisable de E, alors son symétrique est unique.
• Si deux éléments a et b de E sont symétrisables alors a ∗ b est symétrisable et on a :
(a ∗ b) -1 = b -1 ∗ a -1.
Exemple : dans ( ℝ *, ×) tout élément a admet un inverse a -1 =
dans ( ℝ , ×).
1
, mais 0 n’est pas inversible
a
Définition 15 : Soient (E, ∗ ) un ensemble muni d’une l.c.i. ∗ , a ∈E. On dit que:
a est régulier à droite si ∀(x ; y)∈E2, (x ∗ a = y ∗ a) ⇒ ( x = y )
a est régulier à gauche si ∀(x ; y)∈E2, (a ∗ x = a ∗ y) ⇒ ( x = y )
a est régulier s’il est régulier à droite et à gauche.
Remarque : dans ( ℝ , ×) 0 n’est pas un élément régulier.
Proposition 3 : Tout élément symétrisable est régulier.
ICAM Toulouse
I1