Chapitre P4 mouvement d`un solide indeformable

Chapitre P4 : Mouvement d’un solide indéformable
I) Rappels de seconde :
1-1) Nécessité d’un référentiel :
La description d’un mouvement dépend du référentiel dans lequel on se place. C’est la relativité du
mouvement, et c’est pour cela qu’il est indispensable de définir un référentiel pour étudier n’importe quel
mouvement.
Définition : un référentiel est donc un corps solide que l’on choisit comme référence pour étudier le
mouvement d’un autre corps.
Le référentiel est constitué :
Du solide de référence
r r r
D’un repère d’espace (O, i , j , k ) fixe par rapport à ce solide
D’une horloge qui définit un repère de temps
On peut alors repérer la position d’un point M quelconque par ses coordonnées x(t), y(t), z(t).
Exemples de référentiels :
- référentiel terrestre : c’est le référentiel le plus utilisé, il a pour solide de référence tout solide fixe par
rapport à la surface de la Terre.
- référentiel géocentrique : il a pour origine de référence le centre de gravité de la Terre.
- référentiel héliocentrique : il a pour origine de référence le centre de gravité du Soleil.
1-2) Trajectoire :
Voir TP
La trajectoire d’un point mobile est la courbe qui décrit l’ensemble des positions occupés par ce
point mobile au cours du temps.
1-3) Solides et points matériels :
Un objet solide peut-être assimilé à un point matériel si ses dimensions sont très petites devant
l’échelle du problème que l’on cherche à résoudre.
Exemple : une fusée peut-être considéré comme un point matériel a l’échelle astronomique (si on étudie
son mouvement entre la Terre et la Lune).
Un solide est dit indéformable lorsque la distance qui sépare deux de ses points ne varie jamais.
II) Vitesse d’un point du solide :
2-1) Rappels sur la vitesse moyenne :
Exemple : Calcul de la vitesse moyenne du TGV en Paris et Rennes.
Le TGV atlantique parcourt actuellement la distance de 410 km de voies ferrées entre Rennes et Paris
Montparnasse en 2h03 sans arrêt.
Calculer la vitesse moyenne en m.s-1 puis en km.h-1 du TGV entre Rennes et Paris.
410.10 3
v moy =
= 55m.s −1
2 × 3600 + 3 × 60
vmoy = 3,6 × 55 = 200 km.h-1
Comment expliquer que la valeur trouvée soit inférieure aux 300 km.h-1 annoncés par la SNCF comme
vitesse de croisière du TGV ?
Définition de la vitesse moyenne :
La vitesse moyenne v m d’un point mobile est le quotient de la longueur L de son parcours par la durée
∆t correspondante.
L
L
v m : vitesse moyenne en m.s −1
vm =
=
(t 2 − t 1 ) ∆t
L : distance en m
∆t = t 2 − t 1 : durée du parcours en s.
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La valeur de la vitesse moyenne dépend du référentiel d’étude.
2-2) Vitesse instantanée d’un point :
Voir TP
Si la vitesse moyenne du TGV est inférieure aux 300 km.h-1 annoncés par la SNCF, c’est que le TGV ne
circule pas à grande vitesse sur l’ensemble du trajet.
La vitesse instantanée représente la vitesse du TGV a un instant donné t. Pour calculer cette vitesse
instantanée il faut calculer la vitesse moyenne sur une distance la plus courte possible (soit entre deux
instants t2 et t1 les plus courts possibles)
La vitesse instantanée d’un point mobile à la date t est approximativement égale à la vitesse moyenne de
ce point calculée entre deux instants voisin encadrant la date t.
MM
v2 = 1 3
M1
M2
t 3 − t1
M0
M3
On peut confondre la longueur de l’arc M1M 3 avec
celle du segment M1M 3 si l’intervalle de temps est très
petit.
2-3) Vecteur vitesse d’un point matériel :
Voir TP
A chaque instant, le mouvement d’un point a une direction, un sens et sa vitesse instantanée a une
certaine valeur.
r
On définit donc un vecteur vitesse, noté v .
r
A l’instant t, le vecteur vitesse v(t) d’un point mobile M a pour caractéristique :
Direction : la tangente à la trajectoire à la date t
Sens : celui du déplacement sur la trajectoire
Valeur : valeur de la vitesse instantanée à la date t.
Représentation du vecteur vitesse :
Le vecteur vitesse à la date t est représenté par un segment fléché dont :
L’origine est la position du point mobile à la date t
Le sens celui du mouvement du point mobile
La longueur est proportionnelle à la valeur de la vitesse instantané v.
III) Le centre d’inertie d’un solide :
Voir TP (III-A enregistrement n°5)
Voir photo du manuel p38
L’enregistrement du mouvement de différents points d’un solide indéformable dans un référentiel donné
montre que, généralement, ces différents points n’ont pas la même trajectoire, donc pas le même
mouvement.
Parmi tous les points d’un solide en mouvement, il en existe un dont le mouvement est plus simple
que les autres, il s’agit du centre d’inertie du solide (ou centre de gravité).
IV) Mouvement
Mouvement de translation d’un solide :
Voir TP (III-A et III-B enregistrements n°5 et 1)
Définition :
Un solide est en en mouvement de translation si tout segment liant deux points du solide reste
parallèle à lui-même au cours du mouvement.
Si tous les points du solide ont pour trajectoire une droite, on dit que le solide est animé d’un mouvement
de translation rectiligne.
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Exemple : le déplacement d’un train en ligne droite.
Si tous les points du solide ont pour trajectoire des courbes superposables, on dit que le solide est animé
d’un mouvement de translation curviligne.
Si tous les points du solide ont pour trajectoire des cercles superposables, on dit que le solide est animé
d’un mouvement de translation circulaire.
Montrer l’animation de la grande roue : http://www.ostralo.net/3_animations/swf/grande_roue.swf
Autre exemple : le mouvement de la Terre autour du Soleil est un mouvement de translation.
r
Tous les points d’un solide en translation ont, à chaque instant le même vecteur vitesse v(t) : c’est le
vecteur vitesse du solide.
V) Mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe fixe :
Voir TP (III-C enregistrement n°2)
5-1) Etude de la trajectoire :
Reprendre l’étude de la trajectoire du mobile en rotation autour d’un axe fixe vue en TP :
Quelle est la trajectoire du centre d’inertie du mobile ?
Quelle serait la trajectoire d’un autre point du mobile ?
Définition :
Un solide est en mouvement de rotation autour d’un axe fixe si :
tous les points du solide situés sur l’axe de rotation sont immobiles
tous les autres points du solide décrivent des arcs de cercle centrés sur l’axe de rotation.
Donc chaque point d’un solide en rotation autour d’un axe fixe a une trajectoire circulaire.
5-2) Vitesse angulaire :
Au cours d’une rotation, plus un point du solide est éloigné de
l’axe de rotation, plus la longueur de l’arc qu’il décrit est
grande : les points du solide n’ont pas la même vitesse.
B2
α
A2
B1
A1
Par contre, l’angle α décrit entre deux instants donnés est le
même pour tous les points du solide : c’est l’angle de rotation
du solide.
On utilise donc la vitesse angulaire ω qui est la même pour
tous les points du solide en rotation et qui est donc la vitesse
angulaire du solide en rotation.
Vitesse angulaire entre deux instants t 1 et t 2 est :
ω=
α
α
=
t 2 − t1 ∆t
Avec : ω la vitesse angulaire en rad.s −1
α l’angle de rotation du solide en rad
∆t la durée du parcours en s
5-3) Comment relier la vitesse angulaire et la vitesse d’un point du solide en rotation autour d’un
axe fixe ?
Relation entre vitesse et vitesse angulaire :
Pour un point M d’un solide en rotation autour d’un axe fixe, situé à une distance R de l’axe de rotation,
la distance parcourue pendant une durée ∆t = t 2 − t 1 est L = Rα .
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Donc v =
L Rα
α
=
et comme ω =
alors
∆t ∆t
∆t
v = Rω
Si ∆t est grand, on a les vitesses moyennes, si ∆t est petit on a les vitesses instantanées.
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